彈性力學(xué)(本科級)

1、彈性力學(xué)與有限元基礎(chǔ)胡雨村 博士2010年3月彈性力學(xué)部分主要符號介紹應(yīng)力和應(yīng)變（1）八面體剪應(yīng)力八面體正應(yīng)力剪應(yīng)力正應(yīng)力偏應(yīng)力張量應(yīng)力張量主應(yīng)力，213213231JIsoctoctijij應(yīng)力和應(yīng)變（2）片應(yīng)變張量應(yīng)變張量主應(yīng)變主應(yīng)力偏量，平均剪應(yīng)力）平均正應(yīng)力（靜水應(yīng)力ijijmoctmesssJ3213212,52應(yīng)力和應(yīng)變（3）主偏應(yīng)變張量，八面體工程剪應(yīng)變八面體正應(yīng)變體積應(yīng)變工程剪應(yīng)變正應(yīng)變32121132231eeeJIIoctoct不變量（1）是相關(guān)定義的角度式中的量偏應(yīng)力張量的第三不變量偏應(yīng)力張量的第二不變應(yīng)力張量的第一不變量，2/3233222222232112333cos

2、316121JJsssJssJIkijkijxyxyxyxzzyyxijij不變量（2）量偏應(yīng)變張量的第二不變相關(guān)定義的靜水長度相關(guān)定義的偏長度量偏應(yīng)變張量的第一不變zxyzxyxzzyyxijijveeJIJI2222122116121312材料參數(shù)（1）泊松比彈性模量）等雙軸壓縮強度（單軸拉伸強度）（單軸壓縮圓柱體的強度Efffffbcbctcc00材料參數(shù)（2）應(yīng)力純剪切中的屈服（破壞準則中的系數(shù)，角準則中的內(nèi)聚力和摩擦，剪切變形模量體積模量agerDrucCoulombMohrcEGEKPrker)1 (2)21 (3其他（1）破壞準則或屈服函數(shù)材料柔度張量材料剛度張量矩陣矢量)(fD

3、Cijklijkl其他（2）交錯張量軸之間夾角的余弦和，余能密度）（應(yīng)變能量密度符號克朗內(nèi)克笛卡爾坐標，或，ijkjijiijijijijxxxxlWKronecxxxzyx321)cos()(ker)(彈性力學(xué)理論 矢量和張量 應(yīng)力分析（重點） 應(yīng)變分析（自學(xué)為主） 彈性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系（重要） 總結(jié)第一章 矢量和張量（1）引言基本概念定義：討論應(yīng)力、應(yīng)變、本構(gòu)方程時通常所采用的 符號。特點：對物理量優(yōu)先采用這些符號而不是展開式，具有簡潔的優(yōu)點，各種關(guān)系可用數(shù)學(xué)形式表示，這樣可以集中注意物理原理而不是方程本身。范圍：矢量和張量的內(nèi)容僅限于彈性和非彈性范圍內(nèi)有關(guān)的應(yīng)力、應(yīng)變及其相互關(guān)系的應(yīng)用。（

4、2）坐標系：笛卡爾坐標系（右手法則）（3）矢量代數(shù) 矢量：既有大小又有方向的量（書寫加箭頭，印刷用黑體表示），如速度、力等。 標量：只有大小無方向的量，如溫度、質(zhì)量等。 單位矢量：大小為1個單位，表示某個方向。例：空間任一點P，坐標）（321,vvv矢量：321VVVV），（簡式：或321332211vvvVevevevV關(guān)系：的分量，反之亦然為，VVVV321矢量相等：必須分量相等 矢量乘標量：平行四邊形法則：332211,uvuvuvUViiiiuviuv或，簡潔表示：321（4）標量積（點積、內(nèi)積）：矢量乘法之一，結(jié)果為標量。定義：特例：一個矢量為單位矢量，則點積為另一矢量在單位矢量方向

5、上的投影長度。cosVUVU推論： 兩垂直矢量點積為零，反之亦然。 一矢量長度平方可以由它與自身點積得到。 一矢量在其自身以外方向上的投影，可由其與在該方向上的單位矢量之點積得到。應(yīng)用例子：功率計算（5）矢量積（叉積） 結(jié)果為一矢量（方向由右手系確定；大小為平行四邊形面積） 矢量順序不能互換 結(jié)合律不存在 一矢量與自身的矢量積為零矢量應(yīng)用例子：力矩計算（6）三重積 三個矢量 的點積、叉積可得到幾種有意義的乘積形式。 三重標量積（框積），點積與叉積可互換，不影響結(jié)果。 三重矢量積：必須用圓括號，結(jié)合律不適合。WVU)(WVU)(WVU（7）標量場和矢量場 標量場：一個標量值由空間一點位置決定，可

