韋達(dá)定理與根與系數(shù)的關(guān)系測試題

1、根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)題、選擇題1 11若兀，x2是一元二次方程3x2x-1=0的兩個(gè)根，則的值是（）XiX2A.2B.1C1D.32 .若關(guān)于x的一元二次方程x2kx4k2-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是為，x?,且滿足X1X2=xLX2.則k的值為（）3 3十*亠A.-1或B.-1C.D不存在4 43.方程x2-3x-6=0與方程x2-6x+3=0的所有根的乘積為（）A.-18B.18C.-3D.34.右X1,X2疋兀二次方程2x2-3x+1=0的兩個(gè)根，則X12+X22的值是（）5911A.B.-C.D.74445.若關(guān)于x的-兀二次方程2x22x+3m1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2，且x1x2&g

2、t;x1+x24，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是5 1551A.m>B.mWC.mvD.vm<323325. 已知方程x2+（2k+1）x+k22=0的兩實(shí)根的平方和等于11,k的取值是（）A.3B.3C.1D.3或16. 下列說法中不正確的是（）2A.方程x+2x-7=0的兩實(shí)數(shù)根之和為2B.方程x2-3x-5=0的兩實(shí)數(shù)根之積為-5C. 方程x2-2x-7=0的兩實(shí)數(shù)根的平方和為183D. 方程x2-3x-5=0的兩實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和為527. 如果x的方程x+kx+1=0的兩根的差為1,那么k的值為（）A.±2B.±.3C.±.5D.±.6&

3、已知關(guān)于x的方程25x+kx-6=0的一個(gè)根為2,設(shè)方程的另一個(gè)根為X1,則有（A.X1=3,k=-7B.X1=-3k=-7C.X1=-3,k=7D.X1=,k=75555、填空題1.已知一元二次方程2x2-3x-1=0的兩根為x1、x2，則x.）x2=22. 如果x1,x2是方程x-5x0的兩個(gè)根，那么x1x2=.3. 已知捲,X2是方程x2+6x+3=0的兩實(shí)數(shù)根，則翌+爼的值為X1X24已知Xi、X2是關(guān)于x的方程(a-1)x2xa2-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且+x?=-,3貝廿XiX2=5.設(shè)xi、X2是方程2x2+4x-3=0的兩個(gè)根，則(x什1)(x2+1)=6若方程2x24x-3=0

4、的兩根為a、B,則a22a02=.27若方程2x-5xk0的兩根之比是2:3,則k=.8請(qǐng)寫出一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1,兩實(shí)根之和為3的一元二次方程：三、解答題1已知關(guān)于x的二次方程x2+mx-仁0的一個(gè)根是.2-1，求另一個(gè)根及m的值.2已知關(guān)于x的方程x2(k+1)x+k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于6,求k的值.3.a,B是關(guān)于X的一元二次方程(m1)x2X+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足(a+1)(3+1)=m+1，求實(shí)數(shù)m的值.4已知關(guān)于x的方程x2-2(m-2)xm2=0，問：是否存在正實(shí)數(shù)m,使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于56,若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.25.已知關(guān)于x的

5、一元二次方程x+(4m+1)x+2m-仁O.(1)求證：不論m為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;111若方程兩根為X1、X2，且滿足丄+丄=-，求m的值.X1X22一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用例析及訓(xùn)練安徽省利辛縣教育局督導(dǎo)室夏飛對(duì)于一元二次方程：'】一山，當(dāng)判別式I時(shí)，_-吐腫-4m其求根公式為：；若兩根為：，當(dāng)0時(shí)，則兩根的關(guān)X陽二_一；“，根與系數(shù)的這種關(guān)系又稱為韋達(dá)定理；它的逆定理也是成立的，即當(dāng)1，一；時(shí)，那么/則是'-111的兩根。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性強(qiáng)，應(yīng)用極為廣泛，在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有極重要的地位，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)。學(xué)習(xí)中，老師除了要求同

6、學(xué)們應(yīng)用韋達(dá)定理解答一些變式題目外，還常常要求同學(xué)們熟記一元二次方程'-'-"山根的判別式L-?、存在的三種情況，以及應(yīng)用求根公式求出方程；'-"'''''111的兩個(gè)根甘；，進(jìn)而分解因式，即nn冷丄7-o下面就對(duì)應(yīng)用韋達(dá)定理可能出現(xiàn)的問題舉例做些分析，希望能給同學(xué)們帶來小小的幫助。、根據(jù)判別式，討論一元二次方程的根。例1：已知關(guān)于T的方程（1）-有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且關(guān)于丫的方程（2）二H二一-:沒有實(shí)數(shù)根，問取什么整數(shù)時(shí)，方程（1）有整數(shù)解？分析：在同時(shí)滿足方程（1），（2）條件的丿的取值范圍中篩選符合條

