大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)(三)數(shù) 據(jù) 處 理

1、1.列表法列表法 3.逐差法逐差法 4.最小二乘法最小二乘法2.作圖法作圖法 在記錄和處理實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)，經(jīng)常把數(shù)據(jù)列成表格，它可以簡(jiǎn)單而明確地表示出有關(guān)物理量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，便于隨時(shí)檢查測(cè)量結(jié)果是否正確合理，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，利于計(jì)算和分析誤差，并在必要時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)隨時(shí)查對(duì)。通過列表法可有助于找出有關(guān)物理量之間的規(guī)律性，得出定量的結(jié)論或經(jīng)驗(yàn)公式等。列表法是工程技術(shù)人員經(jīng)常使用的一種方法。列表時(shí)，一般應(yīng)遵循下列規(guī)則（1）簡(jiǎn)單明了，便于看出有關(guān)物理量之間的關(guān)系，便于處理數(shù)據(jù)。（2）在表格中均應(yīng)標(biāo)明物理量的名稱和單位。（3）表格中數(shù)據(jù)要正確反映出有效數(shù)字。（4）必要時(shí)應(yīng)對(duì)某些項(xiàng)目加以說明，并計(jì)算出平均值、

2、標(biāo)準(zhǔn)誤差和相對(duì)誤差。次數(shù)123456789105.010.015.020.025.030.335.040.045.050.010.310.5110.6410.7910.9411.0811.2211.3611.5311.66通過測(cè)量溫度通過測(cè)量溫度t和在溫度和在溫度t下銅的電阻下銅的電阻Rt來來測(cè)量銅的電阻溫度系數(shù)，得到測(cè)量銅的電阻溫度系數(shù)，得到t與與Rt的數(shù)的數(shù)據(jù)列表如下：據(jù)列表如下：）關(guān)關(guān)系系溫溫度度（）電電阻阻（tRt)(樣樣品品：銅銅)( Ct)(tR表中數(shù)據(jù)均為有效數(shù)字表中數(shù)據(jù)均為有效數(shù)字 2-3 作圖法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 作圖法可形象、直觀地顯示出物理量之間的函數(shù)關(guān)系，也可用作圖法可形象、

3、直觀地顯示出物理量之間的函數(shù)關(guān)系，也可用來求某些物理參數(shù)，因此它是一種重要的數(shù)據(jù)處理方法。作圖時(shí)要來求某些物理參數(shù)，因此它是一種重要的數(shù)據(jù)處理方法。作圖時(shí)要先整理出數(shù)據(jù)表格先整理出數(shù)據(jù)表格，并，并要要用坐標(biāo)紙作圖用坐標(biāo)紙作圖。U (V )0.741.522.333.083.664.495.245.986.767.50I (mA)2.004.016.228.209.7512.00 13.99 15.92 18.00 20.011.選擇合適的坐標(biāo)分度值，確定坐標(biāo)紙的大小選擇合適的坐標(biāo)分度值，確定坐標(biāo)紙的大小 坐標(biāo)分度值的選取應(yīng)能反映測(cè)量值的有效位數(shù)，一般以坐標(biāo)分度值的選取應(yīng)能反映測(cè)量值的有效位數(shù)，

4、一般以 12mm對(duì)應(yīng)于測(cè)量?jī)x表的儀表誤差。對(duì)應(yīng)于測(cè)量?jī)x表的儀表誤差。 根據(jù)表數(shù)據(jù)根據(jù)表數(shù)據(jù)U 軸可選軸可選1mm對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于0.10V，I 軸可選軸可選1mm對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于0.20mA，并可定，并可定坐標(biāo)紙的大小（略大于坐標(biāo)范圍、數(shù)據(jù)范圍）坐標(biāo)紙的大?。源笥谧鴺?biāo)范圍、數(shù)據(jù)范圍） 約為約為130mm130mm。作圖步驟作圖步驟：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)列表如下：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)列表如下. 表表1：伏安法測(cè)電阻實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：伏安法測(cè)電阻實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)2-3 作圖法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)2. 標(biāo)明坐標(biāo)軸：標(biāo)明坐標(biāo)軸： 用粗實(shí)線畫坐標(biāo)軸，用粗實(shí)線畫坐標(biāo)軸，用箭頭標(biāo)軸方向，標(biāo)坐標(biāo)用箭頭標(biāo)軸方向，標(biāo)坐標(biāo)軸的名稱或符號(hào)、單位軸的名稱或符號(hào)、單位,再按

