高數(shù)下冊(cè)總復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)歸納

1、第八、九章向量代數(shù)與空間解析幾何總結(jié)向量代數(shù)定義定義與運(yùn)算的幾何表達(dá)有大小、有方向 .uuur向量記作 a 或 AB模向量 a 的模記作a和差cabc ab單位向量a0，則 eaaa設(shè) a 與 x, y, z 軸的夾角分別為， ，方向余弦cos ， cos， cos則方向余弦分別為在直角坐標(biāo)系下的表示aaxiay jazk( ax , ay , az )rrraxprj x a, ayprj y a, azprj zaaax2ay2az2cabaxbx, ayby , azbzea(ax , ay , az )a2a2a 2xyzcosax， cosay， cosazrrraaaea( cos

2、， cos， cos )cos2+cos 2cos 21點(diǎn)乘（數(shù)量積）叉乘（向量積）caba ba b cos，為向量 a 與 b 的夾角ca b sin為向量 a 與 b 的夾角向量 c 與 a ， b 都垂直定理與公式a baxbxa ybyazbzijkabaxa yazbxbybz垂直平行a ba b0a / ba b0abaxbxay byazbz0axayaza / bbybzbx交角余弦兩向量夾角余弦cosa ba bcosax bxa y byazbzax 2ay 2az 2bx 2by 2bz2投影向量 a 在非零向量 b 上的投影a baxbxa y byazbzprj b

3、 aprj baa cos(a b)平面bbx2by2bz2直線法向量 n 方程名稱一般式 A, B,C點(diǎn) M 0 ( x0 , y0 , z0 )方程形式及特征AxBy Cz D 0方向向量 T m , n, p 點(diǎn) M 0 (x0 , y0 , z0 )方程名稱方程形式及特征一般式A1 x B1 yC 1 z D 10A 2 x B 2 yC 2 z D 20點(diǎn)法式A( xx0 )xx1三點(diǎn)式x 2x1x3x1B( yy0 ) C(z z0 ) 0yy1zz1y2y1z2z1 0y3y1z3z1點(diǎn)向式參數(shù)式x x0y y0z z0mnpxx0mtyy0ntzz0pt截距式xyz1兩點(diǎn)式ab

4、c面面垂直A1 A2 B1B2C1C2 0線線垂直面面平行A1B1C1線線平行A2B2C 2線面垂直ABC線面平行mnpxx0yy0zz0x1x0y1y0z1z0m1 m2n1 n2p1 p20m1n1p1m2n2p2AmBnCp0點(diǎn)面距離面面距離M 0 (x0 , y0 , z0 )AxByCzD0AxByCzD10AxByCzD20dAx0By0Cz0DdD1D2A2B 2C 2A2B2C 2面面夾角線線夾角線面夾角n1 A1, B1 ,C1n2 A2, B2,C2s1 m1 , n1 , p1s2 m2 ,n2 , p2 s m, n, pn A, B,Ccos| A1A2B1B2C1C

5、2 |cosm1 m2n1 n2p1 p2sinAm Bn Cp222222222222222222A2ABCmnpA1B1C1B2C2m1n1p1m2n2p2x(t)，切“線”方程：xx0yy0zz0(t 0 )(t 0 )(t0 )y(t)，切向量空z(t )，T( (t0 ) ,(t0 ) , (t0 )法平“面”方程：間(t)(t0 ) ( x x0 )(t0 ) ( yy0 )(t 0 )( z z0 ) 0曲線切“線”方程：xx0yy 0zz0：1( x0 )( x 0 )y(x)切向量z(x)T(1 , (x) ,( x)法平“面”方程：( x x0 )( x0 ) ( y y0

6、 )( x0 )( z z0 ) 0切平“面”方程：法向量r( x0 , y0 , z0 ) ,空n ( Fx間F ( x, y, z) 0Fy (x0 , y0 , z0 ) ,曲Fz (x0 , y0 , z0 ) )面：rf x ( x0 , y 0 ) ,zn (f ( x, y)f y ( x0 , y 0 ) , 1 )Fx ( x0 , y 0 , z0 )( x x0 )Fx ( x0 , y0 , z0 )( yy 0 )F x ( x0 , y0 , z0 )( z z0 )0法“線“方程：x x0yy0zz0Fx (x0 , y0 , z0 )F y (x0 , y0 ,

7、 z0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )切平“面”方程：f x ( x0 , y0 )( x x0 )f y ( x0 , y0 )( yy0 ) ( z z0 ) 0積分類型二重積分If x, y dD平面薄片的質(zhì)量質(zhì)量=面密度面積或法“線“方程：r( x0 , y0 ) ,y y0z z0n ( fxx x0fy (x0 , y0 ) , 1)f x ( x0 , y0 )f y (x0 , y0 )1第十章 總結(jié)重積分計(jì)算方法典型例題（1）利用直角坐標(biāo)系型b2 ( x)f (x, y) dxdydxf ( x, y)dyXDa1 ( x )P141例 1、例 3型d2 ( y)f

