金陵中學(xué)2019學(xué)年度高三第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)

1、金陵中學(xué)2019學(xué)年度高三第一學(xué)期期中考試一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)11設(shè)集合A=x|x：2,B=xx2<1,則AB=。2函數(shù)f(x)=”1-log3x的定義域是。3復(fù)數(shù)i2(1-2i)的實(shí)部是。2応2j4已知角:-的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(sin,cos),則角的最小正值為。335已知向量a,b滿(mǎn)足|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60,向量c=2a，b.則向量c的模為OIReadxIIIfThen|(yGr+門(mén)2I；ElseIIyj-2I|EndIft1Printy一一16為了在運(yùn)行如右所示的偽代碼后輸出的y值為16,應(yīng)輸入的整數(shù)x=。7.在等差數(shù)列an中,

2、a3=7,a5=a26，則a6=。x-y6_0,&不等式組xy_0,表示的平面區(qū)域的面積為x乞39.若0：,則函數(shù)y=sinx+cos(x)的最大值為。10不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面:-的距離都相等，這樣的平面:-共有個(gè)。11.每次拋擲一枚骰子(六個(gè)面上分別標(biāo)以1,2,3,4,5,6)。連續(xù)拋擲2次，則2次向上的數(shù)之和不小于10的概率為。12已知周期函數(shù)f(X)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(X)的最小正周期為3,f(1)：2,f(2)=m,則m的取值范圍為，2213. 若橢圓乂y=1(ab0)上橫坐標(biāo)為-的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離大于它到右準(zhǔn)線(xiàn)的距ab3離，則橢圓離心率e的取值范圍是。114. 已知

3、函數(shù)f(x)=()x-log2x,0:a:b:c,f(a)f(b)f(c)：0,實(shí)數(shù)d是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)。給出下列四個(gè)判斷：d：aabd：cdc其中可能成立的個(gè)數(shù)為。15.(本題14分)已知平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(42,3,2),B(4,4)，圓C是厶O(píng)AB的外接圓。(1) 求圓C的方程；(2) 若過(guò)點(diǎn)(2,6)的直線(xiàn)I被圓C所截得的弦長(zhǎng)為4、3，求直線(xiàn)I的方程。16.(本題14分)如圖，在四棱錐PABCD中，PD丄底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,DC/AB，/BAD=90。，且AB=2AD=2DC=2PD=4（單位：cm）,E為PA的中點(diǎn)。(1) 證明：DE/平面PBC;(2

4、) 證明：DE丄平面PAB;17.(本題16分)已知f(x)=4msinx-cos2x(xR)(1) 若m=0,求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2) 若f(x)的最大值為3,求實(shí)數(shù)m的值。18. （本題16分）某機(jī)床廠(chǎng)今年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)數(shù)控機(jī)床，并立即投入使用，計(jì)劃第一年維修保養(yǎng)、費(fèi)用12萬(wàn)元，從第二年開(kāi)始，每年的維修、保養(yǎng)修費(fèi)用比上一年增加4萬(wàn)元，該機(jī)床使用后，每年的總收入為50萬(wàn)元，設(shè)使用x年后數(shù)控機(jī)床的盈利總額為y丿元。（1）寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）從第幾年開(kāi)始，該機(jī)床開(kāi)始盈利？（3）使用若干年后，對(duì)機(jī)床的處理有兩種方案：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以30萬(wàn)元價(jià)格處理該機(jī)床；

5、當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以12萬(wàn)元價(jià)格處理該機(jī)床。問(wèn)哪種方案處理較為合理？請(qǐng)說(shuō)明理由。19. （本題16分）將數(shù)列an中的所有項(xiàng)按每一年比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表:a1a2,a3a4,a5,a6a7,a8,a9,a®記表中的第一列數(shù)a1,a2,a4,a?"構(gòu)成的數(shù)列為*昇,d=a1=1.Sn為數(shù)列'bn'的前n項(xiàng)和，且滿(mǎn)足2bn2=1（n2）.bnSn-Sn"、，rt（I）證明數(shù)列.成等差數(shù)列，并求數(shù)列10的通項(xiàng)公式；(n)上表中，若從第三行起，第一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù)當(dāng)3814時(shí)，求上表中第k(k>

6、3)行所有項(xiàng)的和.9112e20.(本題14分)設(shè)函數(shù)f(x)=p(x)-21nx,g(x).(p是實(shí)數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的xx底數(shù))(1) 當(dāng)p=2時(shí)，求與函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)A(1,0)處相切的切線(xiàn)方程；(2) 若函數(shù)f(X)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；(3) 若在1,e上至少存在一點(diǎn)Xo,使得f(xo)g(xo)成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍。21. 選做題在下面A,B,C,D四個(gè)小題中只能選做兩題，每小題10分，共20分。A選修41:幾何證明選講如圖，OO是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使CD=AC，連結(jié)AD交OO于點(diǎn)E,連結(jié)BE與AC交于點(diǎn)F，判斷B

