數(shù)感及其形成與發(fā)展

1、“數(shù)感”及其形成與發(fā)展徐文彬喻平盡管義務教育數(shù)學課程標準及其實施（比如，教科書的編寫、課堂教學、甚至教學評價等）都強調了“數(shù)感”及其重要性，但是在認識上卻存在著諸如簡單化、泛化、混淆、借用、甚至神秘化等問題。因此，在明確“數(shù)感”的基本含義及其特征的基礎上，探討“數(shù)感”的形成與發(fā)展，應該是發(fā)展學生“數(shù)感”的理論認識前提和現(xiàn)實條件；更是在“數(shù)感”基礎上進一步發(fā)展學生“符號感”，乃至數(shù)學觀的必由之路。一、何謂“數(shù)感”一旦論及感覺、直覺等與創(chuàng)造性或問題解決相關的問題時，很多人就會有一種莫名的神秘感。其實，“數(shù)感”并不是什么神秘的東西，它只是我們對數(shù)字關系和數(shù)字模式的意識，以及運用這種意識靈活地解決數(shù)字

2、問題的能力。學生具有“數(shù)感”的典型特征就是他們能夠對其所面對的數(shù)字模式、數(shù)字關系和計算過程進行歸納，并能夠把新知識和已有知識聯(lián)系起來1O但是，在我國數(shù)學教育理論界，卻存在著一些關于“數(shù)感”的不恰當、甚至錯誤的認識，而這些“誤解”必然會誤導數(shù)學教育實踐。為了澄清這些“誤導”，就必須首先剖析這些“誤解”，并追問其發(fā)生的認識論根源。譬如，有論者認為：“數(shù)感是對數(shù)的感悟。感是外界刺激作用于主體而產(chǎn)生的，是通過肢體（如感官等）而不是通過大腦思維，它含有原始的、經(jīng)驗性的成分。悟是主體自身的，是通過大腦思維而產(chǎn)生的。感悟是既通過肢體又通過大腦，因此，既含有感知的成分又有思維的成分?！?但是，唯物認識論卻認為

3、，如果要想從根源上來認識認識和思維，那么，其根源就是感覺，而感覺與知覺（統(tǒng)稱為“感知”）則是認識和思維的初級階段之具體形式。認識和思維是主體與客體之間的一種關系，離開了客體，認識與思維是不存在的；即使是以認識與思維本身為認識與思維對象的認識與思維即反思，它也是思維著的思維、或者認識著的認識與被思維的思維、或者被認識的認識之間的主體與客體之間的關系。因此，現(xiàn)實的人類“大腦思維”就不僅僅是自身的：它既是主體自身的、又是主體客體化的?？傊?，意識必然是思維的，“數(shù)感”也必然是思維的：只“通過肢體而不通過大腦思維的”肯定小可能是“數(shù)感”，也不可能是人的反應性，它只可能是“物質的反應性”。由此可見，上述關

4、于“數(shù)感”的所謂“感悟說”既割裂了人的感性認識與理性認識之間的聯(lián)系，又簡單地把兩者粘貼為“數(shù)感”。與此相近的認識還有：“從知識的角度來看，數(shù)感包括感覺、知覺、觀念或是能力等，并可用知識來統(tǒng)一解釋。因此，數(shù)感是一種程序性知識，數(shù)感又主要是一種內(nèi)隱性知識，數(shù)感又主要是一種非結構性知識?！?再譬如，有論者認為4:“狹義的數(shù)感就是數(shù)字感，即人腦對于數(shù)字或數(shù)字運算定律的直覺；廣義的數(shù)感就是數(shù)學感，即人腦對于數(shù)學對象的直覺。而且數(shù)感還具有3個基本特征：直覺性一一非邏輯性、自動性，內(nèi)隱性一一理解性、抽象性、實用性，發(fā)展性一一天賦性、層次性、可學性。”顯而易見，該論者泛化了“數(shù)感”的概念及其內(nèi)容，而且還可以看

5、由其直接借用人們對“美感”理解的痕跡。因此，這種關于“數(shù)感”的所謂“直覺說”既不利于我們對“數(shù)感”的認識，又無助于我們對學生“數(shù)感”的培育。至于其所歸納的“數(shù)感”的3個基本特征則不僅需要進一步的實證研究來加以證實或者證偽，而且還存在一些概念間邏輯關系混淆的問題需要澄清：直覺性、發(fā)展性和內(nèi)隱性之間是什么關系？發(fā)展性中的天賦性與可學性又是什么關系？持“直覺說”的論述還有：“數(shù)感是一種關于數(shù)字的直覺，它從數(shù)字的所有不同的意義的表述得以表現(xiàn)?！?“數(shù)感”是一種類似于“語感”“方向感”“美感”和“質感”等（關于數(shù)）的“直感”6o還有論者認為：“數(shù)感是人們在數(shù)概念的擴展中而產(chǎn)生的對數(shù)學的一種敏感與一般理解

