第13講協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)太原理工大學(xué)工程碩士概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1、1協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 對(duì)于二維隨機(jī)向量對(duì)于二維隨機(jī)向量(X,Y)， 除了其分量除了其分量X和和Y 的期望與方差之外的期望與方差之外, 還有一些數(shù)字特征還有一些數(shù)字特征, 用以刻畫用以刻畫X與與Y之間的相關(guān)程度，其中最主要之間的相關(guān)程度，其中最主要的就是協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。的就是協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。 定義定義1：若：若 E X- -E(X)Y- -E(Y) 存在，存在，則稱其為則稱其為X 與與Y 的協(xié)方差，記為的協(xié)方差，記為Cov(X,Y), 即即一一 協(xié)方差協(xié)方差Cov(X, Y) = E X- -E(X)Y- -E(Y) . (1)第十三講第十三講2(3) Cov(X1+X2, Y

2、)= Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y) ；(1) Cov(X, Y) = Cov(Y, X)；協(xié)方差性質(zhì)協(xié)方差性質(zhì)(2) 設(shè)設(shè) a, b, c, d 是常數(shù)，則是常數(shù)，則 Cov( aX+b, cY+d ) = ac Cov(X, Y) ；(4) Cov(X, Y) =E(XY)-E(X)E(Y) ，(5) Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X, Y) . 當(dāng)當(dāng) X 和和 Y 相互獨(dú)立時(shí)，相互獨(dú)立時(shí)，Cov(X, Y)=0；3若若 X1, X2, , Xn 兩兩獨(dú)立，則兩兩獨(dú)立，則性質(zhì)性質(zhì)(5)可推廣到可推廣到 n 個(gè)隨機(jī)變量的情形：個(gè)隨機(jī)變量的情形：. )

3、 ,(2)()(11jininijiiiXXCovXVarXVar. )()(11niniiiXVarXVar4 協(xié)方差的大小在一定程度上反映了協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X 和和Y相互間的關(guān)系，但它還受相互間的關(guān)系，但它還受X 和和Y 本身度量單位本身度量單位的影響。的影響。 例如：例如：Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y). 為了克服這一缺點(diǎn)，對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)為了克服這一缺點(diǎn)，對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了化，這就引入了相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 。5二二 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X 和和Y 的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù) 。 定義定義2: 設(shè)設(shè)Var(X) 0, Var(Y)

4、0, 則稱則稱)( )() ,(YVarXVarYXCovXY在不致引起混淆時(shí)，記在不致引起混淆時(shí)，記 為為 。XY 6相關(guān)系數(shù)性質(zhì)相關(guān)系數(shù)性質(zhì); 1| ).1 (證：證：由方差與協(xié)方差關(guān)系，由方差與協(xié)方差關(guān)系，對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)b, 有有0Var(Y- -bX)=b2Var(X)+Var(Y)- -2b Cov(X,Y ),)(),(XVarYXCovb 令令則有則有Var(Y- -bX) = )(),()(2XVarYXCovYVar)()(),(1)(2YVarXVarYXCovYVar,1)(2YVar由方差由方差Var(Y)0, 知知 1- - 2 0, 所以所以 | |1。7由于

5、當(dāng)由于當(dāng) X 和和 Y 獨(dú)立時(shí)，獨(dú)立時(shí)，Cov(X, Y)= 0 .請(qǐng)看下例：請(qǐng)看下例：(2). X 和和Y 獨(dú)立時(shí)獨(dú)立時(shí), =0，但其逆不真；，但其逆不真；但但=0 并不一定能推出并不一定能推出 X 和和 Y 獨(dú)立。獨(dú)立。 0)()(),(；YVarXVarYXCov所以，所以，8證明證明:例例 1：設(shè)設(shè) (X,Y) 服從單位服從單位 D= (x, y): x2+y21上的均勻分布，證明：上的均勻分布，證明： XY = 0。 .),( , 0 ,),( ,/1),(DyxDyxyxf,00 /)(111111112222dydydxxdxdyxXEyyyx9所以，所以，Cov(X, Y)=

6、E(XY)- -E(X) E(Y) = 0 .同樣，得同樣，得 E(E(Y)=0,)=0,. 0 0 )y/()(111111112222dydyxdxydxdyxXYEyyyx此外，此外，Var(X) 0, Var(Y) 0 .所以，所以， XY = 0，即即 X 與與 Y 不相關(guān)。不相關(guān)。但是，前面已計(jì)算過但是，前面已計(jì)算過: : X與與Y不獨(dú)立。不獨(dú)立。10存在常數(shù)存在常數(shù)a, b(b0)， 使使 P Y = a+bX = 1 ，即，即 X 和和 Y 以概率以概率 1 線性相關(guān)線性相關(guān)。(3). |=111但對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)是一回事：但對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)是一回事：前面前面,

