第10章 等截面直桿扭轉(zhuǎn)

1、第十章第十章 等截面直桿的扭轉(zhuǎn)等截面直桿的扭轉(zhuǎn)n10.1 扭轉(zhuǎn)問(wèn)題中的應(yīng)力和位移扭轉(zhuǎn)問(wèn)題中的應(yīng)力和位移n10.2 扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬n10.3 橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)n10.4 矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)n10.5 薄壁桿的扭轉(zhuǎn)薄壁桿的扭轉(zhuǎn)n10.6 扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的差分解扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的差分解10.1 設(shè)有等截面直桿，體力不計(jì)，在兩端受有大小相等而轉(zhuǎn)向相反設(shè)有等截面直桿，體力不計(jì)，在兩端受有大小相等而轉(zhuǎn)向相反的扭矩的扭矩M作用。取桿的一端平面為作用。取桿的一端平面為xy平面，平面，z軸沿桿的縱向。軸沿桿的縱向。xxxyyzOOMMAB 00zxzy，1001xyzxy體

2、力為零體力為零0XYZ平衡方程平衡方程 000zyyzzxxzazzxy，zyzxxy 分析：分析：zx和和zy只是只是x和和y的函數(shù)，并對(duì)平衡方程第三式變形的函數(shù)，并對(duì)平衡方程第三式變形根據(jù)微分方程理論，一定存在一個(gè)函數(shù)根據(jù)微分方程理論，一定存在一個(gè)函數(shù)(x，y)，使得，使得zxzyyx ，則應(yīng)力分量為則應(yīng)力分量為102zxxzzyyzyx ，函數(shù)函數(shù)(x，y) 稱為稱為扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)（普朗都普朗都提出）。提出）。將將（10-110-1）及（）及（10-210-2）代入相容方程（）代入相容方程（9-329-32），得），得2200 xy，即即2103C邊界條件：邊界條件

3、：在桿的側(cè)面上在桿的側(cè)面上00nXYZ，應(yīng)力邊界條件要求應(yīng)力邊界條件要求0 xzyzsslm在邊界上有在邊界上有ddddyxlmss ，將（將（10-210-2）代入得）代入得0sslmyx所以邊界條件要求所以邊界條件要求ddd0dddssyxysxss 上式說(shuō)明：上式說(shuō)明：在桿的側(cè)面上（橫截面的邊界曲線上），應(yīng)力函數(shù)在桿的側(cè)面上（橫截面的邊界曲線上），應(yīng)力函數(shù)的邊界值應(yīng)當(dāng)是常數(shù)。的邊界值應(yīng)當(dāng)是常數(shù)。 當(dāng)應(yīng)力函數(shù)當(dāng)應(yīng)力函數(shù)增加或減少一個(gè)常數(shù)時(shí)，應(yīng)力分量不受影響，因增加或減少一個(gè)常數(shù)時(shí)，應(yīng)力分量不受影響，因此在單連截面（實(shí)心桿）的情況下應(yīng)力函數(shù)此在單連截面（實(shí)心桿）的情況下應(yīng)力函數(shù)的邊界值可以取

4、為零的邊界值可以取為零s=0 （10-4）在多連截面的情況下，雖然應(yīng)力函數(shù)在多連截面的情況下，雖然應(yīng)力函數(shù)s在每一邊界上都是常數(shù)，但在每一邊界上都是常數(shù)，但各個(gè)常數(shù)一般并不相同。因此只能把其中某一個(gè)邊界上的各個(gè)常數(shù)一般并不相同。因此只能把其中某一個(gè)邊界上的s取為零，取為零，其它邊界上的其它邊界上的s ，則應(yīng)根據(jù)位移單值條件來(lái)確定。，則應(yīng)根據(jù)位移單值條件來(lái)確定。 在桿的任一端（上端）在桿的任一端（上端）l=m=0，n=-1，則要求，則要求 zxzyXYb， 因面力必須合成扭矩因面力必須合成扭矩M，所以要求，所以要求 d d0X x yc d d0Y x yd d dyXxYx yMe 根據(jù)（根據(jù)

