第5章、時變電磁場

1、1第第5章、時變電磁場章、時變電磁場 5.1 法拉第電磁感應定律法拉第電磁感應定律5.2 位移電流位移電流5.3 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組5.4 時變電磁場的邊界條件時變電磁場的邊界條件5.5 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量5.6 波動方程波動方程5.7 動態(tài)位與滯后位動態(tài)位與滯后位5.8 時諧電磁場時諧電磁場5.9 電磁對偶性（略）電磁對偶性（略）5.10 似穩(wěn)電磁場（略）似穩(wěn)電磁場（略）2靜態(tài)場靜態(tài)場場大小不隨時間發(fā)生改變（靜電場，恒定磁場）場大小不隨時間發(fā)生改變（靜電場，恒定磁場）特性：電場和磁場相互獨立，互不影響特性：電場和磁場相互獨立，互不影響 特性：電場和磁場相互

2、激勵，從而形成不可分隔的特性：電場和磁場相互激勵，從而形成不可分隔的統(tǒng)一的整體，稱為電磁場統(tǒng)一的整體，稱為電磁場 時變場時變場：場的大小隨時間發(fā)生改變：場的大小隨時間發(fā)生改變5.1 法拉第電磁感應定律法拉第電磁感應定律3一、電磁感應現(xiàn)象一、電磁感應現(xiàn)象 實驗表明實驗表明：當穿過導體回路的磁通量發(fā)生變化時，：當穿過導體回路的磁通量發(fā)生變化時，回路中會出現(xiàn)感應電流?；芈分袝霈F(xiàn)感應電流。電磁感應現(xiàn)象電磁感應現(xiàn)象 4NSBv二、楞次定律二、楞次定律 閉合的導線回路中所閉合的導線回路中所出現(xiàn)的感應電流，總是使出現(xiàn)的感應電流，總是使它自己所激發(fā)的磁場反抗它自己所激發(fā)的磁場反抗任何引發(fā)電磁感應的原因任何引

3、發(fā)電磁感應的原因（反抗相對運動、磁場變（反抗相對運動、磁場變化或線圈變形等）化或線圈變形等）.F5NBSvNSBv用楞次定律判斷感應電流方向II6 楞次定律是能量楞次定律是能量守恒定律的一種表現(xiàn)守恒定律的一種表現(xiàn)viI 維持滑桿運動必須外加一力，此過程為外力克維持滑桿運動必須外加一力，此過程為外力克服安培力做功轉(zhuǎn)化為焦耳熱服安培力做功轉(zhuǎn)化為焦耳熱.機械能機械能焦耳熱焦耳熱 楞次定律楞次定律 閉合的導線回路中所出現(xiàn)的感應電閉合的導線回路中所出現(xiàn)的感應電流，總是使它自己所激發(fā)的磁場反抗任何引發(fā)電磁流，總是使它自己所激發(fā)的磁場反抗任何引發(fā)電磁感應的原因感應的原因.mF+ + + + + + + +

4、+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +B7 當穿過閉合回路所圍當穿過閉合回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化時，面積的磁通量發(fā)生變化時，回路中會產(chǎn)生感應電動勢，回路中會產(chǎn)生感應電動勢，且感應電動勢正比于磁通且感應電動勢正比于磁通量對時間變化率的負值量對時間變化率的負值.三、法拉第電磁感應定律三、法拉第電磁感應定律SddB dSdtdt 閉合回路由閉合回路由 N 匝密繞線圈組成匝密繞線圈組成 1Niidddtdt 8四、法拉第電磁感應定律微分形式四、法拉第電磁感應定律微分形式 . 令感應電場為令感應電場為 inEinldEdldt

5、如果空間同時還存在由靜止電荷產(chǎn)生的如果空間同時還存在由靜止電荷產(chǎn)生的保守電保守電場場 ，則，則總電場總電場 cininllllE dlEdlEdlEdllSddE dlB dSdtdt cEcinEEE感應電動勢感應電動勢感應電場感應電場9lSSdBE dlB dSdSdtt 根據(jù)根據(jù)斯托克斯斯托克斯(Stokes)定理定理()SSBEdSdSt 上式對上式對任意任意面積均成立面積均成立BEt lSddE dlB dSdtdt 當當回路靜止回路靜止時時法拉第電磁感應定律微分形式法拉第電磁感應定律微分形式 10BEt 法拉第電磁感應定律微分形式法拉第電磁感應定律微分形式 物理意義：隨時間變化的磁

6、場將產(chǎn)生電場。物理意義：隨時間變化的磁場將產(chǎn)生電場。 討討 論論對法拉第電磁感應定律的討論對法拉第電磁感應定律的討論 式中等式右邊為式中等式右邊為B對對t的偏導數(shù)，該式用于分析時變場的偏導數(shù)，該式用于分析時變場式中的式中的E是磁場隨時間變化而激發(fā)的，稱為感應電場是磁場隨時間變化而激發(fā)的，稱為感應電場感應電場是有旋場，磁場隨時間變化處會激發(fā)旋渦狀感應電場是有旋場，磁場隨時間變化處會激發(fā)旋渦狀的電場的電場對任意回路（不一定有導體存在）成立對任意回路（不一定有導體存在）成立磁場不隨時間變化時，有磁場不隨時間變化時，有 ，與靜電場的形式，與靜電場的形式相同，可見靜電場是時變場的特殊情況相同，可見靜電場

