數(shù)學(xué)中的靈敏度分析

1、假設(shè)條件成為了建模過程中一個影響模型好壞的影響因素，靈敏度分析就是在模型建立后，對假設(shè)條件變化，檢驗?zāi)Ｐ偷膬?yōu)劣性一般來說Lingo做出來的靈敏度分析能夠達(dá)到一個比較理想的程度，不過還是要根據(jù)模型本身來研究，建議你在開始之前先學(xué)習(xí)一下數(shù)值分析，對建模的靈敏度分析很有用哈，再根據(jù)數(shù)值分析的方法，對M-C（蒙特卡羅）方法進(jìn)行靈敏度分析，你會很快掌握隨著現(xiàn)代工業(yè)的迅速發(fā)展，對工業(yè)設(shè)備的精度提出了更高的要求。但是，由于制造誤差、軸承間隙、彈性變形等因素的影響，不可避免地會對設(shè)備的精度產(chǎn)生一定的影響。因此我們就有必要建立起一個數(shù)學(xué)模型并且應(yīng)用恰當(dāng)?shù)姆治龇椒▉硌芯可鲜龅母鞣N誤差對精度的影響關(guān)系，找出影響最大

2、的因素，作為我們在實際的制造和裝配過程中進(jìn)行誤差分配，降低生產(chǎn)成本，提高傳動精度的理論依據(jù)。這里就可以采用靈敏度分析的方法。它主要包括局部靈敏度分析方法和全局靈敏度分析方法。一、局部靈敏度分析方法局部法主要分析因素對模型的局部影響（如某點）。局部法可以得到參數(shù)對輸出的梯度，這一數(shù)值是許多領(lǐng)域研究中所需要的重要數(shù)據(jù)。局部法主要應(yīng)用于數(shù)學(xué)表達(dá)式比較簡單，靈敏度微分方程較易推出，不確定因素較少的系統(tǒng)模型中。主要包括直接求導(dǎo)法、有限差分法、格林函數(shù)法。1.直接求導(dǎo)法對于輸入因素個數(shù)少、結(jié)構(gòu)不復(fù)雜、靈敏度微分方程較易推導(dǎo)的系統(tǒng)或模型，直接法是一種簡單快速的靈敏度分析方法。時變（非靜止）系統(tǒng)可以用微分或微

3、分-代數(shù)方程進(jìn)行描述。假設(shè)要考慮的初值問題是,（D同樣，代表n維輸出變量，代表m維輸入因素。代表初值數(shù)組。式（1）對輸入因素微分得到下述的靈敏度微分方程(2)(3)或以矩陣形式表示為式中，是系統(tǒng)代數(shù)-微分方程右邊對系統(tǒng)輸出變量的導(dǎo)數(shù)（可稱為雅可比矩陣），是對輸入因素的導(dǎo)數(shù)，也可稱為參數(shù)雅可比。微分方程（2）的初始條件為零向量。上述的直接法建立在微分方程（2）的基礎(chǔ)上，要得到其靈敏度矩陣S的解，需要先求得矩陣J和F的值。而矩陣的值又是由系統(tǒng)變量的真實值確定，因此，需同時或預(yù)先求得（1）方程的解。對于非時變（靜止）系統(tǒng)，將其代數(shù)方程，式中，Y是n維輸出變量，X是m維輸入因素。令表示隱性代數(shù)方程式的

4、解。對輸入因素求導(dǎo)數(shù)，得到下面的靈敏度公式：（4）式中，稱為靜態(tài)靈敏度矩陣，和由靜態(tài)點的變量值計算。對于變量少、結(jié)構(gòu)不復(fù)雜、靈敏度微分方程較易推出的系統(tǒng)，直接法是一個簡單快速的靈敏度分析方法。2 .有限差分法局部靈敏度最簡單的計算方法是有限差分法，其基本做法是使設(shè)計變量有一個微小的攝動，用差分格式來計算輸出對設(shè)計變量的近似導(dǎo)數(shù)。其中比較簡單的是采用向前差分格式式中，截斷誤差與同階。有時采用更為精確的中心差分公式(6)中心差分法的截斷誤差與同階。雖然中心差分公式比向前差分公式精度高,但在求解每一個導(dǎo)數(shù)時需要求一次函數(shù)值，這意味著多做一次結(jié)構(gòu)分析，增加了計算工作量。3 .格林函數(shù)法微分方程（1）關(guān)

