第八章 導(dǎo)行電磁波

1、第八章第八章 導(dǎo)行電磁波導(dǎo)行電磁波 8.1 沿均勻?qū)Рㄑb置傳輸電磁波的一般分析沿均勻?qū)Рㄑb置傳輸電磁波的一般分析8.2 矩形波導(dǎo)矩形波導(dǎo)8.3 波導(dǎo)中的能量傳輸與損耗波導(dǎo)中的能量傳輸與損耗8.4 同軸線同軸線8.5 諧振腔諧振腔 8.1 沿均勻?qū)Рㄑb置傳輸電磁波的一般分析沿均勻?qū)Рㄑb置傳輸電磁波的一般分析 8.1.1 在導(dǎo)波裝置中電磁場縱向場分量與橫向場分量間的關(guān)系在導(dǎo)波裝置中電磁場縱向場分量與橫向場分量間的關(guān)系 在無耗的媒質(zhì)中電磁波沿+z方向傳輸，則對于角頻率的正弦電磁波，它滿足無源區(qū)域的麥克斯韋方程： 00EHHjEEjH 采用廣義坐標(biāo)系(u1, u2, z)，其中u1和u2為導(dǎo)波裝置橫截

2、面上的坐標(biāo)，z為縱向坐標(biāo)。場強(qiáng)的縱向分量用Ez(u1, u2, z)和Hz(u1, u2, z)來表示，場強(qiáng)的橫向分量用Et(u1, u2, z)和Ht(u1, u2, z)表示，則場強(qiáng)矢量可表示為 ztztztztHHzuuHzuuHzuuHEEzuuEzuuEzuuE),(),(),(),(),(),(212121212121ttzztzttttzztzttHjzEeEHjEEjzHeHEjHztzzttztzzttEejHzHzkHejEzEzk2222220,00,022222222zzzzttttHkHEkEHkHEkE式中 為電磁波在無限媒質(zhì)中的波數(shù)。由分離變量法可知，式(8 -

3、4b)中的Ez和Hz的解，可表示為f(u1, u)e-z的形式， 其中 稱為導(dǎo)行電磁波的轉(zhuǎn)輸常數(shù)。這樣橫向場分量與縱向場分量間的關(guān)系可表示成 k22kkc)(1)(122ztztctztztctEzjHkEHzjEkE將廣義柱坐標(biāo)系中的t算子代入，可得橫向場分量的表達(dá)式為 112222222112112222222112111111112121uEhkjuHhkEuEhkjuHhkHuHhkjuEhkEuHhkjuEhkEzczcuzczcuzczcuzczcu8.1.2 導(dǎo)行波波型的分類導(dǎo)行波波型的分類 1. 橫電磁波橫電磁波(TEM波波) 此傳輸模式?jīng)]有電磁場的縱向場量，即Ez=Hz=0，

4、由式(8-6)可知，要使Et和Ht不為零，必須有kc=0，即 zcjkjkk22,10,00,022tztttttttttEeHHHEE 2. 橫電波橫電波(TE波波)或磁波或磁波(H波波) 此波型的特征是Ex=0, Hz0，所有的場分量可由縱向磁場分量Hz求出。 3. 橫磁波橫磁波(TM波波)或電波或電波(E波波) 此波型的特征是Hz=0，Ez0，所有的場分量可由縱向電場分量Ez求出。 8.1.3 導(dǎo)行波的傳輸特性導(dǎo)行波的傳輸特性 1. 截止波長與傳輸條件截止波長與傳輸條件 導(dǎo)行波的場量都有因子e-z(沿+z軸方向傳輸)，=+j， 為傳播常數(shù)。由前面的推導(dǎo)可知 222kkc 對于理想導(dǎo)波系統(tǒng)

5、， 為實(shí)數(shù)，而kc是由導(dǎo)波系統(tǒng)橫截面的邊界條件決定的，也是實(shí)數(shù)。這樣隨著工作頻率的不同， 2可能有下述三種情況： (1) 20，即=。此時導(dǎo)行波的場為 tjaxeeuuEE),(21 顯然這不是傳輸波，而是沿z軸以指數(shù)規(guī)律衰減的，稱其為截止?fàn)顟B(tài)。 (3) =0。這是介于傳輸與截止之間的一種狀態(tài)，稱其為臨界狀態(tài)， 它是決定電磁波能否在導(dǎo)波系統(tǒng)中傳輸?shù)姆炙畮X。這時由 所決定的頻率(fc)和波長(c)分別稱為截止頻率和截止波長，并且 22kkcccccckfkf2,2 其中 為無限介質(zhì)中電磁波的相速，而kc稱為截止波數(shù)，并有 /1vcck2這樣導(dǎo)波系統(tǒng)傳輸TE波和TM波的條件為 ccff或截止條件為