6、?！?而且這種“敏感與一般理解”具有如下一些特點7:“（1）這種敏感與理解是對數(shù)字（量）的直覺，它幫助人們對數(shù)字（量）的直感迅速地反應為數(shù)學問題，使數(shù)學問題從感知層面敏捷地鏈接到數(shù)學思維；（2）這種敏感與理解是關于數(shù)概念的網(wǎng)絡結構：（3）這種敏感與理解具有非算法性、非單一、非確定、非邏輯等特點,其反應時間短，穩(wěn)定性差，是所需解決的問題與數(shù)學思維之間的按鈕，其靈敏度與數(shù)概念網(wǎng)絡結構的個性化有關?！边@種關于“數(shù)感”的所謂“敏感說”具有莫種神秘性：“一種敏感”“一般理解”等語義不清，容易讓人“浮想聯(lián)翩”；而且還存在著泛化的傾向：把對“數(shù)概念的擴展”無限推延至“對數(shù)學的一種敏感與一般理解”。我們可以設

7、想，如果人們真能夠在數(shù)概念的擴展中產(chǎn)生所謂的“對數(shù)學的一種敏感與一般理解”，那么這種敏感與理解就不可能是“數(shù)感”，而更可能是數(shù)學觀。由此可見，該論者混淆了“數(shù)感”與數(shù)學觀。其實，“數(shù)感”可能是數(shù)學觀的一個有機構成，但絕不可能是數(shù)學觀本身。至于其所歸納的“數(shù)感”所具有的特點則需要更加嚴格的數(shù)學教育心理學等（實驗）研究來加以證實或者證偽。具體而言，“數(shù)感”包括“對數(shù)字關系和數(shù)字模式的意識”，以及運用這種對數(shù)字關系和數(shù)字模式的意識“靈活地解決數(shù)字問題的能力”兩個部分內(nèi)容；其核心是指計算策略中的靈活性和創(chuàng)造性，而非“沒有思維的”計算程序。由此可見，“數(shù)感”不僅強調要培養(yǎng)學生的數(shù)學理解力，而且強調要培養(yǎng)

8、其積極的學習態(tài)度與信心；“數(shù)感是一種主動自覺地或自動化地理解和運用數(shù)的態(tài)度與意識。數(shù)感是人的一種基本的數(shù)學素養(yǎng)。它是建立明確的數(shù)概念和有效地進行計算等數(shù)學活動的基礎，是將數(shù)學與現(xiàn)實問題建立聯(lián)系的橋梁。”與此同時，“建立數(shù)感可以理解為會數(shù)學地思考”8o因此，數(shù)感體現(xiàn)的是應用數(shù)字的傾向和能力，以及作為交流、加工、解釋信息的量化方法。數(shù)感導致人們期待數(shù)學有莫種規(guī)則9o二、何以形成“數(shù)感”“數(shù)感”主要在三個領域中起作用：（1）數(shù)字知識和數(shù)字的簡便性；（2）運算知識和運算的簡便性；（3）把數(shù)字和運算的知識及其簡便性應用到需要用數(shù)字進行推理的問題中9o因此，我們可以從上述這三個領域來思考“數(shù)感”的形成問題

9、。1.從“數(shù)字知識和數(shù)字的簡便性”來看“數(shù)感”的形成單個數(shù)字的識別與學習，是數(shù)字知識積累的最初形式。但是，數(shù)字的順序感可能更為重要：，9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,或者反過來。而“計數(shù)”并非僅僅是指學生們最早體驗到的“單向”計數(shù)，而是可以以任何“合適”的方式來進行：可用2,5,10,100（其實也不排除用3,4,6,7等）等為間隔來計數(shù)，可以從任何一個數(shù)字開始向前或向后“數(shù)”在這種“計數(shù)”過程中，既可以形成數(shù)字的順序感、又可以感覺到多樣化的數(shù)字的呈現(xiàn)方式，以及數(shù)字相對與絕對數(shù)量的判斷和思考數(shù)字的基準參考體系。當這些數(shù)字關系和數(shù)字模式與算術運算相聯(lián)系的時候，這些數(shù)字關系和數(shù)字模式就能夠

