1.2無(wú)窮小量函數(shù)的連續(xù)性ppt課件

1、第三講第三講 ( (一一) ) 無(wú)窮小量與無(wú)窮大無(wú)窮小量與無(wú)窮大量量 ( (二二) ) 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)二、三個(gè)重要關(guān)系二、三個(gè)重要關(guān)系三、無(wú)窮小量的比較三、無(wú)窮小量的比較四、求極限舉例四、求極限舉例五、函數(shù)的連續(xù)性五、函數(shù)的連續(xù)性一、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量一、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量定義定義1 1： 在某個(gè)變化過(guò)程中在某個(gè)變化過(guò)程中, ,極限為零極限為零 的函數(shù)的函數(shù), ,稱為在此變化過(guò)程中的稱為在此變化過(guò)程中的 無(wú)窮小量無(wú)窮小）。無(wú)窮小量無(wú)窮小）。五、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量五、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量（一定義（一定義例如：例如：.0sintan,cos1,tan,sin,2時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小量量都都是是 x

2、xxxxxx.arctan2,12時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小量量都都是是 xxexx 注意：無(wú)窮小量是極限 為零的函數(shù)！無(wú)窮小量不是絕對(duì)值很小的數(shù)！定義定義2 2： 在某個(gè)變化過(guò)程中在某個(gè)變化過(guò)程中, ,絕對(duì)值無(wú)限絕對(duì)值無(wú)限 變大的函數(shù)變大的函數(shù), ,稱為在此變化過(guò)程中的稱為在此變化過(guò)程中的 無(wú)窮大量無(wú)窮大）。無(wú)窮大量無(wú)窮大）。 )(lim.)(,)(,0, 0, 0000 xfxxxfGxfxxGxx記記作作無(wú)無(wú)窮窮大大時(shí)時(shí)為為當(dāng)當(dāng)則則稱稱有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) )(lim.)(,)(,0, 0, 0000 xfxxxfGxfxxGxx記記作作正正無(wú)無(wú)窮窮大大時(shí)時(shí)為為當(dāng)當(dāng)則則稱稱有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) oxy

3、1 o21xy 例例 xx1lim0 xx1lim0 xx1lim0 201limxx（二無(wú)窮小與無(wú)窮大的性質(zhì)（二無(wú)窮小與無(wú)窮大的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1：.)()()()(),()(,)()(,都都是是無(wú)無(wú)窮窮小小和和為為常常數(shù)數(shù)過(guò)過(guò)程程中中則則在在此此變變化化都都是是無(wú)無(wú)窮窮小小和和化化過(guò)過(guò)程程中中若若在在自自變變量量的的同同一一個(gè)個(gè)變變xgxfxgxfcxcfxgxf 注意：注意：性質(zhì)性質(zhì)1只可以推廣到有限個(gè)函數(shù)只可以推廣到有限個(gè)函數(shù))21(lim222nnnnn 例例212)1(1lim2 nnnn0 .)()(,)(,)(,是是無(wú)無(wú)窮窮小小此此變變化化過(guò)過(guò)程程中中則則在在是是有有界界函函數(shù)數(shù)是

4、是無(wú)無(wú)窮窮小小化化過(guò)過(guò)程程中中若若在在自自變變量量的的某某一一個(gè)個(gè)變變xgxfxgxf性質(zhì)性質(zhì)2：.)()()0()(,)()(,都都是是無(wú)無(wú)窮窮大大和和常常數(shù)數(shù)過(guò)過(guò)程程中中則則在在此此變變化化都都是是無(wú)無(wú)窮窮大大和和化化過(guò)過(guò)程程中中若若在在自自變變量量的的同同一一個(gè)個(gè)變變xgxfcxcfxgxf 性質(zhì)性質(zhì)3： 例例 例例?sinlim xxx是是有有界界函函數(shù)數(shù)11sin0 xx01sinlim0 xxx1sin,01lim xxxx0)(sin)1(limsinlim xxxxxx?1sinlim0 xxx1.（無(wú)窮小與無(wú)窮大）（無(wú)窮小與無(wú)窮大）.)(1,)(,是是無(wú)無(wú)窮窮小小則則在在這這

