天津津英中學九年級上冊期中試卷檢測題

1、天津津英中學九年級上冊期中試卷檢測題一、初三數(shù)學一元二次方程易錯題壓軸題（難）1 .“父母恩深重，恩憐無歇時"，每年5月的第二個星期日即為母親行，節(jié)日前夕巴蜀中學 學生會計劃采購一批鮮花禮盒贈送給媽媽們.（1）經(jīng)過和花店賣家議價，可在原標價的基礎(chǔ)上打八折購進，若在花店購買80個禮盒最 多花費7680元，請求出每個禮盒在花店的最高標價；（用不等式解答）（2）后來學生會了解到通過“大眾點評"或“美團”同城配送會在（1）中花店最高售價的基 礎(chǔ)上降價25% ,學生會計劃在這兩個網(wǎng)站上分別購買相同數(shù)量的禮盒，但實際購買過程中，“大眾點評”網(wǎng)上的購買價格比原有價格上漲2 "%

2、 ,購買數(shù)量和原計劃一樣："美團"網(wǎng) 29上的購買價格比原有價格下降了二m元，購買數(shù)量在原計劃基礎(chǔ)上增加15m%，最終，在20兩個網(wǎng)站的實際消費總額比原計劃的預算總額增加了 £"% ,求出m的值.2【答案】（1）120； （2） 20.【解析】試題分析：（1）本題介紹兩種解法：解法一：設(shè)標價為x元，列不等式為0.8x8047680,解出即可；解法二：根據(jù)單價=總價+數(shù)量先求出1個禮盒最多花費，再除以折扣可求出每個禮盒在花 店的最高標價：（2）先假設(shè)學生會計劃在這兩個網(wǎng)站上分別購買的禮盒數(shù)為。個禮盒，表示在“大眾點評"5網(wǎng)上的購買實際消費總額：1

3、20。（1-25%）,在“美團”網(wǎng)上的購買實際消費9總額：皿120（1-25%）-元m（l+15m%）：根據(jù)"在兩個網(wǎng)站的實際消費總額比原計劃 的預算總額增加了 "m%列方程解出即可.2試題解析：（1）解：解法一：設(shè)標價為x元，列不等式為0.8x80W7680 , X4120 ；解法二：768080+0.8=96+0.8= 120 （元）.答：每個禮盒在花店的最高標價是120元：（2）解：假設(shè)學生會計劃在這兩個網(wǎng)站上分別購買的禮盒數(shù)為a個禮盒，由題意得：59120x0.8。（ 1 - 25% ） （ 1+ - /n% ） +a120x0.8 （ 1 - 25% ） - -

4、m （ l+15m% ） =120x0.8。（22015591 - 25%） x2 （ 1+ m%），即 72q （ 1+ 二 m% ） +a （ 72 - m ） （ l+15m% ） =144a （ 1+ 2220m% ） z 整理得：0 . 0675m2 - 1.35m=0 , m2 - 20m=0,解得：mi=0 （舍），）2=20 .2答：m的值是20 .點睛：本題是一元二次方程的應用，第二問有難度，正確表示出“大眾點評”或“美團實際消費總額是解題關(guān)鍵.2.已知關(guān)于x的一元二次方程用一片+。-2?）x+1 =。有兩個不相等的實數(shù)根.（1）求實數(shù)m的取值范圍：（2）若原方程的兩個實數(shù)根

5、分別為內(nèi)，占，且滿足%|+同=2%-15,求？的值.【答案】（1） 7V且加工0； （2） m =- 4【解析】【分析】 （1）根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到：.A = （1-7）-422>0且m2 w 0，然后求出兩個不等式解集的公共部分即可.（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到內(nèi)+人=也二，2居=加上機V,且團工0,則 nr - nr4可判斷王<0, X, <0,所以一玉一X, =2%占15, 一_" =-一5,然后解方程求 出m即可得到滿足條件的m的值.【詳解】（1）因為方程m2/+（1-2砌犬+1=。有兩個不相等的實數(shù)根，. = （1一27）一4/>

6、0,解得？:又因為是一元二次方程，所以加2工0，.7。0.，機的取值范圍是m v !且? w 0 .42？ （2）,.,為，占為原方程的兩個實數(shù)根，%+居=2=，占心 =一 廣 . nrI2, ？< 一且團工0，%+八=；<0, Mx, =7>0, .e.%, <0, 招 <0.4- nr- 廠: +岡=- 15, -xx -x2 = 2xrv2-15,2ni -12 y11* -s = - - 15, /. 15廣27 1 = 0,解胃于I = ， ?）= 一二，nrnr357<1且m力0.町=1不合題意，舍去，435【點睛】此題主要考查一元一次方程的定義

