高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題教案：第6講分類討論思想在解題中的應(yīng)用

1、第6講分類討論思想在解題中的應(yīng)用一、知識整合1.分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對于簡化研究對象，發(fā)展人的思維有著重要幫助，因此，有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要位置。2所謂分類討論，就是當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答。實(shí)質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略3分類原則：分類對象確定，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，分層次，不越級討論。4. 分類方法：明確討論對象，確定對象的全體，確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行分類；逐類進(jìn)行討論，獲取階段性

2、成果；歸納小結(jié)，綜合出結(jié)論。5. 含參數(shù)問題的分類討論是常見題型。6. 注意簡化或避免分類討論。二、例題分析例1.一條直線過點(diǎn)（5,2），且在x軸，y軸上截距相等，則這直線方程為（）A.xy70B.2x5y0C.xy70或2x5y0D.xy70或2y5x0分析：設(shè)該直線在x軸，y軸上的截距均為a,2當(dāng)a=0時，直線過原點(diǎn)，此時直線方程為y-x,即2x5y0；5當(dāng)a0時，設(shè)直線方程為-1,則求得a7，方程為xy70。aa例2.1ABC中，已知sinA-，cosB，求cosC213分析:由于C(AB)cosCcos(AB)cosAcosBsinAsinB因此，只要根據(jù)已知條件，求出cosA,sin

3、B即可得cosC的值。但是由sinA求cosA時，是一解還是兩解這一點(diǎn)需經(jīng)過討論才能確定，故解本題時要分類討論。對角A進(jìn)行分類。解52120cosB，且B為ABC的一個內(nèi)角45B90，且sinB13213若A為銳角，由sinA丄，得A30，此時cosA3221若A為鈍角，由sinA,得A150，此時AB1802這與三角形的內(nèi)角和為180相矛盾?？梢夾150cosCcos（AB）cos（AB）351121253cosAcosBsinAsinB21321326例3已知圓x2+y2=4，求經(jīng)過點(diǎn)P（2,4），且與圓相切的直線方程。分析：容易想到設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程y-4=k（x-2）再利用直線與圓相

4、切的充要條件：“圓心到切線的距離等于圓的半徑”，待定斜率k,從而得到所求直線方程，但要注意到：過點(diǎn)P的直線中，有斜率不存在的情形，這種情形的直線是否也滿足題意呢因此本題對過點(diǎn)P的直線分兩種情形：（1）斜率存在時，（2）斜率不存在解（略）：所求直線方程為3x-4y+10=0或x=2例4.解關(guān)于x的不等式：loga（1丄）1分析：解對數(shù)不等式時，需要利用x對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為不含對數(shù)符號的不等式。而對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性因底數(shù)a的取值不同而不同，故需對a進(jìn)行分類討論。解:若a1，則原不等式等價于11a1x0x1a10若0a1，則原不等式等價于x1x11a1xa綜上所述，當(dāng)a1時，原不等式的解

5、集為xx0;當(dāng)0a1時，原不等式的解集為x1x応例5.解不等式54xx2x分析：解無理不等式，需要將兩邊平方后去根號，以化為有理不等式，而根才不改變不等號方向，因據(jù)不等式的性質(zhì)可知，只有在不等式兩邊同時為正時,此應(yīng)根據(jù)運(yùn)算需求分類討論，對x分類解：原不等式等價于4x4x2x2xx0或2x4xx20x1.142或、142原不等式的解集為x例6.解關(guān)于x的不等式：ax2但1)x10分析：這是一個含參數(shù)a的不等式，一定是二次不等式嗎不一定，故首先對二次項(xiàng)系數(shù)a分類：(1)a0(2)a=0,對于(2)，不等式易解；對于(1)，又需再次分類：a0或a0，令Tn蠱，求nlimTn。分析：對于等比數(shù)列的前n

6、項(xiàng)和&的計(jì)算，需根據(jù)q是否為形：1分為兩種情當(dāng)q=1時，Snna1;當(dāng)q1時,Sna(qn)另外，由于當(dāng)|q|1時，nlimq故還需對q再次分類討論。0,而已知條件中q解:當(dāng)q1時，Snna1，Sn1(n1)a1nlimlim一nn1時，Sna,1qn)，Sn1n1、a,1q)q1時,nlim1時，limnTnlimnq1nqq綜上所述，知nlimTn1，(0丄，(qq1)1)例8.設(shè)kR,問方程(8k)x2(k4)y2(8k)(k4)表示什么曲線?分析：容易想到把方程變形為1,但這種變形需要k4，且要進(jìn)行分類:k(，4），k4，k(4，8)，k8，k（8，），又注意到k48k0與k48k(k