10、促使學生們找到有效的計算策略，從而促進其“數(shù)感”的形成與發(fā)展?！皵?shù)感”是高度個性化的產(chǎn)物。因為“數(shù)感”不僅和學生已有的數(shù)字概念相聯(lián)系，而且也與怎樣形成這些數(shù)字概念相聯(lián)系。因此，隨著學生們對已知數(shù)字事實及其之間的相互關系了解的深入，他們的“數(shù)感”也會得到進一步的發(fā)展。在這里，數(shù)字應用的不同方式，以及數(shù)字應用之間的關系的意識與辨別等，是學生形成“數(shù)字知識和數(shù)字的簡便性”、以及運用“數(shù)感”的關鍵之所在。2,從“運算知識和運算的簡便性”來看“數(shù)感”的形成“數(shù)感”也是一種運用數(shù)字和運算法則進行靈活運算的能力。數(shù)字與計算之間的聯(lián)系對學生形成“數(shù)感”具有重大的影響。美國學校數(shù)學教育的原則與標準也認為，(數(shù)與

11、運算)“這一標準的中心是培養(yǎng)學生的數(shù)感(NumberSense),就是用100或1/2這樣特定的數(shù)作參考自然地分解數(shù)字的能力，運用從算術運算到問題解決間關系的能力，理解十進制數(shù)的能力，估算能力，理解數(shù)字含義的能力，以及對數(shù)的絕對和相對大小的辨認能力”10o我國學者對“數(shù)感與估算之間的關系”也進行過實證研究11:“數(shù)感只是在一定程度上依賴于估算，同時它也受問第6頁題特點等諸多因素的影響；不同估算能力下的兒童在做數(shù)感類題時使用的策略相當多，而且有所偏重，但大多數(shù)情況下都選擇有效性中等水平的策略；不同估算水平熟練程度的兒童在對數(shù)感錯誤類型的影響（方面）存在較為明顯的差異這項研究結果告訴我們，“數(shù)感”

12、的形成與“估算”之間不是一個簡單的一一對應關系，而是有著非常復雜的非線性關系。但是，就“運算知識和運算的簡便性”而言，其核心應該是，理解運算結果，意識到所運用的運算規(guī)則，以及運算之間的關系。對運算結果的理解可能意味著對“標準運算程序”的掌握甚至熟練：而對所運用的運算規(guī)則的意識則更加意味著對“標準運算程序”的熟悉甚至對不同“標準運算程序”之間關系的意識與辨別；對各種運算之間的關系的意識則必然意味著對所運用的運算規(guī)則的“爛熟于心”，而且還可能意味著對數(shù)字關系和數(shù)字模式與運算程序之間關系的把握。由于“運算知識和運算的簡便性”主要來自對運算的標準程序的熟悉和不同標準運算程序之間關系的比較、意識與辨別，

13、所以，應用標準的計算程序可能不如根據(jù)“數(shù)感”來選擇適合的計算策略更為快捷與有效。反之，在一定程度上，計算策略的快捷與有效也反映了“數(shù)感”的形成狀態(tài)與發(fā)展水平。3.從“把數(shù)字和運算的知識及其簡便性應用到需要用數(shù)字進行推理的問題中”來看“數(shù)感”的形成由此可見，“數(shù)感”的形成是一個“對數(shù)字關系和數(shù)字模式的意識”與運用這種意識“靈活地解決數(shù)字問題的能力”相互影響甚至相互制約的動態(tài)過程：互為基礎、互為補充、互相促進、共同發(fā)展，并進而促使學生一般數(shù)學能力（即我們通常所指的3大能力：計算能力、邏輯推理能力和空間想象能力）得到提升。在解決“需要用數(shù)字進行推理的問題”時，關鍵是要在整合“數(shù)字知識和數(shù)字的簡便性”

14、與“運算知識和運算的簡便性”的基礎上，形成或獲得以下這些理解力、意識和傾向：理解問題情境與合適的解題策略之間的關系；（2）意識到存在多樣化的數(shù)字呈現(xiàn)方式；（3）應用有效呈現(xiàn)和（或）方法的傾向；（4）檢驗數(shù)據(jù)和結果的傾向?！袄斫鈫栴}情境與合適的解題策略之間的關系”是實際解決“數(shù)字推理”問題的第一步，而這就需要對問題所蘊含的數(shù)字模式或關系與數(shù)字運算之間關系的意識與辨別。但是，僅僅如此還不夠。因為如果沒有合適的“數(shù)字呈現(xiàn)方式”，問題的解決也可能只存在于構想的思想當中，而不是實現(xiàn)于實際的具體運算操作程序當中。要做到實際地解決問題就需要對同樣的數(shù)字及其關系的不同呈現(xiàn)方式的比較、意識與選擇，以及應用有效呈