7、和判別式的意義，正確理解概念和熟練運用根的判別式 是解題的關(guān)鍵.3.已知關(guān)于x的一元二次方程（x-3） （x-4） - m2=0.（1）求證：對任意實數(shù)m,方程總有2個不相等的,實數(shù)根：（2）若方程的一個根是2,求m的值及方程的另一個根.【答案】（1）證明見解析；（2） m的值為士&,方程的另一個根是5.【解析】【分析】（1）先把方程化為一般式，利用根的判別式=b?-4ac證明判斷即可；（2）根據(jù)方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后還原方程求出另一個解即可.【詳解】（1）證明：*.* （x - 3） （x - 4） - m2=0,Ax2 - 7x+12 - m2=0,.*.= （

8、-7） 2-4 （12- m2） =l+4m2,Vm2>0,.'.>0,，對任意實數(shù)m,方程總有2個不相等的實數(shù)根：（2）解,方程的一個根是2,，4 - 14+12 - m2=0,解得 m=±®原方程為x? - 7x+10=0,解得x=2或x=5,即m的值為土6，方程的另一個根是5.【點睛】此題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程的根的判別式與根的關(guān) 系是關(guān)鍵.當二b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根：當:b?-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根：當=b?-4acV0時，方程沒有實數(shù)根.4.如圖，在平而直角坐標系中，正方

9、形ABCD的頂點A在y軸正半軸上，頂點B在x軸正 半軸上，OA、OB的長分別是一元二次方程X? - 7x+12=0的兩個根（OA>OB）.（1）求點D的坐標.（2）求直線BC的解析式.（3）在直線BC上是否存在點P,使 PCD為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐 標：若不存在，說明理由.（3）詳見解析試題分析：（1）解一元二次方程求出OA、0B的長度，過點D作DE_Ly于點E,根據(jù)正方 形的性質(zhì)可得AD=AB, Z DAB=90°,然后求出N ABO=N DAE,然后利用“角角邊"證明 DAE 和 ABO全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DE=OA, AE=OB,

10、再求出0E,然后寫出點 D的坐標即可：（2）過點C作CMJ_x軸于點M,同理求出點C的坐標，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b （HO, k、b為常數(shù)），然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)，點P與點B重合時， PCD為等腰三角形；點P為點B關(guān)于點C 的對稱點時， PCD為等腰三角形，然后求解即可.試題解析：（1） x2 - 7x+12=0,解得 xi=3, xz=4»OA>OB, .0A=4, 0B=3,過D作DE_Ly于點E,正方形ABCD, AD=AB, Z DAB=90%Z DAE+Z OAB=90%Z ABO+Z OAB=90%Z ABO=Z

11、DAE,DEJLAE,/. Z AED=90°=Z AOB, / DE±AEZ AED=90°=Z AOB.: & DAE合 4 ABO (AAS),/. DE=OA=4f AE=0B=3,/. OE=7, D (4, 7):(2)過點C作CM_Lx軸于點M,同上可證得 BCM2 ABO,，CM=0B=3, BM=0A=4f,0M=7,AC (7, 3), 設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b (HO, k、b為常數(shù))，7左十6二3代入 B (3, 0) , C (7, 3)得，I 3fc+d = 0AV -解得4 ,b = 439(3)存在.點P與點B重合時

12、，Pi (3, 0),考點：1、解一元二次方程：2、正方形的性質(zhì)；3、全等三角形的判定與性質(zhì)：4、一次函 數(shù)5.在等腰三角形248c中，三邊分別為。、b、c,其中a=4,若6c是關(guān)于x的方程x?- (2k+l) x+4 (k - 1) =0的兩個實數(shù)根，求8c的周長.2【答案】ABC的周長為10.【解析】【分析】分a為腰長及底邊長兩種情況考慮：當a=4為腰長時，將x=4代入原方程可求出k值，將 k值代入原方程可求出底邊長，再利用三角形的周長公式可求出ABC的周長：當a=4為底 邊長時，由根的判別式=()可求出k值，將其代入原方程利用根與系數(shù)的關(guān)系可求出b+c 的值，由b+c=a可得出此種情況不

13、存在.綜上即可得出結(jié)論.【詳解】當。=4為腰長時，將x=4代入原方程，得：舒一4（2攵+ 1） + 4攵- J =0解得=3當 = 3時，原方程為*-6乂+8=0, 2解得：Xi=2, Xz=4,:.此時48C的周長為4+4+2 = 10：當。=4 為底長時， = - （2k+l） F-4X1X4 （k- L ） = （2k-3） 2=0,23 解得：k= ,2，b+c=2k+l=4.b+c=4=Q,此時,邊長為a，b, c的三條線段不能圍成三角形.，ABC的周長為10.【點睛】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解、等腰三角形的性質(zhì)以及三 角形的三邊關(guān)系，分a為腰長及底邊長兩