5、（b）中的第一式及（）中的第一式及（10-2），式（），式（c）左邊的積分改寫為）左邊的積分改寫為d dd dd ddddzxBAX x yx yx yxyxxx xxyOAB 其中其中B及及A是橫截面邊界上是橫截面邊界上B點(diǎn)及點(diǎn)及A點(diǎn)點(diǎn)的的值，由圖可知，應(yīng)當(dāng)?shù)扔诹?，可?jiàn)值，由圖可知，應(yīng)當(dāng)?shù)扔诹悖梢?jiàn)（c）、（）、（d）兩式滿足）兩式滿足 根據(jù)（根據(jù)（b）式及（）式及（10-2），式（），式（e）左邊的積分改寫為）左邊的積分改寫為d dd dd dddddzxzyyXxYx yyxx yyxx yyxx yyy xxyx 利用分部積分，并注意到利用分部積分，并注意到B=A=0ddddd dBB

6、AAx yyxyyyx yy 同理可得同理可得ddd dy xxx yx 于是（于是（e）式成為）式成為1052d dx yM 為了求得應(yīng)力，只須求出應(yīng)力函數(shù)，使之能滿足方程（為了求得應(yīng)力，只須求出應(yīng)力函數(shù)，使之能滿足方程（10-310-3）（10-510-5），然后由（），然后由（10-210-2）式求應(yīng)力分量。）式求應(yīng)力分量。 位移公式位移公式 將應(yīng)力分量的表達(dá)式（將應(yīng)力分量的表達(dá)式（10-1）及（）及（10-2）代入物理方）代入物理方程（程（8-17）得）得總總 結(jié)：結(jié)： 將上述表達(dá)式代入幾何方程（將上述表達(dá)式代入幾何方程（8-9）得）得000110 xyzyzzxxyGxGy ， 00

7、0011uvwvuxyzxyfwvuwyzGxzxGy ， 通過(guò)積分，可求得位移分量通過(guò)積分，可求得位移分量00yzzxuuw zw yKyzvvw xw zKxz 積分常數(shù)代表剛體位移，積分常數(shù)代表剛體位移，K也是積分常數(shù)。只保留與形變有關(guān)的也是積分常數(shù)。只保留與形變有關(guān)的位移，則位移，則106uKyzvKxz ， 若用柱坐標(biāo)表示，則為若用柱坐標(biāo)表示，則為0ruuKrz， 可見(jiàn)，每個(gè)橫截面在可見(jiàn)，每個(gè)橫截面在xy面上的投影不改變形狀，而只是轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)面上的投影不改變形狀，而只是轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度角度=Kz=Kz。由此可見(jiàn)，桿的單位長(zhǎng)度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角為。由此可見(jiàn)，桿的單位長(zhǎng)度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角為 。 將（將（10

8、-610-6）代入（）代入（f f）中的）中的5 5、6 6兩式得兩式得ddKz11017wwKyKxxGyyGx ， 通過(guò)以上兩式可以求解通過(guò)以上兩式可以求解w。并將以上兩式分別對(duì)。并將以上兩式分別對(duì)y及及x求導(dǎo)，然后求導(dǎo)，然后相減，即得相減，即得22108GK 方程（方程（10-3）中的常數(shù)）中的常數(shù)C應(yīng)為應(yīng)為1092CGK10.2 扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬 普朗都指出：薄膜在均勻壓力下的垂度，與等截面直桿扭轉(zhuǎn)問(wèn)普朗都指出：薄膜在均勻壓力下的垂度，與等截面直桿扭轉(zhuǎn)問(wèn)題中的應(yīng)力函數(shù)，在數(shù)學(xué)上是相似的。用薄膜來(lái)比擬扭桿，可以有題中的應(yīng)力函數(shù)，在數(shù)學(xué)上是相似的。用薄膜來(lái)比擬扭桿，可以