7、E是否平分/ABC，并說(shuō)明理由。SDB.選修42:短陣與變換1已知矩陣M=2,矩陣M對(duì)應(yīng)的變換把曲線(xiàn)y=sinx變?yōu)榍€(xiàn)C,求C的方程。C.選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程是r=4sin(:)，求曲線(xiàn)C的普通方程。4D.選修45:不等式選講222已知x,y,zR,且x，y，z=3,求xy-z的最小值。必做題ABCDAiBiCiDi中，E,22. (本題10分)禾U用空間向量的方法解決下列問(wèn)題：在正方體F分別是BBi,DC的中點(diǎn)。(1) 求AE與DiF所成的角;(2) 證明AE丄面AiDiF。23. (本題10分)如圖，若M是拋物線(xiàn)y2二X上的一定點(diǎn)(M不是頂點(diǎn))，動(dòng)弦ME、MF

8、分別交x軸于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且MA=MB。證明:直線(xiàn)EF的斜率為定值。參考答案一、填空題1.x|一1乞x：22.0,3丨3.(1)4.11cc5.2-366.57.二5d=13&369.310.711.1612.(2：)13.(7-2,1)14.5、解答題15.解:(1)設(shè)圓C方程為x22yDxEyF=0,V=0則<4D+4E+F十32=04分、(4+2£3)D+2E+F+32十16吋?=0解得D=8,E=F=0。所以圓C:(x-4)2y2-16.8分10分(2)當(dāng)斜率不存在時(shí)，丨:X=2被圓截得弦長(zhǎng)為4-.3,符合題意;當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)丨：y_6二k(x_2),即kx

9、_y6_2k=0,因?yàn)楸粓A截得弦長(zhǎng)為4、3，所以圓心到直線(xiàn)距離為2,所以|4k_6二2k|解得k，山+k234所以直線(xiàn)l:y-6(x-2),即4x3y-26=0.14分3故所求直線(xiàn)l為x=2,或4x3y-26=0.16.解：(1)設(shè)PB的中點(diǎn)為F,連接EF、CF,EF/AB,DC/AB,1所以EF/DC，且EF=DC=AB2故四邊形CDEF為平行四邊形，可得ED/CF。4分ED匚平面PBC,CF平面PBC,故DE/平面PBC。7分(2)PD丄平面ABCD,AB平面ABCD,所以AB丄PD,又因?yàn)锳B丄AD,PDAAD=D,AD平面PAD,PD平面PAD,所以AB丄平面PAD。10分ED平面PA

10、D，故ED丄AB,又PD=AD,E為PA之中點(diǎn)，故ED丄PA;12分PAAAB=A,PA平面PAB,AB平面PAB,所以DE丄平面PAB。14分17.解：(1)當(dāng)m=0時(shí)，f(x)二-cos2x,2分令2k二乞2x乞2k二二(kZ),得k二乞xk二？(kZ).因此f(x)=-cos2x的單調(diào)增區(qū)間為k二，k二-(Z).6分222(2)f(x)=4msinxcos2x=2sinx4msinx1=2(sinxm)-(2m1)8分令t二sinx,貝Vg(t)二2(tm)2(2m21)(1乞1)。若-m乞0,則在th時(shí),g(t)取最大值14m.W吩3得mJ;mO212分若m.0,則在t=-1時(shí),g（t

11、）取最大值1-4m._4m=3得m=ma016分綜上，m=_一.2218.解：(1)y=-2x+40x-98,xN2(2)由-2x+40x-98>0解得，10-51：x：1051，且x二N*,所以x=3,4，17,10分故從第三年開(kāi)始盈利。（3）由$=40-（2x聖）乞40-2-298=12，當(dāng)且僅當(dāng)x=7時(shí)“=”號(hào)成立,xx所以按第一方案處理總利潤(rùn)為-272407-9830=114（萬(wàn)元）12分由y=-2x+40X-98=-2-（x-10）+102102,所以按第二方案處理總利潤(rùn)為102+12=114（萬(wàn)元）由于第一方案使用時(shí)間短，則選第一方案較合理14分16分19.證明：（I）由已知