7、是時變場的特殊情況0E11SSCdBB dSdS(B v) dldtt 當當磁場不磁場不隨時間隨時間變化變化時時 CSCdE dlB dS(vB) dldt v 導體中的感應電場實際上是導體中單位電荷所受的導體中的感應電場實際上是導體中單位電荷所受的洛侖茲力，同時也可以說明，感應電場是由于電荷在磁洛侖茲力，同時也可以說明，感應電場是由于電荷在磁場中運動而形成的場中運動而形成的. FEvBq FqvB 當導體當導體回路回路以速度以速度 運動運動時時,可以證明可以證明12 例例 設有一半徑為設有一半徑為R ,高度為高度為h 的鋁圓盤的鋁圓盤, 其電導其電導率為率為 . 把圓盤放在磁感強度為把圓盤放

8、在磁感強度為 的均勻磁場中的均勻磁場中, 磁磁場方向垂直盤面場方向垂直盤面.設磁場隨時間變化設磁場隨時間變化, 且且 為一常量為一常量.求盤內(nèi)的感應電流值求盤內(nèi)的感應電流值.（圓盤內(nèi)感應電流自（圓盤內(nèi)感應電流自己的磁場略去不計）己的磁場略去不計）BktBddRBhrrdrrdh13已知已知, R, h, , BktBdd求求I解解 如圖取一半徑為如圖取一半徑為 ,寬度寬度為為 ,高度為高度為 的圓環(huán)的圓環(huán).rrd h則圓環(huán)中的感生電動勢的值為則圓環(huán)中的感生電動勢的值為SLstBlEddddkiE代入已知條件得代入已知條件得2i dddrkstBSE又又rhrRd 21 d所以所以rrkhId2

9、 drrdrrdh14rrkhId2 d由計算得圓環(huán)中電流由計算得圓環(huán)中電流于是圓盤中的感應電流為于是圓盤中的感應電流為RrrkhII0d2 dhRk241rrdrrdh15五、渦電流五、渦電流 感應電流不僅感應電流不僅能在導電回能在導電回 路內(nèi)出路內(nèi)出現(xiàn)，而且當現(xiàn)，而且當大塊導大塊導體體與磁場有相對運與磁場有相對運動或處在變化的磁動或處在變化的磁場中時，在這塊導場中時，在這塊導體中也會激起感應體中也會激起感應電流電流.這種在大塊導這種在大塊導體內(nèi)流動的感應電體內(nèi)流動的感應電流流,叫做叫做渦電流渦電流 , 簡簡稱渦流稱渦流. 應用：熱效應、電磁阻尼效應應用：熱效應、電磁阻尼效應16一、安培環(huán)路

10、定律的局限性一、安培環(huán)路定律的局限性IsjlHSL1dd+-I（以（以 L 為邊做任意曲面為邊做任意曲面 S ）IlHldssj d恒定磁場中恒定磁場中,安培環(huán)路定律安培環(huán)路定律0dd2SLsjlH1S2SL結(jié)論結(jié)論:恒定磁場中推導得到的安培環(huán)路定律不實用恒定磁場中推導得到的安培環(huán)路定律不實用于時變場問題于時變場問題5.2 位移電流位移電流17二、位移電流假說二、位移電流假說 在電容板之間，不存在自由電流，但存在隨時間在電容板之間，不存在自由電流，但存在隨時間變化的電場。變化的電場。 為了克服安培環(huán)路定律的局限性，麥克斯韋提出為了克服安培環(huán)路定律的局限性，麥克斯韋提出了位移電流假說：了位移電流

11、假說：在電容器之間，存在著因變化的電在電容器之間，存在著因變化的電場而形成的電流，其性質(zhì)與傳導電流完全不同場而形成的電流，其性質(zhì)與傳導電流完全不同,量值與量值與回路中自由電流相等回路中自由電流相等.由電流連續(xù)性方程由電流連續(xù)性方程,知在極板間，有知在極板間，有cSdqJdSdt cSSdJdSD dSdt cSSDJdSdSt ()0cSDJdSt 18定義定義:位移電流位移電流密度密度 ()0cSDJdSt 全電流密度全電流密度ScdcDJJJJt cJ 式中式中 為為傳導電流傳導電流dDJt 0sSJdS 全電流遵從電流守恒定律全電流遵從電流守恒定律19三、安培環(huán)路定律廣義形式三、安培環(huán)路

12、定律廣義形式()ScLSSDH dlJdSJdSt 由一般情況下由一般情況下,時變場空間同時存在時變場空間同時存在真實電流真實電流（傳（傳導電流）和導電流）和位移電流位移電流()cSSDH dSJdSt cDHJt 廣義安培環(huán)路定律廣義安培環(huán)路定律物理意義物理意義：隨時間變化的電場能產(chǎn)生磁場：隨時間變化的電場能產(chǎn)生磁場201）全電流是連續(xù)的；）全電流是連續(xù)的；2）位移電流和傳導電流一樣激發(fā)磁場；）位移電流和傳導電流一樣激發(fā)磁場；3）傳導電流產(chǎn)生焦耳熱，位移電流不產(chǎn)生焦耳熱）傳導電流產(chǎn)生焦耳熱，位移電流不產(chǎn)生焦耳熱.+-dIcI 全電流全電流dcsIII位移電流和傳導電流的比較位移電流和傳導電流

13、的比較21討討 論論對安培環(huán)路定律和位移電流的討論對安培環(huán)路定律和位移電流的討論 時變場情況下，磁場仍是有旋場，但旋渦源除傳導電時變場情況下，磁場仍是有旋場，但旋渦源除傳導電流外，還有位移電流流外，還有位移電流.位移電流代表電場隨時間的變化率，當電場發(fā)生變化位移電流代表電場隨時間的變化率，當電場發(fā)生變化時，會形成磁場的旋渦源（位移電流），從而激發(fā)起時，會形成磁場的旋渦源（位移電流），從而激發(fā)起磁場磁場.推廣的安培環(huán)路定律物理意義：隨時間變化的電場推廣的安培環(huán)路定律物理意義：隨時間變化的電場會激發(fā)磁場會激發(fā)磁場.位移電流是一種假想電流，由麥克斯韋用數(shù)學方法位移電流是一種假想電流，由麥克斯韋用數(shù)學

