大學(xué)物理實驗誤差不確定度

1、 測量是物理實驗的基礎(chǔ)。測量是物理實驗的基礎(chǔ)。 測量結(jié)果應(yīng)測量結(jié)果應(yīng)包括包括數(shù)值、單位數(shù)值、單位和對測量結(jié)果精確程度的和對測量結(jié)果精確程度的評價（評價（不確定度不確定度）。）。 以電阻測量為例以電阻測量為例 測量對象測量對象 數(shù)值數(shù)值 不確定度不確定度 單位單位含義：含義： R 的真值有相當(dāng)大（例如的真值有相當(dāng)大（例如95%）的可能（概率）的可能（概率）位于區(qū)間位于區(qū)間 （909.9，910.7） 之內(nèi)。之內(nèi)。4.03.910R測量分為測量分為直接測量直接測量和和間接測量間接測量 直接測量：直接測量：由儀器直接讀出測量由儀器直接讀出測量結(jié)果的。結(jié)果的。 間接測量：間接測量：由直接測量結(jié)果由直接

2、測量結(jié)果通過公式計算通過公式計算 而得出結(jié)果的。而得出結(jié)果的。例：例：測量銅柱的密度時，我們可以用米尺量出它的測量銅柱的密度時，我們可以用米尺量出它的高高h(yuǎn)和直徑和直徑d，算出體積，算出體積 然后用天平然后用天平稱出它的質(zhì)量稱出它的質(zhì)量M，算出密度，算出密度 這里銅柱的高這里銅柱的高 h、直徑、直徑 d 和質(zhì)量和質(zhì)量 M是是直接測得量，直接測得量， 體積體積V和密度和密度是是間接測得量間接測得量。24dhVhdMVM24誤差公理誤差公理：測量總是存在誤差的，：測量總是存在誤差的，誤差普遍存在誤差普遍存在。誤差定義誤差定義：推論：推論：(1).真值真值不可確知不可確知(2).誤差誤差不可確知不可

3、確知 誤差雖然不可確知，但我們可以分析誤差的主要誤差雖然不可確知，但我們可以分析誤差的主要來來源源，盡可能消除或減小某些誤差分量對測量的影響，盡可能消除或減小某些誤差分量對測量的影響，把它控制在允許范圍之內(nèi)。對于最終不能消除的誤差把它控制在允許范圍之內(nèi)。對于最終不能消除的誤差分量，我們還可以估計出它的分量，我們還可以估計出它的限值限值或或分布范圍分布范圍，對測，對測量結(jié)果的精確程度作出合理的評價量結(jié)果的精確程度作出合理的評價測量誤差測量值真值 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差：測量值對真值的偏離（包括大小和方向）：測量值對真值的偏離（包括大小和方向） 總是相同的。具有總是相同的。具有恒定性，不能用增加測量次數(shù)

4、的方恒定性，不能用增加測量次數(shù)的方法使它減小。法使它減小。 偶然誤差偶然誤差：由大量、微小、不可預(yù)知的因素引起。：由大量、微小、不可預(yù)知的因素引起。 具有具有隨機性，隨機性，服從服從統(tǒng)計律統(tǒng)計律 產(chǎn)生原因：產(chǎn)生原因： 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差： 如儀器誤差，方法誤差，人員誤差如儀器誤差，方法誤差，人員誤差 偶然誤差偶然誤差： 如實驗條件和環(huán)境因素的起伏，估讀數(shù)如實驗條件和環(huán)境因素的起伏，估讀數(shù) 的偏差，測量對象的不穩(wěn)定的偏差，測量對象的不穩(wěn)定.已定系統(tǒng)誤差已定系統(tǒng)誤差：設(shè)法消除，或修正：設(shè)法消除，或修正 測量結(jié)果測量結(jié)果 = 測得值測得值(或其平均值或其平均值)- -已定系統(tǒng)誤差已定系統(tǒng)誤差 （如電表

5、、螺旋測微計的零位誤差；伏安法測電阻時電表內(nèi)（如電表、螺旋測微計的零位誤差；伏安法測電阻時電表內(nèi)阻引起的阻引起的 誤差）誤差）未定系統(tǒng)誤差未定系統(tǒng)誤差：估計其：估計其限值（儀器的允差）限值（儀器的允差），歸入歸入B類不確類不確定度定度參與對測量結(jié)果的評價（參與對測量結(jié)果的評價（如儀器誤差）。如儀器誤差）。 儀儀 器器 名名 稱稱量量 程程最小分度值最小分度值最最 大大 允允 差差鋼板尺鋼板尺150mm500mm1000mm1mm1mm1mm0.10mm0.15mm0.20mm游標(biāo)卡尺游標(biāo)卡尺125mm0.02mm0.05mm0.02mm0.05mm螺旋測微器（千分尺）螺旋測微器（千分尺）025