14、種情況考慮是解題的關(guān)鍵.二、初三數(shù)學二次函數(shù)易錯題壓軸題（難）6.如圖，直線/： y=-3x+3與x軸，y軸分別相交于4 8兩點，拋物線y= - x2+2x+b經(jīng) 過點B.（1）該拋物線的函數(shù)解析式；（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點例在第一象限內(nèi)，連接AM、BM,設(shè)點M 的橫坐標為m,的面積為S,求S與m的函數(shù)表達式，并求出S的最大值：（3）在（2）的條件下，當S取得最大值時，動點M相應的位置記為點寫出點”的坐標；將直線/繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到直線上當直線/'與直線八"重合時停止旋轉(zhuǎn)，在 旋轉(zhuǎn)過程中，直線/'與線段8”交于點C,設(shè)點8, /VT到直線廠的

15、距離分別為由，dz,當 di+dz最大時，求直線旋轉(zhuǎn)的角度（即N8AC的度數(shù)）.I /c y oc25【答案】（1） y = -x2+2x + 3i （2） S= m- + 二，：（3） 2（2）88AT(H：45?！窘馕觥俊痉治觥?1)利用直線/的解析式求出B點坐標，再把8點坐標代入二次函數(shù)解析式即可求出b的 值.(2)設(shè)M的坐標為(m, -m2+2m+3),然后根據(jù)面積關(guān)系將的面積進行轉(zhuǎn)化.(3)由(2)可知m=，代入二次函數(shù)解析式即可求出縱坐標的值.2可將求d1+dz最大值轉(zhuǎn)化為求AC的最小值.【詳解】(1)令 x=0 代入 y= - 3x+3,/y=3>AB (0, 3),把 B

16、 (0, 3)代入 y= - x?+2x+b 并解得：b=3, 二次函數(shù)解析式為:y= - K+2x+3.(2)令 y=0 代入 y=-x2+2x+3,A0= - x2+2x+3,Ax= - 1 或3, .拋物線與X軸的交點橫坐標為-1和3, 在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，0VmV3,令 y=0 代入 y= - 3x+3,，x=l,.A的坐標為(1, 0),由題意知：M的坐標為(m, -m2+2m+3) > e5 = 5 四邊形 OAMB - S«aob = SaOBm+SaoaM - SaaoB= xmx3+xlx (-m2+2m+3) xlx32221 ,5252 28525

17、當m=二時，S取得最大值二.2857（3）由（2）可知：M'的坐標為（彳，-）.設(shè)直線r為直線I旋轉(zhuǎn)任意角度的一條線段，過點M，作直線11匕過點B作BFJ_k于點根據(jù)題意知：di+dz=BF,此時只要求出BF的最大值即可,VZBFMZ=9O°, ,.點F在以BIVT為直徑的圓上， 設(shè)直線AIW與該圓相交于點H, 點C在線段BIVT上，.F在優(yōu)弧5M ' 上， ,.當F與M，重合時，BF可取得最大值，此時BMk,57VA (1, 0) , B (0, 3) , M'(二，-), 24,由勾股定理可求得：AB=Jid，M，A=避E, 44過點M，作MZG，AB于點

18、G,設(shè) BG=x,A由勾股定理可得:MZB2 - BG2=M;A2- AG85 16I OS(V10 -X)5M8BG J?cosZMzBG= , ZMZBG= 45°BM' 2XVZM#BG=ZCBA= 45°AZBAC=45°.【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合以及一次函數(shù)旋轉(zhuǎn)求角度問題，正確掌握一次 函數(shù)與二次函數(shù)性質(zhì)及綜合問題的解法是解題的關(guān)鍵.7.在平面直角坐標系中，點（,均）與（/少）（，。0）稱為一對泛對稱點. 若點（1,2）,（3,。）是一對泛對稱點，求。的值；（2）若尸，。是第一象限的一對泛對稱點，過點。作小_Lx軸于點A，過

19、點。作 Q8_L），軸于點4,線段24, QB交于點C,連接A8, PQ ,判斷直線A3與尸。的位 置關(guān)系，并說明理由：（3）拋物線y = a/+以+。（。0）交丁軸于點。，過點。作x軸的平行線交此拋物線 于點M （不與點。重合），過點"的直線'=。丫 +"與此拋物線交于另一點N.對于 任意滿足條件的實數(shù)，是否都存在M, N是一對泛對稱點的情形？若是，請說明理 由，并對所有的泛對稱點M（Xm，）：w），探究當加時/的取值范圍： 若不是，請說明理由.2【答案】（1）-： （2）ABPQ,見解析；（3）對于任意滿足條件的實數(shù)b,都存在M, N是一對泛對稱點的情形，此時對

20、于所有的泛對稱點M(xm, y”)，N(xn, y4當yM>yN時,xm的取值范圍是xmVI且xmHO【解析】【分析】(1)利用泛對稱點得定義求出t的值，即可求出a.(2)設(shè)P, Q兩點的坐標分別為P (p,tq) , Q (q,tp)，根據(jù)題干條件得到A (p,0) , B< O,tp) , C (p,tp)的坐標,利用二元一次方程組證出kkz,所以ABPQ.(3)由二次函數(shù)與x軸交點的特征，得到D點的坐標：然后利用二次函數(shù)與一元二次方 程的關(guān)系，使用求根公式即可得到答案.【詳解】(1)解：因為點(1, 2) , (3, a)是一對泛對稱點，設(shè) 3t=22解得t=-32所以 a=