14、方法引入，但在此假說的基礎上，麥克斯韋預言了電磁波引入，但在此假說的基礎上，麥克斯韋預言了電磁波的存在，而赫茲通過實驗證明了電磁波確實存在，從的存在，而赫茲通過實驗證明了電磁波確實存在，從而反過來證明了位移電流理論的正確性而反過來證明了位移電流理論的正確性. 22 例例 計算銅中的位移電流密度和傳導電流密度的比計算銅中的位移電流密度和傳導電流密度的比值。設銅中的電場為值。設銅中的電場為E0sint，銅的電導率銅的電導率=5.8107S/m, 0。tEEJcsin0tEtEtDJdcos0ffJJcd1979106 . 9108 . 5103612 解解： 銅中的傳導電流大小為銅中的傳導電流大小

15、為 23麥克斯韋方程組是揭示了時變電磁場基本性質(zhì)的基麥克斯韋方程組是揭示了時變電磁場基本性質(zhì)的基本方程組本方程組時變電磁場中，電場和磁場相互激勵，形成統(tǒng)一不時變電磁場中，電場和磁場相互激勵，形成統(tǒng)一不可分的整體可分的整體 一、麥克斯韋方程組的微分形式一、麥克斯韋方程組的微分形式 0B DBEt cDHJt 推廣的安培環(huán)路定律推廣的安培環(huán)路定律 法拉第電磁感應定律法拉第電磁感應定律 磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理 高斯定理高斯定理 5.3 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組24變化的電場和變化的磁場變化的電場和變化的磁場二、麥克斯韋方程組的積分形式二、麥克斯韋方程組的積分形式 lSDH dlJd St

16、lSBE dldSt 0SB dS SVD dSdV 真實源（變化的電流和電荷）真實源（變化的電流和電荷）時變電磁場的時變電磁場的源源：注意注意25三、麥克斯韋方程組的限定形式三、麥克斯韋方程組的限定形式 在媒質(zhì)中，場量之間必須滿足媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系。在媒質(zhì)中，場量之間必須滿足媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系。在線性、各向同性媒質(zhì)中：在線性、各向同性媒質(zhì)中： DEBH JE 將將本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系代入麥克斯韋方程組，則得代入麥克斯韋方程組，則得0H ()EHEt EHEt 麥克斯韋方程組限定形式麥克斯韋方程組限定形式 注：限定形式與注：限定形式與媒質(zhì)特性媒質(zhì)特性相關(guān)相關(guān) 26麥克斯韋方程組揭示的麥克斯韋方程組揭示的物

17、理涵義物理涵義時變電場的時變電場的激發(fā)源激發(fā)源除電荷以外，還有變化的磁場；時除電荷以外，還有變化的磁場；時變磁場的激發(fā)源除傳導電流以外，還有變化的電場變磁場的激發(fā)源除傳導電流以外，還有變化的電場 電場和磁場電場和磁場互為激發(fā)源互為激發(fā)源，相互激發(fā)，相互激發(fā) 電場和磁場不再相互獨立，而是電場和磁場不再相互獨立，而是相互關(guān)聯(lián)相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成一，構(gòu)成一個整體個整體電磁場，電場和磁場分別為電磁場的兩個電磁場，電場和磁場分別為電磁場的兩個物理量物理量 麥克斯韋方程預言了電磁波的存在，且已被事實麥克斯韋方程預言了電磁波的存在，且已被事實所證明所證明 說明說明：靜態(tài)場只是時變場的一種：靜態(tài)場只是時變場的一種特

18、殊情況特殊情況 27例例 已知在無源的自由空間中，已知在無源的自由空間中， 0cos()xEe Etz其中其中E0、為常數(shù)，求為常數(shù)，求H000 xyzxeeeHExyztE 解解：所謂無源，就是所研究區(qū)域內(nèi)沒有場源電流和：所謂無源，就是所研究區(qū)域內(nèi)沒有場源電流和電荷電荷，即即J=0, =0。2800sin()yxyzxyze Etze He He Ht 由上式可以寫出：由上式可以寫出： 00cos()yEHetz 00cos()yEHtz 00sin()yHEtzt0,0 xzHH29麥克斯韋方程組知識:形成歷史：Graham Turnbull, Proceedings of IEEE, 2

19、013303132麥克斯韋方程組知識點：四大知識點“四”、“三”、“二”、“一”“四”四個方程tEHJt BEDifferential form0BDIntegral formVSVdVddVDDS0SdBSlSddt ElBSlSddtDHlJ +S其中fcJJJfJ為外部強加的電流源cJE為傳導電流33麥克斯韋方程組知識點：“三”三個本構(gòu)關(guān)系“二”兩個假說“一”一個預言DEBHJE渦旋電場、位移電流t BEdtDJ：電磁波存在34麥克斯韋方程組可以應用于任何麥克斯韋方程組可以應用于任何連續(xù)的連續(xù)的介質(zhì)內(nèi)部介質(zhì)內(nèi)部在兩種介質(zhì)界面上，介質(zhì)性質(zhì)有突變，電磁場也會突變在兩種介質(zhì)界面上，介質(zhì)性質(zhì)有突