5、順序標(biāo)出坐標(biāo)軸整分再按順序標(biāo)出坐標(biāo)軸整分格上的量值。格上的量值。I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.004. 連成圖線：連成圖線： 用直尺、曲線板等把用直尺、曲線板等把點(diǎn)連成直線、光滑曲線。點(diǎn)連成直線、光滑曲線。一般不強(qiáng)求直線或曲線通一般不強(qiáng)求直線或曲線通過每個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，應(yīng)使圖線過每個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，應(yīng)使圖線線正穿過實(shí)驗(yàn)點(diǎn)時(shí)可以在線正穿過實(shí)驗(yàn)點(diǎn)時(shí)可以在兩邊的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)與圖線最為接近且分布大體均勻。圖兩邊的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)與圖線最為接近且分布大體均勻。圖點(diǎn)處斷

6、開。點(diǎn)處斷開。3.標(biāo)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)標(biāo)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)： 實(shí)驗(yàn)點(diǎn)可用實(shí)驗(yàn)點(diǎn)可用“ ”、 “ ”、“ ”等符號(hào)標(biāo)等符號(hào)標(biāo)出（同一坐標(biāo)系下不同曲出（同一坐標(biāo)系下不同曲線用不同的符號(hào)線用不同的符號(hào)）。）。 2-3 作圖法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)5.標(biāo)出圖線特征：標(biāo)出圖線特征： 在圖上空白位置標(biāo)明在圖上空白位置標(biāo)明實(shí)驗(yàn)條件或從圖上得出的實(shí)驗(yàn)條件或從圖上得出的某些參數(shù)。如利用所繪直某些參數(shù)。如利用所繪直線可給出被測(cè)電阻線可給出被測(cè)電阻R大?。捍笮。簭膹乃L所繪直線直線上讀取兩點(diǎn)上讀取兩點(diǎn) A、B 的坐標(biāo)就可求出的坐標(biāo)就可求出 R 值。值。I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.00

7、6.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00電阻伏安特性曲線電阻伏安特性曲線6.標(biāo)出圖名：標(biāo)出圖名： 在圖線下方或空白位在圖線下方或空白位置寫出圖線的名稱及某些置寫出圖線的名稱及某些必要的說明。必要的說明。A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由圖上由圖上A、B兩點(diǎn)可得被測(cè)電阻兩點(diǎn)可得被測(cè)電阻R為：為：)k(379. 076. 258.1800. 100. 7ABABIIUUR至此一張圖才算完成至此一張圖才算完成作圖法作圖法 1.1.作圖規(guī)則作圖規(guī)則 作圖一定要用坐標(biāo)紙，測(cè)量數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)作圖一定要用坐標(biāo)紙，測(cè)量數(shù)據(jù)中的可

8、靠數(shù)字在圖上也應(yīng)是可靠的，即圖紙上一小格對(duì)應(yīng)字在圖上也應(yīng)是可靠的，即圖紙上一小格對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)中可靠數(shù)字的最后一位，而誤差位在小格數(shù)據(jù)中可靠數(shù)字的最后一位，而誤差位在小格之間估計(jì)。之間估計(jì)。 1.1.作圖規(guī)則作圖規(guī)則 標(biāo)明坐標(biāo)軸和圖名標(biāo)明坐標(biāo)軸和圖名1.1.作圖規(guī)則作圖規(guī)則 標(biāo)點(diǎn)標(biāo)點(diǎn) 2.2.作圖規(guī)則作圖規(guī)則 連線連線 2-3 作圖法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不當(dāng)圖例展示不當(dāng)圖例展示：n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖玻璃材料色散曲線圖圖圖1曲線太粗，不曲線太粗，不均勻，不光滑均勻，不光滑。應(yīng)該用直尺、曲應(yīng)該

9、用直尺、曲線板等工具把實(shí)線板等工具把實(shí)驗(yàn)點(diǎn)連成光滑、驗(yàn)點(diǎn)連成光滑、均勻的細(xì)實(shí)線。均勻的細(xì)實(shí)線。2-3 作圖法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖玻璃材料色散曲線圖改正為改正為：2-3 作圖法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)圖圖2I (mA)U (V)0 02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00電學(xué)元件伏安特性曲線電學(xué)元件伏安特性曲線橫軸坐標(biāo)分度選取橫軸坐標(biāo)分度選取不當(dāng)。不當(dāng)。橫軸以橫軸以3 cm 代代表表1 V，使作圖和讀