6、mm0.01mm0.004mm七級天平（物理天平）七級天平（物理天平）500g0.05g0.08g（接近滿量程）0.06g（1/2量程附近）0.04g（1/3量程附近）普通溫度計普通溫度計精密溫度計（水銀）精密溫度計（水銀）0100010010.110.2電表電表級別%量程數(shù)字萬用電表數(shù)字萬用電表m%UUx 電流表電流表（量程量程30mA, 0.5級級）儀器誤差儀器誤差 舉例：舉例：儀30 0.5% 0.2(mA)儀偶然誤差的特點：統(tǒng)計規(guī)律性偶然誤差的特點：統(tǒng)計規(guī)律性 小誤差出現(xiàn)的概率大；大誤差出現(xiàn)的概率小小誤差出現(xiàn)的概率大；大誤差出現(xiàn)的概率小,具具 有有單峰性單峰性； 正、負(fù)誤差正、負(fù)誤差對

7、稱對稱分布，分布， 具有具有抵償性。抵償性。處理方法處理方法： 取多次測量的取多次測量的平均值平均值為測量結(jié)果為測量結(jié)果的最的最佳估計值。佳估計值。 研究其研究其分布分布，找出其，找出其特特征值征值，歸入，歸入A類不確定度，類不確定度，參與對測量結(jié)果參與對測量結(jié)果的評價。的評價。 P(x) 小 大 x 0 偶然誤差一般服從偶然誤差一般服從正態(tài)分布，正態(tài)分布，可用概率密度函數(shù)可用概率密度函數(shù)來描述，概率密度函數(shù)為來描述，概率密度函數(shù)為(1). 當(dāng)測量次數(shù)當(dāng)測量次數(shù) 時，時，所有測量值的所有測量值的算術(shù)平均值就等于真算術(shù)平均值就等于真值值 所以所以增加測量次數(shù)可以減小偶然誤差增加測量次數(shù)可以減小偶

8、然誤差。(2). 稱為標(biāo)準(zhǔn)差，是稱為標(biāo)準(zhǔn)差，是 中的參數(shù)，反映誤差的離散程度中的參數(shù)，反映誤差的離散程度 221( )exp()22xx P(x) 小 大 x 0 ( )xn( ) x(3). 置信區(qū)間置信區(qū)間 與置信概率（置信水平）與置信概率（置信水平）的關(guān)系：的關(guān)系：11.9621.96333( )d68.3%( )d95%( )d99.7%Px xPxxPxx),(00kxkx p(x) - 0 x( )dkCkPxx 偶然誤差的處理方法偶然誤差的處理方法 假定系統(tǒng)誤差已消除，對同一個物理量進(jìn)行假定系統(tǒng)誤差已消除，對同一個物理量進(jìn)行n次測量，測得次測量，測得的值為的值為xi (i =1,

9、 2，n)(1) 用多次測量的用多次測量的算術(shù)平均值算術(shù)平均值作為作為x0的的估計值：估計值： (2) 用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 作為作為 的的估計值估計值 按貝塞耳公式求出按貝塞耳公式求出：測量結(jié)果可以表述為：測量結(jié)果可以表述為：nxxnii/ )(1211()(1)nxiixxn nxxYx為了估計測量結(jié)果的可靠程度，測量結(jié)果應(yīng)寫成為了估計測量結(jié)果的可靠程度，測量結(jié)果應(yīng)寫成不確定度不確定度 是是概率概率意義上對測量結(jié)果意義上對測量結(jié)果精確程度精確程度的評價。的評價。表示測量結(jié)果是一個范圍表示測量結(jié)果是一個范圍它表示待測物理量的真值有一定的概率落在上述范圍內(nèi)它表示待測物理量的

