數(shù)學(xué)分析教案華東師大版第十七章多元函數(shù)微分學(xué)

1、數(shù)學(xué)分析教案第十七章多元函數(shù)微分學(xué)教學(xué)目的：1.理解多元函數(shù)微分學(xué)的概念，特別應(yīng)掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分、連續(xù)及偏導(dǎo)存在、偏導(dǎo)連續(xù)等之間的關(guān)系；2.掌握多元函數(shù)特別是二元函數(shù)可微性及其應(yīng)用。教學(xué)重點難點：本章的重點是全微分的概念、偏導(dǎo)數(shù)的計算以及應(yīng)用；難點是復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計算及二元函數(shù)的泰勒公式。教學(xué)時數(shù)：18學(xué)時§ 1 可微性1. 可微性與全微分：1. 可微性：由一元函數(shù)引入.式樞產(chǎn)產(chǎn))亦可寫為她+的，(&匈7(0,0)時&67(0,0).2. 全微分：例1考查函數(shù)幾7)=11y在點(看,加)處的可微性.P107例12. 偏導(dǎo)數(shù)：1. 偏導(dǎo)數(shù)的定義、記法：2. 偏導(dǎo)數(shù)的

2、幾何意義：P109圖案17-1.數(shù)學(xué)分析教案3. 求偏導(dǎo)數(shù):例2,3,4.P109110例2,3,4.例5,(kj)二+21+3)gin(2y+1).求偏導(dǎo)數(shù).例6/(xj)二就(工+1)+6+1.求偏導(dǎo)數(shù).x+V例7/(ij)二.求偏導(dǎo)數(shù)，并求/1211).也"_j2例8/(月加立Ji.求川2J)和川2,1).2y+x+1解/J-，/|=：-.'-I/,；.£】)=.例9j，咒=；/+廣Io,/+/=0.證明函數(shù)/（工j）在點（o,o）連續(xù)，并求A（Q,Q）和M。1。）.廣通力7血pp，?6+sin*6)工.-1；-_11(VHO,0)。旬n二fciq(pcos%

3、+疝=O=/(QQ).，(工j)在點(0,0)連續(xù)./(匕0)-加0)血-10X次。數(shù)學(xué)分析教案一cr/(O,v)_/(0P0)ry2,/(0,0)=hrn二lim不存在.y5yQyy三.可微條件：1. 必要條件：Thi設(shè).加為函數(shù)G定義域的內(nèi)點.加M在點(的加可微=A(%2)和外(加九)存在,且明它廣力"，先)=+力優(yōu)必)母.(證:)由于k=dx,a=砂，微分記為二-'.-.,.；丁.定理i給出了計算可微函數(shù)全微分的方法.兩個偏導(dǎo)數(shù)存在是可微的必要條件，但不充分.例10考查函數(shù)/十九0,/。,¥)=(仆+尸o,/W=o在原點的可微性.1P110例5.2. 充分條件

4、：數(shù)學(xué)分析教案Th2若函數(shù)7二/Qj）的偏導(dǎo)數(shù)在的某鄰域內(nèi)存在,且和人在點（可，為）處連續(xù).則函數(shù)/在點（而，為）可微.（證）P111Th3若打幾J）在點（%,為）處連續(xù)，點（%為）存在,則函數(shù)/在點（%,為）可微.證<,-1.1-=/（而+加,先十勾）一/5+&）0）+/（廝+&,打）-/（舟，九）=,力（%+&,%+均）3+4（%加加+必x=Q<6<1,c->0=國,為）+£（瓦心）及+曲=夕->。/,二.-/；.:.。丁必：.即/在點（瓦，為）可微.要求至少有一個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)并不是可微的必要條件.（一十尸）珈-=./K0,0,

5、+/=0.驗證函數(shù)/（XJ）在點（0,。）可微，但A和4在點（0,0）處不連續(xù).（簡證，留為作業(yè)）證,、，一工.1,pa+/數(shù)學(xué)分析教案因此八=，即/0/）-/（0）=0&+0&+。（0），(0,。)可微，4(0.0)=0,10)=0.但Qj"(0,0)時，有工(見y)=2xsin,1-_:cos、_戶歹仍7際沿方向了出理：不存在,n沿方向y二丘極限I小二72xsin=7?IJ彳不存在；又。8T（。,。）時,白+=->0,因此，lirn八（凡尸）不存在，工在點（0,0）處不連續(xù).由了關(guān)于才和y對稱為也在點（0,0）處不連續(xù).4. 中值定理:Th4設(shè)函數(shù)/在點（而

