二項分布和超幾何分布(含答案)

1、超幾何分布和二項分布一、兩者的定義是不同的1超幾何分布的定義在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取，件，其中廣上廣1行一k恰有*件次品，則戶3=A) =, A=0 J, 2,見其中 m=minM 0,且NM £ N、 , M , N FN；稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.X01* -I >P口看一0哥一 1Cfl* »開-AC2獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項分布的定義 (1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).在相同條件下重復(fù)做的內(nèi)次試驗(yàn)，且各次試險試驗(yàn) 的結(jié)果相互獨(dú)立，稱為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其中用(/= 1,2,，開)是第f次試驗(yàn)結(jié)果，則尸(444 4)=p(4)p(4*(4),產(chǎn)(4).(2)二項分布.在用次

2、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示事件A發(fā)生的 次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件，發(fā)生的概率為廣，則戶(右 必=。：/(1一*)1&=0.1,2,，門)，此時稱隨機(jī)變 量丫服從二項分布，記作犬6S,而，并稱尸為成 功概率.本質(zhì)區(qū)別(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，而二項分布描述的是放回抽樣問題(2)超幾何分布中的概率計算實(shí)質(zhì)上是古典概型問題；二項分布中的概率計算實(shí)質(zhì)上是相互獨(dú)立事件的概率問題 二、兩者之間是有聯(lián)系的人教版新課標(biāo)選修 2-3第59頁習(xí)題2.2B組第3題：例1某批n件產(chǎn)品的次品率為 2%現(xiàn)從中任意地依次抽出3件進(jìn)行檢驗(yàn)，問：(1)當(dāng)n=500,5000,500000時，分別以放回和不放回的

3、方式抽取，恰好抽到1件產(chǎn)品的概率各是多少?(2)根據(jù)(1)你對超幾何分布與二項分布的關(guān)系有何認(rèn)識？【解】H)在不放回的方式抽取中，每次抽取時都是從 這n件產(chǎn)品中抽取，從而抽到次品的概率都為0. 02,可品數(shù)X 一僅工0.02),恰好抽到1件次品的概率為P(X = 1) = C； xO.O2x(1-O.O2)2 = 3x 0.02 x 0.98:溫 0.057624.在不放回的方式抽取中，抽到的次品數(shù)X是隨機(jī)變量，X服從超幾何分布，X的分布與產(chǎn)品的息數(shù)n有關(guān)，所以需要分3種情況分別計算二n二500時，產(chǎn)品的總數(shù)為500件，其中次品的件數(shù)為500X2%=10,合格品的件數(shù)為4gs從500件產(chǎn)品中抽

4、出3件，其中恰好抽到1件次品的概率為尸(¥=1)=490x489CKA _ 1UX- 230x490x489500 x499 x49S 500x499x4983(fc 0 05785.3：500。時，產(chǎn)品的總數(shù)為5000件，其中次品的件數(shù)為5000X2%;100,合格品的件數(shù)為4900,從5000件產(chǎn)品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率為-rlP(X) =*二 3。*0。*99 起 0 057647： 以 5000x4999x49950000時，產(chǎn)品的總數(shù)為50000件，其中次品的件數(shù)為50000X2%=1000,合格品的件數(shù)為4900S從50000件產(chǎn)居中抽出3件,其中恰好抽到

5、1件次品的概率為F（X = 1） = G&. = 3000/49000x48999 %。問626 50000 x 49999 x 49998（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果可以看出.當(dāng)產(chǎn)品的總數(shù)很大 時，超幾何分布近似為二項分布.這也是可以理解的， 當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽出的產(chǎn)品較少時，每次抽出產(chǎn)品 后，次品率近似不變，這樣就可以近似看成每次抽樣的 結(jié)果是互相獨(dú)立的，抽出產(chǎn)品中的次品件數(shù)近似服從二 項分布.另外，本題目也可以幫助學(xué)生了解【說明】由于數(shù)字比較大，可以利用計算機(jī)或計算器進(jìn)行數(shù)值計算 超幾何分布和二項分布之間的關(guān)系： 第一，n次試驗(yàn)中，某一事件A出現(xiàn)的次數(shù)X可能服從超幾何分布或二項分布