20、變，電磁場也會突變 推導邊界條件的依據(jù)是麥克斯韋方程組的推導邊界條件的依據(jù)是麥克斯韋方程組的積分形式積分形式 分界面兩邊電磁場按照某種規(guī)律突變，稱這種突變關(guān)分界面兩邊電磁場按照某種規(guī)律突變，稱這種突變關(guān)系為電磁場的系為電磁場的邊值關(guān)系邊值關(guān)系或或邊界條件邊界條件 一、邊界條件的一般形式一、邊界條件的一般形式 lSDH dlJdSt 1H 2H L1磁場強度的邊界條件磁場強度的邊界條件 H 5.4 時變電磁場的邊界條件時變電磁場的邊界條件35lSDH dlJdSt SttJHH2112()SnHHJ 寫成寫成矢量形式矢量形式 11220()hSSDH sinH sinllimJ dSdSt 12

21、00limlimtthhIDHHhhl ht 1H 2H L結(jié)論結(jié)論：磁場強度在不同媒：磁場強度在不同媒質(zhì)分界面兩側(cè)的切向分量質(zhì)分界面兩側(cè)的切向分量不不連續(xù)連續(xù)，其差值恰好等于分界，其差值恰好等于分界面上的電流面密度面上的電流面密度H 36lSBE dldSt 12ttEE120limtthBEEht 21()0nEE寫成寫成矢量形式為矢量形式為 結(jié)論結(jié)論：電場強度在不同媒質(zhì)分界面兩側(cè)的切向：電場強度在不同媒質(zhì)分界面兩側(cè)的切向分量分量連續(xù)連續(xù) 電場強度的邊界條件電場強度的邊界條件 EE1E2EL1237磁感應強度的邊界條件磁感應強度的邊界條件 120Bn SBn S 12nnBB寫成寫成矢量形

22、式矢量形式 21()0nBB 0SB ds 結(jié)論結(jié)論： 磁感應強度在不同媒質(zhì)分界面兩側(cè)的法向分量磁感應強度在不同媒質(zhì)分界面兩側(cè)的法向分量連續(xù)連續(xù)B 38電通密度的邊界條件電通密度的邊界條件 2D121DSVD dSdV 21SDn SDn SqS 21nnSDD21()SnDD寫成寫成矢量形式矢量形式 結(jié)論結(jié)論：電通密度在不同媒質(zhì)分界面兩側(cè)的法向分量：電通密度在不同媒質(zhì)分界面兩側(cè)的法向分量不不連續(xù)連續(xù)，其差值等于分界面上自由電荷面密度，其差值等于分界面上自由電荷面密度 D39二、理想介質(zhì)分界面上的邊界條件二、理想介質(zhì)分界面上的邊界條件理想介質(zhì)是指導電率為零的媒質(zhì)，理想介質(zhì)是指導電率為零的媒質(zhì)，

23、 0在理想介質(zhì)內(nèi)部和表面上，不存在自由電荷和傳導電流在理想介質(zhì)內(nèi)部和表面上，不存在自由電荷和傳導電流 12()SnHHJ 21()0nEE21()0nBB 21()SnDD12ttHH12ttEE12nnBB12nnDD結(jié)論結(jié)論：在理想介質(zhì)分界面上，矢量：在理想介質(zhì)分界面上，矢量切向切向連續(xù)連續(xù)在理想介質(zhì)分解面上，矢量在理想介質(zhì)分解面上，矢量法向法向連續(xù)連續(xù)EH B D40三、理想導體表面上的邊界條件三、理想導體表面上的邊界條件 理想導體是電導率為無窮大的導體理想導體是電導率為無窮大的導體 電場強度和磁感應強度均為零電場強度和磁感應強度均為零 表面上，一般存在自由電荷和傳導電流表面上，一般存在

24、自由電荷和傳導電流 設區(qū)域設區(qū)域2為理想導體，區(qū)域為理想導體，區(qū)域1為介質(zhì)，為介質(zhì)，SnHJ 0nE12()SnHHJ 21()0nEEtSHJ0tE 2nD2nB2tE2tH有，為零有，為零41SnHJ 0nE0n B Sn D 12()SnHHJ 21()0nEE21()0nBB 21()SnDDtSHJ0tE 0nB nSD理想介質(zhì)和理想導體只是理想介質(zhì)和理想導體只是理論上理論上存在。在存在。在實際應用中，某些媒質(zhì)導電率極小或者極大，則可視實際應用中，某些媒質(zhì)導電率極小或者極大，則可視作理想介質(zhì)或理想導體進行處理作理想介質(zhì)或理想導體進行處理 注意注意42例例 設區(qū)域設區(qū)域(z0)的的媒質(zhì)

25、參數(shù)媒質(zhì)參數(shù)r2=5, r2=20, 2=0。區(qū)域。區(qū)域中的電場強度為中的電場強度為 88160cos(15 105 )20cos(15 105 )(/)xEetztzV m區(qū)域區(qū)域中的中的電場強度電場強度為為 82cos(15 105 )(/)xEe Atz V m試求試求：(1) 常數(shù)常數(shù)A；(2) 磁場強度磁場強度H1和和H2；(3) 證明在證明在z=0處處H1和和H2滿足邊界條件。滿足邊界條件。 43解：解：(1) 在無耗媒質(zhì)的分界面在無耗媒質(zhì)的分界面z=0處，處， 有有 88160 cos(15 10 )20 cos(15 10 )xEett由于由于E1和和E2恰好為切向電場，恰好為