10、圖都，使作圖和讀圖都很困難。實(shí)際在選擇坐標(biāo)很困難。實(shí)際在選擇坐標(biāo)分度值時(shí)，應(yīng)既滿足有效分度值時(shí)，應(yīng)既滿足有效數(shù)字的要求又便于作圖和數(shù)字的要求又便于作圖和讀圖，讀圖，一般以一般以1 mm 代代表的量值是表的量值是10的整數(shù)的整數(shù)次冪或是其次冪或是其2倍或倍或5倍。倍。2-3 作圖法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)I (mA)U (V)o o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00電學(xué)元件伏安特性曲線電學(xué)元件伏安特性曲線改正為：改正為：2-3 作圖法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)定容氣體壓強(qiáng)溫度曲線定容氣體壓強(qiáng)溫度曲線1.20001.60000.800

11、00.4000圖圖3P(105Pa)t()60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00圖紙使用不當(dāng)圖紙使用不當(dāng)。實(shí)際作圖時(shí)，實(shí)際作圖時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)的讀坐標(biāo)原點(diǎn)的讀數(shù)可以不從零數(shù)可以不從零開始開始。2-3 作圖法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)定容氣體壓強(qiáng)溫度曲線定容氣體壓強(qiáng)溫度曲線1.00001.15001.20001.10001.0500 P(105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t()改正為：改正為：3.3.作圖舉例作圖舉例 直角坐標(biāo)舉例。測(cè)得銅電阻與溫度對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)舉例。測(cè)得銅電阻與溫度對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)如表所示，試用直角坐

12、標(biāo)作圖表一組數(shù)據(jù)如表所示，試用直角坐標(biāo)作圖表示出電阻與溫度的函數(shù)關(guān)系。示出電阻與溫度的函數(shù)關(guān)系。 測(cè)量次數(shù)12345678910銅電阻 Rt10.2010.2010.3510.3510.5110.5110.6410.6410.7610.7610.9410.9411.0811.0811.2211.2211.3611.3611.5311.53溫度 t0.00.05.05.010.010.015.015.020.020.025.025.030.030.035.035.040.040.045.045.0)()( C在圖中任選兩點(diǎn)在圖中任選兩點(diǎn) 和和 ，將兩點(diǎn)代入式中可得：將兩點(diǎn)代入式中可得：最后，得到

13、電阻隨溫度的變化關(guān)系為：最后，得到電阻隨溫度的變化關(guān)系為：)(20.100314. 0 tRc0314. 00 .130 .4860.1070.11 a由于有由于有x=0的坐標(biāo)點(diǎn)，故的坐標(biāo)點(diǎn)，故20.10 b)70.11, 0 .48(1P)60.10, 0 .13(2P 2.用電勢(shì)差計(jì)校準(zhǔn)量程為用電勢(shì)差計(jì)校準(zhǔn)量程為1mV的毫伏的毫伏表，測(cè)量數(shù)據(jù)如下（表中單位均為表，測(cè)量數(shù)據(jù)如下（表中單位均為mV）。）。在如圖所示的坐標(biāo)中畫出毫伏表的校準(zhǔn)曲線，在如圖所示的坐標(biāo)中畫出毫伏表的校準(zhǔn)曲線，并對(duì)毫伏表定級(jí)別。并對(duì)毫伏表定級(jí)別。 毫伏表讀數(shù)毫伏表讀數(shù)0.100 0.200 0.300 0.400 0.5

14、00 電勢(shì)差計(jì)讀數(shù)電勢(shì)差計(jì)讀數(shù)0.1050 0.2150 0.3130 0.4070 0.5100 修正值修正值U 0.005 0.015 0.013 0.007 0.010 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000 0.6030 0.6970 0.7850 0.8920 1.0070 0.003 -0.003 -0.015 -0.008 0.007 毫伏表讀數(shù)毫伏表讀數(shù) 電勢(shì)差計(jì)讀數(shù)電勢(shì)差計(jì)讀數(shù) 修正值修正值U %5 . 1%10000. 1015. 0%100%amax 量量程程 毫伏表的級(jí)別為：毫伏表的級(jí)別為：為為1.5級(jí)表級(jí)表 1.1.逐差法的含義逐差法的含義 把實(shí)驗(yàn)

