2021年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案(新人教A)直線與平面垂直

1、9.3直線與平面垂直鞏固夯實(shí)基礎(chǔ)一、自主梳理1 .直線與平面垂直的定義：如果一條直線與平面內(nèi)白所有直線都垂直，那么就說(shuō)這條直線與這個(gè)平面垂直.2 .直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直.3 .直線與平面垂直的性質(zhì)：如果兩條直線都與同一個(gè)平面垂直，那么這兩條直線平行.4 .三垂線定理：平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.5 .三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直.二、點(diǎn)擊雙基1 .“直線l垂直于平面口內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線”是“ l，a

2、”的（）A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件答案:B2 .給出下列命題，其中正確的兩個(gè)命題是（）直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則此直線與平面平行夾在兩個(gè)平行平面間的兩條異面線段的中點(diǎn)連線平行于這兩個(gè)平面直線m，平面a ,直線 n, m,則n / aa、b是異面直線，則存在唯一的平面”，使它與a、b都平行且與a、b距離相等A.B.C.D.解析:錯(cuò)誤.如果這兩點(diǎn)在該平面的異側(cè)，則直線與平面相交.正確.如圖，平面a / 3 ,A Ca ,CC a ,DC 3 ,BC 3且E、F分別為 AB、CD的中點(diǎn)，過(guò) C作CG / AB交平面3于 G,連 結(jié) BG、GD.設(shè) H 是 CG

3、 的中點(diǎn)，貝U EH / BG, HF / GD.EH / 平面 3 , HF / 平面 3 . 平面EHF /平面3 /平面a . EF / a , EF/ 3 .錯(cuò)誤.直線n可能在平面a內(nèi).正確.如圖，設(shè)AB是異面直線a、b的公垂線段，E為AB的中點(diǎn)，過(guò)E作a / a,b /b,則a、b確定的平面即為與 a、b都平行且與a、b距離相等的平面，并且它是唯一確定 的.答案:D3 .在正方形SGiG2G3中,E、F分別是 G1G2、G2G3的中點(diǎn),D是EF的中點(diǎn)，沿SE、SF及EF把這 個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使Gi、G2、G3三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為 G,那么,在四面體S-EFG 中必有()A

4、.SGL平面 EFGB.SDL平面 EFG C.FG，平面 SEF D.GD，平面 SEF解析:注意折疊過(guò)程中，始終有$66正$63,635,即$6,6$6,65,所以$6，平面EFG.選A.答案:A4 .在直四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅?ABCD滿足條件 時(shí)，有ACBiDi.(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況)答案:AiCi LBiDi或四邊形AiBiCiDi為菱形等5 .設(shè)正方體 ABCD AiBiCiDi的棱長(zhǎng)為i,則(i)A點(diǎn)到CDi的距離為 ;(2)A點(diǎn)到BDi的距離為 ;A點(diǎn)到面BDDiBi的距離為 ;(4)A點(diǎn)到面 AiBD的距離為

5、;(5)AA i與面BBiDiD的距離為 .答案:一6 (2)-6(3)(4)(5) 23232誘思實(shí)例點(diǎn)撥【例i】已知PAX O O所在的平面，AB是O O的直徑，C是。O上任意一點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作AE LPC于點(diǎn)E,求證：AEL平面PBC.證明：.PA，平面 ABC, PAXBC.又AB是。O的直徑， .BC AC.而 pc n ac=c , .BC,平面 PAC.又 AE在平面PAC內(nèi)， BCXAE. . PCXAE,且 PCn BC=C ,AE，平面 PBC.鏈接聚焦證明直線與平面垂直的常用方法有：利用線面垂直的定義；利用線面垂直的判定定理；利用“若直線a/直線b,直線a,平面”，則直線 b

6、,平面.【例 2】 在直三棱柱 ABCAiBiCi 中，BiCi=AiCi, AiBACi,求證：AiBXBiC.證明：取AiBi的中點(diǎn)Di,連結(jié)CiDi. BiCi=AiCi, CiDiXABB iAi.連結(jié)ADi,則ADi是ACi在平面 ABB iAi內(nèi)的射影. .AiBlACi, AiBXADi.取AB的中點(diǎn)D,連結(jié)CD、BiD,則BiD /ADi,且BiD是BiC在平面 ABB iAi內(nèi)的射影.BiDXAiB,.AiBXBiC.鏈接聚焦證明異面直線垂直的常用方法有：證明其中一直線垂直于另外一直線所在的平面；利用 三垂線定理及其逆定理.【例3】（2004湖北高考，理）如圖所示，在棱長(zhǎng)為i

7、的正方體ABCD AiBiCiDi中，點(diǎn)E是棱 BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn).試確定點(diǎn)F的位置，使得DiE，平面ABiF;(2)當(dāng)DiE，平面ABiF時(shí)，求二面角CiEFA的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).剖析：(1)先假設(shè)DiE，面ABiF,再用三垂線定理驗(yàn)證DiE AF,即可得出結(jié)論.(2)由三垂線定理作出二面角，再由解直角三角形知識(shí)求出角.(3)本題也可用空間向量知識(shí)求解.解法一 ：(i)如圖，連ZAiB,則AiB是DiE在面ABB iAi內(nèi)的射影.因?yàn)?ABdAiB,所以 DiE,ABi.于是 DiE,平面 ABiFDiEXAF.連結(jié)DE,則DE是DiE在底面ABCD內(nèi)的射影.因?yàn)?/p>

8、DiEAF DEAF,又因?yàn)锳BCD是正方形，E是BC的中點(diǎn)，所以當(dāng)且僅當(dāng)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，DE，AF,即當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，DiEL平面ABiF.(2)當(dāng)DiE,平面ABiF時(shí)，由(i)知點(diǎn)F是CD的中點(diǎn), 又已知點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF則EF / BD.連結(jié)AC,設(shè)AC與EF交于點(diǎn)H,則CHIEF.連結(jié)CiH,則CH是CiH在底面ABCD內(nèi)的射影.所以CiHEF,即/ CiHC是二面角CiEFC的平面角.=2,2.在 RtACiCH 中，因?yàn)?CiC=i,CH= ：AC=2，所以 tan / CiHC= CC =所以/ CiHC=arctan2 鼠 2，從而/ AHC i=兀-arct

9、an2P2 .故二面角CiEFA的大小為兀-arctan2v12 .解法二：供9(B)選用以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系(1)設(shè) DF=x,則 A(0Q0),B(1Q0),D(0,1,0),A i(0,0,1),Bi(1,0,1),D i(0,1,1),E(1, - ,0),F(x,1,0).21所以 DiE=(i,-,-i), ABi =(1,0,1), AF =(x,i,0).2所以 D1EABi =1-1=0，即 DiEXABi.于是 DiE_L平面 AB iFDiE_L AFD1EAF =0X=0,即x.22故當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，DiEL平面AB iF.(2)當(dāng)DiE,平面ABiF時(shí),F是CD的中點(diǎn).又E是BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF,則EF/ BD.連結(jié)AC,設(shè)AC與EF交于點(diǎn)H,則AH，EF.連結(jié)CiH,則CH是CiH在底面ABCD內(nèi)的射 影.所以CiHEFZ AHCi是二面角Ci-EF-A的平面角.因?yàn)?Ci(1,1,1)、H(-,3,0),4 4所以 HCi =( , ,1), HA =(-3 ,- ,0).所以 cos/ AHC i 4