26、切向電場， mVA/80880 cos(15 10 )xet82cos(15 10 )xEe At44 (2) 根據(jù)根據(jù)麥克斯韋方程麥克斯韋方程 111HEt 所以所以 1111111yEHEett 所以所以 8180.1592 cos(15105 )0.0531 cos(15105 )(/)yHetztzA m 8811300 sin(15 105 )100 sin(15 105 )yetztz 45同理，同理， 可得可得 820.1061 cos(15 1050 )(/)yHetzA m (3) 將將z=0代入代入(2)中得中得 810.106 cos(15 10 )yHet 820.10

27、6 cos(15 10 )yHet 46例 在由理想導電壁( )限定的區(qū)域 內(nèi)存在一個以下各式表示的電磁場 0 xa0sinsinyaxEHkzta 0sinsinxaxHH kkzta0coscoszxHHkzta這個電磁場滿足的邊界條件如何？導電壁上電流密度值如何？47分析：對于理想導體：1. 內(nèi)部的電場強度和磁場強度均為零！3. 表面可能有感應電流和自由電荷！2.電場強度切向分量和磁場強度法向分量為零！48解：在 面上， 0 x 00sinsin0yaEHkzta 0 xH 000coscoscoszHHkztHkzta在 面上， xa0sinsin0yaaEHkzta 0 xH 00c

28、oscoscoszaHHkztHkzta 說明：在理想導體表面，不存在電場切向分量；也不存在磁場法向分量！49在 面上，電流密度為 0 x 0sxJnH0 xxxzzxHHeee0 xzzxHee0zyxH e0cos()yHkzt e在 面上，電流密度為 xasx aJnHxxxzzx aHH eeexzzx aHeezyx aHe0cos()yHkzt e50 能量守恒定律能量守恒定律是一切物質(zhì)運動過程遵守的普遍規(guī)律，作是一切物質(zhì)運動過程遵守的普遍規(guī)律，作為特殊形態(tài)的物質(zhì)，電磁場及其運動過程也是遵守這一規(guī)律。為特殊形態(tài)的物質(zhì)，電磁場及其運動過程也是遵守這一規(guī)律。 一、電磁場能量密度和能流密

29、度一、電磁場能量密度和能流密度 電磁場的能量密度：它表示單位體積中電磁場的能量，電磁場的能量密度：它表示單位體積中電磁場的能量，為電場能量和磁場能量之和為電場能量和磁場能量之和. . 電場能量密度電場能量密度： 磁場能量密度磁場能量密度： 電磁波能量密度電磁波能量密度： 211( )( )( )22ewD rE rE r 22111( )( )( )( )222mwB rH rH rB r 221()2emwwwEH5.5 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量511電磁場的電磁場的能量流密度能量流密度：電磁波：電磁波電磁振蕩定向運動電磁振蕩定向運動伴隨電磁場能量移動，其流動情況用電磁場

30、能量流密度伴隨電磁場能量移動，其流動情況用電磁場能量流密度（能流密度）（能流密度）s s表示，其表示，其數(shù)值數(shù)值為單位時間垂直流過單位為單位時間垂直流過單位面積的能量，面積的能量，方向方向為能量流動方向為能量流動方向. . 二、坡印廷定理和坡印廷矢量二、坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理的數(shù)學推導坡印廷定理的數(shù)學推導 DHJt BEt HEEH BDHE JEtt ()()()EHHEEH 利用利用矢量恒等式矢量恒等式 52()BDEHHEE Jtt 2211()()()22EHHEE Jtt ()mewwEHE Jtt 坡印廷定理微分形式坡印廷定理微分形式 ()emSVVVdEHdSw dVw

31、 dVE JdVdt ()()meVVwwEH dVE J dVtt 將坡印廷定理微分形式在將坡印廷定理微分形式在一定體積一定體積V V內(nèi)內(nèi)進行進行積分積分53坡印廷定理的坡印廷定理的物理意義物理意義 設區(qū)域設區(qū)域v v中電磁場能量隨時間減少，由于能量守恒，中電磁場能量隨時間減少，由于能量守恒，減少的能量可能通過邊界流出，或因?qū)p少的能量可能通過邊界流出，或因?qū) v中電荷做功而中電荷做功而消耗，即消耗，即 減少量減少量 = = 流出量流出量 + + 消耗量消耗量 ()emSVdEHdSWWE JdVdt 坡印廷定理積分形式坡印廷定理積分形式 ()emSVdWWEHdSE JdVdt 坡印廷定

32、理坡印廷定理物理意義物理意義：流入流入體積體積v v內(nèi)的內(nèi)的電磁功率電磁功率等于體等于體積積v v內(nèi)內(nèi)電磁能量的增加率電磁能量的增加率與體積與體積v v內(nèi)內(nèi)損耗的電磁功率損耗的電磁功率之和。之和。254表示流入閉合面表示流入閉合面S S的電磁功率，因此的電磁功率，因此坡印廷矢量坡印廷矢量()SEHdS EH 為一與能流密度有關(guān)的矢量，稱為為一與能流密度有關(guān)的矢量，稱為坡印廷矢量坡印廷矢量 定義定義：坡印廷矢量（用符號：坡印廷矢量（用符號 表示）表示） 瞬時瞬時坡印廷矢量坡印廷矢量(Poynting vector)(Poynting vector) ( )( )( )S tE tH t 3S 5

