第三節(jié)參數(shù)估計B

1、 點估計的評價標(biāo)準(zhǔn)點估計的評價標(biāo)準(zhǔn) 對于同一個未知參數(shù),不同的方法得到的估計量可能不同,于是提出問題應(yīng)該選用哪一種估計量應(yīng)該選用哪一種估計量? ?用何標(biāo)準(zhǔn)來評價一個估計量的好壞用何標(biāo)準(zhǔn)來評價一個估計量的好壞? ?常用常用標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)(1) 無偏性(3) 一致性（相合性）(2) 有效性（優(yōu)效估計）( )E若 則稱是 的無偏估計量. 無偏性無偏性定義定義我們不可能要求每一次由樣本得到的估計值與真值都相等，但可以要求這些估計值的期望與真值相等.定義的合理性( )E若 則稱是 的漸近無偏估計量. 定義定義( )E稱為估計量 的偏差。 lim( )nE若 12(,)nXXX是總體X 的樣本,證明: 不論 X

2、 服從什么分布(但期望存在),是k的無偏估計量.證證1111()()()nnkkkiiiiE AEXE Xnn例例1 1 設(shè)總體X 的 k 階矩()kkE X存在因而()1,2,kikE Xin由于1kknn 11nkkiiAXn則特別地 樣本二階原點矩2211niiAXn 是總體是總體期望 E( X ) 的X樣本均值無偏估計量的無偏22()E X二階原點矩估計量例例2 2 設(shè)總體 X 的期望 與方差存在, X 的12(,)nX XX樣本為 (n 1) . (1) 不是 D( X )的無偏估計量; 2211()nniiSXXn(2) 是 D( X ) 的無偏估計量. 2211()1niiSXX

3、n證證2221111()nniiiiXXXXnn前已證證明2()( ),()( )iiE XE XD XD X2()(),()E XE XD Xn2221111()()()nniiiiEXXE XE Xnn因而222222() ()(D(X)=E(X )-E(X) )n由221nn212)(11niiXXnE故 證畢.例例3 3 設(shè)),(21mXXX是總體 X 的一個樣本 ,XB(n , p) n 1 , 求 p 2 的無偏估計量. 解解 由于樣本矩是總體矩的無偏估計量以及數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì), 只要將未知參數(shù)表示成總體矩的線性函數(shù), 然后用樣本矩作為總體矩的估計量, 這樣得到的未知參數(shù)的估計量

4、即為無偏估計量. npXEX)(令)1 ()()(12212pnpnpXEXmmiiXXmnnpmii122211因此, p 2 的無偏估計量為) 1() 1(11nnXXmmiii故XXmpnnmii12221)(例例4 4 設(shè)總體 X 的密度函數(shù)為（負(fù)指數(shù)分布）00, 01);(xxexfx0為常數(shù)),(21nXXX為 X 的一個樣本證明X與,min21nXXXn都是的無偏估計量證證 )(1XEEX故)()(XEXE是 的無偏估計量.X,min21nXXXZ令000)(zenzzfnzZ即nZEnEZ)(0100zeznz)(nZE故 n Z 是 的無偏估計量.)()()(121zXPzX

5、PzXPnniizXP1)(1 (1),(1)(21zXzXzXPzFnZ),(2111nXXX都是總體參數(shù) 的無偏估計量, 且)()(21DD則稱 比 更有效.12定義定義 設(shè)有效性有效性),(2122nXXX所以,X比,min21nXXXn更有效.是 的無偏估計量,問哪個估計量更有效？ X,min21nXXXn由例4可知, 與 都00, 01);(xxexfx0為常數(shù)例例5 5 設(shè)總體 X 的密度函數(shù)為221),min(nXXXnDnXD2)(解解 ，例例6 6 設(shè)總體 X，且 E( X )= , D( X )= 2 ),(21nXXX為總體 X 的一個樣本證明iniiXc11是 的無偏估