7、40且8k0）表示的曲線是不一樣的，因此還應(yīng)有一個“分界點(diǎn)”，即k6，故恰當(dāng)?shù)姆诸悶椋ǎ?），4，（4，6），6,（6，8），8，（8,)k8,而且k4與8k的正負(fù)會引起曲線類型的不同，因此對k（)解：（1）當(dāng)k=4時，方程變?yōu)?x2=0，即x=0,表示直線;（2）當(dāng)k=8時，方程變?yōu)?y2=0，即y=0，表示直線；(3) 當(dāng)k4且k8時，原方程變?yōu)榻?c；C33c：c3ofC33C43C3c4c|21C3C3309或:C33c；c3c；c：C3c3c；33C3C4309（i）當(dāng)k4時，方程表示雙曲線；（ii）當(dāng)4k6時，方程表示橢圓；（iii）當(dāng)k=6時，方程表示圓；（iv）當(dāng)6k8時，方程

8、表示雙曲線。例9.某車間有10名工人，其中4人僅會車工，3人僅會鉗工，另外三人車工鉗工都會，現(xiàn)需選出6人完成一件工作，需要車工，鉗工各3人，問有多少種選派方案分析：如果先考慮鉗工，因有6人會鉗工，故有Q3種選法，但此時不清楚選出的鉗工中有幾個是車鉗工都會的，因此也不清楚余下的七人中有多少人會車工，因此在選車工時，就無法確定是從7人中選，還是從六人、五人或四人中選。同樣，如果先考慮車工也會遇到同樣的問題。因此需對全能工人進(jìn)行分類：（1）選出的6人中不含全能工人；（2）選出的6人中含有一名全能工人；（3）選出的6人中含2名全能工人；（4）選出的6人中含有3名全能工人。213213213222C4C

9、3C3C3C3C4C3C4C3C3C4P3三、總結(jié)提煉分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是一種數(shù)學(xué)解題策略，對于何時需要分類討論，則要視具體問題而定，并無死的規(guī)定。但可以在解題時不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。如果對于某個研究對象，若不對其分類就不能說清楚，則應(yīng)分類討論，另外,數(shù)學(xué)中的一些結(jié)論，公式、方法對于一般情形是正確的，但對某些特殊情形或說較為隱蔽的“個別”情況未必成立。這也是造成分類討論的原因，因此在解題時,應(yīng)注意挖掘這些個別情形進(jìn)行分類討論。常見的“個別”情形略舉以下幾例：（1）“方程ax2bxc0有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“b24ac0”時忽略了了個別情形：當(dāng)a=0時，方程有解不能轉(zhuǎn)化為0;（2）等比數(shù)列a

10、Qn1的前n項(xiàng)和公式Sn珮1a。中有個別情形：q1時，1q公式不再成立，而是S=nai。（3）設(shè)直線方程時，一般可設(shè)直線的斜率為k,但有個別情形：當(dāng)直線與x軸垂直時，直線無斜率，應(yīng)另行考慮。（4）若直線在兩軸上的截距相等，常常設(shè)直線方程為-丄1,但有個別情形:aaa=0時，再不能如此設(shè)，應(yīng)另行考慮。四、強(qiáng)化練習(xí)：見優(yōu)化設(shè)計(jì)0【模擬試題】一.選擇題:1.若a0,且a1,ploga(a3a1),qloga(a2a1），則p、q的大小關(guān)系為（)A.pqB.pqC.pqD.a1時,pq;0a1時，pq2.若Ax|x2(p2)x10,xR，且AR，則實(shí)數(shù)中的取值范圍是（)A.p2B.p2C.p2D.p4

11、3.設(shè)A=x|xa0,Bx|ax10，且ABB,則實(shí)數(shù)a的值為()A.1B.1C.1或1D.1,1或04.設(shè)是的次方根,則236的值為()A.1B.0C.7D.0或75.一條直線過點(diǎn)（5,2）,且在x軸，y軸上截距相等，則這直線方程為（）A. xy70B. 2x5y0C.xy70或2x5y0D.xy70或2y5x06.若sinxcosx1，貝ynsinxcosnx(nN）的值為()A.1B.1C.1或1D.不能確定7.已知圓錐的母線為1,軸截面頂角為，則過此圓錐的頂點(diǎn)的截面面積的最大值為（）112A.lsin2C.l2sinB.丄|22D.以上均不對8.函數(shù)f(x)mx2(m3)x1的圖象與x