9、有助于求得扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的解答。助于求得扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的解答。 設(shè)有一塊均勻薄膜，張?jiān)谝辉O(shè)有一塊均勻薄膜，張?jiān)谝粋€(gè)水平邊界上，水平邊界與某一個(gè)水平邊界上，水平邊界與某一扭桿的橫截面邊界具有同樣的形扭桿的橫截面邊界具有同樣的形狀和大小。當(dāng)薄膜承受微小的均狀和大小。當(dāng)薄膜承受微小的均勻壓力，薄膜的各點(diǎn)將發(fā)生微小勻壓力，薄膜的各點(diǎn)將發(fā)生微小的垂度。以邊界所在的水平面為的垂度。以邊界所在的水平面為xy面，則垂度為面，則垂度為z。假定薄膜不承。假定薄膜不承受彎矩、扭矩、剪力和壓力，只受彎矩、扭矩、剪力和壓力，只承受均勻的拉力承受均勻的拉力T。OOqTTTTTTxxzydxdyabcd 在薄膜中取微小部分在薄膜中取微

10、小部分abcd，則有，則有ddddddddddzabT yT yxzcdT yT yzxxxzadTzzzzxT xyzbcT xT xzyyy邊上的拉力，在 軸上的投影邊上的拉力，在 軸上的投影邊上的拉力，在 軸上的投影邊上的拉力，在 軸上影-的投- 由平衡條件得由平衡條件得ddddddd d0zzzzT yT yzxT xT xzyq x yxxxyyy 簡(jiǎn)化得簡(jiǎn)化得22220zzTqxy 即即210 10qzT 薄膜在邊界上的垂度等于零，即薄膜在邊界上的垂度等于零，即10 101sz 由于由于q/T 為常量，（為常量，（10-1010-10）及（）及（10-1110-11）兩式可以改寫為

11、）兩式可以改寫為 2100sTTzzaqq ， 因?yàn)榕まD(zhuǎn)問(wèn)題中的因?yàn)榕まD(zhuǎn)問(wèn)題中的GK也為常量，（也為常量，（10-810-8）及（）及（10-410-4）變形為）變形為 210022sbGKGK ， 2/GKczq T 對(duì)比（對(duì)比（b b）、（）、（a a）兩式，并注意到薄膜和扭桿橫截面具有相同的）兩式，并注意到薄膜和扭桿橫截面具有相同的邊界，邊界， 與與 決定于同樣的微分方程和邊界條件，因而具有相同決定于同樣的微分方程和邊界條件，因而具有相同的解答，即的解答，即2GKTzq 命薄膜及其邊界平面之間的體積為命薄膜及其邊界平面之間的體積為V，則有，則有d dVz x y 應(yīng)用（應(yīng)用（c c）式及

12、（）式及（10-510-5），可得），可得d d24qqMVx yGKTGKT 從而有從而有 22/GKVdq T 此外，根據(jù)（此外，根據(jù)（10-210-2）及（）及（c c），又可得），又可得22/zxGKTGKzzyyqq Ty 其中其中 為薄膜沿為薄膜沿y方向的斜率，上式可以改寫為方向的斜率，上式可以改寫為zy 2/zxzGKeyq T 調(diào)整薄膜所受的壓力調(diào)整薄膜所受的壓力q，使得薄膜的，使得薄膜的q/T的值等于扭桿的的值等于扭桿的2GK值，值，由（由（c）、（）、（d）、（）、（e）可得如下結(jié)論：）可得如下結(jié)論： （1）該扭桿的應(yīng)力函數(shù)）該扭桿的應(yīng)力函數(shù)，等于該薄膜的垂度，等于該薄膜的

13、垂度z； （2）該扭桿所受的扭矩）該扭桿所受的扭矩M，等于該薄膜及其邊界平面之間的體，等于該薄膜及其邊界平面之間的體積的兩倍，即積的兩倍，即2V； （3）該扭桿橫截面上某一點(diǎn)處的剪應(yīng)力）該扭桿橫截面上某一點(diǎn)處的剪應(yīng)力zx，等于該薄膜上對(duì)，等于該薄膜上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的斜率應(yīng)點(diǎn)處的斜率 。zy討討 論：論： 因?yàn)橐驗(yàn)閤軸和軸和y軸可以取在扭桿橫截面上任意兩個(gè)相互垂直的方向，軸可以取在扭桿橫截面上任意兩個(gè)相互垂直的方向，所以第三個(gè)結(jié)論可以推廣為：所以第三個(gè)結(jié)論可以推廣為：在扭桿橫截面上某一點(diǎn)處、沿任一方在扭桿橫截面上某一點(diǎn)處、沿任一方向的剪應(yīng)力，等于該薄膜在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的、沿垂直方向的斜率向的剪應(yīng)力，等于該薄