6、計量(2) 證明X比iniiXc11更有效證證 (1) niiiniicXEcE111)()(. 11niic., 2 , 11ninci(1) 設(shè)常數(shù)(2) niiiniicXDcD122121)()(ncnii112)(1) (12DnDniinjijiniicnccc1212212)(2211112nniiijiiij ncccc 結(jié)論結(jié)論算術(shù)均值比加權(quán)均值更有效. .而例如 X N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一樣本.213212211212143413132XXXXXX都是 的無偏估計量由例6(2) 知3最有效.羅羅克拉美克拉美（Rao Cramer）不等式不等式若

7、是參數(shù) 的無偏估計量, 則)(),(ln1)(02DXpnED其中 p ( x , ) 是 總體 X 的概率分布或密度函數(shù)，稱 為方差的下界.)(0D)()(0DD當(dāng) 時, 稱 為達(dá)到方差下界的無偏估計量, 此時稱 為最有效的估計量, 簡稱有效估計量.例例7 7 設(shè)總體 X 的密度函數(shù)為00, 01);(xxexfx),(21nxxx為 X 的一個樣本值.求 的極大似然估計量, 并判斷它是否達(dá)到方差下界的無偏估計量.0為常數(shù)解解 由似然函數(shù)niixneL11)(niixnL1ln)(ln21)(lnddniixnL0令xxnnii11 的極大似然估計量為XXnnii11它是 的無偏估計量.nX

8、nDDnii21)1()(而xxfln),(ln故 是達(dá)到方差下界的無偏估計量.X2221),(lnxxf2221),(lnXEXfE21nXfnE22),(ln1)(XD0)(limPn定義定義 設(shè) 是總體參數(shù) ),(21nXXX則稱是總體參數(shù) 的一致(或相合)估計量.的估計量. 若對于任意的 , 當(dāng)n 時, 一致性一致性依概率收斂于 , 即,0一致性估計量僅在樣本容量 n 足夠大時,才顯示其優(yōu)越性.關(guān)于一致性的兩個常用結(jié)論關(guān)于一致性的兩個常用結(jié)論 1. 樣本 k 階矩是總體 k 階矩的一致性估計量. 是 的一致估計量.由大數(shù)定律證明由大數(shù)定律證明用切貝雪夫不用切貝雪夫不 等式證明等式證明矩

9、法得到的估計量一般為一致估計量在一定條件下, 極大似然估計具有一致性2. 設(shè) 是 的無偏估計 量, 且 , 則0)(limDn例例8 800, 01);(xxexfXx0為常數(shù)則 是 的無偏、有效、一致估計量.X證證 由例7 知 是 的無偏、有效估計量.X)(limXDn0lim2nn所以 是 的一致估計量, 證畢.X 問問 題題母親嗜酒是否影響下一代的健康母親嗜酒是否影響下一代的健康 美國的美國的Jones醫(yī)生于醫(yī)生于1974年觀察了母年觀察了母親在妊娠時曾患慢性酒精中毒的親在妊娠時曾患慢性酒精中毒的6名七名七歲兒童（稱為甲組）歲兒童（稱為甲組）.以母親的年齡，文以母親的年齡，文化程度及婚姻

10、狀況與前化程度及婚姻狀況與前6名兒童的母親名兒童的母親相同或相近，但不飲酒的相同或相近，但不飲酒的46名七歲兒童名七歲兒童為對照租為對照租(稱為乙組稱為乙組). 測定兩組兒童的智測定兩組兒童的智商，結(jié)果如下：商，結(jié)果如下：甲 組 6 78 19乙 組 46 99 16人數(shù)智商平均數(shù)樣本標(biāo)準(zhǔn)差nxs智商組別 由此結(jié)果推斷母親嗜酒是否影響下一代的智力？若有影響，推斷其影響程度有多大?提示提示 前一問題屬假設(shè)檢驗問題 后一問題屬區(qū)間估計問題 智商一般受諸多因素的影響.從而可以),(),(222211uNuN和 本問題實際是檢驗甲組總體的均值是否比乙組總體的均值偏小? 若是，這個差異范圍有多大? 前一

