偏導數(shù)分享資料

1、1 偏導數(shù)偏導數(shù)2定義定義 設函數(shù)設函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx的某一鄰的某一鄰域內有定義，當域內有定義，當y固定在固定在0y而而x在在0 x處有增量處有增量x 時，相應地函數(shù)有增量時，相應地函數(shù)有增量 ),(),(0000yxfyxxf ，如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，則稱存在，則稱此極限為函數(shù)此極限為函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對x的的偏導數(shù)，記為偏導數(shù)，記為一、偏導數(shù)的定義及其計算法一、偏導數(shù)的定義及其計算法3同理可定義同理可定義函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對y的偏導數(shù)，的偏導數(shù)， 為為yyxfyy

2、xfy ),(),(lim00000 記為記為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. .00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.4如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在區(qū)區(qū)域域 D內內任任一一點點),(yx處處對對x的的偏偏導導數(shù)數(shù)都都存存在在，那那么么這這個個偏偏導導數(shù)數(shù)就就是是x、y的的函函數(shù)數(shù)，它它就就稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 對對自自變變量量x的的偏偏導導數(shù)數(shù)， 記記作作xz ，xf ，xz或或),(yxfx. 同理可以定義函數(shù)同理可以定義函數(shù)),(yxfz 對自變量對自變量y的偏導的偏導數(shù)，記作

3、數(shù)，記作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.5偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 6例例 1 1 求求 223yxyxz 在點在點)2 , 1(處的偏導數(shù)處的偏導數(shù)解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 7例例 2 2 設設yxz )1, 0( xx， 求求證證 zyzxxzy

4、x2ln1 .證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結論成立原結論成立8例例 3 3 設設22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy 9 yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在10例例 4 4 已知理想氣體的狀態(tài)方程已知理想氣體的狀態(tài)方程RTpV （R為常數(shù)） ，求證：為常數(shù)） ，求證：1 pTTVVp.證證 VRTp;

5、2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 11偏偏導導數(shù)數(shù)xu 是是一一個個整整體體記記號號，不不能能拆拆分分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求設設例例如如 有關偏導數(shù)的幾點說明：有關偏導數(shù)的幾點說明：、 求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求；定義求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 12、偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系、偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系例例如如,函函數(shù)數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依依定定義義知知在在)

6、0 , 0(處處，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函數(shù)在該點處并不連續(xù)但函數(shù)在該點處并不連續(xù). 偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在 連續(xù)連續(xù).一元函數(shù)中在某點可導一元函數(shù)中在某點可導 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，134、偏導數(shù)的幾何意義、偏導數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上上一一點點為為曲曲面面設設yxfzyxfyxM 如圖如圖14 偏偏導導數(shù)數(shù)),(00yxfx就就是是曲曲面面被被平平面面0yy 所所截截得得的的曲曲線線在在點點0M處處的的切切線線xTM0對對x軸軸的的斜斜率率. 偏偏導導數(shù)數(shù)),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平

7、面面0 xx 所所截截得得的的曲曲線線在在點點0M處處的的切切線線yTM0對對y軸軸的的斜斜率率.幾何意義幾何意義: :15),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導導數(shù)數(shù)為為純偏導純偏導混合偏導混合偏導定義：二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階定義：二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)偏導數(shù).二、高階偏導數(shù)二、高階偏導數(shù)16例例 5設設13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .解解xz ,33322yyyx yz ;9

8、223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx17原函數(shù)圖形原函數(shù)圖形偏導函數(shù)圖形偏導函數(shù)圖形偏導函數(shù)圖形偏導函數(shù)圖形二階混合偏二階混合偏導函數(shù)圖形導函數(shù)圖形觀察上例中原函數(shù)、偏導函數(shù)與二階混合偏導觀察上例中原函數(shù)、偏導函數(shù)與二階混合偏導函數(shù)圖象間的關系：函數(shù)圖象間的關系：18例例 6 6 設設byeuaxcos ，求求二二階階偏偏導導數(shù)數(shù).解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax

9、 .sin2byabexyuax 19定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的兩兩個個二二階階混混合合偏偏導導數(shù)數(shù)xyz 2及及yxz 2在在區(qū)區(qū)域域 D D 內內連連續(xù)續(xù)，那那末末在在該該區(qū)區(qū)域域內內這這兩兩個個二二階階混混合合偏偏導導數(shù)數(shù)必必相相等等問題：問題：混合偏導數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才混合偏導數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？相等？例例 6 6 驗驗證證函函數(shù)數(shù)22ln),(yxyxu 滿滿足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程. 02222 yuxu20解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyx

10、xxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 21偏導數(shù)的定義偏導數(shù)的定義偏導數(shù)的計算、偏導數(shù)的幾何意義偏導數(shù)的計算、偏導數(shù)的幾何意義高階偏導數(shù)高階偏導數(shù)（偏增量比的極限）（偏增量比的極限） 純偏導純偏導混合偏導混合偏導（相等的條件）（相等的條件）三、小結三、小結22若函數(shù)若函數(shù)),(yxf在 點在 點),(000yxP連連續(xù)，能否斷定續(xù)，能否斷定),(yxf在點在點),(000yxP的偏導數(shù)必定存在？的偏導數(shù)必定存在？思考題思考題23思考題解答思考題解答不能不能.,),(22yxyxf 在

11、在)0 , 0(處處連連續(xù)續(xù),但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不不存存在在.例如例如,24一一、 填填空空題題: :1 1、 設設yxztanln , ,則則 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 設設 xzyxezxy則則),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 設設,zyxu 則則 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; zu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、

12、設設,arctanxyz 則則 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 22yz_ _ _ _ _ _ _ _; ; yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 練練 習習 題題25 5 5、設、設zyxu)( , ,則則 yzu2_. .二、二、 求下列函數(shù)的偏導數(shù)求下列函數(shù)的偏導數(shù): : 1 1、yxyz)1( ； 2 2、zyxu)arctan( . .三、三、 曲線曲線 4422yyxz, ,在點在點(2,4,5)(2,4,5)處的切線與正向處的切線與正向x軸所成的傾角是多少軸所成的傾角是多少? ?四、四、 設設xyz , ,求求.,22222yxzyz

13、xz 和和五、設五、設)ln(xyxz , ,求求yxz 23和和23yxz . .26六、六、 驗證驗證: : 1 1、)11(yxez , ,滿足滿足zyzyxzx222 ； 2 2、222zyxr 滿足滿足 rzzryrxr 222222. .七、設七、設 0, 00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff ,. .27一、一、1 1、yxyxyxy2csc2,2csc22 ；2 2、)1(2 yxyexy, ,)1(2 xxyexy；3 3、xxzxzyzyzyln1,1 , , xxzyzyln2 ；4 4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy ；5 5、)ln1()(yxyzyyxz . .二、二、1 1、 xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12; ;練習題答案練習題答案28 2 2、zzyxyxzxu21)(1