第二章 Z變換

1、第二章第二章 Z變換變換 討論討論z變換的目的：變換的目的： w離散系統(tǒng)可以用差分方程表示：離散系統(tǒng)可以用差分方程表示：NkNkkkknyaknxbny01)()()(在數(shù)字信號(hào)處理中，離散系統(tǒng)就是數(shù)字濾波器，在數(shù)字信號(hào)處理中，離散系統(tǒng)就是數(shù)字濾波器，要分析數(shù)字濾波器就要解差分方程，但直接解要分析數(shù)字濾波器就要解差分方程，但直接解起來很麻煩，所以利用起來很麻煩，所以利用z變換把差分方程轉(zhuǎn)化為變換把差分方程轉(zhuǎn)化為，使求解過程簡化。，使求解過程簡化。 LT微分方程微分方程wZ變換的表示：變換的表示：2.1 2.1 Z變換變換nnznxnxZZX)()()(雙邊雙邊z變換：變換：單邊單邊z變換：變換

2、：0)()()(nnznxnxZZXZ為復(fù)數(shù)，以為復(fù)數(shù)，以z的實(shí)部為橫坐標(biāo)，的實(shí)部為橫坐標(biāo)，z的虛部的虛部為縱坐標(biāo)，可以構(gòu)成一個(gè)為縱坐標(biāo)，可以構(gòu)成一個(gè)z平面平面2.2 2.2 收斂域收斂域1、定義：、定義： 使序列使序列x(n)的的z變換變換X(z)收斂的所有收斂的所有z值的值的集合稱作集合稱作X(z)的收斂域。的收斂域。2、收斂條件、收斂條件：（級(jí)數(shù)的收斂條件）：（級(jí)數(shù)的收斂條件） X(z)收斂的充要條件是絕對(duì)可和。收斂的充要條件是絕對(duì)可和。Mznxnn)(即：一、有限長序列一、有限長序列w 例例1：求序列：求序列 的的Z變換及收斂域。變換及收斂域。)()(nRnxN11011)()(zzz

3、znRnRZNNnnnnNN,0 z收斂域?yàn)椋菏諗坑驗(yàn)椋簑例例2：求序列：求序列 的的Z變換及收斂域。變換及收斂域。)()(nnx解：解：1)()(0zznnZnn其收斂域應(yīng)包括其收斂域應(yīng)包括即即充滿整個(gè)充滿整個(gè)Z Z平面。平面。, 0zz,0 z零極點(diǎn)零極點(diǎn))()()(zDzNzX為有理分式，為有理分式，D(z)=0的根稱為的根稱為z變換的極點(diǎn)，變換的極點(diǎn)，N(z)=0的根稱為的根稱為z變換的零點(diǎn)。變換的零點(diǎn)。極點(diǎn)與收斂域的極點(diǎn)與收斂域的：收斂域不包含極點(diǎn)，收斂域總是以極點(diǎn)為收斂收斂域不包含極點(diǎn)，收斂域總是以極點(diǎn)為收斂邊界，邊界，收斂圓必然通過極點(diǎn)。零、極點(diǎn)分為單收斂圓必然通過極點(diǎn)。零、極點(diǎn)

4、分為單根和重根，單根又分為實(shí)根和共軛復(fù)根（若為根和重根，單根又分為實(shí)根和共軛復(fù)根（若為復(fù)根，必然是共軛的，因?yàn)橄禂?shù)是實(shí)數(shù)），濾復(fù)根，必然是共軛的，因?yàn)橄禂?shù)是實(shí)數(shù)），濾波器設(shè)計(jì)只考慮單根的情況。波器設(shè)計(jì)只考慮單根的情況。 二、右邊序列二、右邊序列例例3：求序列：求序列 的的Z變換及收斂域。變換及收斂域。)()(nunx111111)()(120 zzzzzzznunxZnnnnZu(n)的極點(diǎn)為的極點(diǎn)為1，零點(diǎn)為，零點(diǎn)為0收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)閨z|1w零極相消零極相消11111)1()()1()(1zzzzzzznuZnuZnunuZ例：例：零、極點(diǎn)均為零、極點(diǎn)均為z=1,=1,稱為零極點(diǎn)相消。收斂