14、膜在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的、沿垂直方向的斜率。 扭桿橫截面上的最大剪應(yīng)力等于該薄膜的最大斜率。扭桿橫截面上的最大剪應(yīng)力等于該薄膜的最大斜率。 最大剪應(yīng)力的方向和最大斜率的方向相互垂直。最大剪應(yīng)力的方向和最大斜率的方向相互垂直。10.3 橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn) 設(shè)有等截面直桿，它的橫截面具有一個(gè)橢圓邊界，橢圓的半軸設(shè)有等截面直桿，它的橫截面具有一個(gè)橢圓邊界，橢圓的半軸分別為分別為a和和b。 22221xyaabxyOABab 橢圓的方程為橢圓的方程為 應(yīng)力函數(shù)在邊界上為零，故設(shè)為應(yīng)力函數(shù)在邊界上為零，故設(shè)為 22221xymbab 將（將（b b）代入（）代入（10-310-3），得），得2222

15、22222mma b CCmabab求解 應(yīng)力函數(shù)的形式為應(yīng)力函數(shù)的形式為 2222222212a b Cxycabab 將（將（c c）代入（）代入（10-510-5）得）得 2222222211d dd dd d2a b Cxx yyx yx yMdabab 由材料力學(xué)知由材料力學(xué)知3232d d4d d4d dyxa bxx yIabyx yIx yab 代入（代入（d d）可得）可得 22332M abCea b 再回代（再回代（c c）可得應(yīng)力函數(shù)）可得應(yīng)力函數(shù) 22221Mxyfab ab 應(yīng)力分量的表達(dá)式應(yīng)力分量的表達(dá)式332210 12zxzyMyabMxa b 任一點(diǎn)的合剪應(yīng)

16、力任一點(diǎn)的合剪應(yīng)力22224410321zxzyMxyabaa 最大剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力max2210 14ABMab 單位長(zhǎng)度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角單位長(zhǎng)度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角2233210 15abMCKGa b G 位移分量的表達(dá)式位移分量的表達(dá)式2233223310 16zyabMuyza b GabMxza b G 不計(jì)剛體位移，則不計(jì)剛體位移，則223310 17abMwxya b G結(jié)結(jié) 論：論： 扭桿的橫截面并不保持為平面，而將翹成曲面。曲面的等高線扭桿的橫截面并不保持為平面，而將翹成曲面。曲面的等高線在在xy面上的投影是雙曲線，這些雙曲線的漸近線是面上的投影是雙曲線，這些雙曲線的漸近線是x軸和軸和y軸

17、。只有軸。只有當(dāng)當(dāng)a=b時(shí)，才有時(shí)，才有w=0，橫截面才保持為平面。，橫截面才保持為平面。 設(shè)矩形的邊長(zhǎng)分別為設(shè)矩形的邊長(zhǎng)分別為a和和b，如圖所示，如圖所示 狹長(zhǎng)矩形，狹長(zhǎng)矩形，ab。應(yīng)力函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)在絕大部分橫截面上幾乎不隨在絕大部分橫截面上幾乎不隨x變變化，因?yàn)閷?duì)應(yīng)的薄膜幾乎不受短邊化，因?yàn)閷?duì)應(yīng)的薄膜幾乎不受短邊的影響，于是可以近似取的影響，于是可以近似取 1. 1. 狹長(zhǎng)矩形狹長(zhǎng)矩形10.4 矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)OxyA/2a/2a/2b/2bd0dxyy， （10-310-3）成為）成為 22ddCy 積分，并利用邊界條件積分，并利用邊界條件 222024byCbya邊界

