[理學]概率BCH1-習題課ppt課件

1、第一章第一章 概率論基礎概率論基礎一、內容小結一、內容小結二、作業(yè)講解二、作業(yè)講解三、典例分析三、典例分析 1. 1. 根本概念根本概念 隨機試驗隨機試驗, ,樣本空間樣本空間, , 樣本點樣本點, ,隨機事件隨機事件, ,概率概率, ,條條件概率，事件的互不相容件概率，事件的互不相容, ,事件的獨立性事件的獨立性. .A A與與B B互不相容互不相容 A AB= B= A A與與B B互相獨立互相獨立 P PABAB=P=PA AP PB B 2. 2. 事件間的根本運算事件間的根本運算BABABABA ABABABA 注注:當當PA,PB0兩者不能同時成立兩者不能同時成立一內容總結一內容總

2、結 3. 3. 概率的計算方法概率的計算方法 直接計算直接計算中中樣樣本本點點總總數(shù)數(shù)中中包包含含的的樣樣本本點點個個數(shù)數(shù)SAP(A) 注注: :放回抽樣放回抽樣, ,不放回抽樣不放回抽樣 利用公式利用公式條件概率公式條件概率公式)()()|(APABPABP )|()()(ABPAPABP )()()()(:,ABPBPAPBAPBA 事事件件)()(,111iniininAPAPAA 兩兩兩兩互互不不相相容容)(1)(APAP 加法公式加法公式)()()()(ABPAPABAPBAP 貝葉斯公式貝葉斯公式全概率公式全概率公式 niiiniiBPBAPABPAP11)()|()()(niBP

3、BAPBPBAPAPABPABPnjjjiiii, 2 , 1)()|()()|()()()|(1 事件的獨立性事件的獨立性)()(1)(1)(1)()()()(111111nnnnnnAPAPAAPAAPAAPAPAPAAP 隨機變量，分布函數(shù)，分布律隨機變量，分布函數(shù)，分布律離散型離散型，概率密，概率密度度 連續(xù)型連續(xù)型，結合分布函數(shù)，結合分布函數(shù), ,結合分布律結合分布律, ,結合結合概率密度，邊緣分布律，邊緣概率密度，互相獨立概率密度，邊緣分布律，邊緣概率密度，互相獨立。)()( ,)()(xfxFdttfxFx B. 分布函數(shù)與概率分布之間的轉化分布函數(shù)與概率分布之間的轉化A. 分布

4、律、概率密度函數(shù)的性質分布律、概率密度函數(shù)的性質 .1)(dxxf, 11 kkp離散型：分布律與分布函數(shù)的轉化離散型：分布律與分布函數(shù)的轉化連續(xù)型：連續(xù)型：A . 二項分布二項分布, X服從服從Bn,p)(), 1 ,0()1(APpnkppCkXPknkkn 其其中中B. Poisson分布分布, X服從服從 )(!)1()0(,2,1 ,0,!npkeppCpnkkekXPkknkknk 較較小小：較較大大， 其其它它,0,1)(bxaabxf 0,00,)(xxexfx )1 ,0(),(2NXZNX xXPxXPxFX x xexfx,21)(222)( A. 利用分布函數(shù)及概率密度

5、函數(shù)的性質解題利用分布函數(shù)及概率密度函數(shù)的性質解題.B. 利用分布律及概率密度函數(shù)求概率利用分布律及概率密度函數(shù)求概率, 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量X落在某區(qū)間落在某區(qū)間I的概率為的概率為 Idxxf)( C求連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布：求連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布： 先求分布函數(shù)，再求導先求分布函數(shù)，再求導 即得概率密度函數(shù)即得概率密度函數(shù). 等價不等式等價不等式事件相等事件相等概率相等概率相等.B. 利用結合分布律或結合概率密度計算概率利用結合分布律或結合概率密度計算概率 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量X,Y落在某區(qū)域落在某區(qū)域G的概率為：的概率為： Gdxdyyxf),(A. 利用概率密