8、 (x, y) dxdydyf (x, y) dxY1 ( y)Dc（ 2） 利用極坐標(biāo)系使用原則(1) 積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示( 含圓弧 , 直線段 ) ；(2) 被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量表示較簡(jiǎn)單( 含 ( x2 y2 ) ,為實(shí)數(shù) )P147例 5f ( cos, sin )ddD2 ( ),sin ) ddf ( cos1()0202（ 3） 利用積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性當(dāng) D 關(guān)于 y 軸對(duì)稱時(shí)，（關(guān)于 x 軸對(duì)稱時(shí)，有類似結(jié)論）0f ( x, y)對(duì)于x是奇函數(shù)，即 f ( x, y )f ( x, y)I2f ( x, y) dxdy f ( x, y )對(duì)

9、于 x是偶函數(shù)，D1P141例 2應(yīng)用該性質(zhì)更方便即 f (x, y)f ( x, y )D1是 D的右半部分計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)1 畫出積分區(qū)域2 選擇坐標(biāo)系標(biāo)準(zhǔn)：域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)軸，被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離3 確定積分次序原則：積分區(qū)域分塊少，累次積分好算為妙4 確定積分限方法：圖示法先積一條線，后掃積分域5 計(jì)算要簡(jiǎn)便注意：充分利用對(duì)稱性，奇偶性投影法(1) 利用直角坐標(biāo)截面法f ( x, y, z)dVby2 ( x )z2 ( x,y )投影dxdyf ( x, y, z)dzay1 ( x )z1( x, y)xr cos（2）利用柱面坐標(biāo)yr sinzzP159例 1P160

10、例 2相當(dāng)于在投影法的基礎(chǔ)上直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)三重積分I適用范圍 :P161例 3f ( x, y, z)dv積分區(qū)域 表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí) 方程簡(jiǎn)單； 如 旋轉(zhuǎn)體12變量易分離 . 如 f (x22) f ( x22)被積函數(shù) 用柱面坐標(biāo)表示時(shí)yzf (x, y, z)d Vbdr2 ( )cos ,sin, z)ddzf (ar1 ( )空間立體物的xcosr sincos（3）利用球面坐標(biāo)ysinr sinsin質(zhì)量zr cos質(zhì)量=密度dvr 2 sindrd dP165 10-(1)面積適用范圍 :積分域 表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單 ; 如，球體，錐體 .12變量易分離 .如，

11、f ( x2y22被積函數(shù) 用球面坐標(biāo)表示時(shí)z )222 (, )sincos ,sinsin, cos )2 sin dIdd1 (f (11, )（4）利用積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性積分類型第一類曲線積分If (x, y)dsL曲形構(gòu)件的質(zhì)量質(zhì)量 = 線密度弧長(zhǎng)第十一章總結(jié)曲線積分與曲面積分計(jì)算方法參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）（ 1） L : y( x)If ( (t), (t ) 2 (t)2 (t )dt（ 2）x(t )If x y xy 2 x dxL :(t)b(,()1 ( )ay(t )（ 3） rr ( ) () L :xr ()cosyr ()sinIf ( r ( )

12、 cos, r () sin )r 2 ()r 2 ( )d（1）參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）典型例題P189- 例 1P190 3x(t)L :(t單調(diào)地從到)y(t)PdxQdy P( t),(t)(t )Q(t),(t)(t) dtL（ 2）利用格林公式 （轉(zhuǎn)化為二重積分）條件： L 封閉，分段光滑，有向（左手法則圍成平面區(qū)域D） P， Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論：Pdx Qdy( QP)dxdyLDxy平面第二類曲線滿足條件直接應(yīng)用積分應(yīng)用：有瑕點(diǎn)，挖洞不是封閉曲線，添加輔 助線IPdx Qdy（3）利用路徑無關(guān)定理 （特殊路徑法）等價(jià)條件：QP Pdx Qdy 0LxyLL PdxQdy 與

13、路徑無關(guān)，與起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)PdxQdy 具有原函數(shù) u( x, y)變力沿曲線所做（特殊路徑法，偏積分法，湊微分法）（4）兩類曲線積分的聯(lián)系的功IPdx Qdy(Pcos Qcos )dsLL（ 1）參數(shù)法 （轉(zhuǎn)化為定積分）空間第二類曲線Pdx Qdy Rdz P(t),(t),(t)(t ) Q (t), (t ), ( t) (t )積分R(t),(t),(t )(t )dt（2）利用斯托克斯公式 （轉(zhuǎn)化第二類曲面積分）條件： L 封閉，分段光滑，有向I Pdx Qdy Rdz P， Q，R 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)LP196- 例 1、例 2、例3、例4P205例 4P214-5(1)(4)P