6、根據(jù)該點坐標表示為一個函數(shù) 表示一個面。 矢量場：依賴于位置和方向，如流體粒子的速度 常數(shù)，)(321xxxf。，)(321xxxV 標量場的梯度：為矢量算子的梯度稱為，的三個分量矢量），的導(dǎo)數(shù)，即、，對坐標一個標量gradGGGixGxxxiii321(321 矢量的散度不能互相交換。不存在，點積量。不像矢量那樣有三個分一點它只有一個值，是一標量，在空間的任注意：為這個矢量的散度與一個矢量的點積定義算子VVVxvxvxvVdivV332211 矢量的旋度321321321vvvxxxeeeVcurlVVVV分量形式：的旋度。的形式，稱為的叉積可寫成與 幾點結(jié)論：0)()5(0)()4()32

7、12232222212VVcurldivVgradcurlVVVxxx的旋度的散度的梯度的旋度（）（為標量場和式中，）（）（拉普拉斯算子）（的偏導(dǎo)數(shù)存在），（如果V（8）指標記法與求和約定 指標記法一個矢量可采用不同方式表示： V = (v1，v2，v3）= v1e1 + v2e2 + v3e3 在三維空間里，矢量有三個分量，采用一般化指標將它們用一個簡單的分量進行縮寫是有用的。指標記法中， vi 代表矢量 V 的所有分量，指標 i 的值從 1 到 3 變化。 求和約定 求和約定是指標記法的補充，并考慮到在處理求和時進一步簡化，采用下面的約定： 只要一個下標在同一個式子中出現(xiàn)兩次，就理解為這個

8、下標是從 1 到 3 進行求和。例如：兩個矢量U和 V的點積。 說明： 縮寫，要求指標 i 要重復(fù)，但不采用求和符號（愛因斯坦首先提出）。 指標自身可以隨意選擇，這些重復(fù)的下標稱為啞標。 在等式或表達式中只有在同一項中出現(xiàn)兩次標記符號，求和約定才有效。 例子：三個聯(lián)立方程式 說明 因指標字母選擇沒限制，故通常將重復(fù)指標作為啞標。 自由指標必須在方程兩邊采用同一個指標，如例子中最后的i。 一個自由指標的存在表明與矢量有關(guān) 出現(xiàn)兩個自由指標時，表明與張量有關(guān)（后敘）。 標約下定三規(guī)則： 規(guī)則 1 規(guī)則 2 規(guī)則 3繼續(xù) 規(guī)則1：如果在一個方程或表達式的一項中，一種下標只出現(xiàn)一次，則稱之為“自由指標

9、”。這種自由指標在方程或表達式的每一項中必須只出現(xiàn)一次。返回 規(guī)則2：如果在一個方程或表達式的一項中，一種指標正好出現(xiàn)兩次，則稱之為“啞標”。它表示從1到3進行求和。啞標在其他任何項中可以剛好出現(xiàn)兩次，也可以不出現(xiàn)。返回 規(guī)則3：如果在一個方程或表達式的一項中，一種指標出現(xiàn)的次數(shù)多于兩次，則是錯誤的。返回 微分的記法在下標中，用一個逗號表示微分。如： 第一個指標表示矢量的分量 逗號表示關(guān)于第二個指標的偏導(dǎo)數(shù) 第二個指標對應(yīng)于相應(yīng)的坐標軸3,32,21,1,vvvvxvViiii（9） 可看做是一個單位矩陣的縮寫形式，即符號）符號（kerKronecij301100010001332211jji

10、jjiijijijijjiji由求和約定得：矩陣是對稱的。，所以。的分量是時，當?shù)姆至渴菚r，所以，當（10） 符號（交錯張量） 一個矢量可以被認為是一個具有3（3的下標數(shù)次冪）個元素的張量。 交錯張量有 或 27個元素，這些元素根據(jù)下標值規(guī)定為+1、-1或0。 這種定義是根據(jù)將下標交換成1、2、3的自然順序所需交換的次數(shù)而定。 下標交換次數(shù)為偶數(shù)，則元素值為1；下標交換次數(shù)為奇數(shù)，則元素值為-1；下標出現(xiàn)重復(fù)，則元素值為0。 不論交換方式如何，交換的次數(shù)總保持為奇數(shù)或偶數(shù)。ijk3311232311132 利用交錯張量和克朗內(nèi)克的定義，可用展開法很容易地驗證：恒等式ksjtktjsistijk