5、個(gè)個(gè)變變化化過(guò)過(guò)程程中中是是無(wú)無(wú)窮窮大大化化過(guò)過(guò)程程中中若若在在自自變變量量的的某某一一個(gè)個(gè)變變xfxf.)(),()()(lim時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)其其中中 xxxAxfAxfx 2.（極限與無(wú)窮?。O限與無(wú)窮?。ㄈ齻€(gè)重要關(guān)系（三三個(gè)重要關(guān)系3.無(wú)窮大與無(wú)界函數(shù)無(wú)窮大與無(wú)界函數(shù)無(wú)無(wú)界界。反反之之不不一一定定。則則是是無(wú)無(wú)窮窮大大化化過(guò)過(guò)程程中中若若在在自自變變量量的的某某一一個(gè)個(gè)變變)(,)(,xfxf問題：?jiǎn)栴}：兩個(gè)無(wú)窮小量的商是否為無(wú)窮小量？?jī)蓚€(gè)無(wú)窮小量的商是否為無(wú)窮小量？ xxxxf,sin)(例例二、無(wú)窮小量的比較二、無(wú)窮小量的比較.)()(,1)()(lim,;)()

6、(, 0)()(lim)1(.)()(,是是等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小與與時(shí)時(shí)稱稱當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)特特別別是是同同階階無(wú)無(wú)窮窮小小與與時(shí)時(shí)則則稱稱當(dāng)當(dāng)若若都都是是無(wú)無(wú)窮窮小小與與過(guò)過(guò)程程中中設(shè)設(shè)在在自自變變量量的的同同一一變變化化xgxfxxgxfxgxfxAxgxfxgxfxx 定義：定義：)()()(xxgxf記記作作).()()(.)()(, 0)()(lim)2( xxgxfxgxfxxgxfx記記作作相相比比是是高高階階無(wú)無(wú)窮窮小小與與時(shí)時(shí)則則稱稱當(dāng)當(dāng)若若幾個(gè)常用的等價(jià)無(wú)窮小量)0(xxxxxaxaxexxxxxxxxxx2111)1ln(ln11arctanarcsintansin 等價(jià)無(wú)窮

7、小量的性質(zhì))(,sin,1)(sinsin,0 xxxxxxxxxx誤誤差差是是時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例 )()()()()()()()(,)(),(,xgxgxfxfxgxfxgxfxgxfx 或或則則無(wú)無(wú)窮窮小小均均為為時(shí)時(shí)設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)性質(zhì)性質(zhì)1：)()(lim)()(lim)()(lim)()(lim1111xgxgxgxfxfxfxgxfxxxx 存存在在，且且有有均均為為無(wú)無(wú)窮窮小小時(shí)時(shí)若若當(dāng)當(dāng))()(lim),()(),()(,)(),(),(),(,111111xgxfxgxgxfxfxgxfxgxfxx性質(zhì)性質(zhì)2：)()(lim)()(lim11xgxfxgxfxx 則則有有等價(jià)代換等

8、價(jià)代換)()(lim)()(lim1100 xgxfxgxfxx 解解54)12()2(lim)2)(12()2)(2(lim2324lim22222 xxxxxxxxxxxx)232(54)4( ;)232()4( ,22222 xxxxxxx同同階階無(wú)無(wú)窮窮小小是是與與時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)?2324lim222 xxxx例例1三、求極限舉例三、求極限舉例?cos1lim20 xxx2222022220)()(sinlim214)()(sin2limxxxxxx 222020sin2limcos1limxxxxxx 21sinlimsinlim21220220 xxxxxx例例2解解)()(cos12同

9、階xOx )()(cos1高階xx )(21cos12等價(jià)xx 21cos1lim20 xxx1cos1lim2210 xxxxxxx30sinsintanlim 21lim22210 xxx?sinsintanlim30 xxxx例例3解解xxx20sincos1lim xxxxcos1sincos1lim20 )(sintan3xOxx 2sintan3xxx )(sintan2xxx 0limsinsintanlim3030 xxxxxxxxxxxxxsin,tan,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 討論：討論：代數(shù)和不能代換！代數(shù)和不能代換！?)1ln(lim0 xxx解解100ln(1)limlimln(

10、1)xxxxxxln1e例例410lnlim(1)xxx?1lim0 xaxxxexaaxxxx1lim1limln00 axaxxlnlnlim0 ) 0(ln1 xaxax1 (0)xex x解解例例5?tan3)sin23(lim20 xxxxx解解例例6xxxxx20tan3)sin23(lim 23201)sin1(3limxxxxx 2)sin1ln(01lim32xexxx 2320)sin1ln(limxxxx 32sinlim320 xxx1 (0)xex xln(1) (0)xx x?)sin(cos21lim33 xxx,3ux 作作變變換換ux 3 則則0,3,ux時(shí)時(shí)