15、測(cè)量數(shù)量（因變量）進(jìn)行逐把實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)量（因變量）進(jìn)行逐項(xiàng)相減或依順序分為兩組實(shí)行對(duì)應(yīng)項(xiàng)測(cè)項(xiàng)相減或依順序分為兩組實(shí)行對(duì)應(yīng)項(xiàng)測(cè)量數(shù)據(jù)相減之差作因變量的多次測(cè)量值。量數(shù)據(jù)相減之差作因變量的多次測(cè)量值。然后求出最佳值然后求出最佳值算術(shù)平均值的處理算術(shù)平均值的處理數(shù)據(jù)的方法。數(shù)據(jù)的方法。 逐差法是對(duì)等間距測(cè)量等間距測(cè)量的有序數(shù)據(jù)進(jìn)行逐項(xiàng)逐項(xiàng)或相等間隔項(xiàng)相等間隔項(xiàng)相減得到結(jié)果的一種方法。它計(jì)算簡(jiǎn)便，并可充分利用測(cè)量數(shù)據(jù)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)差錯(cuò)，總結(jié)規(guī)律，是物理實(shí)驗(yàn)中常用的一種數(shù)據(jù)處理方法。 1）逐差法的使用條件（1）自變量x是等間距離變化的。（2）被測(cè)的物理量之間的函數(shù)形式可以寫成x的多項(xiàng)式，即 0ixiayni

16、2）逐差法的應(yīng)用 例：例： 拉伸法測(cè)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù) 設(shè)實(shí)驗(yàn)中等間隔地在彈簧下加砝碼（如每次加一克），共加9次，分別記下對(duì)應(yīng)的彈簧下端點(diǎn)的位置L0、L1、L2、L9，則可用逐差法進(jìn)行以下處理。 （1）驗(yàn)證函數(shù)形式是線性關(guān)系 把所測(cè)的數(shù)據(jù)逐項(xiàng)相減 當(dāng)L1,L2、 L9基本相等時(shí)，就驗(yàn)證了外力與彈簧的伸長(zhǎng)量之間的函數(shù)關(guān)系是線性的. 即F=K L 用此法可檢查測(cè)量結(jié)果是否正確，但注意的是必須要逐項(xiàng)逐差。899122011, , ,LLLLLLLLL（2）求物理量數(shù)值 現(xiàn)計(jì)算每加一克砝碼時(shí)彈簧的平均伸長(zhǎng)量平均伸長(zhǎng)量，若用上式，得： 從上式可看出，中間的測(cè)量值全部低消了，只有始末二次測(cè)量值起作用，與一次加

17、九克砝碼的測(cè)量完全等價(jià)。99)()()()(909892312019321LLLLLLLLLLLLLLL 為了保證多次測(cè)量的優(yōu)點(diǎn)，只要在數(shù)據(jù)處理方法上作一些組合，仍能達(dá)到多次測(cè)量來減小誤差的目的。因此一般使用逐差法的規(guī)則如下： 通?？蓪⒌乳g隔所測(cè)量的值分成前后兩組的，前一組為L(zhǎng)0、L1、L2、L3、L4，后一組為L(zhǎng)5、L6、L7、L8、L9，將前后兩組的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減為 再取平均值 由此可見，與上面一般求平均值方法不同，這時(shí)每個(gè)數(shù)據(jù)都用上了。但應(yīng)注意，這里的 是增加五五克砝碼時(shí)彈簧的平均伸長(zhǎng)量。 , 495162051LLLLLLLLL )(51)()()(51 540491605iiiLLLLL

18、LLLLL次數(shù)（K）12345678910電壓 V（V）02.004.006.008.0010.0012.0014.0016.0018.00電流 I（mI）02.043.956.038.029.9611.9713.9816.0418.062.041.912.081.991.942.012.012.062.029.969.9310.0310.0110.04伏安法測(cè)電阻伏安法測(cè)電阻,試用逐差法求出電試用逐差法求出電流流I的最佳值并算出電阻的最佳值并算出電阻R)(1mAIIKK)(5mAIIKK.若按逐項(xiàng)相減，則有若按逐項(xiàng)相減，則有 111)(1111nkkkIII 9102312.1101IIII