6、 ccff或?qū)τ赥EM波，由于kc=0，即fc=0，c=，因此在任何頻率下， TEM都能滿足ffc=0的傳輸條件，均是傳輸狀態(tài)。也就是說TEM波不存在截止頻率。 2. 波導(dǎo)波長波導(dǎo)波長 zggzkk222或在傳輸狀態(tài)下，=j=jkz，22221kkkkkkccz將kc=2/c，k=2/=2/0 代入上式得 rr22121cczkk所以可得 rrcrrcg11/12002對于TEM波，c=， rrpg03. 相速、群速和色散相速、群速和色散(1) 相速。 21cprrcv對于TEM波(c)，有 rrpcvv(8 - 11a) (2) 群速。群速是指一群具有相近的和kz的波群在傳輸過程中的“共同”

7、速度，或者說是已調(diào)波包絡(luò)的速度。從物理概念上來看， 這種速度就是能量的傳播速度，其一般公式為 ddvg2222cczkkkk21cgvddv(8 - 11d) 可見，群速vgfc，為純虛數(shù)，=j=jkz， 電磁波才可能在波導(dǎo)中沿+z方向傳輸。這種z方向傳輸常數(shù)為 22222bnamkkkcz或?qū)懗?)(12kffkkcz 當(dāng)工作頻率低于截止頻率時，即f1，這時擊穿功率可減小到 brbrPP事實(shí)上，波導(dǎo)的擊穿功率還與其它因素有關(guān)。如波導(dǎo)內(nèi)表面不干凈，有毛刺或出現(xiàn)不均勻性等等，都會使波導(dǎo)的擊穿功率進(jìn)一步降低。為使波導(dǎo)能安全地工作，通常把傳輸線允許通過的功率Pt規(guī)定為 5131brtPP8.3.2

8、波導(dǎo)的損耗和衰減波導(dǎo)的損耗和衰減 在考慮損耗的波導(dǎo)中，電磁波的傳輸常數(shù)是復(fù)數(shù)，即=+j=+jkz，此時電磁波的場矢量 )(2121)(2121),( ),(),( ),(zktjazzktjazzzeeuuHzuuEeeuuEzuuE式中E(u1，u2)e-z和H(u1，u2)e-z是場矢量的振幅。顯然電磁波每傳輸一個單位距離，場矢量的振幅是原來值的e-z倍，而電磁波所攜帶的功率則是原來值的e-2倍。設(shè)在z處通過波導(dǎo)橫截面的功率為P，則傳輸一個單位距離所損耗的功率PL為 )1(2 aLePP(8 - 80)在一般情況下，波導(dǎo)中任意橫截面處的傳輸功率P總是遠(yuǎn)大于該處單位長度波導(dǎo)中損耗的功率PL，

9、即PPL，這說明衰減常數(shù)1。在此種情況下，將e-2展成冪級數(shù)，并取前兩項(xiàng)作近似， 則式(8 - 80)可簡化為 PPL2由此可得衰減常數(shù)的近似表示式為 PPL2(8 - 81) 1. 波導(dǎo)內(nèi)壁導(dǎo)體損耗引起的衰減常數(shù)波導(dǎo)內(nèi)壁導(dǎo)體損耗引起的衰減常數(shù)c 若要計算c，必須先計算傳輸功率P和損耗功率PL。由電磁場理論可知， 這兩部分功率分別為 0*)(Re21)(Re21SttLSdSHEPdSHEPdlHRPdSHZPtlSLSt22|2|2)/(|2|22mNdSHzdlHRapStltSc式中，Z為傳輸模的波阻抗，RS為金屬材料的表面電阻。將式(8 - 84)和式(8 - 85)代入式(8 - 8

10、1)，可得 (8 - 84)(8 - 85)202200020022221|2| )(2bHakaHdyHdxHHdlHzbxzylazxtbzzxlatHakabdxdyHdSH022022222212110aababRaScTE圖圖 8 - 10矩形波導(dǎo)中矩形波導(dǎo)中TE10模的模的c特性曲線特性曲線 2. 波導(dǎo)中填充介質(zhì)的損耗引起的衰減常數(shù)波導(dǎo)中填充介質(zhì)的損耗引起的衰減常數(shù)d 當(dāng)波導(dǎo)中填充非理想介質(zhì)時，介質(zhì)中將損耗部分功率，使得電磁波在傳輸過程中衰減。波導(dǎo)中非理想介質(zhì)引起的損耗包括兩部分：一部分是由介質(zhì)電導(dǎo)率不等于零，即0而引起的； 另一部分是由介質(zhì)極化阻尼而引起的。 介質(zhì)電導(dǎo)率不為零引起