5、域?yàn)檎麄€(gè)稱為零極點(diǎn)相消。收斂域?yàn)檎麄€(gè)z平面。平面。 另：另： 1)(),() 1()(nZnnunuw 例例4：求序列求序列 的的Z Z變換及收斂域。變換及收斂域。)()(nuanxnnnnnnnnnnazazazazzaznuazX)()(1)()()(1211010當(dāng)當(dāng)時(shí)，這是無窮遞縮等比級(jí)數(shù)。時(shí)，這是無窮遞縮等比級(jí)數(shù)。az 外，收斂。時(shí)，在圓即時(shí)，為極點(diǎn)，當(dāng)。azazazazazzazqaSazq1|111,111111)()(nnnnnnnnZbZbZnxnxZbzzzbzzbzb111w 例例5：求序列求序列 的的Z Z變換及收斂域。變換及收斂域。三、左邊序列三、左邊序列) 1()(

6、nubnxn為極點(diǎn)內(nèi)，收斂。在圓時(shí)，即時(shí)，當(dāng)bzbzbzzbzbq1|,11四、雙邊序列四、雙邊序列w例例6：nanx)(，| |a|1 雙邊序列的收斂域是左邊序列和右邊序列雙邊序列的收斂域是左邊序列和右邊序列z變換的變換的公共收斂區(qū)間。公共收斂區(qū)間。 01|)(nnnnnnnnnZaZaZanxZ|a|z|1/|a|)1)(1 (1111121azazaazazazw課本課本P27表表2.12010102020cos21)sin(sin1cos2)sin(sin)()sin(zzzzzzznun2) 1()(zznnu作業(yè)作業(yè)2.1(2)(6)2.3 2.3 z z變換性質(zhì)變換性質(zhì)1 1Za

7、1x1(n)+a2x2(n)=a1Zx1(n)+a2Zx2(n)Zx(n)=X(z)Zx(n-m)=z-mX(z)意義：意義：z-1：單位延遲器：單位延遲器)()()(nynhnxz z變換性質(zhì)變換性質(zhì)2 2三、時(shí)域卷積：三、時(shí)域卷積：系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)：)()()(ZYZHZX)()()(ZXZYZH2.4 2.4 z z反變換反變換kkzzzAZX)(再利用已知的再利用已知的z變換：變換：kknkkkknkkzzzAnuzAZzzzAnuzAZ)1- (- )(或X(z)一般是一般是z的有理分式，可寫成的有理分式，可寫成X(z)=N(z)/D(z) )，而，而N(z)、D(z)一般是實(shí)系數(shù)

8、多項(xiàng)式，則一般是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，則X(z)可以寫成部分分式之和的形式可以寫成部分分式之和的形式 NknkkzAAnx10)()(結(jié)合收斂域?qū)懗龇醋儞Q：結(jié)合收斂域?qū)懗龇醋儞Q：w需要注意的問題需要注意的問題：zk，為，為D(z)=0=0的根的根 NkkkzzAzAzzX10)(kzzkkzzXzzA)()(利用已知利用已知z變換時(shí)，注意變換時(shí)，注意計(jì)算計(jì)算Ak時(shí)，要寫成：時(shí)，要寫成：w例例2-4-1：3| ,341)(211zzzzzX（在濾波器的設(shè)計(jì)中，分子、分母通常寫成負(fù)冪的形式）（在濾波器的設(shè)計(jì)中，分子、分母通常寫成負(fù)冪的形式） 3121)3)(1(34)(2zzzzzzzzzzzX)()3(

9、)1(21)(nunxnnw 求系數(shù)求系數(shù)Ak)3)(1(34)(2zzzzzzzX21311) 1()3)(1(1)()(11zzzkzzzzzzzXAk21131)3()3)(1(1)()(32zzzkzzzzzzzXAkw例例2-4-2：212341)(zzzzX311121)3)(1(1341)(2zzzzzzzX利用利用z變換的變換的時(shí)移性質(zhì)時(shí)移性質(zhì)： ) 1() 1()(11nunxzXzZ)()(1zXzzX令：令：31211zzzzz)()3()1(21)(nunxnn則：則：) 1() 3() 1(21)(11nunxnn長除法長除法-原理原理)()()()(zNzDzXzX