19、II 1101101II IVR 解：解：根據(jù)伏安公式根據(jù)伏安公式次數(shù)（K）12345678910電壓 V（V）02.004.006.008.0010.0012.0014.0016.0018.00電流 I（mI）02.043.956.038.029.9611.9713.9816.0418.062.041.912.081.991.942.012.012.062.029.969.9310.0310.0110.04.若按順序分為兩組（若按順序分為兩組（15為一組，為一組，610為一組）為一組）mAI99. 9596. 993. 903.1001.1004.10 實(shí)行對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減，其結(jié)果如表：實(shí)行對(duì)應(yīng)項(xiàng)

20、相減，其結(jié)果如表：可以利用這種分組法計(jì)算因變量可以利用這種分組法計(jì)算因變量 的平均值的平均值根據(jù)歐姆定律得根據(jù)歐姆定律得)(1000. 11099. 900. 2533 IVR)(1mAIIKK)(5mAIIKK)( I 2.2.有關(guān)逐差法的幾點(diǎn)說明有關(guān)逐差法的幾點(diǎn)說明 使用條件：使用條件： 自變量等間隔變化（對(duì)一次逐差必須自變量等間隔變化（對(duì)一次逐差必須 是線性關(guān)系，否則先進(jìn)行曲線改直）是線性關(guān)系，否則先進(jìn)行曲線改直） 用數(shù)據(jù)進(jìn)行直線擬合（一次逐差）用數(shù)據(jù)進(jìn)行直線擬合（一次逐差） 優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： 充分利用測(cè)量數(shù)據(jù)（取平均的效果）充分利用測(cè)量數(shù)據(jù)（取平均的效果） 作用：作用： 驗(yàn)證函數(shù)是否線性關(guān)

21、系（一次逐差）驗(yàn)證函數(shù)是否線性關(guān)系（一次逐差） 近性計(jì)算法比較：近性計(jì)算法比較：作圖法：作圖法： 直觀、簡(jiǎn)便。但主觀隨意性大（粗略）直觀、簡(jiǎn)便。但主觀隨意性大（粗略） 逐差法：逐差法： 粗略的近似計(jì)算方法（要滿足一定條件）粗略的近似計(jì)算方法（要滿足一定條件） 回歸分析法：回歸分析法： 最準(zhǔn)確的計(jì)算方法最準(zhǔn)確的計(jì)算方法1.1.回歸分析法定義：回歸分析法定義： 由數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法處理數(shù)據(jù)，通過計(jì)算確定由數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法處理數(shù)據(jù)，通過計(jì)算確定其函數(shù)關(guān)系的方法。其函數(shù)關(guān)系的方法。步驟：步驟： 1.推斷函數(shù)形式（回歸方程）推斷函數(shù)形式（回歸方程）2.由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定參數(shù)由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定參數(shù)A、B、 C等的最佳值

22、。等的最佳值。3.根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)函數(shù)關(guān)系根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)函數(shù)關(guān)系 是否合理。是否合理。 y=AeBx+c (指數(shù)關(guān)系）指數(shù)關(guān)系） 如如 y=A+Bx (線性關(guān)系）線性關(guān)系） 2.2.用最小二乘法進(jìn)行一元線性回歸用最小二乘法進(jìn)行一元線性回歸 （1）最小二乘法原理）最小二乘法原理 給定函數(shù)關(guān)系為給定函數(shù)關(guān)系為 y = A + Bx 最小乘數(shù)最小乘數(shù)A和和B的值是能使各次的值是能使各次測(cè)量值誤差平方和為最小的那個(gè)測(cè)量值誤差平方和為最小的那個(gè)值。數(shù)學(xué)表達(dá)式為：值。數(shù)學(xué)表達(dá)式為： Kiiyy12min)(最小二乘法最小二乘法 由一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)找出一條最佳的擬合直線（或曲線），常用的方法是最小二乘法。所得

23、的變量之間的相關(guān)函數(shù)關(guān)系稱為回歸方程回歸方程。所以最小二乘法線性擬合亦稱為最小二乘法線性回歸。本章只討論用最小二乘法進(jìn)行一元線性回歸問題，有關(guān)，請(qǐng)參考其他書籍。1）一元線性回歸 最小二乘法所依據(jù)的原理是：在最佳擬合直線上，各相應(yīng)點(diǎn)的值與測(cè)量值之差的平方和應(yīng)比在其他的擬合直線上的都要小。 假設(shè)假設(shè)所研究的變量只有兩個(gè)：x和y，且它們之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，一元線性方程為： y=A+BX , 實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的一組數(shù)據(jù)是： 需要解決的問題是：根據(jù)所測(cè)得的數(shù)據(jù)，如何確定上式中的常數(shù)A和B。實(shí)際上，相當(dāng)于作圖法求直線的斜率和截距。 由于實(shí)驗(yàn)點(diǎn)不可能都同時(shí)落在上式表示的直線上，為使討論方便，限定： 所有測(cè)量值

