第二章 直線方程、直線及平面關(guān)系

1、兩直線共面的條件兩直線共面的條件定理8.0 兩直線共面的充要條件是行列式形式為：0,2121sspp0222111121212ZYXZYXzzyyxx推論8.2 兩直線相交的充要條件為00,212121SSSSPP設(shè)直線設(shè)直線L的一般式方程為的一般式方程為111122220(1)0(2)A xB yC zDA xB yC zD 其中系數(shù)其中系數(shù)111,A B C與與222,A B C不成比例。不成比例。對(duì)于任意對(duì)于任意常數(shù)常數(shù), 建立三元一次方程：建立三元一次方程：11112222()0A xB yC zDA xB yC zD 或或12121212()()()0(3)AA xBByCCzDD

2、3 平面束平面束由于系數(shù)由于系數(shù)111,A B C與與222,A B C不成比例，不成比例，所以所以對(duì)任意常數(shù)對(duì)任意常數(shù), 不同時(shí)為不同時(shí)為121212,AA BB CC 零，零，因此方程因此方程(3)(3)表示一個(gè)平面。表示一個(gè)平面。 又由于滿足又由于滿足L的方程的方程的點(diǎn)必滿足此平面方程，的點(diǎn)必滿足此平面方程， 因此方程因此方程(3)(3)一定通過直線一定通過直線L的平面。的平面。反之，通過直線反之，通過直線L的平面（除的平面（除(2)(2)外）都包含外）都包含在在(3)(3)所表示的一族平面中。所表示的一族平面中。 通過定直線的所有平面的通過定直線的所有平面的全體稱為全體稱為平面束平面束

3、，而方程而方程(13)(13)稱為通過直線稱為通過直線L的的平面平面束方程束方程。例例7 7求過直線求過直線1010 xyzxyz 和點(diǎn)和點(diǎn)(2,1,1)M的的平面方程。平面方程。解法一解法一將直線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式將直線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式10 xyz所以已知直線的方向向量為所以已知直線的方向向量為,sjk 且過點(diǎn)且過點(diǎn)0(0,1,0)M因此所求平面的法向量為因此所求平面的法向量為00,1,1 2,0,1nsM M 01122201ijkijk 所以所求平面方程為所以所求平面方程為22(1)2(1)0 xyz 即即2220 xyz解法二解法二過已知直線的平面束方程為過已知直線的平面束方程為(1)(1)

4、0 xyzxyz 所求平面過點(diǎn)所求平面過點(diǎn)(2,1,1),M(1)(1)(1)10 xyz 所以所以12(1)1110,3 所求平面方程為所求平面方程為244403333xyz 2220 xyz例例8 8求直線求直線在平面在平面0 xyz 上的投影直線方程。上的投影直線方程。解解 所求直線在與已知平面垂直的平面上，所求直線在與已知平面垂直的平面上，和已知平面垂直，和已知平面垂直，過已知直線且與已知平面垂直的平面方程，過已知直線且與已知平面垂直的平面方程，首先求首先求(1)(1)(1)(1)0 xyz 過已知過已知直直線的平面束方程為線的平面束方程為1010 xyzxyz 0)1()1( zyc

5、zyx 即即1,1,1 1,1,11110 1 2220yz所求直線方程為所求直線方程為010 xyzyz 因此因此 點(diǎn)的距離為DzCyBxA000 222CBA到平面 ：A x+B y+C z+D = 0),(0000zyxMd0M1MnnnMMd01機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 kji),(0000zyxM到直線的距離pzznyymxxL111:為 點(diǎn)2221pnm010101 zzyyxxpnm dssMMd10),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxML機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 空間平面空間平面一般式點(diǎn)法式截距式0DCzByAx)0(

6、222CBA1czbyax三點(diǎn)式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx1. 1. 空間直線與平面的方程空間直線與平面的方程),( :000zyx點(diǎn)0)()()(000zzCyyBxxA),(:CBAn 法向量機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為直線的方向向量.空間直線空間直線一般式對(duì)稱式參數(shù)式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000),(000zyx),(pnms 為直線上一點(diǎn); 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 面與面的關(guān)系面與面的關(guān)系0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直

7、:平行:夾角公式:2. .線面之間的相互關(guān)系線面之間的相互關(guān)系),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA021nn021nn2121cosnnnn 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,1111111pzznyymxxL：直線0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm線與線的關(guān)系線與線的關(guān)系直線垂直:平行:夾角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss021ss2121cosssss 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 CpBnAm平面:垂直：平行：夾角公式

8、：0CpBnAm面與線間的關(guān)系面與線間的關(guān)系直線:),(, 0CBAnDCzByAx),(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssin機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 相關(guān)的幾個(gè)問題相關(guān)的幾個(gè)問題(1) 過直線00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全為12機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2)點(diǎn)的距離為DzCyBxA000 222CBA到平面 ：A x+B y+C z+D = 0),(0000zyxMd0M1MnnnMMd01機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 kji),(0000z

9、yxM到直線的距離pzznyymxxL111:為(3) 點(diǎn)2221pnm010101 zzyyxxpnm dssMMd10),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxML機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二二、實(shí)例分析實(shí)例分析例例1. 求與兩平面 x 4 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的交線提示提示: 所求直線的方向向量可取為利用點(diǎn)向式可得方程43x) 1,3,4(40151232y15z平行, 且 過點(diǎn) (3 , 2 , 5) 的直線方程. 21nnskji機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 241312zyx例例2. 求直線與平面062zyx的交點(diǎn) . 提示提示

10、: : 化直線方程為參數(shù)方程代入平面方程得 1t從而確定交點(diǎn)為（1，2，2）.tztytx2432t機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求過點(diǎn)( 2 , 1 , 3 ) 且與直線12131zyx垂直相交的直線方程.提示提示: 先求二直線交點(diǎn) P. 0)3() 1(2)2(3zyx化已知直線方程為參數(shù)方程, 代入 式, 可得交點(diǎn)),(7371372P最后利用兩點(diǎn)式得所求直線方程431122zyx的平面的法向量為故其方程為),(312),(011),(123過已知點(diǎn)且垂直于已知直線, ) 1,2,3(P機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 求直線0101zyxzyx在平面上的投影

11、直線方程.提示提示：過已知直線的平面束方程從中選擇01)1(1)1 (1)1 (得001zyxzy這是投影平面0)1()1()1 ()1 (zyx0) 1(1zyxzyx即0zyx使其與已知平面垂直：從而得投影直線方程, 1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 設(shè)一平面平行于已知直線0502zyxzx且垂直于已知平面,0347zyx求該平面法線的的方向余弦.提示提示: 已知平面的法向量求出已知直線的方向向量取所求平面的法向量,513cos504cos,505cos1nsn)4, 1,7(1n)2,1,1 (s機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 417211kji)4,5,3(2所求為例例6. 求過直線L:0405zxzyxzyx84 且與平面4夾成角的平面方程.提示提示: 過直線 L 的平面束方程04)1 (5)1 (zyx其法向量為已知平面的法向量為選擇使43. 012720zyx從而得所求平面方程n1n4012 114cosnnnn.1,5,11nL8,4, 1n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思路: 先求交點(diǎn)例例7. 求過點(diǎn)) 1 , 1 , 1 (0M,12:1xzxyL且與兩直線1243:2xzxyL都相交的直線 L.提示提示:21,LL將的方程化為參數(shù)方程1243:,12:21tztytxLtztytxLL1L2L0M1M2M設(shè) L 與它們的交