2021年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案(新人教A)極限1

1、14.2數(shù)列的極限鞏固夯實基礎(chǔ)一、自主梳理1 .數(shù)列極限的定義一般地，如果當(dāng)項數(shù)n無限增大時，無窮數(shù)列an的項an無限地趨近于某個常數(shù)a(即|an-a|無限地接近于0),那么就說數(shù)列an以a為極限.注:a不一定是 an中的項.2 .幾個常用的極限(1)lim C=C(C 為常數(shù))；(2)lim -=0； (3) lim qn=0(|q|<1).nn nn3 .數(shù)列極限的四則運算法則設(shè)數(shù)列 an、bn,當(dāng) lim an=a, lim bn=b nn時,lim (an±bn)=a±b； lim (an - bn)=a - b； nnlim an- = a (b* 0).n

2、 bn b鏈接提示(1)an、bn的極限都存在時才能用四則運算法則; (2)可推廣到有限多個.、點擊雙基1.下列極限正確的個數(shù)是() lim =0( a >0) lim qn=0 n nn個 23一 nim 2v=-1 nim c=c(c 為常數(shù))D.都不正確C N*)為等差數(shù)列，且 a1=3,a3=5,則A.2B.3C.4解析:正確.答案:B2.(2005 湖南高考)已知數(shù)列l(wèi)og 2(an-1)(nlim (+ +)等于一 ()na2a1a3a2an 1anA.2B. -C.1D.122解析:令 bn=log2(an-1),貝Ubn成等差數(shù)歹U ,b1=log22=1,b2=log2

3、4=2，可知數(shù)歹U bn=n=log 2(an-1),-111 oan=2n+1,貝U an+1-an=2n1+1-(2n+1)=2n,即求 lim (一 + f + + - )=-2 =1.n 2 22. 11 -2答案:C3.下列四個命題中正確的是()A.若 lim An2=A2,則 lim an=AB.若 An>0, lim An=A ,則 A>0 nC.若 limnAn=A ,則 lim An2=A2D.若 limn(An-bn)=0,則 lim An= lim bn解析:排除法，取an=(-1)n,1排除A;取an=-，排除B；取An=bn=N,排除nD.答案:C4.20

4、05上海高考計算：limn3n 1 2nTn _n 132解析：limn3n 13n2n2n 1=limn3 (|)n o 7 =3. 1 (-)n?-32答案：35.(2006上海春季高考)limn3n 24n2解析：lim 3n-2n 4n 3=limn3 答案：34鏈接提示求數(shù)列極限時，如是不定型(O, ,°°-OO等)，應(yīng)先變形，再求極限. 0誘思實例點撥【例1】(2004湖南高考，理)，16數(shù)歹 U an中，a 二 一 ,an+an+1= -755n 1,n C N*,則 limn(ai+a2+-+an)等于()2A.一52B.一7C.144 D.- 25解析：:

5、 an+an+1= 一56，a1+a2=-2,a3+a4=-4-,a5+a6= ,525456lim (ai+a2+a3+a4+a5+a6+ +an) n=lim (a+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+=lim (=nn 5+ + + -)=551 -1452答案:C講評:本題考查數(shù)列與極限.解本題重在數(shù)列求和，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為無窮遞縮等比數(shù)列【例2】求下列極限：limn2n2 n5n2 7;(2) lim ( . n2、n -n)；(3) limn2n+ 2)-n剖析:(1)因為分子、分母都無極限，故不能直接運用商的極限運算法則，可通過變形分子、分母同除以n2后再求極限；(2)因v&#

6、39;n2 n與n都沒有極限，可先分子有理化再求極限；(3)因為極限的運算法則只適用于有限個數(shù)列，需先求和再求極限22 1工n -n)= lim n解:nim 25nV=nim LVI.(2) lim ( . n2 n=limn2nn(n 1)1=lim 2- = lim (1+ )=1.n n n n講評：當(dāng)n-8時，(1)如果出現(xiàn)型,常上、下同除以n的多項式；(2)若出現(xiàn)0型，常需約去“ 0”0因子；(3)若出現(xiàn)8 -8型，需化簡或有理化 鏈接提示lim (2n2 n 7)對于(1)要避免下面兩種錯誤 ：原式 =2= =1,lim (5n2 7).對于(2)要避免出現(xiàn)下面兩種錯誤n: li

7、m (2n2+n+7), lim (5n2+7)不存在，原式無極限 nn lim (，n2 n -n)= lim n2 nnn - limnn= 00-00=0 原式=lim n2nn - lim n=00-oo不存在. n對于(3)要避免出現(xiàn)原式=lim n-4 + lim n2 n+ + lim 空=0+0+0=0n n2這樣的錯誤.【例3】(2005廣東高考)已知數(shù)列xn滿足X2=,Xn= (Xn-1+Xn-2),n=3,4, .若 lim Xn=2,貝U X122n等于()B.3C.4D.5剖析：由Xn= 1 (Xn-l+Xn-2)可找出相鄰兩項之間的遞推關(guān)系，再進一步求Xn,利用li

8、m Xn=2可求XI.2解析:Xn= (Xn-l+Xn-2)，兩邊減去 Xn-1 得 Xn-X n-1=-(Xn-1 -Xn-2),22-Xn-Xn 1 =-1，即x n-Xn-i是以 X2-X1為首項，公比為-) 的等比數(shù)列 Xn iXn 222Xn-Xn-1=(- x1)(-1)n-2.22XiX2-X1=-,X3-X2= (-),22- X4-X3= ( - )2,22Xn-Xn-i=(-)(-)n-2.22Xi相加倚Xn-Xi=-2iniini1 () Xi() i2.2T=2(*)Xilim Xn=2,(*)式兩邊取極限，得 2-Xi=- 一 , n3. Xi=3.答案:B講評:本題

9、重在考查數(shù)列的通項、求和、迭加法求通項、極限的運算法則等知識，綜合性較強【例4】若數(shù)列an的首項為ai=i,且對任意nC N*,an與an+i恰為方程x2-bnx+cn=0的兩根淇中0<|c|<i,當(dāng)lim (bi+b2+- - +bn)< 3,求c的取值范圍 n解:首先，由題意對任意 n 6 N*,an an+i=cn恒成立.an i ? an 2a n ? an in i an 2 c F an c=c.又 ai - a2=a2=c,.ai,a3,a5,a2n-i,是首項為i,公比為c的等比數(shù)列,a2,a4,a6,a2n,是首項為c,公比為c的等比數(shù)列.其次，由于對任意n N*,an+an+i =bn恒成立，bn 2 an 2 an 3=c.又 bi=ai+a2=i+c,b 2=a2+a3=2c, bnanan i，bi,b3,b5,b2n-i,是首項為i+c,公比為c的等比數(shù)列，b2,b4,b6,b2n,是首項為 2c,公比 +21w3.1 c 1 c為c的等比數(shù)列l(wèi)im (bi+b2+b3+bn尸 lim (bi+b3+b5+ )+lim (b2+b4+尸解得c< 1或c>1.3,