11、當(dāng)當(dāng)并并且且 解解 )3cos(21cos21ux 又又例例7)sin3sincos3(cos21uu uusin3cos1 301 2cos1 cos3sinlimlimsinsin()3xuxuuux從而3lim2210 uuu3 01 coslim3sinuuu連連 續(xù)續(xù) 函函 數(shù)數(shù)函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義 函數(shù)的連續(xù)性描述函數(shù)的漸變性態(tài)函數(shù)的連續(xù)性描述函數(shù)的漸變性態(tài), ,在通常意義下，對(duì)函數(shù)連續(xù)性有三種在通常意義下，對(duì)函數(shù)連續(xù)性有三種描繪：描繪： 當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，因變量的當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，因變量的 變化也是微小的；變化也是微小的； 自變量的微小變化不會(huì)引起因變量的自變

12、量的微小變化不會(huì)引起因變量的 跳變；跳變； 連續(xù)函數(shù)的圖形可以一筆畫成連續(xù)函數(shù)的圖形可以一筆畫成, ,不斷開不斷開. .2xy xytan 例如：例如：上上連連續(xù)續(xù)在在),( 上上連連續(xù)續(xù)在在)2,2( xysin 處處間間斷斷在在點(diǎn)點(diǎn)0 x 0, 2, 0, 1)(xxxfy xyO12處處間間斷斷在在點(diǎn)點(diǎn)0 xxyO . 0, 1, 0, 0, 0, 1)(xxxxxxgy處處間間斷斷在在點(diǎn)點(diǎn)0 x.,;,)()(lim,)(0000000的的一一個(gè)個(gè)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)是是函函數(shù)數(shù)稱稱處處間間斷斷在在點(diǎn)點(diǎn)否否則則稱稱函函數(shù)數(shù)的的一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)是是函函數(shù)數(shù)稱稱處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱函函

13、數(shù)數(shù)如如果果的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在設(shè)設(shè)fxxffxxfxfxfxxfxx 定義定義1： 以上描述實(shí)質(zhì)上是同義的反復(fù)以上描述實(shí)質(zhì)上是同義的反復(fù), ,數(shù)學(xué)上要確切數(shù)學(xué)上要確切地刻畫函數(shù)連續(xù)性地刻畫函數(shù)連續(xù)性, ,必須用極限作定量地描述必須用極限作定量地描述. .（一定義（一定義缺缺一一不不可可三三個(gè)個(gè)條條件件處處連連續(xù)續(xù)蘊(yùn)蘊(yùn)涵涵以以下下在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù),0 xf注意注意1;)1(0的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在點(diǎn)點(diǎn) xf以上三條中帶本質(zhì)性的是第二條，極限的存在性以上三條中帶本質(zhì)性的是第二條，極限的存在性.)()lim()(lim000 xfxfxfxxxx .0換換順順序序運(yùn)運(yùn)

14、算算與與函函數(shù)數(shù)運(yùn)運(yùn)算算可可以以交交處處連連續(xù)續(xù)意意味味著著極極限限在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xf注意注意2;)(lim)2(0存存在在極極限限xfxx.)()(lim)3(00相相等等與與函函數(shù)數(shù)值值極極限限xfxfxx;)()()(lim,()(0000處處左左連連續(xù)續(xù)在在則則稱稱且且上上有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxfxfxfxaxfxx 定義定義2：;)()()(lim,),)(0000處處右右連連續(xù)續(xù)在在則則稱稱且且上上有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxfxfxfbxxfxx （函數(shù)在一點(diǎn)的單側(cè)連續(xù)性）（函數(shù)在一點(diǎn)的單側(cè)連續(xù)性）),(.),()(,),()()1(baCfbaxfbaxf 記記

15、作作內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在開開區(qū)區(qū)間間則則稱稱每每一一點(diǎn)點(diǎn)處處都都連連續(xù)續(xù)的的在在開開區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù),.,)(,),()()2(baCfbaxfbabaxf 記記作作上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間則則稱稱左左連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)右右連連續(xù)續(xù)且且在在點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在開開區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù)定義定義3： （ 函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性）函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性）（二間斷點(diǎn)的分類（二間斷點(diǎn)的分類根據(jù)間斷點(diǎn)的不同情況，可以分為三類：根據(jù)間斷點(diǎn)的不同情況，可以分為三類：1. 可去型間斷點(diǎn)可去型間斷點(diǎn))(,)(lim00 xfxfxx但但是是不不等等于于存存在在 可去型間斷不是本質(zhì)性的間斷可去型間斷不是本質(zhì)性的間斷,