21、txl=-3(2)解：設(shè)P, Q兩點的坐標分別為P(P,tq) , Q (q,tp),其中。<pq, t>0.因為PA_Lx軸于點A, QB_Ly軸于點B,線段PA, QB交于點C,所以點A, B, C的坐標分別為:A (pQ) , B (O,tp) , C (P/tp) 設(shè)直線AB, PQ的解析式分別為：y=kix + bi, y=kzx+b2，其中kik2Ho. 分別將點A (pz0) , B (O,tp)代入y=k1x+bi,得Pk+b =tp > =tp分別將點 P(p,tq) , Q (q,tp)代入 y=kzx + b2,得 *pk、+ =tpk、=TV/ / 解

22、得qk? +b2=tp b2 =tp + tp所以 ki=l<2.所以ABPQ(3)解：因為拋物線y=ax? + bx+c (a<0)交y軸于點D,所以點D的坐標為(0,c).因為DMx軸，所以點M的坐標為(xm,c),又因為點M在拋物線y=ax2+bx+c (a<0)上.可得 axM2+bxM+c=c, BP xm (axw+b) =0.解得xM=0或xm= . a因為點M不與點D重合,即xmHO，也即b/0,所以點M的坐標為(- 2,c) a因為直線丫=2* + 0!經(jīng)過點M,將點 M ( zc)代入直線 y=ax + m 可得，a- ( ) +m = c. aa化簡得m

23、 = b + c所以直線解析式為：y=ax+b+c.因為拋物線y=ax?+bx+c與直線y=ax+b+c交于另一點N, 由 ax2+bx+c=ax+b+c,可得 ax?+ (b a) xb=0.因為= (b a) 2+4ab= (a + b) 2,解得 X1=-2, X2=l.l!|J Xm= , Xn = 1,且 一 一也即 a + brO. aa所以點N的坐標為(l,a + b+c)要使M (-zc)與N (l,a + b+c)是一對泛對稱點， a則需 c=t xl 且 a + b+c=tx (). a也即 a + b+c= ( ) -c a也即(a + b) a = (a + b) -c

24、.因為a + b/O,所以當a = -c時，M, N是一對泛對稱點.因此對于任意滿足條件的實數(shù)b,都存在M, N是一對泛對稱點的情形.此時點M的坐標為(一 一a),點N的坐標為(1力). ab所以M, N兩點都在函數(shù)y= (b/0)的圖象上.x因為aVO,所以當b>0時，點M, N都在第一象限，此時y隨X的增大而減小，所以當yM>yN時，0Vxm<1：當b<0時，點M在第二象限，點N在第四象限，滿足yM>yN，此時XM<0.綜上，對于任意滿足條件的實數(shù)b,都存在M, N是一對泛對稱點的情形，此時對于所有的泛對稱點M (xm，Ym) 9 N (xn/Yn) &

25、gt;當yM>yN時，xm的取值范圍是xm<1 I L xm*O.【點睛】本題主要考察了新定義問題，讀懂題意是是做題的關(guān)鍵；主要考察了二元一次方程組，二 次函數(shù)、一元二次方程知識點的綜合，把握題干信息，熟練運用知識點是解題的核心.8.如圖1,在平面直角坐標系中，。為原點，拋物線），=。儲+法+。經(jīng)過4 & C三 點，且其對稱軸為X = l,其中點點3（3,0）.圖（1）求拋物線的解析式：（2）如圖（1）,點。是直線C3上方拋物線上的動點，當四邊形OCX8的面積取最大 值時，求點。的坐標；如圖（2）,連接C4,在拋物線上有一點M,滿足=請直接寫出點2M的橫坐標.【答案】 ）,

26、=一冬/+手工+ 5 （2）竽;26-1或氐2【解析】【分析】（1）根據(jù)點。（0,6）,點3（3,0）,利用待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式：（2）先求出直線BC的解析式，當直線m與拋物線只有一個交點時，點D到BC的距離最 遠，此時4BCD取最大值，故四邊形DCAB有最大值，求出b的值代入原式即可得到答案：根據(jù)題干條件拋物線上有一點M,滿足ZMCB = -ZACO,通過利用待定系數(shù)法利用 2方程組求出直線BE的解析式，可得答案.【詳解】解：（1）由題意得：'-± = 1< 2a0 = 9a + 3b + y/3解得a二-巫,=氈33（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+J3直線