7、件的的整數(shù)值。解：方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,13a<解得-;方程（2）沒有實(shí)數(shù)根,Aa=(-2)a-4(2tf-l)<0解得：'1；1Li于是，同時(shí)滿足方程（1）,（2）條件的的取值范圍是:其中，的整數(shù)值有：I或，一當(dāng)：一時(shí)，方程（1）為?;.-：，無整數(shù)根;當(dāng)，時(shí)，方程（1為':.，有整數(shù)根解得：I二-.二*所以，使方程（1）有整數(shù)根的的整數(shù)值是.<.說明：熟悉一元二次方程實(shí)數(shù)根存在條件是解答此題的基礎(chǔ)，正確確定丿的取值范圍，并依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出-S這也正是解答本題的基本技巧。、判別一元二次方程兩根的符號(hào)例1：不解

8、方程，判別方程=丿兩根的符號(hào)分析：對(duì)于-111來說，往往二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)皆為已知，可據(jù)此求出根的判別式厶，但只能用于判定根的存在與否，若判定根的正負(fù)，則需要確定】或<的正負(fù)情況。因此解答此題的關(guān)鍵是：既要求出判別式的值，又要確定1或-1-:的正負(fù)情況解：.:一4X2X(7)=65>0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。設(shè)方程的兩個(gè)根為'!,7珂眄二一一'IV0原方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根。說明：判別根的符號(hào)，需要把“根的判別式”和“根與系數(shù)的關(guān)系”結(jié)合起來進(jìn)行確定，另外由于本題中1:V0,所以可判定方程的根為一正一負(fù)；倘若Jo,仍需考慮;1_:的正負(fù)，方可判別方程是

9、兩個(gè)正根還是兩個(gè)負(fù)根。三、已知一元二次方程的一個(gè)根，求出另一個(gè)根以及字母系數(shù)的值。例2:已知方程：.的一個(gè)根為2，求另一個(gè)根及的值分析：此題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根的定義，把二二代入原方程,先求出匸的值，再通過解方程辦法求出另一個(gè)根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根及的值。解法一：把：代入原方程，得:26x2+/-2戰(zhàn)+5=0即：廠_.:;i:11解得:-1=廠二-當(dāng)'-1'-1時(shí)，原方程均可化為:解得：-'方程二.的另一個(gè)根為4,'的值為3或一1解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理得:珂+陽二4一6）二6,忑陽二怖一2禰+$把

10、；1代入-，可得："-I把二丨代入'I，可得:.方程.：J-1一-.的另一個(gè)根為4,匸的值為3或一1說明：比較起來，解法二應(yīng)用了韋達(dá)定理，解答起來較為簡單例3：已知方程“有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21，求匸的值分析：本題若利用轉(zhuǎn)化的思想，將等量關(guān)系“兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21”轉(zhuǎn)化為關(guān)于匸的方程，即可求得匸的值。解：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，解這個(gè)不等式，得匸w0設(shè)方程兩根為；'則2），首遇二懈'+4整理得：<.7-:解得：-'-說明：當(dāng)求出-1一-后，還需注意隱含條件出二1，應(yīng)舍去不合題意的乜。四、運(yùn)用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系解題。例

11、5：已知1、V是關(guān)于Y的一元二次方程：-的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，問和二能否同號(hào)？若能同號(hào)，請(qǐng)求出相應(yīng)的匸的取值范圍；若不能同號(hào)，請(qǐng)說明理由，解：因?yàn)殛P(guān)于丁的一元二次方程十一丄-有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根,則有.二-I.-:_.-1'I'又【、=是方程：-的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得：X+乃=_（幡_1）,如m=m假設(shè)：、二同號(hào)，則有兩種可能：(1)“(2):-''-V-11%+xa<0若珂<0,乃<0,貝函：>o；-伽-1)<01,-m2>0即有：1.4解這個(gè)不等式組，得;1“？5I時(shí)方程才有實(shí)樹根，此種情況不成立。L