6、，為）的某鄰域內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù).若（工了）屬于該鄰域,則存在彳二M+&（1一而）和用+4口_8），o&Loq1,使得“）-/（際/）/%加-/）+%（馬月）8-%.（證）例12設(shè)在區(qū)域D內(nèi)4=4=0.證明在D內(nèi)/（工）三C.5. 連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在及可微之間的關(guān)系：6. 可微性的幾何意義與應(yīng)用:數(shù)學(xué)分析教案1. .可微性的幾何意義：切平面的定義.P113.Th5曲面z=/（兀切在點，為JOo，%）存在不平行于2軸的切平面的充要條件是函數(shù)/（XJ）在點弓（%,%）可微.（證略）2. 切平面的求法：設(shè)函數(shù)/（XJ）在點片（5為）可微，則曲面【人工力在點?（小比，/（%,九）處的切平面方程

7、為（其中，寸距為）7一易二人優(yōu),為）（廣為）+力（而,%）偽-沖），法線方向數(shù)為.L，K-%_廠為_2一法線方程為:.工也防）以/必）7例13試求拋物面一+獷在點出'（為,先的）處的切平面方程和法線方程.P115例63. 作近似計算和誤差估計：與一元函數(shù)對照，原理.例14求1,08雙的近似值.P115例7例15應(yīng)用公式S=處即。計算某三角形面積.現(xiàn)測得2a=12.50爐83。,C,=30B.若測量a力的誤差為土0.01,C的誤差為土0.T.求用此公式計算該三角形面積時的絕對誤差限與相對誤差限.P116.§2復(fù)合函數(shù)微分法-6-數(shù)學(xué)分析教案簡介二元復(fù)合函數(shù)：2-工；.二一-.以

8、下列三種情況介紹復(fù)合線路圖一;0，:.：；一.：；:，一二.；.二.-<<5,：1>27S.：；一工；.二.:二.m上.鏈導(dǎo)法則：以“外二內(nèi)二”型復(fù)合函數(shù)為例Th設(shè)函數(shù)X=敗靠），J=y（S/）在點（sJ）WD可微,函數(shù)工=/（xj）在點（xj）=缶（s/），w（s,。）可微,則復(fù)合函數(shù)”/依邑。,M（s1）在點（"）可微,且3zi也+芻史+里郎石（間正（證）P118稱這一公式為鏈導(dǎo)公式.該公式的形式可在復(fù)合線路圖中用所謂“分線加,沿線乘”或“并聯(lián)加，申聯(lián)乘”）來概括.對所謂“外三內(nèi)二”、“外二內(nèi)三”、“外一內(nèi)二”等復(fù)合情況用“并聯(lián)加，串聯(lián)乘”的原則可寫出相應(yīng)的鏈導(dǎo)

9、公式數(shù)學(xué)分析教案鏈導(dǎo)公式中內(nèi)函數(shù)的可微性可減弱為存在偏導(dǎo)數(shù).但對外函數(shù)的可微性假設(shè)不能減弱.對外加元一（"1，町4J,內(nèi)川元/二4（孫孫,右）（七二12，）有外用元內(nèi)一元的復(fù)合函數(shù)為一元函數(shù).特稱該復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為全導(dǎo)數(shù).一.r1,VJ.”'1HE一42，一.例1z=ln（/+p）,，v=/+y.求一和一.P120例Sr3y1例2z=uv-uv,以=icosy,v=xsmy.求一和一.如“例3z=（2#,求'和*例4設(shè)函數(shù)/（%V,W）可微.尸（工乂2）=/（二以切）.求可、耳和耳.例5用鏈導(dǎo)公式計算下列一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：x.（l+/）ln11 >y=x；11&g