12、軸的交點(diǎn)至少有一個在原點(diǎn)的右側(cè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.0，B.1C.0，1D.(0，1).填空題9. 若圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為4和2的矩形，則圓柱的體積是210. 若loga1，貝Ua的取值范圍為。311. 與圓X2（y2）21相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為12. 在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任抽取5件，至少有件次品的抽法共有中（用數(shù)字作答）13. 不等式vlogaX22logaX1（a0且a1）的解集為。三解答題：14. 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，集點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦距為2-一3，另一雙曲線與此橢圓有公共焦點(diǎn)，且其實(shí)軸比橢圓的長軸小8,兩曲線的離心率之比為3:7,求此橢圓、雙

13、曲線的方程。15. 設(shè)a0且a1，試求使方程loga(xak)loga2(x2a2)有解的k的取值范圍理想的書籍是智慧的鑰匙.爾斯泰【試題答案】二選擇題1.C2.D3.D4.D5.C6.A7.D8.B提示：1.欲比較p、q的大小，只需先比較a3a1與a2a1的大小，再(a3a1)(a2a1)a2(a1)0的勺a值:a=1，當(dāng)a1時，a3a12a1還是0aq。2.若A，即(p2)240，4p0時，AR；0若A，則p2np0時,AR20可見當(dāng)4p0或p0時，都有AR，故選(D)利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。而決定a3a1與a2a1的大小的a值的分界點(diǎn)為使3.若B，則ABB，此時a0若B，則a0,B，由AB

14、B知BAA,1-a0，解得a1或1,故a0,1或1a4. 由是1的7次方根，可得71;顯然，1是1的7次方根，故可能若1,則10,1，則故選（D）5. 設(shè)該直線在x軸，y軸上的截距均為a,2當(dāng)a=0時，直線過原點(diǎn)，此時直線方程為y-x,即2x5y0；5當(dāng)a0時，設(shè)直線方程為$1,則求得a7，方程為xy70aa6.由sinxcosx當(dāng)sinx0時,1，得(sinxcosx)21,即卩sinxcosx0cosx1;當(dāng)cosx0時，sinx1,于是總有sinnxcosnx1，故選（A）7. 當(dāng)90時，最大截面就是軸截面，其面積為-l2sin；2當(dāng)90時，最大截面是兩母線夾角為90的截面，其面積為-l

15、2211可見，最大截面積為-12或-I2Sin，故選（D）2218. 當(dāng)m0時，f（x）3x1,其圖象與x軸交點(diǎn)為（-，0）滿足題意3當(dāng)m0時，再分m0,m0兩種情形，由題意得m0或1X1X20mm00m32m綜上可知，m0或m0或0m1,m1故選（B）.填空題228（提示：若長為4的邊作為圓柱底面圓周的展開圖，則V柱一）22;若長為2的邊作為圓柱底面圓周的展開圖，貝UV柱丄）244）210.0a或a13（提示：對a分：0a1與a1兩種情況討論）11.y、3x或y3x或xy（2、2）0或xy（2、2）0（提示：分截距相等均不為0與截距相等均為0兩種情形）12.4186種（提示：對抽取5件產(chǎn)品中

16、的次品分類討論：（1）抽取的5件產(chǎn)品中恰好有3件次品；（2）抽取的5件產(chǎn)品中恰好有4件次品，于是列式如下：C；C46C：C46=4140+46=4186）2313. 若a1，則解集為xa3xa4或xa32若0a1，則解集為xa4xa3或0xa（提示：設(shè)logaxt，則原不等式可簡化為.3t22t12解之得2t3或t1，即-logaX-或logax1343423對a分類：a1時，a3xa4或xa;0a1時，a23x3a4或0xa)三解答題14. 解：（1）若橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)它們方程分別為2222筈$1（ab0），豈匕1（a0，b0），依題意ababcc132.22a7abca”，、222215. 解：原方程可化為loga(xak)logaxaxakxa令f(x)xak，g(x)x2a2(xak0且x2a20)則對原方程的解的研究，可轉(zhuǎn)化為對函數(shù)f(x)、g(x)圖象的交點(diǎn)的研究下圖畫出了g(x)的圖象，由圖象可看出c2b2b6a32a82ab2cc3：7aa2222兩曲線方程分別為xy1，xy14936942Xp1(ab0)b22(2)若焦點(diǎn)在y軸上，則可設(shè)橢圓方程為爲(wèi)acc、1322.2a7cab.22.2b6caba32a8