(完整版)不確定度與測(cè)量結(jié)果不確定的表達(dá)

1、1.2不確定度與測(cè)量結(jié)果不確定的表達(dá)由于誤差的存在，使得測(cè)量結(jié)果具有一定程度的不確定性。為了加強(qiáng)國(guó)際間的交流與合作，1996年，中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院在國(guó)際權(quán)威文件測(cè)量不確定度表達(dá)指南的基礎(chǔ)上，制定了我國(guó)的測(cè)量不確定度規(guī)范。從此，物理實(shí)驗(yàn)的不確定度評(píng)定有了國(guó)際公認(rèn)的準(zhǔn)則。下面將結(jié)合對(duì)測(cè)量結(jié)果的評(píng)定對(duì)不確定度的概念、分類、合成等問(wèn)題進(jìn)行討論。1.2.1不確定度的概念不確定度是評(píng)價(jià)測(cè)量質(zhì)量的一個(gè)新概念，是表達(dá)測(cè)量結(jié)果具有分散性的一個(gè)參數(shù)，它是被測(cè)量的真值在某個(gè)量值范圍內(nèi)的一個(gè)評(píng)定。不確定度反映了可能存在的誤差分布范圍，是誤差的數(shù)字指標(biāo)。不確定度愈小，測(cè)量結(jié)果可信賴程度愈高；不確定度愈大，測(cè)量結(jié)果可信賴

2、程度愈低。在實(shí)驗(yàn)和測(cè)量工作中，不確定度是作為估計(jì)而言的，因?yàn)檎`差是未知的，不可能用指出誤差的方法去說(shuō)明可信賴程度，而只能用誤差的某種可能的數(shù)值去說(shuō)明可信賴程度，所以不確定度更能表示測(cè)量結(jié)果的性質(zhì)和測(cè)量的質(zhì)量。用不確定度評(píng)定實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差，其中包含了各種來(lái)源不同的誤差對(duì)結(jié)果的影響，而它們的計(jì)算又反映了這些誤差所服從的分布規(guī)律，這是更準(zhǔn)確地表述了測(cè)量結(jié)果的可靠程度，因而有必要采用不確定度的概念。1.2.2測(cè)量結(jié)果的表示和合成不確定度在做物理實(shí)驗(yàn)時(shí)，要求表示出測(cè)量的最終結(jié)果。在這個(gè)結(jié)果中既要包含待測(cè)量的近似真實(shí)值X，又要包含測(cè)量結(jié)果的不確定度。，還要反映出物理量的單位。因此，要寫成物理含意深刻的標(biāo)準(zhǔn)

3、表達(dá)形式，即x=x±ct（單位）（14）式中X為待測(cè)量；X是測(cè)量的近似真實(shí)值，。是合成不確定度，一般保留一位有效數(shù)字,若首數(shù)是1或2時(shí)可取2位。這種表達(dá)形式反應(yīng)了三個(gè)基本要素：測(cè)量值、合成不確定度和單位。在物理實(shí)驗(yàn)中，直接測(cè)量時(shí)若不需要對(duì)被測(cè)量進(jìn)行系統(tǒng)誤差的修正，一般就取多次測(cè)量的算術(shù)平均值X作為近似真實(shí)值；若在實(shí)驗(yàn)中有時(shí)只需測(cè)一次或只能測(cè)一次，該次測(cè)量值就為被測(cè)量的近似真實(shí)值。如果要求對(duì)被測(cè)量進(jìn)行一定系統(tǒng)誤差的修正，通常是將一定系統(tǒng)誤差（即絕對(duì)值和符號(hào)都確定的可估計(jì)出的誤差分量）從算術(shù)平均值；或一次測(cè)量值中減去，從而求得被修正后的直接測(cè)量結(jié)果的近似真實(shí)值。在上述的標(biāo)準(zhǔn)式中，近似真實(shí)

4、值、合成不確定度、單位三個(gè)要素缺一不可，否則就不能全面表達(dá)測(cè)量結(jié)果。同時(shí)，近似真實(shí)值X的末尾數(shù)應(yīng)該與不確定度的所在位數(shù)對(duì)齊，近似真實(shí)值X與不確定度。的數(shù)量級(jí)、單位要相同。在開始實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量結(jié)果的正確表示是一個(gè)難點(diǎn)，要引起重視，從開始就注意糾正，培養(yǎng)良好的實(shí)驗(yàn)習(xí)慣，才能逐步克服難點(diǎn)，正確書寫測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)形式。由于誤差的來(lái)源很多，測(cè)量結(jié)果的不確定度一般包含幾個(gè)分量。在修正了可定系統(tǒng)誤差之后，把余下的全部誤差歸為A、B兩類不確定度分量。A類分量（A類不確定度）：s在同一條件下，多次重復(fù)測(cè)量時(shí)，用統(tǒng)計(jì)分析A方法評(píng)定的不確定度。B類分量（B類不確定度）：b*用其它方法（非統(tǒng)計(jì)分析方法）評(píng)定的不確定B度