12、+x3>0若xpO,©丸,則有：U>0-(尚-1)>0-waa>0即有：1.4解這個(gè)不等式組，得-.;5然蘭一又I,當(dāng)j時(shí)，兩根能同號(hào)說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系深刻揭示了一元二次方程中根與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，是分析研究有關(guān)一元二次方程根的問題的重要工具，也是計(jì)算有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問題的重要工具。知識(shí)的運(yùn)用方法靈活多樣，是設(shè)計(jì)考察創(chuàng)新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯(lián)系的試題出現(xiàn)頻率很高，應(yīng)是同學(xué)們重點(diǎn)練習(xí)的內(nèi)容。六、運(yùn)用一元二次方程根的意義及根與系數(shù)的關(guān)系解題例：已知二、i是方程二.的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求:-的值分析：本題可充分運(yùn)用根的意義和根與系數(shù)的關(guān)系

13、解題，應(yīng)摒棄常規(guī)的求根后，再帶入的方法，力求簡解。解法一：由于匚是方程_:的實(shí)數(shù)根，所以；11設(shè)寸+q0+2g二M，卅+如+2氏與儼+20-$相加，得:J.?+)二（0+伊）+2也+向+如-$-'''-h；-二J（變形目的是構(gòu)造二f和J）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有：0：+=-2,聯(lián)二J于是，得：J=廠廠=一-4-4+5-5=0.二：A=o解法二：由于二、是方程J丄.-:的實(shí)數(shù)根，.:.I?'兩式相減，得1厶:z<-I說明：既要熟悉問題的常規(guī)解法，也要隨時(shí)想到特殊的簡捷解法，是解題能力提高的重要標(biāo)志，是努力的方向。有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問題，當(dāng)根是無理數(shù)時(shí)，運(yùn)

14、算將十分繁瑣，這時(shí),如果方程的系數(shù)是有理數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題可起到化難為易、化繁為簡的作用。這類問題在解法上靈活多變，式子的變形具有創(chuàng)造性，重在考查能力，多年來一直受到命題老師的青睞。七、運(yùn)用一元二次方程根的意義及判別式解題例8：已知兩方程-和1至少有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，求這兩個(gè)方程的四個(gè)實(shí)數(shù)根的乘積。分析：當(dāng)設(shè)兩方程的相同根為二時(shí)，根據(jù)根的意義，可以構(gòu)成關(guān)于二和匸的元方程組，得解后再由根與系數(shù)的關(guān)系求值。解：設(shè)兩方程的相同根為二，根據(jù)根的意義,cr2-（加+1）厲+13悄+7二01，方程的判別式二(一轉(zhuǎn))2_4伽+5)=(-)：_4(-+5)=丄衛(wèi)<066363方程無實(shí)數(shù)解皆2伽+

15、1）二當(dāng)亠.時(shí)，有實(shí)數(shù)解一代入原方程，得_一丨；I，所以v''于是，兩方程至少有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，4個(gè)實(shí)數(shù)根的相乘積為0+閘(13戰(zhàn)+7)=14x124=1736說明：（1）本題的易錯(cuò)點(diǎn)為忽略對(duì)11-':的討論和判別式的作用，常常除了犯有默認(rèn)門1./的錯(cuò)誤，甚至還會(huì)得出并不存在的解:_1當(dāng)11-'：時(shí)，.匚，兩方程相同，方程的另一根也相同，所以4個(gè)根的相乘積為:（用+5尸841（2）既然本題是討論一元二次方程的實(shí)根問題，就應(yīng)首先確定方程有實(shí)根的條件：A-卜搟尸-4（卿+5）二聊彳_4拠_20N°且二二t二Ml另外還應(yīng)注意：求得的的值必須滿足這兩個(gè)不等式

16、才有意義【趁熱打鐵】一、填空題：1、如果關(guān)于：的方程-I的兩根之差為2,那么k-o2、已知關(guān)于X的一元二次方程匸一；二兩根互為倒數(shù)，則o3、已知關(guān)于-的113方程"-的兩根為II,且必r4,貝U刖二o4、已知心勿是方程2"-7x-4二0的兩個(gè)根，那么：2.2珂+陽=，-；*o5、已知關(guān)于；的一元二次方程-.；:的兩根為1和，且-,貝時(shí)Jo6、如果關(guān)于丄的一元二次方程/"''的一個(gè)根是丨',那么另一個(gè)根是,的值為o7、已知-*-是二廣I1的一根，則另一根為,的值為o8個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根是-空廠和-，那么這個(gè)一元二次方程為：o二、求值題：1