15、現(xiàn)和（或）方法的傾向。在具體實施所選擇的解決問題的策略之前甚至當中，由于我們無法保證實際解決結果的正確性和完備性，所以，“檢驗數(shù)據(jù)和結果的傾向”應該是一個不可或缺的必要環(huán)節(jié)。在解決“數(shù)字推理”問題當中，如果我們還能夠意識到算術（運算）的“代數(shù)性質”即“準變量”及其表達式12、并自覺地運用這種意識于“數(shù)感”的形成當中，那么，我們就由此而邁開了由“數(shù)感”向“符號感”發(fā)展的步伐，并在這個發(fā)展過程中體會到眾多的數(shù)學思想，譬如，推廣的思想、轉化的思想、抽象化的思想、概括化的思想、化歸的思想等等。表1即是一個反映“符號感”的形成狀態(tài)與發(fā)展水平的研究實例，它是南京師范大學數(shù)學專業(yè)67名4年級學生對“（n+1

16、）2-n2”的鑒賞結果統(tǒng)計表13。表1學生對“（n+1）2-n2”的鑒賞結果統(tǒng)計注：這里的鑒賞結果其實反映了鑒賞者對“（n+1）2-n2”的意識以及運用這種意識的能力，即“符號感”。三、何以發(fā)展“數(shù)感”由上述分析可知，培育和發(fā)展學生“數(shù)感”的關鍵是，從熟悉“相互獨立的”標準的計算程序到辨別數(shù)字模式和數(shù)字關系，并在這兩者之間建立起聯(lián)系。1 .從熟悉“相互獨立的”標準計算程序到辨別數(shù)字模式和數(shù)字關系有關研究表明：盡管在數(shù)學能力上存在“7年間隔”現(xiàn)象14,即一些小學高年級11歲的學生表現(xiàn)由的數(shù)學能力并不比7歲孩子的平均能力強，而其他一些11歲的學生則表現(xiàn)由14歲孩子的平均能力。但卻不能因此給莫些學生

17、加之以數(shù)學“學習遲鈍者”的稱謂。因為這些所謂數(shù)學“學習遲鈍者”可能因辨別不由數(shù)字之間的相互關系而導致他們最終不得不學習更多的、“沒有思維的"、相互獨立的計算程序15。由此可見，如果不能夠形成對數(shù)字之間的相互關系或模式的意識與辨別，那么，對“沒有思維的"、相互獨立的、“標準”計算程序掌握得再多、再熟練，也不可能提高學生的一般數(shù)學能力。因此，如何引導學生從對“相互獨立的”標準計算程序的熟悉，發(fā)展至對其間的數(shù)字模式和數(shù)字關系的辨別，是培養(yǎng)學生“數(shù)感”的關鍵與基礎。通過邏輯推斷和比較分析，學生們可以體驗到“標準計算程序”中潛在的數(shù)字結構，而這種數(shù)字結構則把數(shù)字計算和數(shù)字模式與數(shù)字關

18、系聯(lián)系在一起。此外，發(fā)生思考與相互交流（尤其是同學之間的）也可以促使學生觀察、比較、歸納不同的“標準計算程序”，及其與非“標準計算程序”之間所蘊涵的數(shù)字結構一一而這同樣也把數(shù)字計算和數(shù)字模式與數(shù)字關系聯(lián)系在一起。正是在這些邏輯推斷和比較分析，以及發(fā)生思考與同學間的相互交流活動中，學生們開始理解數(shù)字和數(shù)字結構所起的不同作用，并進而發(fā)展其“數(shù)感”。因此，盡管學生們可能學第10頁會了使用若干標準的計算程序，但是，能夠靈活應用不同方法（尤其是非“標準計算程序”方法）進行數(shù)字計算則是其發(fā)展“數(shù)感”的必要條件。2 .建立“標準計算程序”與“數(shù)字模式和數(shù)字關系”之間的聯(lián)系在“標準計算程序”與“數(shù)字模式和數(shù)字關系”之間建立聯(lián)系的有效方法可能是，在數(shù)字計算和數(shù)字推理中運用“估算”與猜測策略，以及算法（尤其是非“標準計算程序”算法）多樣化策略。首先，因為“估算”與猜測在數(shù)字計算與數(shù)字推理中的運用本身就意味著數(shù)字模式和數(shù)字關系的存在（因為“估算”與猜測不是毫無目的瞎想，而是依賴于一定數(shù)字模式和數(shù)字關系的思維延續(xù)），而有意識的運用則更加深化了學生對這種數(shù)字模式與數(shù)字關系的理解，以及對（數(shù)字）運算規(guī)律的意識與運用。其次，多樣化的思想既肯定了“標準計算程序”的合理性與多樣