5、。測(cè)量結(jié)果的總不確定度由“方和根”方法合成：g=¥S2+b2（15）AB1.2.3直接測(cè)量結(jié)果的不確定度的估算不確定度的評(píng)定方法是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，在多數(shù)普通物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，為了簡(jiǎn)便，在進(jìn)行直接測(cè)量的不確定度的合成問(wèn)題時(shí)，對(duì)A類不確定度主要討論在多次等精度測(cè)量條件下，讀數(shù)分散對(duì)應(yīng)的不確定度，并且用“貝塞爾公式”（12）式計(jì)算A類不確定度，即SA=Sx；對(duì)B類不確定度，主要討論儀器不準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)的不確定度，即£=A儀，最后將測(cè)量（包括后面介紹的間接測(cè)量）結(jié)果寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：乂X=X+a（單位）（16）為了比較測(cè)量結(jié)果精確度的高低，常常使用相對(duì)不確定度這一概念，其定義為：E=x10

6、0%（17）bX式中，X為測(cè)量值，它可以使單次測(cè)量值，也可以是多次測(cè)量的算術(shù)平均值；G為絕對(duì)不確定度，亦即總不確定度，如果是單次測(cè)量，它為儀器誤差A(yù)儀，如果是多次測(cè)量，儀它是合成不確定度。因此，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的獲得，應(yīng)包括待測(cè)量近似真實(shí)值的確定，A、B兩類不確定度以及合成不確定度的計(jì)算。應(yīng)該是出，單次測(cè)量的不確定度估算是一個(gè)近似或粗略的估算方法。因?yàn)闇y(cè)量的隨機(jī)分布特征是客觀存在的，不隨測(cè)量次數(shù)的不同而變化。也不能由此得出結(jié)論“單次測(cè)量的不確定度小于多次測(cè)量的不確定度”的結(jié)論。直接測(cè)量不確定度的估算舉例：用螺旋測(cè)徑器測(cè)量小鋼球的直徑，八次的測(cè)量值分別為d（mm）=2.125,2.131,2.121,2

7、.127,2.124,2.126,2.123,2.129螺旋測(cè)徑器的零點(diǎn)讀數(shù)d°為0.008、最小分度數(shù)值為0.01mm，試寫出測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)式。解：（1）求直徑d的算術(shù)平均值d=-d=-（2.125+2.131+2.121+2.127+2.124+2.126+2.123+2.129）ni81=2.126（mm）（2）修正螺旋測(cè)徑器的零點(diǎn)誤差d=d'd°=（2.1260.008）=2.118（mm）-3-/6(3) 計(jì)算B類不確定度螺旋測(cè)徑器的儀器誤差為亠、=0.005(mm)儀b=A=0.005(mm)b儀(4) 計(jì)算A類不確定度S=1-dn-1'(2.1

8、252.126)2+(2.131-2.126D+=81=0.003(mm)(5)合成不確定度b=fS2+b2=：0.0032+0.0052=0.006(mm)dB(6)測(cè)量結(jié)果為d=d±b=2.118±0.006(mm)(7)相對(duì)不確定度Ea=bx100%=0.006x100%=0.3%dd2.118當(dāng)有些不確定度分量的數(shù)值很小時(shí)，相對(duì)而言可以略去不計(jì)。在計(jì)算合成不確定度中求“方和根”時(shí)，若某一平方值小于另一平方值的丄，則這一項(xiàng)就可以略去不計(jì)。這9一結(jié)論叫做微小誤差準(zhǔn)則。在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)，利用微小誤差準(zhǔn)則可減少不必要的計(jì)算。不確定度的計(jì)算結(jié)果，一般應(yīng)保留一位有效數(shù)字，多余的

9、位數(shù)按有效數(shù)字的修約原則進(jìn)行取舍。評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果，除了需要引入相對(duì)不確定度EJ的概念之外，有時(shí)候還需要將測(cè)量結(jié)果的近似真實(shí)值X與公認(rèn)值x公進(jìn)行比較，得到測(cè)量結(jié)果的百分偏差B。百分偏差定義為X-XB=公x100%X公百分偏差其結(jié)果一般應(yīng)取2位有效數(shù)字。1.2.4間接測(cè)量結(jié)果不確定度的合成(或傳遞)若間接測(cè)量量N為直接測(cè)量量x，y，z的函數(shù)：N=F(X,y,z)(18)間接測(cè)量的近似真實(shí)值和合成不確定度是由直接測(cè)量結(jié)果通過(guò)函數(shù)式計(jì)算出來(lái)的，既然直接測(cè)量有誤差，那么間接測(cè)量也必有誤差，這就是誤差的傳遞(或合成)。由直接測(cè)量值及其不確定度來(lái)計(jì)算間接測(cè)量值的不確定度之間的關(guān)系式稱為誤差的傳遞公式。設(shè)N為間