11、例題：利用指標證明證明：CBABCACBA)()()(CBABCACBADCBABCADDCBADCBACBADcbcEADbCBEaCBADCBEijissittijsitjtisitsjkstkijikijijktsjkstijktskstjijkikjijkitskstk)()()()()()()()(因此：為置換算子）（或恒等式，有利用（下標交換偶數(shù)次）因為得）代入式（將式（和積可寫出所以，由兩個矢量的叉，設(shè)：（11）坐標的變換 常常需要重新取參考軸，并在新坐標系下重新計算 V 的分量值。 矢量在兩個坐標系中的分量可用兩軸正向夾角的余弦聯(lián)系起來。有關(guān)。與所選擇的坐標軸方向，或、的分量值

12、，表示成矢量ivvvvV321（12）笛卡爾張量的定義 新坐標系中每一個新矢量的分量是原來分量的一個線性組合，這種變換規(guī)則方便且有用。 一階張量：具有3個分量，具有前述的變換特性。零階張量（標量）有1個分量。 二階張量：類似地推廣，有9個分量。 一個矢量完全可由三個標量來定義，一個二階張量完全可由三個矢量來定義。 表示物體內(nèi)某點的應(yīng)力狀態(tài)的量構(gòu)成了一個二階張量，即某點的應(yīng)力狀態(tài)完全可由三個應(yīng)力矢量來定義。 三階張量：有27個分量 雖然所有的矢量都是張量，但并不是所有的矩陣都必定是張量。 工程應(yīng)變分量不構(gòu)成一個張量，即應(yīng)變矩陣不能按變換規(guī)則變換（換句話說，如果物理量不是一個張量中的分量，則不能畫

13、Mohr圓）。說明： 由于具有變換的特性，所以只要知道某一坐標系中的張量，則它在所有坐標系中的張量就全知道了。 在特殊情況下，如果在一個坐標系下的所有分量都為0，則在所有坐標系下所有分量都為0。 這個論述在減少數(shù)學(xué)和物理證明方面很有幫助。（13）張量性質(zhì) 張量的運算方法與矢量相類似。 相等：兩個張量對應(yīng)的分量相等時，它們相等。 相加：兩個同階張量的和（或差）仍是一個同階張量。（相應(yīng)分量相加或相減定義運算結(jié)果）。張量方程：如前所述，一個張量方程在一個坐標系中成立，則在所有坐標系中都成立。乘法：i.張量與標量乘積構(gòu)成一個同階的張量。ii.張量與張量相乘，構(gòu)成一個新的張量，其階數(shù)是原張量的階數(shù)之和。

14、縮并：三階張量，如果將兩個指標賦給相同的字母，即成為一個一階張量。（變換規(guī)則可證明）（14）各向同性張量 定義：一個張量的分量在所有坐標系中都具有相同的值，則它是各向同性的。如標量（零階張量）量為一個三階各向同性張由變換方程可證明量的定義。這就是二階各向同性張用變換規(guī)則得到對于都是各向同性的和張量ijkijjrirrsjsirijijijkijllll（15）商法則是一個張量則是一個標量）有中的值對任何張量如果它們在任一坐標系，個量的坐標系中有考慮在ijijijijijiaccbabax(9 交錯定理商法則可以寫成交錯形式是張量。和那么，的一個標量，、是對任意矢量的一個矢量；是對任意張量的一個

15、矢量；是對任意矢量kijijiiikjikijijikjkijiiijijaawvucwvuacbcbabuvuaa)()()(（16）面積分體積分（散度定理） 在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，作用在物體體積上的全部力包括體力（如重力）和面力（如壓力）。在推導(dǎo)平衡方程和運動方程的過程中，這兩種力分別寫成體積和面積的積分，為了兩者結(jié)合，將面積分表示成體積分是很有必要的，反之亦然。 高斯散度定理可適用于這種情況。 高斯散度定理證明略外法向的單位矢量。為垂直于曲面指標記法：上的體積分。的體積的散度在該曲面所包圍等于矢量上的面積分曲面的法向分量在一個封閉一個矢量SNdVudAnudivUdVdANUVUSUViiS

16、iiSV,（17）習(xí)題 是一個單位矢量。，證明如果第二題、為標量證明：第一題、利用指標記法ijjiiBAAABAAAbAa),()()(.0)(.（18）小結(jié) 重點在指標記法與求和約定；克朗內(nèi)克符號；交錯張量；張量性質(zhì)等。 一般了解，盡可能記憶。第二章 應(yīng)力分析1、引言 應(yīng)力和應(yīng)變分析，對任何可當作連續(xù)介質(zhì)的物體都適用。 為了研究一個物體不同部分的作用，通常采用的截面法用于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)方法和材料力學(xué)方法都是合適的。一些常用定義 自由體：一小單元體連同其上作用的外力，割離出來后，它不再受其余部分的約束，即成為自由體。 平面：截開物體的面，由它的位置與法線方向確定。 截面法：物體被截成兩部分（想向

