大學(xué)物理平面簡(jiǎn)諧波波動(dòng)方程

1、 4-2平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程振動(dòng)與波動(dòng)振動(dòng)研究一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。區(qū)別波動(dòng)研究大量有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的集體表現(xiàn)。評(píng)Z 1振動(dòng)是波動(dòng)的根源。聯(lián)系,波動(dòng)是振動(dòng)的傳播。最簡(jiǎn)單而又最基本的波動(dòng)是簡(jiǎn)諧波！簡(jiǎn)諧波：波源以及介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)都是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。任何復(fù)雜的波都可看成是 若干個(gè)簡(jiǎn)諧波的疊加。對(duì)平面簡(jiǎn)諧波，各質(zhì)點(diǎn)都在各自的平衡位置附近作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但同一時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn) 的振動(dòng)狀態(tài)不同。需要定量地描述出每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)。波線是一組垂直于波面的平行射線，可選用其中一根波線為代表來研究平面簡(jiǎn)諧 波的傳播規(guī)律。一、平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程設(shè)平面簡(jiǎn)諧波在介質(zhì)中沿x軸正向傳播，在此波線上任取一參考點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)參考點(diǎn)原點(diǎn)的振動(dòng)方

2、程為y = Acos(d + 6)任取一點(diǎn)P,其坐標(biāo)為x, P點(diǎn)如何振動(dòng)？A和。與原點(diǎn)的振動(dòng)相同，相位呢？沿著波的傳播方向，各質(zhì)點(diǎn)的相位依次落后，波每向前傳播2的距離，相位落 后27r現(xiàn)在，。點(diǎn)的振動(dòng)要傳到P點(diǎn)，需要向前傳播的距離為x,因而產(chǎn)點(diǎn)的相位比。點(diǎn)落后22萬=二工A AP點(diǎn)的振動(dòng)方程為yp = A cos cot +(pQ-由于P點(diǎn)的任意性，上式給出了任意時(shí)刻任意位置的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況，將下標(biāo) 去掉y= A cos cot +(p就是沿x軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程。2 77如果波沿X軸的負(fù)向傳播，P點(diǎn)的相位將比。點(diǎn)的振動(dòng)相位超前三X 4沿X軸負(fù)向傳播的波動(dòng)方程為y=Acosct)t

3、 +x+(p0 ( A利用G=2m， m = 2v沿x軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程乂可寫為y = A cos cot -= Acs 0-四x+%k U4/ X=Acos CD t十%y = Acos a) t- -L v原點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)傳到P點(diǎn)所需要的時(shí)間t=-Up點(diǎn)在，時(shí)刻重復(fù)原點(diǎn)在，-J時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)波動(dòng)方程也常寫為=Acos(d-Ax+%)其中T波數(shù)，物理意義為2,長(zhǎng)度內(nèi)所具有完整波的數(shù)目。波動(dòng)方程的三個(gè)要素：參考點(diǎn)，參考點(diǎn)振動(dòng)方程，傳播方向二、波動(dòng)方程的物理意義1、固定X,如令/ X .(2乃y(t) = A cost cot +(Po - 7與振動(dòng)方程/處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程X。處的振動(dòng)

4、曲線該質(zhì)點(diǎn)在乙和G兩時(shí)刻的相位差8=磯G一乙)2、固定f,如令7。,萬、y(x) = Acos 十 /一二x 波形方程I7t0時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)離開各自平衡位置的位移分布情況，即小時(shí)刻的波形方程。波形曲線y(f,x)= Acos各個(gè)不同質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況，不同時(shí)刻的波形，反映 了波形不斷向前推進(jìn)的波動(dòng)傳播的全過程 n行波t時(shí)刻，x處的某個(gè)振動(dòng)狀態(tài)經(jīng)過M的時(shí)間，傳播了 以 = 4的距離，傳 到了 x+Ay處，顯然y(r + Ar,x+Av)= y(r,x)行波必須滿足此方程其中Av =波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播!習(xí)題類型(1)由某質(zhì)元的振動(dòng)方程(或振動(dòng)曲線)n 求波動(dòng)方程(2)由某時(shí)刻的波