6、.當(dāng)這n次試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù) 試驗(yàn)時，X服從二項分布；當(dāng)這n次試驗(yàn)是不放回摸球問題，事件 A為摸到某種特性（如某種顏色）的 球時，X服從超幾何分布第二，在不放回n次摸球試驗(yàn)中，摸到某種顏色的次數(shù) X服從超幾何分布，但是當(dāng)袋子中的球的數(shù)目N很大時，X的分布列近似于二項分布，并且隨著 N的增加，這種近似的精度也增加.從以上分析可以看出兩者之間的聯(lián)系：當(dāng)調(diào)查研究的樣本容量非常大時，在有放回地抽取與無放回地抽取條件下，計算得到的概率非常接近，可以近似把超 幾何分布認(rèn)為是二項分布.例2袋中有8個白球、2個黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取 3次，每次取一個球，求（1）又放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)X的分布列；（2）無放

7、回地抽樣時，取到黑球的個數(shù)Y的分布列.例1袋中有8個白球、2個黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次,每次取1個球求：(1)有放回抽樣 時，取到黑球的個數(shù)X的分布列；(2)無放|可抽樣 時，取到黑球的個數(shù)y的分布列.解 (1)有放回抽樣時，取到的黑球數(shù)X可取 的取值為0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均為3次取球可以看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).則X 8(3,/).P(X=0)=俏(1)。(左)3 =馨； ，J1P(X = I)= c：( L),(4 )2=黑；JJ1 J。P(X =2)=卷；P(X = 3) = C( -) )° =；JJ14 J因此,X的分布列為X0123n6448121r1

8、25125125i25(2)無放回抽樣時，取到的黑球數(shù)y可能的取 值為0,1,2,且有：p(y = 0)=gp(y = i)=普=7 pz y 八GO1115 J)%15因此,丫的分布列為2.2-J-515157例1.(2016 潦河模擬)寒假期間，我市某校學(xué)生會 組織部分同學(xué)，用“10分制”隨機(jī)調(diào)查“陽光花園”社 區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，如 圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前 的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉)，若幸福 度分?jǐn)?shù)不低于8. 5分，則稱該人的幸福度為“幸?！?幸福度3044667788997655求從這16人中隨機(jī)選取3人,至少有2人為“

9、幸?！?的概率；(2)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)， 若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記表示抽到“幸 ?！钡娜藬?shù)，求S的分布列及數(shù)學(xué)期望.錯解(1)由莖葉圖可知，抽取的16人中“幸福”的 人數(shù)有12人，其他的有4人；記“從這16人中隨機(jī)選 取3人，至少有2人是“幸?！睘槭录?由題意得C4 以 XC；2 .19 121W 二1 一成 一-C?T=1_140_70=i46-4 _ 1560 - 140(2) J的可能取值為0,1,2, 3,c3c0 則"（片=o）= yi （169A警噎臉264 3356Q 70220560128所以f的分布列為10123P1140970

10、337011281933119F")=X0+ X1-F X2-F X3=-.1407070284錯解分析第二問的選人問題是不放回抽樣問題，按照定義先考慮超幾何分布，但是題目中又明確給出： “以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，從該社區(qū) （人數(shù)很多）任選3人”，說明不是從16 人中任選3人,而是從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人,所以可以近似看作是3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，應(yīng)該按照二 項分布去求解，而不能按照超幾何分布去處理.【正解】（1）同上;由莖葉圖知任選一人，詼人幸福度為“幸?！钡母?e的可酢取值為1.2 3, ?。?, 4則收£ = 0)=1-64"EFT)27