16、可以重新可以重新定義定義, 使其連續(xù)使其連續(xù).)(lim)(00 xfxfxx 令令沒有定義沒有定義在點(diǎn)在點(diǎn)0sin)( xxxxf例如例如是是可可去去型型間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)故故但但是是01sinlim0 xxxx 0,10,sin)(1xxxxxf若若令令的的一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)就就成成為為則則)(01xfx 2. 第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)但但是是不不相相等等都都存存在在和和,)(lim)(lim00 xfxfxxxx )(lim)(lim).(0()0(,)(00000 xfxfxfxfxxfxxxx 躍躍度度等等于于處處發(fā)發(fā)生生跳跳躍躍在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù) .0, 1,0, 0,0, 1sgn時(shí)時(shí)

17、當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxy例例 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 是是第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)0 x至至少少一一個(gè)個(gè)不不存存在在和和)(lim)(lim00 xfxfxxxx 3. 第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)xy1 是是第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)0 xxy1sin 例例 五、函數(shù)連續(xù)性的基本性質(zhì)五、函數(shù)連續(xù)性的基本性質(zhì)（一連續(xù)性定義的等價(jià)形式：（一連續(xù)性定義的等價(jià)形式：下下列列命命題題等等價(jià)價(jià)則則的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在設(shè)設(shè),)(0 xxf)()(lim)1(00 xfxfxx )()()()2(0 xxfxf )0)(lim(0 xxx 其其中中)()()(,0)(lim)4(00000 xfx

18、fxfxxxxfx 既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)）（03xf)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx （二連續(xù)函數(shù)的有界性：（二連續(xù)函數(shù)的有界性：)(,000有有界界在在點(diǎn)點(diǎn)簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱某某鄰鄰域域上上有有界界的的在在則則連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)xfxfxf.)()(),(, 0., 0)(,000000同同號(hào)號(hào)與與上上使使在在即即的的某某鄰鄰域域上上保保號(hào)號(hào)在在點(diǎn)點(diǎn)則則且且連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)xfxfxxxfxfxf （三連續(xù)函數(shù)的保號(hào)性：（三連續(xù)函數(shù)的保號(hào)性：連連續(xù)續(xù)也也在在0 )2(xgf 則則連連續(xù)續(xù)都都在在點(diǎn)點(diǎn)若若,0 xgf連連續(xù)續(xù)也也在在函函數(shù)數(shù)對(duì)

19、對(duì)任任意意常常數(shù)數(shù)0 ,)1(xgf 連連續(xù)續(xù)也也在在則則若若00, 0)()3(xgfxg （四連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：（四連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：.)(),(,)(,)()4(00000連連續(xù)續(xù)在在則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)且且連連續(xù)續(xù)在在連連續(xù)續(xù)在在若若ttgftgxxxfttgx （六初等函數(shù)的連續(xù)性（六初等函數(shù)的連續(xù)性 初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。 （五）（五） 關(guān)于反函數(shù)的連續(xù)性關(guān)于反函數(shù)的連續(xù)性.)(),()(),()(,)(1嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)上上也也或或區(qū)區(qū)間間在在閉閉則則其其反反函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)上上嚴(yán)嚴(yán)格格在在閉閉區(qū)區(qū)間間若若函函

20、數(shù)數(shù)afbfbfafyfxbaxfy .,21cos)(Znnxxxf 定定義義域域?yàn)闉殡x離散散點(diǎn)點(diǎn)是是初初等等函函數(shù)數(shù)。例例：連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)一、連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、函數(shù)連續(xù)性的基本性質(zhì)一、函數(shù)連續(xù)性的基本性質(zhì)（一連續(xù)性定義的等價(jià)形式：（一連續(xù)性定義的等價(jià)形式：下下列列命命題題等等價(jià)價(jià)則則的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在設(shè)設(shè),)(0 xxf)()(lim)1(00 xfxfxx )()()()2(0 xxfxf )0)(lim(0 xxx 其其中中既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)）（03xf)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx （二連續(xù)函數(shù)的有界性：（二連續(xù)函數(shù)的有界性：)(,000有有界界在在點(diǎn)點(diǎn)簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱某某鄰鄰域域上上有有界界的的在在則則連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)xfxfxf連連續(xù)續(xù)也也在在0 )2(xgf 則則連連續(xù)續(xù)都都在在點(diǎn)點(diǎn)若若,0 xgf連連續(xù)續(xù)也也在在函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)任任意意常常數(shù)數(shù)0 ,)1(xgf 連連續(xù)續(xù)也也在在則則若若00, 0)()