10、真值有一定的概率落在上述范圍內(nèi)（關(guān)鍵是找出關(guān)鍵是找出 置信區(qū)間置信區(qū)間與與置信概率置信概率的關(guān)系的關(guān)系） 若置信概率為若置信概率為100%，則相應(yīng)的，則相應(yīng)的 就稱為就稱為極限誤差極限誤差， 用用 表示，寫作：表示，寫作： N,NN NNYNNeYNeN 也常用也常用標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 表示，寫作表示，寫作 這時置信概率就為這時置信概率就為68.3% 要完整地表示一個物理量，應(yīng)該有要完整地表示一個物理量，應(yīng)該有數(shù)值、單位數(shù)值、單位 、不確定度不確定度這三個要素這三個要素 相對誤差和相對不確定度：相對誤差和相對不確定度： 常用相對不確定度估計相對誤差的大小常用相對不確定度估計相對誤差的大小NYN=測量

11、誤差相對誤差真值=不確定度相對不確定度測量值例：測得兩個物體的長度為：例：測得兩個物體的長度為： 其相對其相對不確定度不確定度分別為：分別為： 兩者兩者不確定度不確定度相等，但相等，但相對相對不確定度后不確定度后者者大大1個數(shù)量級個數(shù)量級。注：不確定度一般取注：不確定度一般取12位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。cm03. 035. 2,cm03. 050.2321ll%3 . 1%10035. 203. 0%,13. 0%10050.2303. 021EE不確定度分類不確定度分類 不確定度分為兩類：不確定度分為兩類： A 類類分量分量 (多次重復(fù)測量時多次重復(fù)測量時)可用可用統(tǒng)計學(xué)方法統(tǒng)計學(xué)方法計算的

12、計算的 分量；（常指分量；（常指標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差） B 類類分量分量 用其他方法估算的分量（比如用其他方法估算的分量（比如儀器儀器的允差的允差或或極限誤差極限誤差）。）。 總不確定度是這兩類分量的總不確定度是這兩類分量的方和根方和根合成：合成： 2B2AAB A 計算標(biāo)準(zhǔn)偏差計算標(biāo)準(zhǔn)偏差 計算計算算術(shù)平均值算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差211()1niixxn211()(1)nxiixxn n 單次測量的幾種情況：單次測量的幾種情況： (1).儀器精度較低；儀器精度較低；(2).對測量的準(zhǔn)確程度要求不高對測量的準(zhǔn)確程度要求不高(3).受測量條件限制受測量條件限制 單次測量只能考慮單次測量只能考慮B類分

13、量，即儀器的允差或類分量，即儀器的允差或極限誤差極限誤差 ，表達(dá)式：，表達(dá)式： 若要在若要在 與與 間換算，間換算，eYNee3e 求測量數(shù)據(jù)的平均值求測量數(shù)據(jù)的平均值 修正已定系統(tǒng)誤差修正已定系統(tǒng)誤差 (例如初讀數(shù)例如初讀數(shù)x0），得），得 求求算術(shù)平均值算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差的標(biāo)準(zhǔn)偏差根據(jù)所用儀器得根據(jù)所用儀器得 B=儀 =e將將極限誤差換算為標(biāo)準(zhǔn)差極限誤差換算為標(biāo)準(zhǔn)差 由由 A、 B合成總不確定度合成總不確定度u : 給出直接測量的最后結(jié)果：給出直接測量的最后結(jié)果： 11niixxn211()(1)nAiixxn n22BAu %100 xuEuxx0 xxx3Be例：例：用一級螺旋測微計

14、測某一圓柱體的直徑用一級螺旋測微計測某一圓柱體的直徑d共共6次，測量值如下表：次，測量值如下表： 螺旋測微計的初讀數(shù)為：螺旋測微計的初讀數(shù)為：- 0.003mm， 螺旋測微計的儀器誤差為螺旋測微計的儀器誤差為儀儀= 0.004mm，求測量結(jié)果。，求測量結(jié)果。解解:(1)求直徑求直徑 d 的算術(shù)平均值、對已定系統(tǒng)誤差進(jìn)行修正的算術(shù)平均值、對已定系統(tǒng)誤差進(jìn)行修正 (2)計算計算A類不確定度類不確定度 i123456Di /mm8.3458.3488.3448.3438.3478.344(8.3458.3488.3448.343 8.3478.344)/68.345mmd 8.345-(-0.003

15、)8.348mmd 210.002mm(1)nidddn n(3)計算計算B類不確定度類不確定度(4)合成不確定度合成不確定度(5)測量結(jié)果為測量結(jié)果為 mm002. 03/儀B22220.0020.0020.0028 0.003mmAB 0.003100% 0.03%8.348E8.348 0.003mm0.03%DE設(shè)被測量設(shè)被測量y可寫成可寫成m個直接測量量個直接測量量 的函數(shù)的函數(shù)通過直接測量已得通過直接測量已得則則或或mxxx,21),(21mxxxfyxmmmxxuxxuxxuxx.,222111),(21mxxxfy 2222211)()()(xmmxxuxfuxfuxfu 22