11、64 J27所以i的分布列為i0123P16496427 M276439£( )=3k - =-.4 d從以上解題過程中我們還發(fā)現(xiàn)，錯解中的期望值與正解中的期望值相等，好多學(xué)生都覺得不可思議，怎么會出現(xiàn)相同的結(jié)果呢？其實(shí)這還是由于前面解釋過的原因，超幾何分布與二項分布是有聯(lián)系的，看它們的期望公式：(1)在含有價件次品的件產(chǎn)品中，任取月件，其中恰有彳件次品，隨機(jī)變量才服從超幾何分布，超幾何分布的期望計算公式為£¥二四(可以根據(jù)組合數(shù)公 N式以及期望的定義推導(dǎo))；(2)隨機(jī)變量才服從二項分布，記作XB5,，EX = np j當(dāng)超幾何分布中的N 一8時，"口，

12、可以把N超幾何分布中的不放回抽樣問題，近似看作是有放回抽樣問題，再次說明N T8時，可以把超幾何分布看作是二項分布一結(jié)綜上可知，當(dāng)提問中涉及“用樣本數(shù)據(jù)來估計總體數(shù)據(jù)”字樣的為二項分布例2根據(jù)我國相關(guān)法規(guī)規(guī)定，食品的含汞量不得超過LOO ppm,沿海某市對一種貝類海鮮產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢儕,抽出樣本20個,測得含汞最(單位：ppm)數(shù)據(jù)如下表所示：外第(025； (0.50;(0.75； (1；11.21整數(shù) 643223(1)若從這20個產(chǎn)品中隨機(jī)任取3個,求恰有一個含汞量超標(biāo)的概率：(2)以此20個產(chǎn)品的樣本數(shù)據(jù)來估計這批貝類海鮮產(chǎn)品的總體,若從這批數(shù)量很大的貝類海鮮產(chǎn)品中任選3個.記J表示抽到

13、的產(chǎn)品含汞最超標(biāo)的個數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望聒,解H )記“從這20個產(chǎn)品中隨機(jī)任取3個，恰有一個含汞量超標(biāo)”為事件4則所求概率為n( A C 35P=7T =話(2)錯解所有的取值為01,2,3,455P(f = 3)C4 cTG c：5公晦525H4011501140*_J0_ 1140t0I23p455525,15010F1140U4011401140故的分布列如下4551140525 個 150。+ lXH40+2Xil40+3x10 _ _3_U40 =不(2)正解量超標(biāo)的概率為依題意，這批貝類海鮮產(chǎn)品中含汞51所在f的取值為0,1,2,3, 產(chǎn)需=o)=二p<t = 1)=4

14、(»號* -產(chǎn)q = 2)= 3) =故5的分布列如下2764 +964*64,2764646464n 27f 27 _9可宜接應(yīng)用二項分布期望公式.!3、E£ = 3 x - h -y")44用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)要求獨(dú)立(互不影響)而且 重復(fù)(前后概率都相同)如果是任取，是一把取出來，還是分多次取出來，前后兩次會造成影響么？概率會相同么？有沒有順序?白我檢測某研究機(jī)枸準(zhǔn)備舉行一次教學(xué)新課程研討會T共遨請SO名一或轂并參加，使用不 同蕨本裁材的教師人數(shù)如下表所示:版本人蓑A版人致E成蘇教版北拜大版A*2015310(1)從這5。名教師中隨機(jī)選出

15、2名，乘2人所使用版本相同的就隼：(2若隨機(jī)選出2名使用人教版的敕師友喜，設(shè)使用人就A版的被拜人數(shù)為A,求隨機(jī)交 蚤X的分布列和教學(xué)期望.解二Q)從5。名教師中醍加選出2名綺方法數(shù)為d0=l 225,海曲2人使用敲本相同的%02力法數(shù)為C?D + Ck+d+C?fr=3S0,故2人俵用版本相同的概率為尸=丁赤=亍X 1 i(2>X的所有可稅項值為QJM苴*=。)=洲得P(X=1) =CiaCh_60C腦 119,P(X=2)=Cio_38_區(qū)=西二萬的分布列為X012P3176。1193s n?5 c 3 , n 60 , , 3g 13« 8 E(A)=0x+lx+2x=-答

