(整理)《電磁場與電磁波》必考復(fù)習(xí)題年

1、電磁場與電磁波2013期末復(fù)習(xí)題一填空題1已知矢量A=ex2+exy2+ez2，則V-A=_2x+2xy+2z，VxA=xyzey2z2矢量A、B垂直的條件為ab二o。3. 理想介質(zhì)的電導(dǎo)率為&二o，理想導(dǎo)體的電導(dǎo)率為，歐姆定理的微分形式為JE4靜電場中電場強(qiáng)度E和電位爐的關(guān)系為此關(guān)系的理論依據(jù)為VxE=o；若已知電位q=2xy2+3z2，在點(diǎn)（1丄1）處電場強(qiáng)度E=e2-e4-e6。xyz5恒定磁場中磁感應(yīng)強(qiáng)度B和矢量磁位A的關(guān)系為B=VxA；此關(guān)系的理論依據(jù)為_v-B=o。6通過求解電位微分方程可獲知靜電場的分布特性。靜電場電位泊松方程為V2Q=p/&_，電位拉普拉斯方程為

2、V2q=0。7若電磁場兩種媒質(zhì)分界面上無自由電荷與表面電流，其E、D邊界條件為：ex£e）=0_和e£D）=o；B、H邊界條件為:12n12e£b）=o和eXTC12n128空氣與介質(zhì)（£=4）的分界面為z=o的平面，已知空氣中的電r2場強(qiáng)度為E=e+e2+e4,則介質(zhì)中的電場強(qiáng)度E=1xyz2h-4-he+e2+exyz9.有一磁導(dǎo)率為“半徑為a的無限長導(dǎo)磁圓柱，其軸線處有無限長的線電流/,柱外是空氣（你）,則柱內(nèi)半徑為P處磁感01應(yīng)強(qiáng)度B=餘竺;柱外半徑為p處磁感應(yīng)強(qiáng)度B=102兀P22pIe002兀p210已知恒定磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=ex+emy+

3、e4z,則常數(shù)m=xyz11半徑為a的孤立導(dǎo)體球，在空氣中的電容為C0=4k£a0;若其置于空氣與介質(zhì)（£）之間，球心位于分界面上，其等效電容為C1=_10112.已知導(dǎo)體材料磁導(dǎo)率為1,以該材料制成的長直導(dǎo)線單位長度的內(nèi)自感為上。8兀13空間有兩個(gè)載流線圈，相互平行放置時(shí)，互感最大;相互垂直放置時(shí)，互感最小。14兩夾角為（n為整數(shù)）的導(dǎo)體平面間有一個(gè)點(diǎn)電荷q，則n其鏡像電荷個(gè)數(shù)為（2n-1）。15空間電場強(qiáng)度和電位移分別為E、D，則電場能量密度we=16空氣中的電場強(qiáng)度E=e20cos（2兀t一kz），則空間位移電流密xe40esin(2兀t-kz)(A/m2)x017.

4、在無源區(qū)內(nèi)，電場強(qiáng)度e的波動(dòng)方程為v2E-茁=0或dt2V2E+w2皿E=0。18頻率為300MHz的均勻平面波在空氣中傳播，其波阻抗為125(G)，波的傳播速度為3x108(m/s)，波長為1(m)_，相位常數(shù)為_2兀(rad/m)_；當(dāng)其進(jìn)入對(duì)于理想介質(zhì)(£r=4,UU0)，在該介質(zhì)中的波阻抗為65(G)，傳播r0速度為_1.5x108(m/s)_，波長為_0.5(m)_，相位常數(shù)為兀(rad/m)。19已知平面波電場為E=E(e-je)e-A，其極化方式為右旋i0xy圓極化。20.已知空氣中平面波E(x,z)=eEe-j(6宓+8阪)，則該平面波波矢ym量k=e6兀+e8兀，角

5、頻率®=3兀x109(rad/s)，對(duì)應(yīng)磁場xzH(x,z)=Em120兀(亠)一e0.8+e0.6e-j(6忌+8冗z)(A/m)xz21 海水的電導(dǎo)率c=4S/m，相對(duì)介電常數(shù)e=81。對(duì)于f=1GHzr的電場，海水相當(dāng)于一般導(dǎo)體(2=8)。曲922 導(dǎo)電媒質(zhì)中，電磁波的相速隨頻率變化的現(xiàn)象稱為_色散。23.頻率為f的均勻平面波在良導(dǎo)體(參數(shù)為6小w)中傳播,其衰減常數(shù)a=.麗而，本征阻抗相位為兀/4_，趨膚深度8=_1/”麗_。24均勻平面波從介質(zhì)1向介質(zhì)2垂直入射，反射系數(shù)r和透射系數(shù)t的關(guān)系為_1+r=T25均勻平面波從空氣向8=2.25,卩二卩的理想介質(zhì)表面垂直入r0射，