7、 我們已經(jīng)看到：我們已經(jīng)看到： 若若X 與與Y 獨(dú)立，則獨(dú)立，則X 與與Y 不相關(guān)；但由不相關(guān)；但由X與與Y 不相關(guān)，不一定能推出不相關(guān)，不一定能推出X與與Y獨(dú)立。獨(dú)立。 若若(X, Y )服從二維正態(tài)分布，則服從二維正態(tài)分布，則X 與與Y 獨(dú)獨(dú)立的充分必要條件是立的充分必要條件是X與與Y不相關(guān)。不相關(guān)。12 定義定義1：設(shè)：設(shè)X是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量, 若若E(Xk) 存在存在(k =1, 2, ), 則稱其為則稱其為X 的的 k 階原點(diǎn)矩；若階原點(diǎn)矩；若 EX-E(X)k 存在存在(k = 1,2, ), 則稱其為則稱其為X的的 k 階中心矩。階中心矩。矩與協(xié)方差矩陣矩與協(xié)方差矩陣一一 矩矩

8、 易知：易知：X 的期望的期望 E(X) 是是 X 的一階原點(diǎn)的一階原點(diǎn)矩，方差矩，方差Var(X) 是是 X 的二階中心矩。的二階中心矩。13 定義定義2：設(shè)：設(shè)X和和Y是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量, 若若 E(XkYm) 存在存在(k, m=1, 2,), 則稱其為則稱其為X與與Y的的 k+m 階階混合原點(diǎn)矩；若混合原點(diǎn)矩；若 EX-E(X)k Y-E(Y)m存在存在(k, m=1,2,，則稱其為，則稱其為X與與Y的的 k+m 階混合中階混合中心矩。心矩。14二二 協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣 將隨機(jī)向量將隨機(jī)向量 (X1, X2) 的四個(gè)二階中心矩的四個(gè)二階中心矩)(),()(),()(,)(22222

9、11222122111221111XEXEcXEXXEXEcXEXXEXEcXEXEc排成一個(gè)排成一個(gè)22矩陣矩陣 ，則稱此矩陣為則稱此矩陣為(X1, X2)的方差與協(xié)方差矩陣，的方差與協(xié)方差矩陣，簡(jiǎn)稱協(xié)方差陣。簡(jiǎn)稱協(xié)方差陣。22211211cccc15 類似地，我們也可定義類似地，我們也可定義n 維隨機(jī)向量維隨機(jī)向量 (X1, X2, , Xn) 的協(xié)方差陣：若隨機(jī)向量的所有的的協(xié)方差陣：若隨機(jī)向量的所有的二階中心矩二階中心矩為為(X1, X2, , Xn) 的協(xié)方差陣。的協(xié)方差陣。njiXEXXEXEcjjiiij, 2 , 1, ),()(存在，存在，nnnnnncccccccccC21

10、2222111211則稱矩陣則稱矩陣16,)()(21exp|)2(11212XCXCnf (x1, x2, , xn)則稱則稱X服從服從n元正態(tài)分布。元正態(tài)分布。其中其中C是是 (X1, X2, , Xn) 的協(xié)方差陣，的協(xié)方差陣，|C|是是C的行列式，的行列式， 表示表示C的逆矩陣，的逆矩陣，1CX和和 是是n維列向量，維列向量， 表示表示X的轉(zhuǎn)置。的轉(zhuǎn)置。 X 設(shè)設(shè) =(X1,X2, ,Xn)是一個(gè)是一個(gè)n維隨機(jī)向量維隨機(jī)向量,若其概率密度若其概率密度X17n元正態(tài)分布的幾條重要性質(zhì)：元正態(tài)分布的幾條重要性質(zhì)：(1) X =(X1, X2, , Xn) 服從服從 n 元正態(tài)分布元正態(tài)分布

11、對(duì)一切不全為對(duì)一切不全為 0 的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù) a1, a2, , an， a1X1+ a2 X2+ + an Xn 服從正態(tài)分布。服從正態(tài)分布。(2) 若若 X=(X1,X2, ,Xn)服從服從n 元正態(tài)分布，元正態(tài)分布，Y1,Y2,Yk 是是 Xj (j=1, 2, n)的線性組合的線性組合,則則(Y1,Y2, , Yk)服從服從k 元正態(tài)分布。元正態(tài)分布。這一性質(zhì)稱為正態(tài)變量的線性變換不變性。這一性質(zhì)稱為正態(tài)變量的線性變換不變性。18 (3) 設(shè)設(shè)(X1,X2, ,Xn)服從服從n元正態(tài)分布，則元正態(tài)分布，則“X1,X2, ,Xn兩兩不相關(guān)兩兩不相關(guān)”?！癤1, X2, , Xn 相互獨(dú)立相