18、條件， 將（將（a a）代入（）代入（10-510-5）得）得2222222d d22ababCbyx yM 解得解得 36MCbab 應(yīng)力函數(shù)的表達(dá)式應(yīng)力函數(shù)的表達(dá)式 22334Mbycab 應(yīng)力分量的表達(dá)式應(yīng)力分量的表達(dá)式3601018zxzyMyyabx ， 最大剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力max2231019bzxyMab 單位長(zhǎng)度內(nèi)扭轉(zhuǎn)角單位長(zhǎng)度內(nèi)扭轉(zhuǎn)角2. 2. 任意矩形任意矩形 應(yīng)力函數(shù)滿足應(yīng)力函數(shù)滿足 22GKe 3123200CMKGab G 應(yīng)力函數(shù)也可表示為應(yīng)力函數(shù)也可表示為 224bGKyd 邊界條件滿足邊界條件滿足 2200abxxf， 根據(jù)對(duì)稱條件，應(yīng)力函數(shù)應(yīng)該是根據(jù)對(duì)稱條件，

19、應(yīng)力函數(shù)應(yīng)該是x及及y的偶函數(shù)。的偶函數(shù)。 取應(yīng)力函數(shù)為取應(yīng)力函數(shù)為 22,4bGKyF xyg F為修正項(xiàng)，并注意邊界條件（為修正項(xiàng)，并注意邊界條件（f），所以），所以F應(yīng)是調(diào)和函數(shù)，并滿應(yīng)是調(diào)和函數(shù)，并滿足邊界條件足邊界條件 20Fh 222204abxxbFGKyFi， 根據(jù)對(duì)稱條件，根據(jù)對(duì)稱條件，F(xiàn)也應(yīng)該是也應(yīng)該是x及及y的偶函數(shù)。的偶函數(shù)。 經(jīng)過(guò)分析，經(jīng)過(guò)分析，F(xiàn)可以取如下形式可以取如下形式 1,3,5,chcosmmm xm yFAjbb 代入（代入（j j）中的第一式，得）中的第一式，得 將上式右邊展成級(jí)數(shù)，并比較系數(shù)將上式右邊展成級(jí)數(shù)，并比較系數(shù)221,3,5,chcos24m

20、mm am ybAGKybb22122233228chcosd124bmbmm abm yGKbAGKyybbbm 從而得修正項(xiàng)的表達(dá)式從而得修正項(xiàng)的表達(dá)式122331,3,5,1chcos8ch2mmm xm yGKbbbFm amb 應(yīng)力函數(shù)的最終表達(dá)式應(yīng)力函數(shù)的最終表達(dá)式 12222331,3,5,1chcos84ch2mmm xm ybbbbGKykm amb 最大剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力 扭矩扭矩M與扭角與扭角K的關(guān)系的關(guān)系 max20,221,3,5,0,2811ch2bzxxybmxyGKblm aymb 扭角扭角K的表達(dá)式的表達(dá)式322551,3,5,22th16422d d2d d3

21、ababmm abbMx yx yGKabam 3551,3,5,th16423mMKmm abbab Gam 最大剪應(yīng)力的計(jì)算公式最大剪應(yīng)力的計(jì)算公式 （m m）及（）及（n n）可以寫成）可以寫成 221,3,5,max2551,3,5,811ch2th16423mmMm ambnm abbabam31021MKab Gmax211022Mab 因子因子和和1只與比值只與比值a/b有關(guān)。兩個(gè)因子的數(shù)值如下有關(guān)。兩個(gè)因子的數(shù)值如下a/b1a/b11.00.1410.2083.00.2630.2671.20.1660.2194.00.2810.2821.50.1960.2305.00.2910

22、.2912.00.2290.24610.00.3120.3122.50.2490.258很大很大0.3330.333 當(dāng)當(dāng)a/b很大時(shí)，很大時(shí)， 和和1都趨于都趨于1/3,1/3,退化為狹長(zhǎng)矩形。退化為狹長(zhǎng)矩形。10.5 薄壁桿的扭轉(zhuǎn)薄壁桿的扭轉(zhuǎn)工程上通常使用的薄壁桿，它們的橫截面大都是由等寬度的狹工程上通常使用的薄壁桿，它們的橫截面大都是由等寬度的狹長(zhǎng)矩形組成。長(zhǎng)矩形組成。 如果有兩個(gè)狹長(zhǎng)矩形截面的扭桿，它們的扭角如果有兩個(gè)狹長(zhǎng)矩形截面的扭桿，它們的扭角K相同，剪切彈相同，剪切彈性模量性模量G相同，則兩個(gè)扭桿的扭矩相同，則兩個(gè)扭桿的扭矩M及剪應(yīng)力及剪應(yīng)力差別不大。因此，差別不大。因此，一個(gè)曲