33、5關(guān)于坡印廷矢量的關(guān)于坡印廷矢量的說明說明：上式中坡印廷矢量為時間上式中坡印廷矢量為時間t的函數(shù)，表示的函數(shù)，表示瞬時瞬時功率功率 流密度流密度公式中公式中E,H表達式應為場量的表達式應為場量的實數(shù)實數(shù)表達式表達式坡印廷矢量的坡印廷矢量的大小大小表示表示單位時間單位時間內(nèi)通過內(nèi)通過垂直垂直于能量于能量傳輸方向的傳輸方向的單位面積單位面積的電磁能量的電磁能量 坡印廷矢量的坡印廷矢量的方向方向即為電磁能量傳播方向即為電磁能量傳播方向瞬時瞬時坡印廷矢量坡印廷矢量 ( )( )( )S tE tH t 56時變電磁場的時變電磁場的平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量 對某些時變場，電場和磁場隨時間呈周期性變化

34、，對某些時變場，電場和磁場隨時間呈周期性變化，此時求解一個周期內(nèi)通過某個平面的電磁能量，才能反此時求解一個周期內(nèi)通過某個平面的電磁能量，才能反映電磁能量的傳遞情況映電磁能量的傳遞情況 平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量：將瞬時形式坡印廷矢量在一個周期：將瞬時形式坡印廷矢量在一個周期內(nèi)取平均，用內(nèi)取平均，用 ; ;即即: : 4avS 0011( )( )( )TTavSS t dtE tH t dtTT 與時間與時間t t無關(guān)無關(guān) avS 注意注意: : 57()rUEe arbbrlna22zUISEHebr lna 解解：分別根據(jù)：分別根據(jù)高斯定理高斯定理和和安培環(huán)路定律安培環(huán)路定律，可以求出同

35、軸，可以求出同軸線內(nèi)、線內(nèi)、 外導體間的外導體間的電場電場和和磁場磁場： 例例 一同軸線內(nèi)導體半徑為一同軸線內(nèi)導體半徑為a，外導體半徑為，外導體半徑為b，內(nèi)、外，內(nèi)、外導體間為空氣，內(nèi)、外導體均為理想導體，載有直流電流導體間為空氣，內(nèi)、外導體均為理想導體，載有直流電流I，內(nèi)、，內(nèi)、 外導體間的電壓為外導體間的電壓為U。求同軸線的能流密度矢量。求同軸線的能流密度矢量和傳輸功率。和傳輸功率。()2IHearbr 能流密度矢量能流密度矢量58 上式說明電磁能量沿上式說明電磁能量沿z軸方向流動，由電源向負載軸方向流動，由電源向負載傳輸。傳輸。 通過同軸線內(nèi)、外導體間任一橫截面的通過同軸線內(nèi)、外導體間任

36、一橫截面的功率功率為為 222bSaUIPS dSrdrUIbr lna 這一結(jié)果與電路理論中熟知的這一結(jié)果與電路理論中熟知的結(jié)果一致結(jié)果一致。 59 考慮媒質(zhì)考慮媒質(zhì)均勻均勻、線性線性、各向同性各向同性的的無源無源區(qū)域區(qū)域( , =0)且且 的情況，這時麥克斯韋方程變?yōu)榈那闆r，這時麥克斯韋方程變?yōu)?0H 0EHEt EHt 0B DBEt cDHJt 05.6 波動方程波動方程0fJ602()EE 2220HHt HEt 2()()EEHt 2220EEt20EEttEtt 無源無源區(qū)域區(qū)域無源區(qū)無源區(qū)電場電場波動方程波動方程無源區(qū)無源區(qū)磁場磁場波動方程波動方程61 例如在直角坐標系中，由例

37、如在直角坐標系中，由 的矢量波動方程可以的矢量波動方程可以得到三個得到三個標量波動方程標量波動方程： 222222220 xxxxEEEExyzt222222220yyyyEEEExyzt222222220zzzzEEEExyztE62 從上方程可以看出：時變電磁場的電場場量和磁從上方程可以看出：時變電磁場的電場場量和磁場場量在空間中是以波動形式變化的，因此稱時變電場場量在空間中是以波動形式變化的，因此稱時變電磁場為磁場為電磁波電磁波。 通過解波動方程，可以求出空間中電場場量和磁通過解波動方程，可以求出空間中電場場量和磁場場量的分布情況場場量的分布情況. .但需要注意的是：但需要注意的是：只有

38、少數(shù)特殊情只有少數(shù)特殊情況況可以通過直接求解波動方程求解?？梢酝ㄟ^直接求解波動方程求解。2220HHt 2220EEt無源區(qū)無源區(qū)電場電場波動方程波動方程無源區(qū)無源區(qū)磁場磁場波動方程波動方程說明：說明：63 例例 在無源區(qū)求均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中電場強度和磁場強在無源區(qū)求均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中電場強度和磁場強度滿足的波動方程。度滿足的波動方程。HEt 2()EEHt 解解：考慮到各向同性、線性、均勻的導電媒質(zhì)和：考慮到各向同性、線性、均勻的導電媒質(zhì)和無源區(qū)域，由麥克斯韋方程有無源區(qū)域，由麥克斯韋方程有 2()EEEEtt 64所以，電場強度所以，電場強度 滿足的波動方程為滿足的波動方程為 2220EEEtt同

39、理同理，可得磁場強度滿足的波動方程為，可得磁場強度滿足的波動方程為 2220HHHtt E655-24 導出各向同性均勻媒質(zhì)（無運流電流）中的E和H滿足 的非齊次波動方程(P175)222ct HHJ2221cttJEE分析： 在該媒質(zhì)中無運流電流，也就是沒有外部強加的電流源，但有傳導電流；另外還有自由電荷。66BA 0B ()BEAtt 0AEt AEt AEt ( , )A r t ( , )r t動態(tài)動態(tài)矢量位矢量位動態(tài)動態(tài)標量位標量位一、動態(tài)位一、動態(tài)位 說明說明：1 1、時變場電場場量和磁場場量均為時間和空間、時變場電場場量和磁場場量均為時間和空間位置的函數(shù)，因此位置的函數(shù)，因此動態(tài)