27、BC過點B （3, 0）,，0=3k+/故直線BC解析式為y=三x+.3設(shè)直線m解析式為，=一事工+ ，且直線m直線BC當直線m與拋物線只有一個交點時，點D到BC的距離最遠，此時4BCD取最大值，故四 邊形DCAB有最大值.令3X + b = 一旦2+友+ G333也-30 + 31-3。當 = （-3監(jiān)）2 - 4 X 6 X （3 - 36）=0 時直線m與拋物線有唯一交點3 代入原式可求得：x =-圖（3）過D作DPy軸交CB于點P, ADCB而積=aDPC而積+aDPB而枳,（3 5 存在，點M的橫坐標為2JJ-1或JJ+2解題提示：如圖3符合條件的直線有兩條：CM和CM?（分別在CB

28、的上方和下方）在 RSACO 中，NACO=30。，在 R3C0B 中，NCBO=30°,，NBCMfNBCM2=15° BCE 中，ZBCE=ZBEC2=15°/. BC = BE=26則 E（3 + 2JJ，0）設(shè)直線CE解析式為：y = kx +小 0 = （3 + 26）女+6解之得：k=JJ 2 直線 CE 解析式為：），= （JJ-2）x + JJ褥2 2>/J 瓜y =x +x +，3：.y33y = （y/3-2）x + y/3解得：xi=O> X2=2>/3 1/ 在 RtAOCF 中，NCBO=30°, ZBCF=1

29、5°，在 RtACOF 中，ZCFO=45°aoc=of=73AF（73 > 0）.直線CF的解析式為y=-x+x/3V3 , 2730y =-r +x+yJ3AV 33y = -x + y/3解之得：W=0 （舍去），4=#+2即點M的橫坐標為：2>/5-1或g+2【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、一次函數(shù)圖象上 點的坐標特征和二次函數(shù)的性質(zhì)：會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，理解坐標與圖形 性質(zhì)是解題關(guān)鍵.9.如圖，已知拋物），=0?+以+。（4工0）經(jīng)過點4,8,與）'軸負半軸交于點C,且OC = OB,其中4

30、點坐標為（3,0）,對稱軸/為直線x = 1.2求拋物線的解析式：在x軸上方有一點尸，連接24后滿足N/A8 = NC4B,記"BC的而積為S,求 當S = 10.5時點尸的坐標在（2）的條件下，當點P恰好落在拋物線上時，將直線5c上下平移，平移后的S = 10.5時點P的坐標：直線y = x+，與拋物線交于C',8'兩點（U在8'的左側(cè)），若以點 C',8',P為頂點的三角形是直角三角形，求出，的值.【解析】【分析】（1）確定點A的坐標，再進行待定系數(shù)法即可得出結(jié)論：（2）確定直線AP的解析式，用?表示點P的坐標，由而枳關(guān)系求S和機的函數(shù)關(guān)系

31、式 即可求解；（3）先確定點P的坐標，當N8/C” = 90'，利用根與系數(shù)的關(guān)系確定B'C"的中點E的 坐標，利用8'C' = 2PE建立方程求解，當NPC"8" = 90時，確定點G的坐標，進而求 出直線C"G的解析式，得出點C"的坐標即可得出結(jié)論.【詳解】（1）V OC = OB,且 8 點坐標為（3,0）,。點坐標為（。，-3）.設(shè)拋物線解析式為y = a（x - ；尸+ k .八 25,10 =a+ ka =將3、C兩點坐標代入得'，解得1.-3 = -a + kk = -48拋物線解析式為），

32、=?*_1）2_= = 2%2_!工_3. 22822（2）如圖1,設(shè)AP與）'軸交于點C'.V ZPAB = ZCAB, OA = OA, ZAOC = ZAOC = 90°,，A4OC g AAOC',OC = OC' = 3,:.C'（0,3）.A A(-2,0), 3 ，直線AP解析式為y = X+3,.8(3,0), C(0,-3),，直線8c解析式為)，=r3,31:.PF =一工 + 3 一 (工-3) = x + 6 ,2213:.Sysc = OBxPF = x + 9 ,3VS = 10.5,，二x + 9 = 10.5,

33、4x = 2.此時。點的坐標為(2,6).（3）如圖2,由3X1-2 3 - 4.2 TX X1-2 3-2= =得P(6/2),當NC'P3'=90。時，取8c的中點E，連接。石.則 B'C' = 2P七，即 Bl'? = 4PE2 .設(shè)8'（西，凹）,。'（占）.由，得 /一31一(2/ + 6) = 0,I 2 1公 y = -x -x-3 22y = x + t，* += 3, 2占=一(2/ + 6),3 3點叼”，B'C' =(-2)2+(>',->'2)2 =2(x1-x2y =2

34、 (x +x2)2 -4x,x2 = 16/+ 66 ,PE2 =(6-)2 +(12-r)2 =t2 -2U + , 2220 A116/ + 66 = 4(r-21r + -),解得：，= 19或6 (舍去)，當NPC"8" = 90。時，延長C”產(chǎn)交8C于，交x軸于G.則 ZBHG = 90。, N尸GO = 45° , 過點P作PGLx軸于點。，則GQ = PQ = 12,J G(18,0),直線CG的解析式為y = -x +18 ,fx = -7 fx = 6得y = 25 或)，= 12(舍去)，I 2 1公 y = -x - -x-3 22y = -