23、的狹矩截面，可以用一個(gè)同寬同長(zhǎng)的直的狹矩截面來(lái)代替，一個(gè)曲的狹矩截面，可以用一個(gè)同寬同長(zhǎng)的直的狹矩截面來(lái)代替，而不致引起多大的誤差。而不致引起多大的誤差。 用用ai及及bi分別代表扭桿橫截面的第分別代表扭桿橫截面的第i個(gè)狹矩形的長(zhǎng)和寬，個(gè)狹矩形的長(zhǎng)和寬，Mi代表代表該矩形面積上承受的扭矩（整個(gè)橫截面上扭矩該矩形面積上承受的扭矩（整個(gè)橫截面上扭矩M的一部分），的一部分），i代代表矩形長(zhǎng)邊中點(diǎn)附近的剪應(yīng)力，表矩形長(zhǎng)邊中點(diǎn)附近的剪應(yīng)力，K代表扭桿的扭角，根據(jù)公式（代表扭桿的扭角，根據(jù)公式（10-19）及（）及（10-20），則有），則有 23iiiiMaab 由式（由式（b b）可得）可得 33ii

24、iMKbab G 33iiiab GKMc 扭桿整個(gè)橫截面上的扭矩為扭桿整個(gè)橫截面上的扭矩為 33iiiGKMMabd （c）式代入（）式代入（d）式消去）式消去K，回代（，回代（a）及（）及（b）兩式得）兩式得313302iiiiMbab310243iiMKGab對(duì)于狹矩形長(zhǎng)邊中點(diǎn)處的剪應(yīng)力對(duì)于狹矩形長(zhǎng)邊中點(diǎn)處的剪應(yīng)力i，公式（，公式（10-23）給出相當(dāng)精）給出相當(dāng)精確的數(shù)值，但在兩個(gè)狹矩形的連接處，可能發(fā)生遠(yuǎn)大于此的局部剪確的數(shù)值，但在兩個(gè)狹矩形的連接處，可能發(fā)生遠(yuǎn)大于此的局部剪應(yīng)力。按照胡斯用差分計(jì)算的結(jié)果，比值應(yīng)力。按照胡斯用差分計(jì)算的結(jié)果，比值max/i與比值與比值/i大致如下。大

25、致如下。ibmaxiib 分析閉合薄壁桿的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí)，最好應(yīng)用薄膜比擬，以避免應(yīng)用分析閉合薄壁桿的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí)，最好應(yīng)用薄膜比擬，以避免應(yīng)用位移單值條件的麻煩。位移單值條件的麻煩。 假想在薄壁桿的橫截面邊界上張一塊薄膜，薄膜在外邊界假想在薄壁桿的橫截面邊界上張一塊薄膜，薄膜在外邊界AB處處的垂度為零。命內(nèi)邊界的垂度為零。命內(nèi)邊界CD處的垂度為處的垂度為h。由于桿壁的厚度。由于桿壁的厚度很小，很小，薄膜的斜率沿厚度方向的變化可以忽略不計(jì)。于是，在桿壁厚度為薄膜的斜率沿厚度方向的變化可以忽略不計(jì)。于是，在桿壁厚度為之處，剪應(yīng)力的大小為之處，剪應(yīng)力的大小為 hexxyzOOABTTqhCDABCDds

26、扭矩扭矩M為為 2MAhf A可以取內(nèi)外兩邊界所可以取內(nèi)外兩邊界所包圍面積的平均值，也可以包圍面積的平均值，也可以取桿壁中線所包圍的面積取桿壁中線所包圍的面積。在桿壁中線的微段在桿壁中線的微段ds上，薄膜對(duì)平板的拉力為上，薄膜對(duì)平板的拉力為Tds。該拉力在。該拉力在z軸上的投影為軸上的投影為Tsinds，可以近似的取為，可以近似的取為Ttands，即，即Tdsh/, ,平板所平板所受的壓力為受的壓力為qA，由平衡方程得，由平衡方程得ddhhsqT sqAAT由于由于22MqhGKAT，從而得從而得216d402MsKA G 對(duì)于均勻厚度的閉口薄壁桿，對(duì)于均勻厚度的閉口薄壁桿，是常量，故有是常量