16、22222121)ln()ln()ln(xmmxxuxfuxfuxfyuE 適用條件(1).各直接測量量 互相獨立；(2).各直接測量量 的已定系統(tǒng)誤差已 被消除或修正。mxxx,21mxxx,21常用函數(shù)的不確定度合成公式 1. 求出各直接測量量求出各直接測量量 xi 的平均值的平均值 和和(總總)不確定度不確定度2. 求求y的平均值的平均值3. 據(jù)據(jù) 求出求出 或或3.用用 求出求出 或先用或先用 求出求出 再求再求4.完整表示出完整表示出y的結(jié)果的結(jié)果 ix).,(21nxxxfy ixfixflnnixiyixf12)(nixiyixfy12)ln(yyyyyyyix).,(21nxx

17、xfy 例：例：已知金屬環(huán)的外徑已知金屬環(huán)的外徑 內(nèi)徑內(nèi)徑 高高 求環(huán)的體積求環(huán)的體積V ，并正確表示測量結(jié)果。，并正確表示測量結(jié)果。解：解：環(huán)體積公式為環(huán)體積公式為 （1）環(huán)體積的最可靠值為）環(huán)體積的最可靠值為 （2）首先將環(huán)體積公式兩邊同時取自然對數(shù)后，再求全微分）首先將環(huán)體積公式兩邊同時取自然對數(shù)后，再求全微分 cm004. 0600. 32Dcm004. 0880. 21Dcm004. 0575. 2h)(42122DDhV3222122436. 9575. 2)880. 2600. 3(4)(4cm hDDV)ln(ln)4ln(ln2122DDhV21221122d2d2d0dDD

18、DDDDhhVV 則相對不確定度為則相對不確定度為（3）不確定度為）不確定度為（4）環(huán)體積的測量結(jié)果為）環(huán)體積的測量結(jié)果為 V=9.440.08 cm3 9.436應(yīng)與應(yīng)與0.08取齊，故將取齊，故將9.436修約為修約為9.44。 21212222222212112222222222()()()0.0042 3.600 0.0042 2.880 0.004()()()2.5753.6002.8803.6002.8800.00810.8%DDVhVD uDuuuEVhDDDD 39.4360.0080.08(cm )VVuV E有效位數(shù)的概念有效位數(shù)的概念 測量結(jié)果用且只用它的有效位數(shù)表示。測

19、量結(jié)果用且只用它的有效位數(shù)表示。 不確定度決定有效位數(shù)不確定度決定有效位數(shù)。具體為具體為：不確定度的有效位數(shù)取不確定度的有效位數(shù)取1位，測量結(jié)果的末位與位，測量結(jié)果的末位與 不確定度末位對齊。不確定度末位對齊。 測量結(jié)果的有效位數(shù)越多，其相對不確定度越小，精確度越高測量結(jié)果的有效位數(shù)越多，其相對不確定度越小，精確度越高 例：例：0.0123與與1.23與與123的有效位數(shù)都是的有效位數(shù)都是3位。位。0.01230有效位數(shù)是有效位數(shù)是4位位, , 最右邊的最右邊的“0”是有效位數(shù)，不可以省略不寫。是有效位數(shù)，不可以省略不寫。 記例1：光速C=30萬公里每秒不正確的寫法：C=300000km/s；

20、C=30km/s正確的寫法：C=3.0105km/s=3.0108m/s例2：電子電量e =1.60218910-19C101,10aaAn且科學(xué)記數(shù)法科學(xué)記數(shù)法儀器的讀數(shù)規(guī)則(1).刻度式儀表，在最小分度值后要估讀一位(2).數(shù)字顯示儀表，直接讀取儀表的示值。(3).游標(biāo)類量具，讀到游標(biāo)分度值的整數(shù)倍。有效位數(shù)的運算規(guī)則有效位數(shù)的運算規(guī)則 “4 4舍舍6 6入入5 5湊偶湊偶”:(1).要舍棄的數(shù)字小于5時，舍去；(2).要舍棄的數(shù)字大于5時，進(jìn)1；(3).要舍棄數(shù)字剛好是5，湊偶。例例：保留3位有效位數(shù)，則9.8249=9.829.82571=9.839.8250=9.82數(shù)值的修約規(guī)則數(shù)