17、、已知是方程.的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求珂%+坷才的值。2、已知心勺是方程3?-2x-l=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求日；.的值。3、已知I是方程-II的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求r的值。4、已知兩數(shù)的和等于6,這兩數(shù)的積是4,求這兩數(shù)。5、已知關(guān)于x的方程-譏-L.-二-i的兩根滿足關(guān)系式'<-I,求匸的值及方程的兩個(gè)根。6、已知方程y和hI有一個(gè)相同的根，求的值及這個(gè)相同的根。三、能力提升題：i實(shí)數(shù)廠在什么范圍取值時(shí)，方程：-第r"有正的實(shí)數(shù)根？2、/+（刑一2）x+牌一3二0已知關(guān)于的一元二次方程1（1）求證：無論取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相

18、等的實(shí)數(shù)根。（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根、二滿足'I1-用''，求匸的值21卜x-Qn-2訊）蓋+朋社=°3、若.，關(guān)于一的方程-有兩個(gè)相等的正的實(shí)數(shù)m根，求.的值。4、是否存在實(shí)數(shù)，使關(guān)于丄的方程的兩個(gè)實(shí)根心勾，滿足可2,如果存在，試求出所有滿足條件的上的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由。5、已知關(guān)于丄的一元二次方程型：“：（II）的11兩實(shí)數(shù)根為1巴，若I求匸的值。6、實(shí)數(shù)匸、卜分別滿足方程|'.，八:.和：.，求代數(shù)式豹耳+4刑+1H的值。答案與提示：一、填空題：1提示:二；-；：，；'，：-'"，：_-,*：佃+無-佃陽=4

19、，解得：-_s+1_112提示：_1,由韋達(dá)定理得，_：”一_a+1解得：，：,代入；-檢驗(yàn)，有意義。1133、提示：由于韋達(dá)定理得：十一_74、提示：由韋達(dá)定理得：.'I,二_韻<2x(-2)65，-r111_i；由產(chǎn)e二J可判定方程的兩根異號(hào)有兩種情況：設(shè)1>0,；v0,h>0,則A1_X2-（西一陽）=-罟一2x(2)9:;設(shè)Jv0,5、提示：由韋達(dá)定理得:6、提示：設(shè),-1-，由韋達(dá)定理得：X-、_,，二1J'-,解得：一1,J，即:07、提示：設(shè)'i_-/：，由韋達(dá)定理得：I二J,.2+$+兀2=4，.】，.二二.亠8提示：設(shè)所求的一元二次方

20、程為1，那么:?，-一二:，亠.，即fJ_:亠Jjj-；設(shè)所求的一元二次方程為：1-:二、求值題：_31提示：由韋達(dá)定理得：.'1，'1，''i二詢（屮滬2麗廣-孰孑+2濟(jì)詣2鬲+玄二一X】島2、提示：由韋達(dá)定理得：.'j,''=【（再+為）（珂-陽）,二久+朋（州+為）?-4召-4x(-1)=-381_33、提示：由韋達(dá)定理得：'1,二二一匚,/兒'_'一II.-_1'i1'_I_1_1=恥）咻+恥+論=（-2）W|K-$-3x（-2）=-券4、提示：設(shè)這兩個(gè)數(shù)為："'：,于是有

21、；：'；-',；：I,因此I；可看作方程"I的兩根，即，二一：，所以可得方程：.1-：，解得：-:丨，-匚'，所以所求的兩個(gè)數(shù)分別是3+的，3-厲。5、提示：由韋達(dá)定理得vn-_珮+11，m，rf朋-If仆瀏+1_1b心-】，I1，化簡得：腫二II;解得：物T1,桝2=1；以下分兩種情況:當(dāng)C時(shí),廠1，二、1,組成方程組:兀+i2=5(i)西-3的m；解這個(gè)方程組得：內(nèi)二Sm-當(dāng)，-時(shí)，：j，丁二I,組成方程組:珂+屯二-1(i)可-虧二1.:解這個(gè)方程組得：%=0厲=T6、提示：設(shè)7】；I-和-2-：-h1相同的根為:;-:'，于是可得方程組：a，+盤潮+4=0:圧-說加2)m；+得：/+6二0,解這個(gè)方程得：.二“I.；.、=._13以下分兩種情況：(1)當(dāng)T二時(shí)，代入得1"5;(2)當(dāng)-時(shí),代入得<所以I-和-ilI相同的根為匚二的_13值分別為，2，T-J。三、能力提升題：1、提示：方程有正的實(shí)數(shù)根的條件必須同時(shí)具備：判別式0;；二>0,1一2>0;于是可得不等式組