11、的衰減常數(shù)dc由傳輸常數(shù)的表示式可以導(dǎo)出，其dc為 21tanccrrdea介質(zhì)極化阻尼損耗引起的衰減常數(shù)de為 21tancerrde式中tane=/稱為介質(zhì)損耗角正切。 以上的分析表明，對于空氣填充的波導(dǎo)，其損耗是由波導(dǎo)壁有限電導(dǎo)率引起的，衰減系數(shù)=c；對于非理想介質(zhì)填充的波導(dǎo)， 不僅有波導(dǎo)壁引起的損耗，而且還有介質(zhì)引起的損耗，其衰減常數(shù)=c+dc+de。 8.4 同同 軸軸 線線 圖 8 - 11同軸線的結(jié)構(gòu)與坐標(biāo) 8.4.1 同軸線主模同軸線主模TEM波的性質(zhì)波的性質(zhì)1. 同軸線中的場方程同軸線中的場方程 01122222rrrr0222drdrdrdr該方程的一般解為 nrBB110

12、zjzjrerEEerEE00 將以及式(8 - 22d)代入式(8 - 22a)，可得到同軸線中TEM波的橫向場分量為 式中E0是電場的振幅，是TEM波的波阻抗。 2. 傳輸參數(shù)傳輸參數(shù) 設(shè)同軸線內(nèi)、外導(dǎo)體之間的電壓為U(z)，內(nèi)導(dǎo)體上的軸向電流為I(z)， 則 20002)(1)(zjbazjreEdrHdlHzIeabnEdrEzU由特性阻抗的定義可知其特性阻抗Z0為 abnabnIUZr160120其相移常數(shù)和相速vp分別為 rpvvk0 (v0=光速) 其波導(dǎo)波長(相波長)為 rpgfv23. 傳輸功率與衰減傳輸功率與衰減設(shè)z=0時，內(nèi)、外導(dǎo)體之間的電壓為U0， abnUE100zj

13、rerabnUE110zjerabnUH110同軸線傳輸TEM波的平均功率： 02020222112212|21|21ZUabnUrdrEEPbatSt同軸線的功率容量Pbr可按下式計算： 0221ZUPbrbrabnaEUbrbr1Ubr與Ebr的關(guān)系： 故功率容量的計算公式可寫成 abnEaPbrrbr112022)/(1112mNpabnbaRSc)/(tan0mNprd8.4.2 同軸線中的高次模同軸線中的高次模 ,.)2 , 1()(2)(nabnEmne 對于同軸線內(nèi)的TE或TM高階模來說，其截止波數(shù)kc所滿足的方程都是超越方程，嚴(yán)格求解是很困難的，一般采用近似的方法得到其截止波長

14、的近似表達(dá)式。對于TM波， 最低波型為TM01，其截止波長c(E01)=2(b-a)。 當(dāng)m0、n=1時，對于TE波，其截止波長為 ,.)2 , 1()()(1mmbaHme最低波型為H11， 其截止波長為 )()(11baHc在m=0時，TE01模的截止波長為 )(2)(01abHc8.4.3 同軸線尺寸的選擇同軸線尺寸的選擇 1. 保證同軸線中單模保證同軸線中單模(TEM)傳輸傳輸 為了保證在同軸線中只傳輸TEM波，其工作波長與同軸線尺寸的關(guān)系應(yīng)滿足 )()(11baHc 2. 保證傳輸電磁波能量時導(dǎo)體損耗最小保證傳輸電磁波能量時導(dǎo)體損耗最小 為了保證獲得最小的導(dǎo)體損耗，將c表達(dá)式(8-1