6、度函數(shù)利用概率密度函數(shù)f x,y的性質的性質: : 非負非負Fx,y的性質的性質: :右連續(xù)右連續(xù), ,遞增遞增, ,取值在取值在0,1等等. 1),(dxdyyxf jji1jijiPyPYPPxPX: :離散型離散型y)dxf(x,(y)fy)dyf(x,(x)fYX: :連連續(xù)續(xù)型型(y)(x)ffy)f(x,YX(y),fY(x),fXYXYX: :則則獨獨立立, ,與與: :連連續(xù)續(xù)型型jijijiPPyYPxXPyYxXP,: :離離散散型型分布函數(shù)分布函數(shù) 密度函數(shù)密度函數(shù) 數(shù)學期望數(shù)學期望 描繪了隨機變量的描繪了隨機變量的概率取值中心概率取值中心均值均值詳細詳細地地描繪了隨機變

7、量的概率分布情況描繪了隨機變量的概率分布情況相關系數(shù)相關系數(shù) 描繪了描繪了X X與與Y Y的的線性相關線性相關程度程度方方 差差 描繪了隨機變量的取值與期望的描繪了隨機變量的取值與期望的偏離程度偏離程度方差方差 DX 協(xié)方差協(xié)方差 CovX,Y CovX,Y=EX-EXY-EY CovX,Y= EXY-EXEY)()(),(YDXDYXCovXY DX=EX-EX2 DX=EX2-E2X 相關系數(shù)相關系數(shù) XY 數(shù)學期望數(shù)學期望 EX kkpxXE )( dxxxfXE)()(函數(shù)函數(shù)Y=HY=HX X連續(xù)型連續(xù)型離散型離散型在定義式中用在定義式中用Hx代替代替x EX2 = DX +E2X

8、)()(),(YDXDYXCovXY dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()( ijjjiipyxgYXgEZE),(),()(11 dxxfxgXgEYE)()()()( 1)()(kkkpxgXgEYE 1)(kkkpxXE dxxxfXE)()()(XgY ),(YXgZ X dxdyyxxfXE),()(特特別別地地， EaX+b=aEX+b EX+Y=EX+EY EXY=EXEY X,Y互相獨立互相獨立 DaX+c=a2DX1bXaYP, b, a11|XYXY DX+Y=DX+DY X,Y互相互相獨立獨立 X X與與Y Y互相獨立互相獨立X X與與Y Y不相關不相關E

9、 EXYXY=E=EX XE EY Y; ; CovCovX,YX,Y=0;=0; X X與與Y Y不相關；不相關； D DX+YX+Y=D=DX X+D+DY Y. . 1, 101 , 0,1 qppkqpkXPkk1, 10,2 , 1 , 0, qppnkqpCkXPknkkn)( 2 , 1 , 0, 0,! kkekXPk 其其它它，0,1)(bxaabxf2ba 12)(2ab 0,0,00,)( xxexfx 121 ),(N2 0,e21) x ( f222)x( 2 分布分布 0-1分布分布二項分布二項分布泊松分布泊松分布指數(shù)分布指數(shù)分布均勻分布均勻分布正態(tài)分布正態(tài)分布分布

10、律或概率密度函數(shù)分布律或概率密度函數(shù)期望期望方差方差ppq npnpq說明大量隨機現(xiàn)象平均結果穩(wěn)定性的定理。說明大量隨機現(xiàn)象平均結果穩(wěn)定性的定理。1)(11lim11 niiniinXEnXnPXXn n 互相獨立互相獨立,X,Xi i的方差有公共上界的方差有公共上界D DX Xi iMM, ,那么對那么對0,0,有有1lim pnnPAn設設nA是是n重貝努里試驗中事件重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)，p是事件是事件A 發(fā)生的概發(fā)生的概率，率，那么對那么對00，有，有設設X X1 1,X,X2 2,X,Xn n為獨立同分布為獨立同分布, ,且有一樣的數(shù)學期望且有一樣的數(shù)學期望E E

11、X Xi i= = ，那么那么對對00，有，有11lim1 niinXnP：闡述大量獨立隨機變量的和的極限分布為正態(tài)闡述大量獨立隨機變量的和的極限分布為正態(tài)分布的定理分布的定理.設設X1,X2,Xn,獨立同分布，獨立同分布，EXk= ，DXk= 20，那，那么么 nnXnkk 1 N(0,1)N(0,1)近近似似 nkkXn11近似近似進而進而),(2nN 設設ZnBn,p，n=1,2,.，那么那么）（）（1 , 01NpnpnpZn BA,BA,T T2(3)2(3)如果如果相容，則相容，則也相容；也相容； 二、作業(yè)點評二、作業(yè)點評ABT6. 10把鑰匙中有把鑰匙中有3把能翻開門，今任取把能