40、矢量位動態(tài)矢量位和和動態(tài)標量位動態(tài)標量位也為時間和也為時間和空間位置的函數(shù)?？臻g位置的函數(shù)。2 2、由于時變場電場和磁場為統(tǒng)一整體，因此動態(tài)標量、由于時變場電場和磁場為統(tǒng)一整體，因此動態(tài)標量位和動態(tài)矢量位也是一個位和動態(tài)矢量位也是一個統(tǒng)一的整體統(tǒng)一的整體。5.7 動態(tài)位與滯后位動態(tài)位與滯后位67洛倫茲規(guī)范條件洛倫茲規(guī)范條件的引入的引入由于在定義中動態(tài)矢量位函數(shù)僅僅確定了其旋度式，由于在定義中動態(tài)矢量位函數(shù)僅僅確定了其旋度式，而沒有確定散度式，因此滿足定義的矢量位函數(shù)有而沒有確定散度式，因此滿足定義的矢量位函數(shù)有無限多個無限多個。為了使時變電磁場場量和動態(tài)位之間滿。為了使時變電磁場場量和動態(tài)位之

41、間滿足足一一對應一一對應關(guān)系，須引入額外的關(guān)系，須引入額外的限定條件限定條件規(guī)范規(guī)范條件。條件。對于時變場來說，動態(tài)位函數(shù)常用的規(guī)范條件為洛對于時變場來說，動態(tài)位函數(shù)常用的規(guī)范條件為洛倫茲規(guī)范條件倫茲規(guī)范條件At 洛倫茲規(guī)范條件洛倫茲規(guī)范條件AEt BA 0B 68二、達朗貝爾方程二、達朗貝爾方程 AEt 2()At 1EHAJt AJtt 222()AAAJtt 69222AAJAtt At 222AAJt 222t 達朗貝爾方程達朗貝爾方程 222()AAAJtt 2()At 70關(guān)于關(guān)于動態(tài)位動態(tài)位和和達朗貝爾方程達朗貝爾方程的討論的討論引入動態(tài)標量位和矢量位引入動態(tài)標量位和矢量位可以簡

42、化可以簡化電磁問題的電磁問題的求解求解原因原因：1 1、標量位和矢量位方程、標量位和矢量位方程形式相同形式相同，解解形式相同形式相同2 2、矢量位矢量位方向與方向與電流方向電流方向相同相同從達朗貝爾方程可知：從達朗貝爾方程可知：電荷電荷是產(chǎn)生是產(chǎn)生標量標量位的位的源源，電電流流是產(chǎn)生是產(chǎn)生矢量矢量位的位的源源動態(tài)標量位和矢量位是以動態(tài)標量位和矢量位是以波動的形式波動的形式隨時間變化而隨時間變化而變化的變化的討論討論71 例例 已知時變電磁場中矢量位已知時變電磁場中矢量位 ， 其中其中Am、k是常數(shù)，求電場強度、磁場強度和坡印廷矢量。是常數(shù)，求電場強度、磁場強度和坡印廷矢量。 sin()xmAe

43、 Atkz 解：解： cos()xyymABAee kAtkzt 0,ACt cos()xmAEeAtkzt cos()ymkHeAtkz 72坡印廷矢量的坡印廷矢量的瞬時值瞬時值為為 ( )( )( )S tE tH t cos()cos()xymmkeAtkzeAtkz 2cos()zmkeAtkz73第五章 作業(yè)5-1 5-15 5-17 5-26 5-2874一、正弦場的復數(shù)表示一、正弦場的復數(shù)表示 電磁場隨時間作正弦變化時，在直角坐標系內(nèi)，電磁場隨時間作正弦變化時，在直角坐標系內(nèi)，電場強度的三個分量可以電場強度的三個分量可以余弦形式余弦形式表示為表示為()( )cos( )xxmxE

44、 r,tErtr()( )cos( )yymyEr,tErtr()( )cos( )zzmzE r,tErtrcossinjej歐拉公式歐拉公式 5.8 時諧電磁場時諧電磁場751復數(shù)振幅復數(shù)振幅 電場的三個分量用復數(shù)的實部表示為電場的三個分量用復數(shù)的實部表示為j( )j()( )( )xtrtxxmxmE r,tRe Er eRe Er ej( )j()( )( )ytrtyymymEr,tRe Er eRe Er ej( )j()( )( )ztrtzzmzmE r,tRe Er eRe Er ej( )( )( )xrxmxmErEr ej( )( )( )yrymymErEr ej(

45、)( )( )zrzmzmErEr e復數(shù)振幅復數(shù)振幅 76j te：時間因子(time factor, time dependence)R. F. Harrington. Time-Harmonic Electromagnetic Fields“正弦電磁場”進一步閱讀文獻：John Wiley & Sons, Inc. 2001772復矢量復矢量 (complex vector) ()()()()xyzxyzE r,tE r,t eE r,t eE r,t e j( )tmRer eEj( )( )( )txyzxmymzmReEr eEr eEr ee ( )( )( )( )xy

46、zmxmymzmrEr eEr eEr e E稱為電場強度稱為電場強度復矢量復矢量。 78同理同理 j( , )( )tmH r tRer e Hj()( )tmD r,tRer e Dj()( )tmB r,tRer e Bj()( )tmJ r,tRer e J復矢量：每個“分量”都是“復數(shù)”的矢量。 它只是一個記號! 不能像實矢量一樣用三維空間中的箭矢表示； 不能用復平面上的一個復數(shù)表示。復矢量運算規(guī)則：首先按矢量規(guī)則；其次按復數(shù)規(guī)則。 每個復數(shù)振幅可以用復平面上的一個復數(shù)表示！793場量對時間微積分的復數(shù)表示場量對時間微積分的復數(shù)表示 22j2j22()( )( )ttmmE r,tR