15、00a)中b保持不變，對a求導(dǎo)并令 ，可求得c取最小值時b/a的比值為 0/ac59. 3ab此尺寸相應(yīng)空氣同軸線的特性阻抗約為77 。 3. 保證同軸線具有最大的功率容量保證同軸線具有最大的功率容量 為了保證獲得最大的功率容量，可將Pbr的表達(dá)式(8-99)中b保持不變，對a求導(dǎo)并令 ， 可求得Pbr取最大值時b/a的比值為 0/aPbr65. 1ab此尺寸相應(yīng)空氣同軸線的特性阻抗約為33。 8.5 諧諧 振振 腔腔 8.5.1 空腔諧振器的一般概念空腔諧振器的一般概念 圖 8 - 12 集總參數(shù)LC電路向空腔諧振器過渡 1. 諧振波長諧振波長0 空腔諧振器的諧振波長0是指在空腔諧振器中工作

16、模式的電磁場發(fā)生諧振時的波長。這時諧振器內(nèi)的電場能量的時間平均值與磁場能量的時間平均值相等。諧振波長0取決于諧振器的結(jié)構(gòu)形式、尺寸大小和工作模式。f0=v/0(空氣填充時， v為自由空間的光速)稱為諧振頻率。 2. 固有品質(zhì)因數(shù)固有品質(zhì)因數(shù)Q0 品質(zhì)因數(shù)Q是空腔諧振器的另一個重要參數(shù)。它表征了空腔諧振器的頻率選擇性和諧振器能量損耗，其定義為 LPWQ00系統(tǒng)中每秒的能損耗系統(tǒng)中的平均儲能一個與外界沒有耦合的孤立空腔諧振器的品質(zhì)因數(shù)稱為固有品質(zhì)因數(shù)，以Q0表示。對孤立的空腔諧振器，式(8 - 101)中系統(tǒng)中每秒的能量損耗僅包括空腔諧振器本身的損耗， 如導(dǎo)體損耗和介質(zhì)損耗等。 當(dāng)場量用瞬時值定義

17、時，總儲能的時間平均值為 dVHdVEW21212121式中1為諧振器內(nèi)部介質(zhì)的介電常數(shù)，1為介質(zhì)的磁導(dǎo)率，V為諧振器的體積。對于孤立的金屬空腔諧振器，其損耗主要來自導(dǎo)體壁的損耗，所以PL為 dSHRdSRJPStSSSSL222121StSVdSHRdVHQ22100由于 21SR所以式(8 - 104)也可以寫成 (8 - 104)StVdSHdVHQ22028.5.2 矩形空腔諧振器矩形空腔諧振器 圖 8 - 13矩形波導(dǎo)諧振腔 1. 諧振頻率諧振頻率 矩形波導(dǎo)諧振腔內(nèi)的場分量可由入射波和反射波疊加來求得。),(),(0zjkzjkzzeAeAyxEzyxE式中，E0(x, y)為該模式

18、橫向電場的橫向坐標(biāo)函數(shù)，A+、A-分別為正向和反向行波的任意振幅系數(shù)。TEmn和TMmn的傳輸常數(shù)為 2220bnamkkz式中， ，和是腔體內(nèi)填充介質(zhì)的磁導(dǎo)率和介電常數(shù)。 0k 將z=0處的邊界條件Et=0代入式(8 -106)，得到A+=A-，再將z=l處的邊界條件Et=0代入式(8 - 106)，可得E(x, y, l)=-E0(x, y)2jA+sinkzl=0，由此可得 ),3,2,1(plpkz2222lpbnamkmnp這表明， 諧振腔的長度必須為半波導(dǎo)波長的整數(shù)倍。由此得矩形波導(dǎo)諧振腔的諧振波數(shù)為 這樣與矩形波導(dǎo)的模式相對應(yīng)，矩形諧振腔可以存在無限多個TEmnp模和TMmnp模

19、，下標(biāo)m、n、p分別表示沿a、b、l分布的半駐波數(shù)。TEmnp模和TMmnp模的諧振頻率為 222022lpbnamcvkfrrmnpomnp式中c為真空中的光速。最低的諧振頻率或最長的諧振波長為諧振腔的主模。矩形波導(dǎo)諧振腔的主模是TE10p模，其諧振頻率為 22102lpacfrrp2. TE10p模的固有品質(zhì)因數(shù)模的固有品質(zhì)因數(shù)Q0 zlpaxakEjHzlpaxZjEHzlpaxEEzTExysincoscossinsinsin00010矩形波導(dǎo)腔TE10p模的電磁場分量為 圖 8 - 14 TE101模的場結(jié)構(gòu) TE10p模的電場儲能為 202222220*16116)(410EablakZEabldVHHHHWTEVxzzxmallapabllabpERdxdzyHyHdxdyxHdxdyzHRdxHRPSzxalzblxbaSStSL228| )0(| )0(|2| )0(|2| )0(|22|21222