6、反射系數(shù)r=_-0.2，在空氣中合成波為行駐波，駐波比S=_1.5。26均勻平面波從理想介質(zhì)向理想導(dǎo)體表面垂直入射，反射系數(shù)r=_-1,介質(zhì)空間合成電磁波為駐波。27均勻平面波從理想介質(zhì)1向理想介質(zhì)2斜入射，其入射角為即反射角為or,折射角為q，兩區(qū)的相位常數(shù)分別為匕、k2,反射定律為0=0ri，折射定律為沁二ksin0ki228均勻平面波從稠密媒質(zhì)（8丿向稀疏媒質(zhì)（£2）以大于等于0二c(,'81Cb代1丿arcsin斜入射，在分界面產(chǎn)生全反射，該角稱為臨界角；平行極化波以0二b(I、18arctan丨t規(guī)81丿斜入射，在分界面產(chǎn)生全透射，該角稱為布儒斯特角29TEM波的中

7、文名稱為橫電磁波30.電偶極子是指幾何長度遠(yuǎn)小于波長、載有等幅同相電流的電流線，電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)場是指kr»1區(qū)域的場。二簡答題1.導(dǎo)電媒質(zhì)和理想導(dǎo)體形成的邊界，電流線為何總是垂直于邊界？答：由邊界條件，電場的切向分量連續(xù)，而理想導(dǎo)體中的電場為零，故邊界導(dǎo)體一側(cè)的電場切向分量為0,從J=cE可知電流線總是垂直于邊界。2寫出恒定磁場中的安培環(huán)路定律并說明：磁場是否為保守場？答：恒定磁場中的安培環(huán)路定律為JjdSCS因?yàn)殡娏髅芏炔粸榱悖源艌霾皇潜Ｊ貓觥?電容是如何定義的？寫出計(jì)算雙導(dǎo)體電容的基本步驟。答：單導(dǎo)體的電容為雙導(dǎo)體的電容定義為C=纟U計(jì)算雙導(dǎo)體電容的基本步驟：(1)選取合適的

8、坐標(biāo)系;(2)假設(shè)其中一個(gè)導(dǎo)體帶電荷q,另一個(gè)導(dǎo)體帶電荷q；(3)求導(dǎo)體間的電場；由U=1E-dl計(jì)算兩導(dǎo)體間的電壓；1(5)求電容c=纟。U4敘述靜態(tài)場解的惟一性定理，并簡要說明其重要意義。答：靜態(tài)場解的惟一性定理:在場域V的邊界面S上給定申或竺dn的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V中具有惟一值。惟一性定理的重要意義:給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件；為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)；為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)。5什么是鏡像法？其理論依據(jù)是什么？如何確定鏡像電荷的分布？答：鏡像法是用位于場域邊界外虛設(shè)的較簡單的鏡像電荷分布來等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而

9、將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計(jì)算過程得以明顯簡化的一種間接求解法。鏡像法的理論基礎(chǔ)解的惟一性定理。確定鏡像電荷的兩條原則： 像電荷必須位于所求解的場區(qū)域以外的空間中； 像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場區(qū)域的邊界條件來確定。6分別寫出麥克斯韋方程組的積分形式、微分形式并做簡要說明。答：麥克斯韋方程組的積分形式：JHdlJ+一、dD-dS磁場強(qiáng)度沿任意閉合曲線的環(huán)量，等于穿過以該閉合曲線為周界的任一曲面的傳導(dǎo)電流與位移電流之和。iEdl=-JdSdtSJBdS=0電場強(qiáng)度沿任意閉合曲線的環(huán)量，等于穿過以該閉合曲線為周界的任一曲面的磁通量變化率的

10、負(fù)值。穿過任意閉合曲面的磁感應(yīng)強(qiáng)度的通量恒等于0。DdS=JpdV穿過任意閉合曲面的電位移的通量等于該閉合曲面包含的自由電荷的代數(shù)和。麥克斯韋方程組的微分形式：vxH=J+傳導(dǎo)電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場。dtVxE=-變化的磁場產(chǎn)生電場。dtVB=0磁場是無散場，磁力線總是閉合曲線。vD=p電荷產(chǎn)生電場。7寫出坡印廷定理的積分形式并簡要說明其意義。答：坡印廷定理的積分形式J(ExH)dSSJ(-ED+1HB)dv+dtV22式中1J(1ED+1HB)dV在單位時(shí)間內(nèi)體積V中所增加的電磁dtV22能量。JEjdV單位時(shí)間內(nèi)電場對(duì)體積V中的電流所作的功；對(duì)V導(dǎo)電媒質(zhì)，即為體積V內(nèi)總的損耗功率。-