10、t;y=.P121例4sinx+cosx例6設(shè)函數(shù)可微.在極坐標(biāo)變換x=rco$S,1y=rSm8下，證明數(shù)學(xué)分析教案fa胃Y(9V(也YT一二一十一,P120例2例7設(shè)函數(shù)/(4)可微,"W(F-/).求證口dz也1/.二.dxdy二.復(fù)合函數(shù)的全微分：全微分和全微分形式不變性.例8z=”sin(1+).利用全微分形式不變性求於，并由此導(dǎo)出一和8i&一.P122例5§ 3 方向?qū)?shù)和梯度一.方向?qū)?shù)：1. 方向?qū)?shù)的定義：定義設(shè)三元函數(shù)/在點與(即為島)的某鄰域U(4)uR3內(nèi)有定義.為從點4出發(fā)的射線.尸(冗以2)為/上且含于IJ編)內(nèi)的任一點，以？表示P與片兩

11、點間的距離.若極限1t/的一泡47lim11mP尸T。'P存在，則稱此極限為函數(shù),在點耳沿方向，的方向?qū)?shù)，記為局或、颯J.數(shù)學(xué)分析教案對二元函數(shù)在點月(晶必)，可仿此定義方向?qū)?shù)易見，士、士和士是三元函數(shù),在點石分別沿x軸正向、y軸a工dy8z0正向和2軸正向的方向?qū)?shù).例17(1/z)="一+才.求/在點端(1,1J)處沿/方向的方向?qū)?shù)，其中i>，為方向(22)；五>j為從點(1)到點(22)的方向.T11V171令解i>，為方向的射線為="0).即221二一.-T+一.；一，,-2t+l,t+l)=(2t+l)+(-2l+l)a+(Ml)3

12、=t3+7ia+i+3p一,一+，1二一一Y.因此pf-*。+3t3五>從點到點(22,1)的方向，的方向數(shù)為(3,0),，方向的射線為彳=t+Ly=-3i+1,z=1,(220).-"-'I-”:,.，"：=；mrtdfrf(P)-v9/-%5因此,二戶一則八/八口：呵一.-10-數(shù)學(xué)分析教案2. 方向?qū)?shù)的計算：Th若函數(shù)/在點片可微，則/在點片處沿任一方向j的方向?qū)?shù)都存在，且一二+11："+.；.：葉，其中COSa、CO$S和CO呼為，的方向余弦.（證）P125對二元函數(shù)；，.一.：+.-其中。和/是，的方向角.注由二二珀COSOAco$E+

13、閶。0號=I工”;，-，:,.,可見，M闈為向量（工用,/陽,上閶）在方向，上的投影.例2（上述例1）222解i>/的方向余弦為C0SG=-5=t,cos=一二,捋+（-2）%-3"31.=二.八=1，力4）=2%=2,用=3/3=3.因此,=i.=.一二十"+.：；di=1._，_：.3333-ii-數(shù)學(xué)分析教案ii>，的方向余弦為2-11,31 .二二一，二s'二，:：=.J(27/+(-27)：+(1切40710貨，1,35因此，一二I.37Vio710可微是方向?qū)?shù)存在的充分條件，但不必要.例3P126.2 .梯度(陡度)：1. 梯度的定義：&q

14、uot;.、；.I二:一；-.易見，對可微函數(shù)/，方向?qū)?shù)是梯度在該方向上的投影.2. 梯度的幾何意義：對可微函數(shù)，梯度方向是函數(shù)變化最快的方向.這是因為：一二二二I(一.，.其中8是，與gM飲用夾角.可見8=0時工(均取最大值，在/的反方向取最小值.3. 梯度的運算:-12-數(shù)學(xué)分析教案j>”二:一”二五>"二(Q+J.)=:£上二+J=二.出>:可(I1)=二|l+I1二，.vugradv-vraduiv>"二-.V>郎加“10、十/y1yv-u.證iv>=,V1,graa一=(%UUUa§4一、高階偏導(dǎo)數(shù)：1 .