17、），兩面上的內(nèi)力，用分布表面力代替。截面有兩個側(cè)面，一個側(cè)面認定為正，則另一個側(cè)面就為負。2、一點的應(yīng)力狀態(tài) 連續(xù)體D中一點P0，坐標為xi，由微體 包圍，其上作用兩種力： 體力（體積力）：合力R和對一定點的合力矩Gv表示單位體積上的體力和假設(shè)：FvGFvRvv0limlim00DkjijkiDDiiDiidVFxMdVFrMModVFBdVFBxFF或為的合力矩體力對原點或全部體力：續(xù)體上的連續(xù)函數(shù)，在整個連是的分量假定。和作用與反作用：有的合力矩。作用的合力和對是在和。的平面域具有單位法線面力（接觸力）：nninnGPxAGPAn0 應(yīng)力矢量：是單位面積上的力。相關(guān)的應(yīng)力矢量，單位與截面點

18、表示在有關(guān)）與固定截面矢量（和所以，極限力矩集度為零：假設(shè)集度存在一個確定的極限力：假設(shè)nxnTTTAGTTAPTinnnAnnA0000lim2lim1 一點的應(yīng)力狀態(tài)的定義：某點的應(yīng)力狀態(tài)由該點上全部應(yīng)力矢量 的總體確定。 過一點的三個互相垂直面上的應(yīng)力矢量。（畫圖）nT 應(yīng)力張量：（用板書說明） Von Karman 標記表示剪應(yīng)力分量。表示正應(yīng)力分量；其中，：標記，應(yīng)力張量的分量采用zzyzxyzyyxxzxyxijKarmanvon），且對稱，（用代入法可得：的雙指標標記表示形式應(yīng)力張量321333231232221131211innTijjijjjinizzyzxyzyyxxzxy

19、xzzzyzxyzyyyxxzxyxxijij也就知道了。下的，在其他坐標下的知道某坐標是一個二階張量。理，根據(jù)商法則中的交錯定的一個矢量。是對應(yīng)任意矢量值的計算出對應(yīng)任何可以從量表示可用該點的應(yīng)力張量分量分量的任意平面上的應(yīng)力矢上式表示過某點法線為,ijiijiijiiniiijxxnTTnn3、Cauchy (柯西)應(yīng)力公式 前面的表達是Cauchy應(yīng)力公式的一種表達形式。實際中，常需根據(jù)某點的應(yīng)力張量分量來直接表示作用于過該點任意平面上的任意矢量的正應(yīng)力分量和剪應(yīng)力分量。即：nnijS和直接表示由例題：證明投影定理（板書講義內(nèi)容）平面應(yīng)力狀態(tài)（見講義）平面應(yīng)力狀態(tài)充分必要條件是一個主應(yīng)力

20、為零（即，應(yīng)力張量的行列式為零）。4、應(yīng)力主軸畫圖示意主平面：主方向：主平面的法線方向主應(yīng)力：每個點上至少存在三個主方向。的平面法線為（無剪切應(yīng)力）和nSTnnn0ininnTnT或是正應(yīng)力）（特征方程和應(yīng)力張量不變量zzyzxyzyyxxzxyxyyxxyxzzxxzxzzyyzyzyxIIIIII333231232221131211322211211333113113332232223322111322130特征方程：從三次方程根的特性：是特征根。，其中，321321313322123211III 結(jié)論： 三次方程無論在坐標系 1-2-3 中，還是在坐標系 x-y-z 中，都是一樣的，故I

21、1、I2、I3是應(yīng)力張量不變量（無論坐標軸怎樣轉(zhuǎn)，值不變）。 如果三個主應(yīng)力不同，則所有主方向正交。 如果主應(yīng)力各異，則對每個應(yīng)力值正好有兩個獨立方程。 所有三個根以及三個相應(yīng)主方向都是實數(shù)。 應(yīng)力張量不變量321313221211333231323222123211321232PPPPQPPQPQPPPIIIktjsirrstijkktjsistijkkmijmijkijkkijkijjiijiiij得出可采用交錯張量另外，應(yīng)力張量不變量惟一的不變量。不是應(yīng)力張量和、三個不變量不變量Q和P，以及不變量I1、I2和I3之間關(guān)系：)23(6161)(212121321313322122111PPPPQIPPQIPQI5 正應(yīng)力和剪應(yīng)力的駐值設(shè)定主正應(yīng)力為駐值（證明略）主剪應(yīng)力：在某截面上的剪應(yīng)力為駐值，則稱之為主剪應(yīng)力。6 純剪切狀態(tài)定義：一個應(yīng)力狀態(tài)成為純剪切狀態(tài)的充分必要條件是