5、于初始值的方程為上式中，分別表示攝動時間和觀測時間，表示靈敏度矩陣，即(8)格林函數(shù)法的基本思路是，要求彳#靈敏度矩陣，就要借助式（2）或式（2）非齊次線性微分方程求得通解，而非齊次微分方程的通解是由其對應(yīng)的齊次方程的通解和非齊次方程的特解兩部分組成的，其中齊次方程的通解可由解式（6）得到，而非齊次方程的特解由(9)得到，上式中的被稱為格林函數(shù)，基于式（8）的解的數(shù)值方法稱為格林函數(shù)法。直接求導(dǎo)法的計算量隨著參數(shù)的增加成線性增加，而格林函數(shù)的計算量與變量數(shù)成比例關(guān)系。二、全局靈敏度分析方法靈敏度分析方法有以下特點：它研究的是各因素對模型的全局影響（不僅是在某點處，而是在不同位置處）；因素的范圍

6、可擴(kuò)展到因素的整個定義域，各因素可同時變化，能夠?qū)Ψ蔷€性、非疊加、非單調(diào)模型進(jìn)行研究和分析。目前,最常見的全局靈敏度分析方法是Sobol'法。Sobol'靈敏度分析方法是一種基于方差的蒙特卡羅法。定義一個維的單元體作為輸入因素的空間域，表示為(10)Sobol'方法的中心思想是將函數(shù)分解為子項之和(11)上式右端共有個子項，且有多種分解方法?，F(xiàn)在普遍應(yīng)用的是1990年Sobol'提出的具有一般代表性的基于多重積分的分解方法。該分解方法的特點如下：(1)為常數(shù)項，各子項對其所包含的任一因素的積分為0(12)(2)各子項之間正交。即如果：,則(13)(3)式(11)

7、中分解形式唯一，且各階子項可由多重積分求得。如：(14)(15)(16)式(15)及(16)中，及分別表示除及除與之外的其它輸入因素，類似地可求其余的高階子項。根據(jù)統(tǒng)計學(xué)的知識，模型輸出的總方差為(17)階偏方差現(xiàn)將式(11)中各階子項的方差稱為各階偏方差，即(18)把式(11)平方并在整個內(nèi)積分，結(jié)合式(13)可得總方差與各階偏方差的關(guān)系：總方差等于各階偏方差之和。即(19)將各階靈敏度系數(shù)定義為各階偏方差與總方差的比值。s階靈敏度定義為(20)這里，稱為因素的一階靈敏度系數(shù)，表示對輸出的主要影響；為二階靈敏度系數(shù)，表示兩因素之間的交叉影響；依此類推，為階靈敏度，表示個因素之間的交叉影響。由

8、式(19)可知：(21)在Sobol'法中，各積分可由蒙特卡羅法求出。因此，及可通過蒙特卡羅估計得出(22)(23)(24)三、數(shù)例分析例如一個非單調(diào)模型由下式表示式中、服從以下分布，。用Sobol'法方法分析各參數(shù)對的靈敏度。計算過程如下：首先可以由乘同余法產(chǎn)生均勻分布的為隨機(jī)數(shù)，根據(jù)這些偽隨機(jī)數(shù)生成各參數(shù)在均勻分布的隨機(jī)數(shù)。由Latin超立方采樣獲得隨機(jī)序列后，代入進(jìn)行統(tǒng)計分析，最后可以得到參數(shù)和對的靈敏度分別為0.202和0.769。這表明的變化對的影響較大。四、結(jié)論1 .局部靈敏度和全局靈敏度分析方法是兩種比較常用的數(shù)學(xué)分析方法，在對結(jié)構(gòu)進(jìn)行靈敏度分析時起著重要作用。2 .當(dāng)所研究模型是非線性的或者影響輸入變量的不確定性處于不同數(shù)量級時，