12、翻開門，今任取2把，求能翻開門的概率把，求能翻開門的概率.解：解：設設“能翻開門能翻開門為事件為事件A，那么：，那么：1584524)(210171323 CCCCAP的分布律的分布律.XXT13(2)將一顆骰子拋擲兩次，以將一顆骰子拋擲兩次，以 表示兩次中得到的小的點數(shù)，表示兩次中得到的小的點數(shù)，試求試求X 其他其他, 01000,1000)(2xxxf某種電子元件的壽命某種電子元件的壽命 ( (以小時計以小時計) )具有以下概率密度具有以下概率密度從中任取從中任取5 5只只, ,求至少取得求至少取得2 2只其壽命大于只其壽命大于15001500小時的概率小時的概率. . 現(xiàn)有一大批此種電子

13、元件現(xiàn)有一大批此種電子元件( (是否損壞相互獨立是否損壞相互獨立),), 1500)(1500dxxfXP 150021000dxx32 此相當于此相當于5 5重貝努利試驗，用重貝努利試驗，用Y Y表示壽命大于表示壽命大于15001500小時的只數(shù)小時的只數(shù) 1012: YPYPYP則則41155005313231321 CC.243232 XY(, )X YT28.10件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有2件一級品，件一級品，7件二級品，件二級品，1件次品，從中件次品，從中任取任取3件，用件，用 表示其中的一級品件數(shù)，用表示其中的一級品件數(shù)，用品件數(shù)，求二維隨機變量品件數(shù)，求二維隨機變量的概率分布和邊緣分布

14、的概率分布和邊緣分布.表示其中的二級表示其中的二級解：解：X的取值：的取值：0,1,2；Y的取值：的取值：0,1,2,3. X,Y取值的概率略。取值的概率略。 已知已知r.vX的概率密度為的概率密度為: 其其它它,0,21,10,)(xxAxxxf求求(1)常數(shù)常數(shù)A (2)分布函數(shù)分布函數(shù)F(x); (3) (4);221;21 XPXP).()(XDXE； 得得由由1)(dxxf1)(2110 dxxAxdx. 2 A xduufxXPxF)()( 2,1 x0,0 x xxxudu0210,2 xduuudu110)2(21, 2/)2(12 xxyx12 0.8121210 xdxXP

15、或或81)2(21 FXP87)21()2(221 FFXP87)2(22121121 dxxxdxXP或或 -)()(dxxxfXE61)()()(22 XEXEXD1)2(21102 dxxxdxx -22)()(dxxfxXE67)2(212103 dxxxdxxT39. 1 設隨機變設隨機變量量432, 1,XXXX互相獨立互相獨立, 且有且有4 , 3 , 2 , 1,5)( iiXDi, 設設43212132XXXXY , 求求)(),(YDYE2 設隨機變量設隨機變量X, Y互相獨立互相獨立, 且有且有)25,640(),30,720(22NYNX求求,221YXZYXZ 的分布

16、，并求的分布，并求1400, YXPYXP,)(,iXEi 解解 1 )2132()(4321XXXXEYE 742133212 因因432, 1,XXXX互相獨立，固有互相獨立，固有)2132()(4321XXXXDYD 25.3714129344 )(21)(3)()(24321XEXEXEXE )(41)(9)()(44321XDXDXEXE 2 因因YX,互相獨立，且互相獨立，且)25,640(),30,720(22NYNX那么那么,21YXZ ,2YXZ 均服從正態(tài)分布，且均服從正態(tài)分布，且20806407202)()(2)2()(1 YEXEYXEZE422525304)()(4)

17、2()(221 YDXDYXDZD80640720)()()()(2 YEXEYXEZE15252530)()()()(222 YDXDYXDZD故有故有 )1525,80(),4225,2080(21NZNZ010022 ZPZPYXPYXP9798. 0)0486. 2()1525800(1 又又 X+YN1360,1525 故故 140011400 YXPYXP1539. 0)02. 1()152513601400(1 例例1 1 設設A, B為二互相獨立的事件，為二互相獨立的事件，PA B=0.6, PA=0.4, 求求PB。)()()()()()()()(BPAPBPAPABPBPA