15、高階偏導(dǎo)數(shù)的定義例9£=*",求y例10£=arc這一.X2 .關(guān)于混合偏導(dǎo)數(shù)：=丁魴gra曲.yM=嗎一口”一以1管,嗎-Uyv)=r內(nèi)丐)一(UXV內(nèi)產(chǎn))卜、,1ugradv-vgradu廣貝/，4)=a.Taylor公式和極值問題.、記法：二階偏導(dǎo)數(shù)和r.P128例1臚/求二階偏導(dǎo)數(shù).P128例2P129131.-13-數(shù)學(xué)分析教案3,求含有抽象函數(shù)的二元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)：公式,P131-132例11Z=/d),求乂和f_t.P132例ydx2dxdy4. 驗證或化簡偏微分方程：例12=：-'：證明十-y-0，(Laplace方程8v例13將方程入上

16、-7巴=0變?yōu)闃O坐標(biāo)形式.期dx解一-6丁；：-，-."一：.xdr_X_xdr_y36_jdS_x:|；一.】r,卜，三.'1，.-i,dududrdu3613Hydudxdrdxd8dxr8rr2dGdududrduS6ydux3u一一，.;dydrdyd&dyrdrra36因此,du_du_xy也+/詼xydu+y2du_x3du_du"辦,耿rdrr238rdrr2dffr2dGdG方程化簡為".de例14試確定a和方，利用線性變換S=X+期，f=X+將方程8%«3%浮%n7+4+3-7-=0獷dxdydy3化為.-14-數(shù)學(xué)分析

17、教案5法劭左.加dt劭,du斛813sdxdtdxdsStdududsdudtdu.du=+=d>+b.dydsdydtdydsdt3%di3%ds3%St+3s3tdxdidsdxdi2肺ds2dsdtdt2dsudff-+ds2»a%dta%3sa%dtdsdt9ydtds»dt29y3%d(du.dut=I口+b曠Syds8"2d2uA,3%,ia%一一，.因此a工dxdydy="+%?)普a戲*+(_-u,4:"i'+I-Ssdt.011令1+4。+3/=0,1+貼+3/=0,=4=-一，3=7或1=71=-33或,此時方

18、程.+4±±+3=0化簡為士一巴=0.8ra8x8ydy2也設(shè)中值定理和泰肋公式:凸區(qū)域.-15-數(shù)學(xué)分析教案Th1設(shè)二元函數(shù)/在凸區(qū)域D匚R?上連續(xù),在D的所有內(nèi)點處可微.則對D內(nèi)任意兩點,。（"）力+&祉D,存在火。13。）,使/.二：；伏.證令中（£）=加+加沙+的，.系若函數(shù)/在區(qū)域D上存在偏導(dǎo)數(shù)，且，三，三,則一是D上的常信函數(shù).二.Taylor公式：Th2（Taylor公式）若函數(shù)/在點索4為）的某鄰域U（用內(nèi)有直到"1階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對IJ編）內(nèi)任一點（/+,+打，存在相應(yīng)的8e（0,1）,+力,如+幻=履faiaa*+i

19、£?4兩kT+kT八勺+電沖+3工1（舐dy5+1）（近夕證P134例1求函數(shù)冗）=P在點（1,4）的Taylor公式（到二階為止）.并用它計算（1Q8產(chǎn),P135-136例4.三.極值問題：1. 極值的定義：注意只在內(nèi)點定義極值.-16-數(shù)學(xué)分析教案例2P136例52. 極值的必要條件：與一元函數(shù)比較.Th3設(shè)弓為函數(shù)/例的極值點.則當(dāng)珀和存在時,有=力閱=。.（證）函數(shù)的駐點、不可導(dǎo)點，函數(shù)的可疑點.3. 極值的充分條件：代數(shù)準(zhǔn)備：給出二元（實）二次型g（冗力=弓解+2占初+4.其矩陣為raq.I.Ji>g。）是正定的，O順序主子式全Q,g«j）是半正定的，Q順序主子式全>0;ii>g（lj）是負(fù)定的，O（T）1*：0,其中I；為上階順序主子式.g（lj）是半負(fù)定的，O（-1外他|卜0.a匕】iii>be<0時，g（£7）是不定的.-17-數(shù)學(xué)分析教案充分條件的討論：設(shè)函數(shù)/（XJ）在點鳥（距為）某鄰域有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)由Taylor公式，有faav2"了（麗+凱為+無）一了（畫，為）=+/（0）+-+?。兀?口（。'）I；女dyj2!dxdy一.一:十二一'+令:一，則當(dāng)%為駐點時,有/（方川義+上）-/（而ju）=；®?+2颯+或+口（，）.其中U。-:'.可見式為+兀