10、接測(cè)量的量，它有3個(gè)直接測(cè)量互相獨(dú)立的物理量x,y,z,各直接觀測(cè)量的測(cè)量結(jié)果分別為L(zhǎng)±bx，尸血y，z=7±-z（1）若將各個(gè)直接測(cè)量量的近似真實(shí)值X代入函數(shù)表達(dá)式中，即可得到間接測(cè)量的近似真實(shí)值。-（X-）N=F,y,zJ（2）求間接測(cè)量的合成不確定度。由于不確定度均為微小量，相似于高等數(shù)學(xué)中的微小增量，對(duì)函數(shù)式N=F（x,y,z）求全微分，即得dFdFdFdN=dx+dy+dzdxdydz式中dN,dx,dy,dz均為微小量，代表各變量的微小變化，dN的變化由各自變量的變化決定,竺,竺,亜為函數(shù)對(duì)自變量的偏導(dǎo)數(shù)。將上面全微分式中的微分符號(hào)d改寫為不dxdydz確定度符

11、號(hào)。，并將微分式中的各項(xiàng)求“方和根”即為間接測(cè)量的合成不確定度19)'dFdFdFa-=t(懇ax)2+(示ay)2+(層az)2當(dāng)間接測(cè)量的函數(shù)表達(dá)式為積和商（或含和差的積商形式）的形式時(shí)，為了使運(yùn)算110)簡(jiǎn)便起見，可以先將函數(shù)式兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，然后再求全微分，即ddInFidInFdInF7=dx+dy+dzNdxdydz同樣改寫微分符號(hào)為不確定度符號(hào)，再求其“方和根”，即為間接測(cè)量的相對(duì)不確定度E-，即ENN，由adlnF、.dlnF、.dlnF.=-=.(a)2+(a)2+(a)2dxxdyydzz已知E-、111)(110)式可以求出合成不確定度=N-EnaN這樣計(jì)算間

12、接測(cè)量的統(tǒng)計(jì)不確定度時(shí)，特別對(duì)函數(shù)表達(dá)式很復(fù)雜的情況，尤其顯示出它的優(yōu)越性。今后在計(jì)算間接測(cè)量的不確定度時(shí)，對(duì)函數(shù)表達(dá)式僅為“和差”形式，可以直接利用（19）式，求出間接測(cè)量的合成不確定度a-;若函數(shù)表達(dá)式為積和商或積商和差混合）等較為復(fù)雜的形式，可直接采用（110）式，先求出相對(duì)不確定度，再求出合成不確定度b。N例1.已知電阻R=50.2±0.5(Q),電=149.8±0.5(Q),求它們串聯(lián)的電阻R的和合成不確定度b。R解：串聯(lián)電阻的阻值為R=R1+R2=50-2+149-8=200-O(n)合成不確定度/8R、r/0R、“b=.(b)2+(b)2RdR1dR2112=

13、、：b2+b2=：0.52+0.52=0.7(Q)'12相對(duì)不確定度b0.7E=R=xl00%=0.35%RR200.0測(cè)量結(jié)果為R=200.0±0.7(Q)間接測(cè)量的不確定度計(jì)算結(jié)果一般應(yīng)保留一位有效數(shù)字，相對(duì)不確定度一般應(yīng)保留2位有效數(shù)字。例2.測(cè)量金屬環(huán)的內(nèi)徑D=2.880±0.004(cm),外徑D2=3.600±0.004(cm),厚度h=2.575±0.004(cm)。試求環(huán)的體積V和測(cè)量結(jié)果。解：環(huán)體積公式為兀V=h(D2D2)4211)環(huán)體積的近似真實(shí)值為兀V=一h(D2D2)421=3.1416x2.575x(3.60022.8

14、802)=9.436(cm3)42)首先將環(huán)體積公式兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)后，再求全微分兀lnV=ln()+Inh+ln(D孑D2)dVdh2DdD2DdD=0+2211VhD2D221則相對(duì)不確定度為qq2Db2DbE=-=(-)2+(2Dr)2+(1Dr)2VVhD2D2D2D22121L-.1/0.004、2x3.600x0.004-2x2.880x0.0042=()2+()2+()22L2.5753.60022.88023.60022.8802=0.0081=0.81%(3) 總合成不確定度為qv=V%=9.436x0.0081=0.08(cm3)(4) 環(huán)體積的測(cè)量結(jié)果為V=9.44土0.08(cm3)V的標(biāo)準(zhǔn)式中，V=9.436