16、題模板模板一離散型隨機(jī)變量的期望和方差例1.(2016天津高考理16,13分)某小組共10人,利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1, 2, 3的人數(shù)分別為3, 3, 4,現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選 出2人作為該組代表參加座談會.(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和 為4”,求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕 對值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.思維分析(I廠選出的2人參加義工活動公逅和五4與事神A,求出選出的2人參加義【:活動次數(shù)之和的所有結(jié) 果，即可求解概率，即P (A) .!(2)隨機(jī)變顯X的可能取值為0, 1, 2,分別求出P (X=0)

17、 , P (X=l) , P (X=2)的值，由此能求出 IX的分布列和EX.規(guī)范解答示例Cl)從1。大中選出2人的選法共有。=45種， 事件A：參加次數(shù)的和為4,情況行；1人參加1 次，另I人參加3次12人都參加2次.m分事件A發(fā)生的概率為二 34分(11) X的可能取值為0* , 2,(X=0)=。一V15(X=l)=t201515J0分IX的分布列為：X012P4157L54_15.474* * EXMJm 4 I 鼠+2 * I -15151513 分建設(shè)答題模板求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問題的一般步驟:第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能取值.第二步：求每一個可能值對應(yīng)的概率.第三步：列

18、出離散型隨機(jī)變量的分布列.第四步：利用公式求出均值和方差.第五步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯點(diǎn)和答題規(guī)范. 模板二離散型隨機(jī)變量的決策問題例2. （2016新課標(biāo)I理19,12分）某公司計劃購買2 臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰,機(jī)器有一易 損零件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為 備件，每個200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足 再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同 時購買幾個易損軍件，為此搜集并整理了 100臺這種 機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀 圖：以這100臺機(jī)罌更換的易損零件數(shù)的頻率代替I臺機(jī) 器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī) 器三年

19、內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購買2臺機(jī) 器的同時購買的易損零件數(shù).（I）求X的分布列二（II）若要求尸（萬£n）20.5,確定n的最小值；（III）以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在迪=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個？思維分析(I)由已知得X函可能取值為16, 17, 18, 19, 20, 21. 22,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分 布列.(ID由X的分布列求出1X 418)與lX 419). 由此能確定滿足lX 4 %) 2 0.5中n的坡小值.(川)由X的分布列得P (XS9).求出買19個所需費(fèi)用期望EX.和買20個所需費(fèi)用期望EX”比較 EX與EX：

20、,選用期里較小的那個.構(gòu)建答題模板!利用期望與方差進(jìn)行決策的方法：I第一步：求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：此題解題的!關(guān)健是正確求出x的分布列。計算I 瓜=%P +2%+xP”，!第二步：比較兩種情況，通常首先比較數(shù)學(xué)期望，期 望反應(yīng)了隨機(jī)變量的平均程度。I第三步：根據(jù)最大收益原則，作出的選擇應(yīng)該是數(shù)學(xué) !期望高的方案。|第四步：若期望相等時，計算各自的方差；DX = (xl-EX)2 Pl+(x2-EX)2 P2+- +(xn-EX)2 P !方差反應(yīng)了隨機(jī)變量的穩(wěn)定性，方差越小越穩(wěn)定，選 !擇方差較小者。規(guī)范解答示例；解：（D由已知袍X的可能取值為16. 17, 18. 19, | 20,