10、又可寫成而32123)3()2() 1 ()0() 1()2()3()()()(zxzxzxxzxzxzxzXznxZXnn展開，則將正變換32123)3()2() 1 ()0() 1()2()3()()(zxzxzxxzxzxzxzNzD因此即即D(z)除以除以N(z)的商為的商為z的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的系數(shù)即為序列的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的系數(shù)即為序列x(n)左邊序列對(duì)應(yīng)左邊序列對(duì)應(yīng)z的正次冪的系數(shù)，右邊序列對(duì)應(yīng)的正次冪的系數(shù)，右邊序列對(duì)應(yīng)z的負(fù)次冪的系數(shù)的負(fù)次冪的系數(shù) 4-Z) 4Z+Z + Z + Z + Z +241311645164.16 Z16 Z - 4 Z 24 Z 4 Z - Z Z

11、Z - Z Z Z - Z Z 2233314141444411655116長除法長除法-例子例子為了得到為了得到z的正次冪的多項(xiàng)式，將除數(shù)和被除數(shù)按的正次冪的多項(xiàng)式，將除數(shù)和被除數(shù)按z的升冪排列的升冪排列 Z- ) Z141+ Z + Z + Z 14-1116-2164-3.Z- 141414- Z116-1 Z116-1 Z116-1- Z164-2 Z164-2 Z164-2- Z1256-3 Z1256-3.為了得到為了得到z的正次冪的的正次冪的多項(xiàng)式，將除數(shù)和被多項(xiàng)式，將除數(shù)和被除數(shù)按除數(shù)按z的升冪排列的升冪排列極點(diǎn)分為：實(shí)極點(diǎn)、復(fù)極點(diǎn)極點(diǎn)分為：實(shí)極點(diǎn)、復(fù)極點(diǎn)若為復(fù)極點(diǎn)必然是共軛極

12、點(diǎn)，必然是成對(duì)出現(xiàn)若為復(fù)極點(diǎn)必然是共軛極點(diǎn)，必然是成對(duì)出現(xiàn)例：例：222211)23()21(11)(jzzzzzzzzzX因?yàn)橐驗(yàn)镈(z)的系數(shù)是實(shí)數(shù)，所以復(fù)極點(diǎn)必然成對(duì)出現(xiàn)的系數(shù)是實(shí)數(shù)，所以復(fù)極點(diǎn)必然成對(duì)出現(xiàn)作業(yè)作業(yè)2.32.5 2.5 Z變換與變換與Laplace變換、序列的變換、序列的傅里葉變換的關(guān)系傅里葉變換的關(guān)系LT主要問題：收斂域、極點(diǎn)、反變換主要問題：收斂域、極點(diǎn)、反變換常用的常用的LT：一、一、 Z變換與變換與Laplace變換的關(guān)系變換的關(guān)系利用利用LT可以得到連續(xù)系統(tǒng)的一些性質(zhì)，利用可以得到連續(xù)系統(tǒng)的一些性質(zhì)，利用z變換變換可以得到離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，而在設(shè)計(jì)數(shù)字濾可以得

13、到離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，而在設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)可以先設(shè)計(jì)波器時(shí)可以先設(shè)計(jì)AF，再通過代換得到，再通過代換得到DF, ,所以所以AF和和DF的關(guān)系就可從的關(guān)系就可從LT與與z變換的關(guān)系得到。變換的關(guān)系得到。 astueLstuLtLat1)(;1)(; 1)(wS平面與平面與Z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)xa(nT)抽樣后為抽樣后為 )(txa抽樣信號(hào)的拉氏變換為抽樣信號(hào)的拉氏變換為 dtetxsXstaa)()( dtenTtnTxnsta)()( nsnTanstaenTxdtenTtnTx)()()(抽樣序列抽樣序列x(n)=xa(nT) 的的z變換為變換為 nnznxzX)(