24、都是等精度的。只要實(shí)驗(yàn)中不改變實(shí)驗(yàn)條件和方法，這個(gè)條件就可以滿足。 只有一個(gè)變量有明顯的隨機(jī)誤差。因?yàn)閤i和yi都含有誤差，把誤差較小的一個(gè)作為變量x，就可滿足該條件。mmyyyyyxxxxx,:,:321321 假設(shè)在上式中的x和y是在等精度條件下測(cè)量的，且y有偏差，記作 把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入方程y=A+BX后得： 其一般式為 , 321miiimBxAyyyBxAyyyBxAyyy22221111iiiiBxAyyy i的大小與正負(fù)表示實(shí)驗(yàn)點(diǎn)在直線兩側(cè)的分散程度，其值與A、B的數(shù)值有關(guān)。根據(jù)最小二乘法的思想，如果A、B的值使 最小，那么上式就是所擬合的直線。 求：A、B 由 對(duì)和求一階偏導(dǎo)數(shù)，且

25、使其為零得：mii122121)(iimiimiBxAy0)(20)(2121121iiimiimiiimiimixBxAyBBxAyA 令 為 x 的平均值，即 為 y 的平均值，即 為 x2的平均值，即 為xy的平均值，即 代入前式中得： 解得xyimiymy11imixmx112x2121imixmxxyiimiyxmxy11002xBxAxyxBAyxByAxxxyyxB22)( 2）把非線性相關(guān)問題變換成線性相關(guān)問題 在實(shí)際問題題中，當(dāng)變量間不是直線關(guān)系時(shí)，可以通過適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，使不少曲線問題能夠轉(zhuǎn)化成線性相關(guān)的問題。需要注意的是，經(jīng)過變換等精度的限定條件不一定滿足，會(huì)產(chǎn)生一些新的

26、問題。遇到這類情況應(yīng)采取更恰當(dāng)?shù)那€擬合方法。 例：若函數(shù)為X2+Y2=C,其中C為常數(shù)。 令：X=x2,Y=y2,則有：Y=C-X。 ，其中A、B為常數(shù)，將原方程化為： ， 令 則有：Y=B+AXBxAxyxABy1,1 x,1xyY 3）相關(guān)系數(shù)（關(guān)聯(lián)系數(shù)） 在函數(shù)形式確定以后，用回歸法處理數(shù)據(jù)，其結(jié)果是唯一的，不會(huì)像作圖法那樣因人而異?？梢娪没貧w法處理問題的關(guān)鍵是函數(shù)形式的選取。 為了判斷所得結(jié)果是否合理，在待定常數(shù)確定以后，還需要計(jì)算一下相關(guān)系數(shù)。對(duì)于一元線性回歸，定義為：)()()()( 2222yyxxyxxy 相關(guān)系數(shù)的數(shù)值大小反映了相關(guān)程度的好壞?？梢宰C明其值介于0和1之間，值

27、越接近于1，說明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)能密集在求得的直線附近，x,y之間存在著線性關(guān)系，用線性函數(shù)進(jìn)行回歸比較合理。相反，如果其值遠(yuǎn)小于1而接近0，說明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)求得的直線很分散，x與y之間不存在線性關(guān)系，即用線性回歸不妥，必須用其他函數(shù)重新試探。在實(shí)驗(yàn)中，一般當(dāng) 時(shí)，就認(rèn)為兩個(gè)物理量之間存在較密切的線性關(guān)系。9 . 0r0 擬合曲線斜率為正擬合曲線斜率為正 r0 斜率為負(fù)斜率為負(fù) r=0 則則x和和y無線性關(guān)系無線性關(guān)系 例例 用本節(jié)作圖法例子中電阻絲電阻值隨溫度變化的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，：結(jié)合最小二乘法做以下內(nèi)容（1）線性擬合，并寫出直線方程：（2）求出電阻溫度系數(shù)a和0時(shí)的電阻R0。（3）求出相關(guān)系數(shù)，評(píng)價(jià)相關(guān)程度。 測(cè)量次數(shù)12345678910銅電阻Rt1 10 0.