47、er eRer ett EEjj1()d( )d( )ttmmE r,ttRer etRer ej EE場量為場量為標量標量時的運算同此時的運算同此 j()j( )tmr,tRer etjjj()( )( )( )tttmmmE r,tRer eRer eRe jr ettt EEE804 場量對空間求導的復數(shù)表示場量對空間求導的復數(shù)表示 jj()( )( )ttmmE r,tRer eRer e EEjj()( )( )ttmmE r,tRer eRer e EE可以看出，jt1dtj注意：這兩個等價和時間因子有關(guān)！81二、麥克斯韋方程組的復數(shù)形式二、麥克斯韋方程組的復數(shù)形式 把時諧場的上述

48、復數(shù)表示法代入把時諧場的上述復數(shù)表示法代入麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 jjRe( )Re( )j( )ttmmmr erreHJD( )( )j( )mmmrrrHJD 一般來說，僅實部相等并不意味著復數(shù)相等；但一般來說，僅實部相等并不意味著復數(shù)相等；但上式須在上式須在任意時刻任意時刻都成立，于是就只有等式兩邊的復都成立，于是就只有等式兩邊的復數(shù)相等。約掉時間因子數(shù)相等。約掉時間因子 j te為方便，約定不寫出時間因子，去掉下標和點為方便，約定不寫出時間因子，去掉下標和點 jHJD 82同理同理可得可得jEB jHJD 0B D好處： 將四維 三維 時域問題變?yōu)轭l域問題83例 將場矢量的瞬時

49、值改為復數(shù)，復數(shù)改為瞬時值。 00sinsincoscosxzaxxH kkztHkztaaeeH(1) 解：00sinsincoscosxzaxxH kkztHkztaaeeH00sincoscoscos2xzaxxH ktkzHtkzaaee00sinRecosRejt kzjt kzxzaxxH kjeHeaaee所以， 復矢量為 00sincosjkzjkzmxzaxxjH keHeaaeeH84882.5 cos 100.5cos 10dItt (2)解：882.5 cos 100.5cos 10dItt 88100.5102.5Re2.5Rejtjtee 則jdm

50、Ie (3) sin02cos sincosj xxmEjEze 解：sin02cossincosj xxmEjEze sin202cos sincosjj xEzeesin202cos sincosjxEze則瞬時值為 0( , , )2cos sincoscossin2xEx z tEztx02cos sincossinsinEztx85復介電常數(shù) 復磁導率無源區(qū)的麥克斯韋方程可推出波動方程. 有源區(qū)的麥克斯韋方程無法推出波動方程。為此要引入復介電常數(shù)jjjj HEEEE定義 j為復介電常數(shù)。 0rj相對復介電常數(shù) 虛部來源：媒質(zhì)的導電性 (來源之一) 1. 媒質(zhì)的導電性862. 介質(zhì)色散

51、 在時變場中， 為是頻率的函數(shù)，因此是復數(shù)。 j這種介質(zhì)被稱為色散介質(zhì)(dispersive media) 色散也會造成熱損耗 (介質(zhì)損耗) 熱損耗公式：*1Re2avdPE J2211Re22EjE若 ，則 。 00avP 1Re*2jE* E21Re2jE j212E87磁介質(zhì)在高頻時，也有色散特性，也為復數(shù)。 j表征介質(zhì)損耗程度用損耗角正切(loss tangent) tane對磁介質(zhì)tanm介質(zhì)分類：當 為空間坐標的函數(shù)，介質(zhì)為非均勻介質(zhì), 當 為頻率的函數(shù)，為色散介質(zhì) 當 為場的函數(shù)，稱為非線性介質(zhì)(nonlinear media) , , 電磁特性與外加電磁場方向有關(guān)的介質(zhì)，稱為各

52、向異性介質(zhì) (anisotropic media).88 理想介質(zhì)(perfect dielectric, perfect media)0的各向同性、線性介質(zhì)。也就無耗介質(zhì)(lossless media)89波動方程的復數(shù)形式波動方程的復數(shù)形式 亥姆赫茲方程亥姆赫茲方程的波動方程E2220tEE利用 ，得2222jt 220 EE復數(shù)形式220 HH對磁場有亥姆赫茲方程90220 EE220 HH亥姆赫茲方程令22k 波數(shù) (wavenumber)對有耗介質(zhì)，k為復數(shù)對無耗介質(zhì)，k為實數(shù)91對正弦電磁場，當場矢量用復數(shù)表示時：對正弦電磁場，當場矢量用復數(shù)表示時： *21Re)(tjtjtjeEEeEetE*21Re)(tjtjtjeHHeHetH從而坡印廷矢量從而坡印廷矢量瞬時值瞬時值可寫為可寫為 1( )( )( )Re*2j tj tS ttteeEHEE三、復坡印廷矢量三、復坡印廷矢量 221 11 1Re*Re*2 22 2jtjteeEHEHEHEH211Re*Re22jteEHEH1Re*2j tj teeHH92它在一個周期它在一個周期T=2/內(nèi)的內(nèi)的平均值平均值為為 式中：式中： *21HES S稱為稱為復坡印廷矢量復坡印廷矢量，它與時間，它與時間t無關(guān)，表示復功率流密度，無關(guān)，表示復功