5、形曲線n求波動(dòng)方程例42： 一平面波在介質(zhì)中以速度 = 20m/s沿直線傳播，已知在傳播路徑上某 點(diǎn)A的振動(dòng)方程為=3cos(4m),如圖4.8所示。(1)若以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程，并求出C, D兩點(diǎn)的振動(dòng)方程；(2)若以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程，并求出C, D兩點(diǎn)的振動(dòng)方程。8m5m9m解：(1)振幅 A = 3m,圓頻率G = 4/riad/s,頻率 v = = 2Hz, 24波長(zhǎng) 2 = = 10m v波動(dòng)方程為y = 3cos(4- - 2X I = 3 COS 7Tt- X)I 5 )C點(diǎn)坐標(biāo)為xc = -13 m,振動(dòng)方程為= 3cos4m +史D點(diǎn)坐標(biāo)為xD = 9

6、m,振動(dòng)方程為yD = 3 cos 4加-y xD=3 cos 4加一(2) A點(diǎn)坐標(biāo)為s = 5m,波動(dòng)方程為y = 3cos 4,Tr2萬/(X,A .71=3cos 4亦一一x十乃I 5illC點(diǎn)坐標(biāo)為xc =-8m,振動(dòng)方程為yc = 3 cosf 4加 xc+作3cos(4加+史J5 )9乃D點(diǎn)坐標(biāo)為xD = 14m,振動(dòng)方程為yD = 3cos 4加一:/ + 7=3cos 4加一J 例43： 一平面簡(jiǎn)諧橫波以“ = 400m/s的波速在均勻介質(zhì)中沿+x方向傳播。位 于坐標(biāo)原點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為0.01秒，振幅為0.1m,取原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過平衡 位置且向正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。(1

7、)(2)(3)寫出波動(dòng)方程；三出距原點(diǎn)2m處的質(zhì)點(diǎn)P的振動(dòng)方程; 畫出/ = 0.005秒和0.007秒時(shí)的波形圖;（4）若以距原點(diǎn)2m處為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程。解：（1）由題意 A = 0.1m, 7 = 0.01 秒，w = 400nVs可得圓頻率 cd= = 200 rad/s,波長(zhǎng) A = uT = 4m T由旋轉(zhuǎn)矢量圖知，原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的初相位37t69.=0)故原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為3萬、yQ = 0.1 cos 200m + mk2，波動(dòng)方程為y = O.lcosf200r + -yXj m（2） xp = 2 m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為O.lcosl 200r + 2)yp = O.l

8、cosf 200 + - - =.2 2 U（3）乙=0.005秒時(shí)，波形方程為=0.1 cos I 200町 + 三=O.lcos=O.lcosx = O.lsiii xU 2 ）（2 ）因?yàn)閒,-ti = 0.0025 =,故由乙時(shí)刻的波形向十x方向平移4即可得人時(shí)刻 - 144的波形。如圖所示萬？萬、7T 7T (4) y = O.lcos 200R +xf = 0.1 cos 200加 +xfI 2一 I 2 2)Ex. 4：己知t = 2秒的波形曲線如圖所示，波速 = 0.5s,沿-x方向傳播求：(1)。點(diǎn)的振動(dòng)方程；(2)波動(dòng)方程解：(1)由f = 2s時(shí)的波形圖可知/2 7t 1

9、A = 0.5 in 9 4 = 2 ？ , T = = 4 s , co=一uT 2利用旋轉(zhuǎn)矢量圖法得出/ = 2秒時(shí)。點(diǎn)振動(dòng)相位3乃f = 2,3 =2O點(diǎn)的初相位=5。點(diǎn)的振動(dòng)方程為 = 0.5cos-r + -|r = 2s(2)波動(dòng)方程 = 0.5cosf t + +7TX 22Ex：一列機(jī)械波沿x軸正向傳播，L0時(shí)的波形如圖所示，已知波速為10 ms T, 波長(zhǎng)為2m,求：(1)波動(dòng)方程；(2)尸點(diǎn)的振動(dòng)方程及振動(dòng)曲線；(3)尸點(diǎn)的坐標(biāo)；原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初始條件為yo = pVoO, /. % = ?由題知 = 2 in, = 10ms-1 則 v = - = = 5Hz, 2 2圓頻率0=2加=104原點(diǎn)O的振動(dòng)方程為兀、y = O.lcos 10 + m3）波動(dòng)方程為V = 0.1 COS I lTTt + - - 7Tx mI 3 JA (2)由圖知，=0時(shí)，yp=-,vp 0,_ 4/r如=二一(P點(diǎn)的相位應(yīng)落后于。點(diǎn)，故取負(fù)值)4尸點(diǎn)振動(dòng)方程為% =0.1c