18、PBAP 解法一：解法一：31404060 P(B)P(B).P(B).)()(1)(1)(BPAPBAPBAP 解法二解法二：)(60160BP. 解法三：由，解法三：由，PAB=PAPB, PAB=0.4PB, 如圖如圖B-A=A B-A,PB-A=0.6-0.4=0.2 PB=PAB+PB-A=0.2+0.4PB 所以所以 PB=1/3 三、典例分析三、典例分析例例2 2 為了防止意外，在礦內同時裝有兩種報警系統(tǒng)為了防止意外，在礦內同時裝有兩種報警系統(tǒng)和和，每種系統(tǒng)單獨使用時，系統(tǒng)，每種系統(tǒng)單獨使用時，系統(tǒng)和系統(tǒng)和系統(tǒng)的有效概率分別為的有效概率分別為0.92和和0.93，在系統(tǒng)，在系統(tǒng)失

19、靈的情況下，失靈的情況下，系統(tǒng)系統(tǒng)仍有效的概率為仍有效的概率為0.85，求兩個報警系統(tǒng)至少有一，求兩個報警系統(tǒng)至少有一個有效的概率。個有效的概率。記記A=“系統(tǒng)系統(tǒng) 有效有效,B=“系統(tǒng)系統(tǒng)有效有效,由由,85. 0)/(,93. 0)(,92. 0)( ABPBPAP)()()()(ABPBPAPBAP 所所求求概概率率為為：)()()(BAPBPABP 而而)/()()(ABPAPBP .988. 085. 008. 092. 0)/()()()( ABPAPAPBAP解解: :例例3 3 某地區(qū)一工商銀行的貸款范圍內某地區(qū)一工商銀行的貸款范圍內, ,有甲、乙兩家同類有甲、乙兩家同類企業(yè)。

20、設一年內甲申請貸款的概率為企業(yè)。設一年內甲申請貸款的概率為0.25，乙申請貸款的概，乙申請貸款的概率為率為0.2，當甲未申請貸款時，乙向銀行申請貸款的概率為，當甲未申請貸款時，乙向銀行申請貸款的概率為0.1，求在乙未申請貸款時，甲向銀行申請貸款的概率。求在乙未申請貸款時，甲向銀行申請貸款的概率。解解: : 設事件設事件A=“甲申請貸款甲申請貸款,事件事件B=“乙申請貸款乙申請貸款, 1 . 0)/(, 2 . 0)(,25. 0)( ABPBPAP則則)()()/(BPBAPBAP 所所求求概概率率為為)()()(ABPAPBAP )()()(BAPBPAP 125. 01 . 075. 02

21、 . 025. 0)/()()()( ABPAPBPAP16. 08 . 0125. 0)/( BAP例例4.4. 甲乙兩人獨立地對同一目的射擊一次，甲乙的命中甲乙兩人獨立地對同一目的射擊一次，甲乙的命中率分別為率分別為0.6和和0.5, ,目的被擊中，求甲擊中目的的概率目的被擊中，求甲擊中目的的概率. .分析：分析：這首先是一個這首先是一個條件概率問題條件概率問題. . 設設 A，B分別代表甲乙擊中目的的事件分別代表甲乙擊中目的的事件, , 所求為所求為由由 PA=0.6 PB=0.5)()()()(ABPBPAPBAP 8 .03 .05 .06 .0)()()()( BPAPBPAP75

22、08060)(.BA|AP 同理同理625.08.05.0)|( BABP獨立性獨立性)|(BAAP設隨機變量設隨機變量X,Y的概率密度為的概率密度為 其其他他, 010,12),(2xyyyxf求求)(),(),(),(22YXEXYEYEXE 解：解：1各數(shù)學期望均可按各數(shù)學期望均可按照照 dxdyyxfyxgYXgE),(),(),(因因fx,y僅在有限區(qū)域僅在有限區(qū)域10| ),(: xyyxG故各數(shù)學期望均化為故各數(shù)學期望均化為G上相應積分的計算。上相應積分的計算。 dxdyyxxfXE),()( dxdyyxyfYE),()(例例5 內不為零，內不為零，54121210022 xGdyxydxdxdyxy53121210032 xGdyydxdxdyyy計算。計算。 dxdyyxxyfXYE),()(1516)(12100422 xdyyyxdx21121210032 xGdyxydxdxdyxyy GdxdyyyxYXE2222212)()(例例6 設隨機變量設隨機變量X,Y的分布律為的分布律為 XY-101-11/8 1/8 1/801/8 01/811/8 1/8 1/8驗證驗證X和和Y是不相關的，是不相關的，但但X和和Y不是互相獨立的不是互相獨立的.證：證： 先求出邊緣分布律如下