12、互獨(dú)立” 等價(jià)于等價(jià)于19例例2 設(shè)設(shè)X和和Y相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且XN(1, 2), YN(0, 1)。求求 Z = 2X- -Y+3 的概率密度。的概率密度。 知知 Z=2X-Y+3 服從正態(tài)分布，且服從正態(tài)分布，且解解: 由由XN(1,2), YN(0,1)，且，且X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,Var(Z) = 4Var(X)+Var(Y) = 8+1 = 9, E(Z) = 2E(X)- -E(Y)+3 = 2- -0+3=5 ， 故，故，ZN(5, 32) . Z 的概率密度為的概率密度為. ,231)(18)5(2zezfzZ20例例),9 , 2(),4 , 1 (,) 1 (NY

13、NXYX獨(dú)立，設(shè)的分布；求：YX 2解：的分布；求：YX 202)2() 1 (EYEXYXE259444)2(DYDXYXD)25, 0(2NYX 則：13 32214254-25 ),(224)2()2(XYDYDXYXCOVDYDXYXD)13, 0(2NYX 則：)5 . 0 ; 9 , 4 ; 2 , 1 (),()2(NYX21小結(jié)小結(jié) 本講首先介紹二維隨機(jī)向量本講首先介紹二維隨機(jī)向量 (X,Y) 的分量的分量X與與Y 的協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的概念、性質(zhì)和計(jì)的協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的概念、性質(zhì)和計(jì)算；然后介紹隨機(jī)變量的各種矩算；然后介紹隨機(jī)變量的各種矩(k 階原點(diǎn)矩、階原點(diǎn)矩、 k 階中心矩

14、、階中心矩、k+m 階混合原點(diǎn)矩、階混合原點(diǎn)矩、k+m 階混階混合中心矩合中心矩)，n 維隨機(jī)向量的協(xié)方差陣的概念、維隨機(jī)向量的協(xié)方差陣的概念、性質(zhì)和計(jì)算；最后簡(jiǎn)單介紹了性質(zhì)和計(jì)算；最后簡(jiǎn)單介紹了n 元正態(tài)分布元正態(tài)分布的概念和三條重要性質(zhì)。的概念和三條重要性質(zhì)。22例 設(shè) 的分布列為XX-202p0.40.30.3求 2(),()E XE X解 2222 (-2)0.400.320.3(),()0.2(2)0.4+00.3+20.3=2.8E XE X 補(bǔ)充 23例 已知 服從 0,2上的均勻分布，求 2(),(sin)E XEX解 X的概率密度( )f x1 022 0 x，其他，3222

15、220202114()( )dd02233211(sin)( )sin dsin dcos0022xE Xx f x xxxEXf xx xx xxX24例 設(shè)在規(guī)定的時(shí)間段內(nèi)，某電氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間X（單位：min）是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度為22101501501( )300 150300 1500 xxf xxx， ， ，其他，求 ()D X1503002201501()( )dd300 d150,150150 xE Xxf x xxxxxx15030022222201501()( )dd300 d26250015,0150 xE Xx f xxxxxxx222()()()262

16、50015026 1 0.0D XE XE X解 25例 設(shè)隨機(jī)變量 (10,0.1)XB35YX求( )( )E YD Y， 解 10 0.1 10.9npp，()100.11()(1)100.1 0.90.9E XnpD Xnpp，( )(35)3 ()53 152E YEXE X ，2( )(35)3()90.98.1D YDXD X補(bǔ)充 26例 已知隨機(jī)變量XY，相互獨(dú)立且分別服從(10,0.1)B和2( 1,2 )N ，求32ZXY的方差解 ()100.1 0.90.9D X 2( )24D Y 所以( )(3)( 2 ) 9 ()4 ( ) 90.944 24.1.D ZDXDYD XD Y27的密度函數(shù)為設(shè)二維隨機(jī)變量例),(YX),(),(21),(21yxyxyxf. 13131),(),(21方差都是量的數(shù)學(xué)期望都是零，度函數(shù)所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變，它們的邊緣密和系數(shù)分別為的二維隨機(jī)變量的相關(guān)，且它們對(duì)應(yīng)都是二維正態(tài)密度函數(shù)和其中yxyx求隨機(jī)變量 和 的密度函數(shù) 和 ，及 和 的相關(guān)系數(shù)(2)問 和 是否獨(dú)立？為什么？XY)(xfX)(yfYXYYX解 （1）由于二維正態(tài)密度函數(shù)的兩個(gè)邊緣密度都是正態(tài)密度函數(shù)，因此有28dyyxdyyxdyyxfxfX),(),(21),()(21;212121212