35、x+18 ，C(-7,25),將 C*(-7,25)代入 y = x+f 中得/ = 32.綜上所述，的值為19或32.【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積的計算方法、根與系 數(shù)的關(guān)系、直角三角形的性質(zhì)，屬于二次函數(shù)綜合題.10.在平面直角坐標系xOy中(如圖)，已知二次函數(shù)y = "x2+x + c (其中。、b、c 是常數(shù)，且。工0)的圖像經(jīng)過點4 (0, -3)、B (1, 0)、C (3, 0),聯(lián)結(jié)A8、AC.(1)求這個二次函數(shù)的解析式：(2)點。是線段47上的一點，聯(lián)結(jié)8D,如果%皿：5士.0=3：2,求tanN。8c的值:(3)如果點E

36、在該二次函數(shù)圖像的對稱軸上，當4C平分N8AE時，求點E的坐標. y37【答案】(1)y = x-+4x 3： (2) ； ( 3) E (2 > )23【解析】【分析】(1)直接利用待定系數(shù)法，把A、B、C三點代入解析式，即可得到答案；(2)過點。作OH_L8c于H,在ABC中，設(shè)AC邊上的高為6,利用面積的比得到An 3然后求出DH和BH,即可得到答案；(3)延長AE至x軸，與x軸交于點F,先證明AOABs OFA,求出點F的坐標，然后求 出直線AF的方程，即可求出點E的坐標.【詳解】解：(1)將 A (0,-3)、B (1, 0)、C (3, 0)代入 y = 0+6式 +

37、63;<4=0)得，0 = a + - 3,< 0 = 9。+ 3/? - 4,-3 = 0 + 0 + ca = -解得卜=4 , c = -3，此拋物線的表達式是：y = -x2+4x-3.(2)過點D作DH±BC于H,yS'版）:=（； 40 .的:（1dC/:） = AD:£）C = 3:2,又；DHy軸，CH DC DH 21 -_= _碇一就一在一丁V0A=0C=3,則 NACO=45° ,2 .CDH為等腰直角三角形，26：.CH = DH =-x3 = -.6 4:.BH = BC - CH = 2=-.5 5DH 3 tan

38、N DBC=.BH 2（3）延長AE至x軸，與x軸交于點F,0A=0C=3,，ZOAC=ZOCA=45",Z0AB=Z0AC- ZBAC=45°- /BAC, Z0FA=Z0CA- ZFAC=450- NFAC,NBAONFAC,AZ0AB=Z0FA.AAOAB- OFA,OB OA 1 "OAOF3'，OF=9,即 F (9, 0)：設(shè)直線AF的解析式為rkx+b (HO),0 = 9k+b一3一解得k=-3 , b = 3直線AF的解析式為：y = -x - 3 f7 將x=2代入直線AF的解析式得：y = -Q,【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性

39、質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)的解析式，等腰直角 三角形的判定和性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)犍是掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)， 以及正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形.三、初三數(shù)學旋轉(zhuǎn)易錯題壓軸題（難）11.如圖 1，在 RtZXABC 中，ZA = 90°. AB = AC,點、D，E 分別在邊 A8，AC 上，AD = AE,連接DC ,點、M，P，N分別為OE, DC, 8c的中點.（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是（2）探究證明：把AD石繞點力逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN, BD,CE,判斷PMN的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把石繞點A在

40、平而內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若A£>=4, AB = 0,請直接寫出 PMN而積的最大值.49【答案】（1） PM = PN . PM SN ； （2 ）等腰直角三角形，見解析：（3）2【解析】【分析】（1）由三角形中位線定理及平行的性質(zhì)可得PN與PM等于DE或CE的一半，又AABC為 等腰直角三角形，AD=AE,所以得PN=PM,且互相垂直：（2）由旋轉(zhuǎn)可推出再利用PM與PN皆為中位線，得到PM=PN,再利 用角度間關(guān)系推導出垂直即可：（3）找到而積最大的位置作出圖形，由（2）可知PM=PM,且PM_LPN,利用三角形而積 公式求解即可.【詳解】（1） PM = PN, PM LPN ；

41、已知點M, P, N分別為OE, DC, 8c的中點，根據(jù)三角形的中位線定理可得PM=、EC, PN = -BD, PM "EC, PNHBD 22根據(jù)平行線性質(zhì)可得ZDPM = ZDCE, ANPD = ZADC在 RtAA5c 中，ZA = 90°, AB = AC , AD = AE可得 8D = EC, ZDCE + ZADC = 90。即得尸M = PN, PM LPN故答案為：PM = PN , PM LPN .（2）等腰直角三角形，理由如下： 由旋轉(zhuǎn)可得ABAD = ZCAE,又AB=AC, AD=AE BADACAE：.BD = CE, ZABD = ZAC