11、問題屬假設(shè)檢驗，后一問題屬區(qū)間估計.解解假定兩組兒童的智商服從正態(tài)分布. 由于兩個總體的方差未知，而甲組的樣本容量較小，因此采用大樣本下兩總體均值比較的U檢驗法似乎不妥. 故2221122210:;:HH當(dāng) 為真時，統(tǒng)計量 0H)45, 5 (2221FSSF 采用方差相等 (但未知) 時，兩正態(tài)總體均值比較的t檢驗法對第一個問題作出回答. 為此 , 利用樣本先檢驗兩總體方差是否相等，即檢驗假設(shè)拒絕域為 1 . 0取)45, 5()45, 5(2/2/1FFFF或)45, 5 ()45, 5 (95. 02/1FF43. 2)45, 5()45, 5(05. 02/ FF22. 0) 5 ,4

12、5(/ 105. 0F)45, 5()45, 5(,41. 1161905. 0095. 0220FFFFF得的觀察值未落在拒絕域內(nèi)，故接受 . 即可認(rèn)為0H兩總體方差相等. 下面用 t 檢驗法檢12驗 是否比 顯著偏?。?即檢驗假設(shè)211210:;:uuHuuH當(dāng) 為真時，檢驗統(tǒng)計量 0H)2(11212121nntnnSXXTw01. 0,2) 1() 1(212222112取nnSnSnSw其中 的觀察值T,46, 6,16,19212221nnSS將)50(54. 296. 201. 00tT代入得99,7821xx嗜酒會對兒童智力發(fā)育產(chǎn)生不良影響.落在拒絕域內(nèi)，故拒絕 . 即認(rèn)為母親

13、0H 下面繼續(xù)考察這種不良影響的程度. 為此要對兩總體均值差進(jìn)行區(qū)間估計.)2(112122112nntnnSXXw的置信區(qū)間為的置信度為112uu取 并代入相應(yīng)數(shù)據(jù)可得,01. 032.16,67. 2)50(005. 0wSt于是置信度為 99% 的置信區(qū)間為 4616167. 232.167899)91.39,09. 2(91.1821由此可斷言：在99%的置信度下，嗜酒母親所生孩子在七歲時的智商比不飲酒的母親所生孩子在七歲時的智商平均要低 2.09 到 39.91. 故限制顯著性水平的原則體現(xiàn)了“保護(hù)零假設(shè)”的原則.注注 大家是否注意到，在解決問題時，兩次假設(shè)檢驗所取的顯著性水平不同.

14、前者遠(yuǎn)1 . 0在檢驗方差相等時，取 ; 在01. 0檢驗均值是否相等時取 .比后者大. 為何這樣取呢?因為檢驗的結(jié)果與檢驗的顯著性水平 有關(guān). 小，則拒絕域也會小，產(chǎn)生的后果使零假設(shè)難以被拒絕.0H0H 在 較大時,若能接受 , 說明為真的依據(jù)很充足; 同樣，在 很小時，我們?nèi)匀痪芙^ . 說明 不真的理由就更充足.0H0H 說明在所給數(shù)據(jù)下，得出相應(yīng)的1 . 02221本例中, 對 , 仍得出 可被接受,01. 0及對 , 21uu 可被拒絕的結(jié)論.結(jié)論有很充足的理由. 另外在區(qū)間估計中，取較小的置信 若反之 , 取較大的置信水平，則可01. 0水平 (即較大的置信度), 從而使得區(qū)間估計的范圍較大. 減少估計區(qū)間的長度，使區(qū)間估計精確提高，但相應(yīng)地區(qū)間估計的可靠度降低了，即要冒更大的風(fēng)險.niiniiXXEkXXkE11