27、，故有241027MsKA G s是桿壁中線的全長(zhǎng)。是桿壁中線的全長(zhǎng)。在截面有凹角之處，局部的最大剪應(yīng)力在截面有凹角之處，局部的最大剪應(yīng)力max，可能發(fā)生遠(yuǎn)大于，可能發(fā)生遠(yuǎn)大于公式（公式（10-25）給出的）給出的值。按照胡斯用差分計(jì)算的結(jié)果，比值值。按照胡斯用差分計(jì)算的結(jié)果，比值max/i與比值與比值/i大致如下。大致如下。maxiib10.6 扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的差分解扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的差分解 對(duì)于等截面直桿的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題，如果桿的橫截面是單連截面，則對(duì)于等截面直桿的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題，如果桿的橫截面是單連截面，則用差分法求解比較方便。用差分法求解比較方便。xyhhAB12034567891011121314 在桿的橫截

28、面上剖分網(wǎng)格，在任一內(nèi)節(jié)點(diǎn)在桿的橫截面上剖分網(wǎng)格，在任一內(nèi)節(jié)點(diǎn)0，有，有 2213024022220022axhyh， 根據(jù)根據(jù)的微分方程（的微分方程（10-8），在內(nèi)節(jié)點(diǎn)，在內(nèi)節(jié)點(diǎn)0，有，有 2222002GKbxy 將（將（a）代入（）代入（b）即得內(nèi)節(jié)點(diǎn)）即得內(nèi)節(jié)點(diǎn)0處的差分方程處的差分方程201234104282GKh 由于由于GKh2是常量，上式對(duì)每個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)都相同是常量，上式對(duì)每個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)都相同。 對(duì)于單連截面，可以把邊界上各節(jié)點(diǎn)處的對(duì)于單連截面，可以把邊界上各節(jié)點(diǎn)處的 值取為零。在（值取為零。在（10-28）所示方程中，未知量只有內(nèi)節(jié)點(diǎn)處的）所示方程中，未知量只有內(nèi)節(jié)點(diǎn)處的值，而方程

29、的數(shù)目又恰值，而方程的數(shù)目又恰好等于方程的數(shù)目，因而可以完全求解各內(nèi)節(jié)點(diǎn)處的好等于方程的數(shù)目，因而可以完全求解各內(nèi)節(jié)點(diǎn)處的值。值。 用應(yīng)力函數(shù)表示應(yīng)力分量的表達(dá)式為用應(yīng)力函數(shù)表示應(yīng)力分量的表達(dá)式為1029zxzyxy ， 對(duì)于內(nèi)節(jié)點(diǎn)，采用中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式對(duì)于內(nèi)節(jié)點(diǎn)，采用中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式13240022xhyh， 對(duì)于邊界節(jié)點(diǎn)，采用端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式對(duì)于邊界節(jié)點(diǎn)，采用端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式01903110002100412003434or223434or22xhxhyhyh， 上述應(yīng)力分量是用上述應(yīng)力分量是用GKh表示的表示的 ，利用應(yīng)力函數(shù)與扭矩，利用應(yīng)力函數(shù)與扭矩M的關(guān)系的關(guān)系式，即式，即 2d dx yMc 假設(shè)圖中節(jié)點(diǎn)假設(shè)圖中節(jié)點(diǎn)0到節(jié)點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)8九個(gè)節(jié)點(diǎn)處的九個(gè)節(jié)點(diǎn)處的值均已求出，可應(yīng)用二維值均已求出，可應(yīng)用二維辛普生積分，計(jì)算以節(jié)點(diǎn)辛普生積分，計(jì)算以節(jié)點(diǎn)0為中心的為中心的2h2h正方形范圍內(nèi)的積分值。正方形范圍內(nèi)的積分值。0