12、些匕bnSnSn又Sn二b,-bH'bn,所以2(Sn-恥)_(SnSn4)SnSn=1,2即2（Sn-乩）才，所以一Sn二Sn11SnS252)，所以數(shù)列丄是首項(xiàng)為IS.J11,公差為一的等差數(shù)列.11n+12由上式可知一=1丄(n_1)=-，即卩Sn=-8分Sn22+1所以當(dāng)n>2時(shí)，bn二Sn-Sn2n(n1)n=1,>2.10分因此a8b13q2491又b13=21314卩，bn=2n(1)(n)解：設(shè)上表中從第三行起，每行的公比都為q，且q0.因?yàn)?212=78,所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列:an的前78項(xiàng)，故a81在表中第13行第三列,所以q=2.14分記

13、表中第k(k>3)行所有項(xiàng)的和為S,bk(1qk)1-qk(k1)1-22(1-2k)(k_3).k(k1)16分20.解：(1)f(x)二p占-2,2分xx當(dāng)p=2時(shí),點(diǎn)A(1,0)在函數(shù)y=f(x)圖象上,f(1)=2.則y二f(x)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為y=2(x-1).即2x_y_2=0.5分(2)f(x)二2px2xp2x,要使f(x)為單調(diào)增函數(shù),須f(X)一0在(0,)恒成立,即px22x-p_0在(0,：)恒成立,即P學(xué)-在(0,=)恒成立,X21x1X2又一1<1,所以當(dāng)p_1時(shí)，f(x)在(0,：)為單調(diào)增函數(shù)；10分X-x2e(3)因g(x)上在1,e上為減函數(shù)

14、,所以g(x)2,2e.x 當(dāng)p乞0時(shí),f(x)二p占-2：0對(duì)于x1,e恒成立，xx則f(x)在1,e上遞減,所以f(X)max二f(1)=02,不合題意； 當(dāng)p_1時(shí)，由(2)知f(x)在1,e上遞增，f(X)min二f(1)<2,又g(x)在1,e上為減函數(shù)，故只需f(x)maxg(x)min,14e即f(e)二p(e)-21ne2,解得p二;ee-11 當(dāng)0：p：1時(shí)，因x0，x11所以f(x)二p(x)-21nx二x2lnxxx1由(2)知x2lnx在1,e上為增函數(shù)，x1112xe334e綜上，p的取值范圍為（，：）14分e-121.A.證明：BE平面/ABC。/CD=AC,

15、/D=/CAD。/AB=AC，/ABC=/ACB。/EBC=/CAD，/EBC=/D=/CAD。5分所以x2lnx乞e2lne：322，不合題意。/ABC=/ABE+/EBC，/ACB=/D+/CAD。/ABE=/EBC，即BE平面/ABC。10分B.解：設(shè)P(x,y)是所求曲線(xiàn)C上的任意一點(diǎn)，它是曲線(xiàn)y=sinx上點(diǎn)F0(Xg,yg)在矩陣M變換下的對(duì)應(yīng)點(diǎn),則有0和,即乂寺2°y=2y°|xo=2x所以1,又點(diǎn)F0(Xo，yo)在曲線(xiàn)y=sinx上,y。=即y。二sinX。，從而一y。=sin2x,2所求曲線(xiàn)C的方程為y=2sin2x.10分C解：曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程?=4

16、sin(),可化為Q=22(sin：cosR,5分4化為直角坐標(biāo)方程為x2y2-2.、2x-2、2y=0,即(X-2)2(y一.、2)2=4.10分D.解法一：注意到x,y,zR,且xy3為定值，利用柯西不等式得到(x2y2z2)(121212)_(x1y1z1)2=9,5分從而x2y2z3,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時(shí)取“=”號(hào)，所以x2y2z2的最小值為3。10分解法二：22.解法一(1)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,AED1F=(ABBE)(D1DDF)-ABD1DABDFBED1DBFDF1212-ABDFBED1DAB2D1D-022所以AE_D1F,即AE與D1F所成的角為90°5分(

17、2)由(1)AE_D1F,又AEA1D1=(ABBE)AD“=ABA1D1BEA1D0,所以AE_A1D1，又D1FA1DD11所以AE丄平面AiDiF.10分*AZ>.解法二（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則A（1，0，0），11E（1，1，），F(xiàn)（0，,0），22D1（0，0，1）D（0，0，0）一11所以AE=（0,1,2）,D1F=（0,2，-1）.一11可得AED1F=（0,1,丄）（0,丄，-1）=0,22故AE_即AE與D1F所成的角為90°1（2）DA=（1,0,0）=DA且D1幾AE=（1,0,0）（0,1，寸）=0所以AE_A1D1，又d1fa1dd1,故AE丄平面A1