21、值的修約規(guī)則運算過程多保留運算過程多保留1至至2位，位，最終結(jié)果的有效位數(shù)由不確定度決定最終結(jié)果的有效位數(shù)由不確定度決定要點：(1).避免運算過程引入不必要的“舍入誤差”(2).最終結(jié)果按有效位數(shù)的規(guī)則進(jìn)行修約，歸根到底，不確定度決定有效位數(shù)有效位數(shù)的運算規(guī)則有效位數(shù)的運算規(guī)則例：例：已知已知 ， 求求 并正確表示測量結(jié)果。并正確表示測量結(jié)果。解：解： (1) 注意注意應(yīng)取應(yīng)取 = 3.1416 參與運算參與運算 (2) 注意注意多算出多算出1位，最后再作修約位，最后再作修約 (3) V=9.440.08 cm3 注意注意最終結(jié)果的正確表達(dá)最終結(jié)果的正確表達(dá) cm004. 0600. 32Dc

22、m004. 0880. 21Dcm004. 0575. 2h)(42122DDhV3222122436. 9575. 2)880. 2600. 3(4)(4cm hDDV%81. 00081. 0)880. 2600. 3004. 0880. 22()880. 2600. 3004. 0600. 32()575. 2004. 0(212222222VuEVV)cm(08. 00081. 0436. 93VVEVu(1).兩數(shù)相加（減），其和（差）的有效位數(shù)的最后（即最右）一位與兩數(shù)中最后一位位數(shù)高者相同。如：11.4+3.56 =15.0 ； 75-10.350 =65 十分位十分位 十分位十

23、分位 個位個位 個位個位(2).兩數(shù)相乘（除），其積（商）的有效位數(shù)與兩數(shù)中有效位數(shù)少者相同。如：98 2003 =2.0105 ； 2.0000.991=2.02 二位二位 二位二位 三位三位 三位三位 注：正確數(shù)不適用上述規(guī)則常數(shù)應(yīng)取足夠的有效位數(shù)參與運算簡化的運算規(guī)則簡化的運算規(guī)則所有實驗數(shù)據(jù)都要用列表的方法記錄例：例：表表1：伏安法測電阻實驗數(shù)據(jù)：伏安法測電阻實驗數(shù)據(jù)U /V 0.741.522.333.083.664.495.245.98 6.767.50I /mA 2.004.016.228.209.75 12.00 13.99 15.92 18.00 20.01U /V 0.74

24、 1.52 2.33 3.08 3.66 4.49 5.24 5.98 6.76 7.50I /m A 2.00 4.01 6.22 8.20 9.75 12.00 13.99 15.92 18.00 20.01作圖可形象、直觀地顯示出物理量之間的函數(shù)關(guān)系作圖可形象、直觀地顯示出物理量之間的函數(shù)關(guān)系可用來求某些物理參數(shù)可用來求某些物理參數(shù)作圖規(guī)則作圖規(guī)則：（以以伏安法測電阻實驗為例）伏安法測電阻實驗為例）表表1：伏安法測電阻實驗數(shù)據(jù)：伏安法測電阻實驗數(shù)據(jù)要用坐標(biāo)紙作圖要用坐標(biāo)紙作圖根據(jù)坐標(biāo)分度值和數(shù)據(jù)范圍，確定坐標(biāo)紙的大小根據(jù)坐標(biāo)分度值和數(shù)據(jù)范圍，確定坐標(biāo)紙的大小坐標(biāo)分度值的選取應(yīng)能基本反映測

25、量值的準(zhǔn)確度或精密度坐標(biāo)分度值的選取應(yīng)能基本反映測量值的準(zhǔn)確度或精密度坐標(biāo)軸的標(biāo)注（所代表的物理量的名稱、單位、分度值等）坐標(biāo)軸的標(biāo)注（所代表的物理量的名稱、單位、分度值等）標(biāo)出數(shù)據(jù)點標(biāo)出數(shù)據(jù)點連成光滑曲線，標(biāo)注圖題及必要的說明連成光滑曲線，標(biāo)注圖題及必要的說明I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00電阻伏安特性曲線電阻伏安特性曲線利用所繪直線作有關(guān)計算利用所繪直線作有關(guān)計算I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由圖上由圖上A、B兩點可得被測電阻兩點可得被測電阻R為：為：)k(379. 076. 258.1800. 100. 7ABABIIUUR不當(dāng)圖例展示不當(dāng)圖例展示：n(nm)1.6500500.0700.01.67001.660