42、E,.點M，。分別為。石，OC的中點PM是MCE的中位線:.pm =、CE,且 pmhce, 2同理可證PN = 28。，且PN"BD2:,PM = PN, ZMPD = 4ECD, /PNC = /DBC,. ZMPD = ZECD = ZACD+ZACE = ZACD+ZABD,ZDPN = ZPNC+/PCN = ZDBC+ZPCN, ZMPN = ZMPD + ZDPN = ZACD+ZABD+ZDBC+4PCN = ZABC+NA CB = 90。即PMN為等腰直角三角形.（3）把母山石繞點A旋轉(zhuǎn)的如圖的位置，且PN、PM的值最長，由（2）可知PM = PN, PM LPN

43、所以"A/N面積最大值為!x7x7 =22【點睛】 本題主要考查三角形中位線的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形的 判定及性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等相關(guān)知識，解題關(guān)鍵在于找到圖形中各角度之間的數(shù)量關(guān)系.12.在AAOB中，C, D分別是OA, 0B邊上的點，將 OCD繞點0順時針旋轉(zhuǎn)到 OCD.（1）如圖1,若NAOB=90。，OA=OB, C, D分別為OA, OB的中點，證明：AOBD"；ACBD'：（2）如圖2,若 AOB為任意三角形且N AOB=8, CDII AB, AC與BD咬于點E,猜想 NAEB二。是否成立？請說明理由.【答案】（1）證明見解

44、析；（2）成立，理由見解析【解析】試題分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OOOC, OD=OD Z AOC=Z BOD證出OC=OD由SAS證明 AOC£ BOD，得出對應邊相等即可；由全等三角形的性質(zhì)得出N OAU=N OBA,又由對頂角相等和三角形內(nèi)角和定理得出 Z BEA=90°,即可得出結(jié)論；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OC=OU, OD=ODS Z AOC=Z BOD%由平行線得出比例式,得出2 = 曳，證明 AOC： BODZ,得出N OAC=N OBD，再由對頂角相 OA OB 0Dl OB等和三角形內(nèi)角和定理即可得出N AEB=0.試題解析：(1)證明： OCD旋轉(zhuǎn)到

45、OCD,?. OC=OC OD=OD Z AOC=Z BOD / OA=OB, C、D 為 OA、OB 的中點，/. OC=OD, . OC=ODOA = OB在aAOCflA BOD，中，1A3:二攵四。，OCr = OD1/. AOCQ BODZ (SAS), , AC'=BD'；延長AU交BD吁E,交BO于F,如圖1所示：,/ AOC'合 BODS/. Z OAC=Z OBD又NAFO=NBFE, Z OAC+Z AFO=90%/. Z OBD'+N BFE=90°, Z BEA=90°, , ACXBD"；(2)解：NAEB

46、二。成立，理由如下：如圖2所示： OCD 旋轉(zhuǎn)到 OCD,/. OC=OC OD=OD Z AOC=Z BODCDII AB,OC OD 怎一次OC OD1 _ .萬一誨0C OA ,而一請又N AOC=Z BOD . AOC's BODSZ OAC=Z OBDS又N AFO=Z BFE,/. Z AEB=Z AOB=0.考點：相似三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定與性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).13.如圖，aABC和aDEC都是等腰三角形，點C為它們的公共直角頂點，連接AD、BE, F 為線段AD的中點，連接CF.（1）如圖1,當D點在BC上時，BE與CF的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2,把ADEC

47、繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90。，其他條件不變，問（1）中的關(guān)系是否仍然 成立？請說明理由：（3）如圖3,把ADEC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)一個鈍角，其他條件不變，問（2）中的關(guān)系是否 仍然成立？如成立，請證明；如果不成立，清寫出相應的正確的結(jié)論并加以證明.【答案】（1）BE=2CF；（2） （1）中的關(guān)系是仍然成立，理由見解析：（3 ） （1）中的 關(guān)系是仍然成立，理由見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)“SAS”證明4CD烏8CE,可得4）=8日又因為4）=26,從而BE=2CF；（2）由點F是4。中點，可得4D=2DF,從而4c= 2DF+CD,又由A8C和CD£是等腰直角 三角形，可知 8L2

48、DF+CE,所以 8E=2 （DF+CE） , CF= DF+CD,從而 8E=2CF；（3 ）延長 CF 至 G 使 FG=CF,即：CG=2CF,可證再證明8CEgA4CG, 從而BE=CG=2CF成立.解：（1 ） :ABC是等腰直角三角形，AAC=BC ,VACDE是等腰直角三角形，ACD=CE ,(AC=BC在4ACD 和ABCE 中，NACD二NBCE二90° , CD=CEAAACDABCE ,，AD二BE,在RtaACD中，點F是AD中點，AAD=2CF ,ABE=2CF ,故答案為BE=2CF ；(2) (1)中的關(guān)系是仍然成立，理由：點F是AD中點，AAD=2DF