14、)(比較兩式得比較兩式得s平面到平面到z平面的平面的為：為： zTsezsTln1,（主要應(yīng)用于（主要應(yīng)用于AF到到DF轉(zhuǎn)換）轉(zhuǎn)換） 將將s平面用直角坐標(biāo)表示：平面用直角坐標(biāo)表示： ， 橫坐標(biāo)為橫坐標(biāo)為 ，縱坐標(biāo)為模擬角頻率，縱坐標(biāo)為模擬角頻率 ；將將z平面用極坐標(biāo)表示：平面用極坐標(biāo)表示： ， 橫坐標(biāo)為實(shí)軸，縱坐標(biāo)為虛軸；橫坐標(biāo)為實(shí)軸，縱坐標(biāo)為虛軸；兩平面都是兩平面都是。 jssTez TjTTjjeeere)(TerT,jrez =0,=0,即即S S平面的虛軸平面的虛軸r=1,=1,即即z z平面單位圓；平面單位圓； 0,0,即即S S的左半平面的左半平面r1,0,0,即即S S的右半平面

15、的右半平面r1,1,即即z z的單位圓外的單位圓外 。)(Terw (1)r與與 的關(guān)系的關(guān)系r0 0， 0 0時(shí)，時(shí)， ， 0 0，即，即z平面的原點(diǎn)映射平面的原點(diǎn)映射到到s平面的實(shí)軸上負(fù)無窮遠(yuǎn)處。平面的實(shí)軸上負(fù)無窮遠(yuǎn)處。 j00 = T, , 從從 ，所以在一個(gè)周期內(nèi)：所以在一個(gè)周期內(nèi)： 為為 / /T T / /T T w (2)與與 的關(guān)系（的關(guān)系（= T） 的取值范圍是從的取值范圍是從- - （負(fù)頻端無意義，只是（負(fù)頻端無意義，只是用于數(shù)學(xué)分析），而用于數(shù)學(xué)分析），而 在圓周上變化，具有明顯在圓周上變化，具有明顯的周期性，以的周期性，以2 2 為周期，這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系非單值為周期，這樣

16、的對(duì)應(yīng)關(guān)系非單值關(guān)系，所以要把關(guān)系，所以要把 限制在限制在內(nèi)。內(nèi)。 =0，S平面的實(shí)軸，平面的實(shí)軸， =0，z平面正實(shí)軸；平面正實(shí)軸； = 0(常數(shù)常數(shù))， S：平行實(shí)軸的直線，：平行實(shí)軸的直線， = 0T, z：始于原點(diǎn)的射線；：始于原點(diǎn)的射線；的水平條帶，寬TSTT2:),(平面整個(gè)zz:),(T3TTT3jjImZReZ0ReZw二、二、Z變換與變換與FT的關(guān)系的關(guān)系 傅里葉變換是拉氏變換在傅里葉變換是拉氏變換在s平面的虛軸上的平面的虛軸上的特例，由于特例，由于s平面的虛軸映射到平面的虛軸映射到z平面的單位平面的單位圓上，因此抽樣序列在單位圓上的圓上，因此抽樣序列在單位圓上的z變換就變換

17、就是它的傅里葉變換。是它的傅里葉變換。 各個(gè)變換的關(guān)系：各個(gè)變換的關(guān)系：0)(dtetxstdtetxtj)(nnznx )(njnenx)(2.6 2.6 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)一、離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一、離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)1、差分方程和系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系、差分方程和系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系MkkNkkknxbknyany01)()()(MkkkNkkkzXzbzYzazY01)()()(系統(tǒng)的差分方程為：系統(tǒng)的差分方程為： 對(duì)方程兩邊做對(duì)方程兩邊做z z變換，得：變換，得： 整理得系統(tǒng)函數(shù)為：整理得系統(tǒng)函數(shù)為： )()()(zXzYzHNkkkMkkkzazb1012、 H(z)和單位抽樣響應(yīng)和單位抽樣響應(yīng)h(n) 的關(guān)系的關(guān)系當(dāng)輸入當(dāng)輸入x(n)= (n)時(shí)，輸出時(shí)，輸出y(n)稱為單位抽樣稱為單位抽樣響應(yīng)響應(yīng)h(n)。 )()(nhZzH)()(1zHZnh3、注意的問題：系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性、注意的問題：系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性a a、從系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)分析：、從系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)分析：對(duì)于線性移不變系統(tǒng)，若對(duì)于線性移不變系統(tǒng)，若n0|R) )，所以，