21、21, 22.哥尸臉，卜xg謠端乂嚕 華一瑞）喘盛-X2X需X備2X（哥）2 / /乂=2。）=端）2好晉x爵魂， ?佯2”2'戰(zhàn)）2=看卜（X-22） 篇產(chǎn)女IX的分布列為4分(II)由知/<¥ 4 =凡V = 16) KA = 17)+/tV = 18)=!二悟=口.25 25 25251X 419)=P(X = 16)4 P(X = 17)4 P(X = !8) + />(X = )9)=J-qqA = 11.25 25 25 2525P(* 4 “)2 0.5中，n的最小值為198分(111)由得/¥419)= P(X=16) + P(X = I

22、7) + P(X = I8) + P(X = I9)=-層 qA = iL.25叵后2525買】9個奶投零件所需費(fèi)用的期鉗為EXi=2OOx9X,* (200*19+500) 噎(200/19+500*2 ”2+( 200“9+500乂3 八工=4(>40 2525買20個明損軍件所需費(fèi)用的期望為EX產(chǎn)200X20 X"!|+(200x>(R500)啜-(2()Ox2(H2x5OO) 噎 = 4(180.VEXi<EX:-買19個更合適，即應(yīng)選n=19.12分1民 （木小題滿分12分）為響應(yīng)國?！熬畏鲐殻a(chǎn)業(yè)扶彼“的戰(zhàn)略，進(jìn)一步優(yōu)化能源消費(fèi)緒構(gòu)，某市決定在一地處山

23、區(qū)的/縣推進(jìn)光伏發(fā)電項目，在該縣山區(qū)居民中隨機(jī)抽取50戶，統(tǒng)計其I：用白量得到以卜統(tǒng)計表，以樣本的頻率作為概率.y I I I III用電量（度）(0,200(200,400(400,600(600,800(300,1000戶數(shù)515101551）在該縣山區(qū)居民中隨機(jī)抽取1。戶，記其中年用電量不超過800度的戶數(shù)為¥,求丫的數(shù)學(xué)期望：（2）已知該縣某山區(qū)百燃村有居民300戶，若計劃在該村安裝總裝機(jī)容量為300千瓦的光伏發(fā)電機(jī)組，該 機(jī)組所發(fā)電量除保底該村正常用電外，剩氽電量可家電網(wǎng)以元/度進(jìn)行收購，經(jīng)測算以鼻干瓦裝機(jī)容量平均 發(fā)電1000度，試估計該機(jī)組每什所發(fā)電量除保證正常用電外還

24、能為該村創(chuàng)造直接收益宓少兀？18.解；（1）記在該縣山區(qū)居民中隨機(jī)抽取I戶,其年用電量不超過600度為事件月./ 、 3由抽樣可知,P（）=13分由已知可得從該縣山區(qū)居民中遁機(jī)抽取10戶，記其中卬用甩量不超過600度的戶數(shù)X,服從一項分布,即X 8（10,故£(巧=10冬6-（2）設(shè)該縣山區(qū)居民戶年均用電量為E（F）,由抽樣可得£（y）100x+300x+500x+ 7OOx + 900xA = 500度）W' '5050505050分則該門然村昨均川電的150000度，又該村所裝發(fā)電機(jī)組年預(yù)計發(fā)電量為300000度,故該機(jī)組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能

25、剩余電量約150000度,能為該村創(chuàng)造直接收益120000兀12分（2008年高考理科二卷）（18）（本大題滿分12分）購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費(fèi)a元，若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險，則可以獲得10000元的賠償金.假定在一年度內(nèi)有10000人購買了這種保險， 且各投保人是否出險相互獨(dú)立.已知保險公司在一年度內(nèi)至少4支付賠償金10000元的概率為1-0.999 .（I ）求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率p；（n）設(shè)保險公司開辦該項險種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0,求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)（單位：元）.18.解：各投保人是否出險互相獨(dú)立，且出險的概率都是 p，記投保的10 000人中出險的人數(shù)為。，則之 電 4, )p(I)記A表示事件：保