49、 ,AAC=AD+CD=2DF+CD ,V AABC llACDE是等腰直角三角形， AAC=BC , CD=CE ,ABC=2DF+CE ,A BE=BC+CE=2DF+CE+CE=2 ( DF+CE ),VCF=DF+CD=DF+CD ,ABE=2CF ；(3) (1)中的關(guān)系是仍然成立，理由：如圖3, 延長 CF 至 G 使 FG=CF,即:CG=2CF f點F是AD中點，AF=DF ,(DF=AFCDF 和4GAF 中，I NCFD二NGFA, CF 二GFAACDFAGAF ,AAG=CD=CE , ZCDF=ZGAF fA ZCAG=ZCAD+ZGAF=ZCAD+ZADC=180&

50、#176; - ZACD , VZACB=ZDCE=90° zAZBCE=3600 - ZACB - ZDCE - ZACD=180° - ZACD , AZCAG=ZBCE , 連接BE ,rBC=AC 在aBCE Iaacg 中，, ZBCE=ZCAG ,CE=AGAABCEAACG , ABE=CG=2CF , 即：BE=2CF .點睛：本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)， 考查了學生綜合運用知識的能力，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是解答 本題的關(guān)鍵.14. (1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1,ZkACB和DCE均為等腰直角三角形,

51、NACB=90° BCD在一條直線上.填空:線段AD.BE之間的關(guān)系為:(2)拓展探究如圖2,AACB和DCE均為等腰直角三角形,NACB=NDCE=90° ,請判斷AD.BE的關(guān)系，并 說明理由.(3)解決問題如圖3,線段PA=3點B是線段PA外一點,PB=5,連接AB,將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到 線段AC,隨著點B的位置的變化，直接寫出PC的范圍.【答案】(1) AD二BE, AD1BE. (2) AD=BE, AD±BE. (3) 5-3點PCW5+3點.【解析】【分析】(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證ACDgZiBCE (SAS),得AD=BE,

52、 ZEBC=ZCAD,延長BE 交AD于點F,由垂直定義得AD_LBE.(2 )根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證ACDgBCE (SAS) , AD=BE, ZCAD=ZCBE,由垂直定義得NOHB=90°, AD_LBE；(3)作 AE_LAP,使得 AE=PA,則易證APEgZkACP, PC=BE,當 P、E、B 共線時，BE 最 小，最小值=PB-PE：當P、E、B共線時，BE最大，最大值=PB+PE,故5-3&WBEW5+3立.【詳解】(1)結(jié)論：AD=BE, AD±BE.理由：如圖1中，A圖1,/ACB與adce均為等腰直角三角形，AC=BC, CE=CD,ZACB

53、=ZACD=90°,在 RtAACD 和 RtABCE 中AC=BCZACD=ZBCECD=CEAAACDABCE (SAS),，AD二BE, ZEBC=ZCAD延長BE交AD于點F,BCJ_AD,.ZEBC+ZCEB=90",VZCEB=AEF,AZEAD+ZAEF=90",AZAFE=90% RP AD1BE.，AD二BE, AD±BE.故答案為AD=BE, AD1BE.(2)結(jié)論：AD=BE, AD±BE.理由：如圖2中，設(shè)AD交BE于H, AD交BC于0.VAACB與4DCE均為等腰直角三角形,，AC=BC, CE=CD, ZACB=Z

54、ECD=90", ，ACD=NBCE,在 RtAACD 和 RtABCE 中AC=BC ZACD=ZBCE, CD=CEAAACDABCE (SAS),'AD=BE, NCAD二NCBE,V ZCAO+ZAOC=90% ZAOC=ZBOH,AZBOH+ZOBH=90%AZOHB=90",A AD± BE,AAD=BE, AD±BE.大E工圖1圖2 '(3)如圖3中，作AE_LAP,使得AE=PA,APC=BE,圖3-1中，當P、E、B共線時，BE最小，I圖3-2中，當P、E、B共線時，BE最大，點 ，53 點 VBEW5+3 人，HP 5

55、-3 & <PC<5+3 點.貝 IJ 易證APEg/VXCP,更小值二PBPE=5-3點, 支大值=PB+PE=5+3及，03-1E'Er【答案】（1）證明見解析（2） 45° 或 22.5° （3） 2 JJ-2WPQW4JJ+2【解析】【分析】（1）先由正方形的性質(zhì)得到直角三角形AOE,再經(jīng)過簡單計算求出角，判斷出 ADEABt即可：（2）先判斷出AEB，TZAE，D,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角和圖形，判斷出 NBABNDAB'即可；（3）先判斷出點Q的位置，PQ最小時和最大時的位置，進行計算即 可.【詳解】解：（1）如圖1,連接AC, B(, 四邊形ABCD是正方形，AB二AD, AC±BDt AC=BD=20A, NCAB=ADB=45°,VAE=BD,AAC=AE=20A,在 R3A0E 中,NAOE=90°, AE=2OA,AZE=30%，ZDAE=ZADB-ZE=45o-300=15%由旋轉(zhuǎn)有，AD=AB=AB/ZBA