14、211- 例 5、例 6、例 7P240- 例 1變力沿曲線所做的功第一類曲面積分If (x, y, z)dv曲面薄片的質(zhì)量質(zhì)量 = 面密度面積PdxQdyRdzL結(jié)論：RQ )dydz( PR )dzdx( Qp )dxdy(yzzxxy滿足條件直接應(yīng)用應(yīng)用：不是封閉曲線，添加輔 助線投影法： zz(x, y) 投影到 xoy 面If (x, y,z)dvf (x, y, z(x, y) 1 zx2z2ydxdyDxy類似的還有投影到y(tǒng)oz面和 zox 面的公式（1）投影法P217- 例 1、例 21Pdydzp( x( y, z), y, z)dydzD yz： zz(x, y) ，為的法

15、向量與x 軸的夾角前側(cè)取“ +”， cos0 ；后側(cè)取“”， cos02Qdzdxp(x, y( x, z), z)dzdxDyz第二類曲面積分： yy(x, z) ，為的法向量與 y 軸的夾角右側(cè)取“ +”， cos0 ；左側(cè)取“”， cos03QdxdyQ x y z x y dxdyDyz( , ,( ,)： xx( y, z) ，為的法向量與 x 軸的夾角IPdydz Qdzdx Rdxdy0；下側(cè)取“”， cos0上側(cè)取“ +”， cos（2）高斯公式右手法則取定的側(cè)條件： 封閉，分片光滑，是所圍空間閉區(qū)域的外側(cè)流體流向曲面一 P， Q，R 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)側(cè)的流量結(jié)論：Pdydz

16、QdzdzRdxdy( PQR )xyz滿足條件直接應(yīng)用應(yīng)用：不是封閉曲面，添加輔 助面（3）兩類曲面積分之間的聯(lián)系Pdydz Qdzdx Rdxdy(PcosQcosRcos )dS轉(zhuǎn)換投影法： dydz(z )dxdy dzdx ( z )dxdyxy所有類型的積分：1 定義：四步法分割、代替、求和、取極限；2 性質(zhì)：對(duì)積分的范圍具有可加性，具有線性性；3 對(duì)坐標(biāo)的積分，積分區(qū)域?qū)ΨQ與被積函數(shù)的奇偶性。P226- 例 2P231- 例 1、例 2P228- 例 3第十二章總結(jié)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)常交錯(cuò)數(shù)級(jí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性無冪和窮級(jí)級(jí)函數(shù)數(shù)數(shù)展成冪級(jí)數(shù)1若級(jí)數(shù)收斂 , 各項(xiàng)同乘同一常數(shù)仍收斂2

17、兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)的和差仍收斂注：一斂、一散之和必發(fā)散；兩散和、差必發(fā)散.用收斂定義，lim sn 存在3 去掉、加上或改變級(jí)數(shù)有限項(xiàng)不改變其收斂性n4 若級(jí)數(shù)收斂則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂，且其和不變。常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)推論如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散則原來級(jí)數(shù)也發(fā)散注：收斂級(jí)數(shù)去括號(hào)后未必收斂 .常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)5則 lim u n0 （必要條件）如果級(jí)數(shù)收斂n0萊布尼茨判別法若 unun1 且 lim un0 ，則(1) n 1 u n收斂nn 1比較判別法un 和vn 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且unvn . 若vn 收斂，則un 也收斂；若un 發(fā)散，則vn 也發(fā)散 .比較判別法u n 和v n都 是正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) ， 且 limu nl ， 則 1若nv n的極限形式0l,u n 與vn2若 l0 ,v n收同斂或同散 ; 斂 ,3l，v n發(fā)散，u n 也發(fā)散。u n 也收斂； 如果比值判別法u n 是正項(xiàng)級(jí)數(shù)， lim un1, lim nu n, 則1 時(shí)nunn根值判別法收斂；1 () 時(shí)發(fā)散；1時(shí)可能收斂也可能發(fā)a n x n , lima n 1, R1 ,0; R,0; R0 ,.n 0na n缺項(xiàng)級(jí)數(shù)用比值審斂法求收斂半徑12R , R ) 內(nèi)可導(dǎo)，且可逐項(xiàng)求導(dǎo)3s( x) 的性質(zhì) 在收斂域I 上連續(xù) ;在收斂域 (;和函數(shù) s( x) 在收斂域