11、J(ExH)dS單位時(shí)間內(nèi)通過曲面S進(jìn)入體積V的電磁能S物理意義：在單位時(shí)間內(nèi)，通過曲面S進(jìn)入體積V的電磁能量等于體積V中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和能量守恒！。8什么是波的極化？說明極化分類及判斷規(guī)則。答：波的極化:在電磁波傳播空間給定點(diǎn)處，電場強(qiáng)度矢量的端點(diǎn)隨時(shí)間變化的軌跡，或者說是在空間給定點(diǎn)上電場強(qiáng)度矢量的取向隨時(shí)間變化的特性分為線極化、圓極化、橢圓極化三種。判斷規(guī)則：根據(jù)兩正交分量的振幅或/和兩者初相角的相對(duì)大小來確定，如果川=00二0或土兀，則為線極化；若E二E，yxymxm且0=+n/2，則是圓極化波；其它情況是橢圓極化波。yx9分別定性說明均勻平面波在理想介質(zhì)中、導(dǎo)電媒質(zhì)

12、中的傳播特性。答：理想介質(zhì)中的均勻平面波的傳播特點(diǎn)：電場、磁場與傳播方向之間相互垂直，是橫電磁波（TEM波）;無衰減，電場與磁場的振幅不變； 波阻抗為實(shí)數(shù)，電場與磁場同相位； 電磁波的相速與頻率無關(guān)，無色散； 電場能量密度等于磁場能量密度，能量的傳輸速度等于相速。導(dǎo)電媒質(zhì)中均勻平面波的傳播特點(diǎn)：電場強(qiáng)度E、磁場強(qiáng)度H與波的傳播方向相互垂直，是橫電磁波（TEM波）;媒質(zhì)的本征阻抗為復(fù)數(shù)，電場與磁場相位不同，磁場滯后于電場©角；在波的傳播過程中，電場與磁場的振幅呈指數(shù)衰減；電磁波的相速不僅與媒質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而且與頻率有關(guān)（有色散）；平均磁場能量密度大于平均電場能量密度。10簡要說明行波、駐

13、波、行駐波之間的區(qū)別。答：行波的振幅不變，其駐波比為1；駐波的振幅最小值是零，其駐波比為無窮大；行駐波是行波與純駐波的疊加，其振幅最小值非零，駐波比在1到無窮大之間。11簡要說明電偶極子遠(yuǎn)區(qū)場的特性。答：電偶極子遠(yuǎn)區(qū)場的特點(diǎn)： 遠(yuǎn)區(qū)場是橫電磁波，電場、磁場和傳播方向相互垂直； 遠(yuǎn)區(qū)電場和磁場的相位相同； 遠(yuǎn)區(qū)場電磁場振幅比等于媒質(zhì)的本征阻抗，即E=耳H© 遠(yuǎn)區(qū)場是非均勻球面波，電磁場振幅與1/r成正比； 遠(yuǎn)區(qū)場具有方向性，按sine變化。三、分析計(jì)算題1.電場中有一半徑為a的圓柱體，已知圓柱體內(nèi)、外的電位函數(shù)為0p<a=1/a2),Apcos6p>aIP丿求：圓柱體內(nèi)、外

14、的電場強(qiáng)度；柱表面電荷密度。注：柱坐標(biāo)中叫e涪+咕斜ez譽(yù)解：由E=%可得cos6+ex(、1a2木1一sin6IP2丿因?yàn)閜二e力d丿，則Sn12STF/P=e&E0Sp1p=a=2&Acos62.同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為e的均勻介質(zhì)。已知內(nèi)導(dǎo)體球均勻攜帶電荷q。求:介質(zhì)求內(nèi)的電場強(qiáng)度E；該球形電容器的電容。解：由高斯定理eds=q，可得&SE4兀r2=纟nE=Jr8r48r2所以E=er因?yàn)閮?nèi)外導(dǎo)體球殼間的電壓為U=fEdl=jqdr=4兀8r2內(nèi)a所以電容量4兀8ab(ba)13.空氣中有一磁導(dǎo)率為卩、半徑為a的無限長導(dǎo)體

15、圓柱，其軸向方向的電流強(qiáng)度為I，求圓柱內(nèi)外的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和磁場強(qiáng)度H。解：由JH-dl=Jj-dS，可得CS在圓柱體內(nèi)時(shí)，H2np=兀p2=HeKa2e2兀a2在圓柱體外時(shí)，H2叩=InH=ee2Kp所以IPe,e2Ka2-Ie,e2Kp相應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為p<ap>a'MPe,-e2Ka2-卩Ie,o-e2Kp4. 矩形線圈長與寬分別為a、b，與電流為i的無線長直導(dǎo)線放置在同一平面上，最短距離為d,如圖。已知i二I，求長直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場及線圈與導(dǎo)線間的互感；已知導(dǎo)線電流i二Icos®t，0求導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場及線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢。解：由JH-dl=JJ-dS，可得CS

16、H2叩=InH=丄,2Kp所以因?yàn)榇沛湠楣驶ジ惺荋=屮B-dS=f貽adpSdplad+b=In2兀d屮pa、=lnI2兀 與前面相似，可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度為pIB=pH=e-costoe2兀p磁通量是pIad+b-lncos®t2兀d感應(yīng)電動(dòng)勢為。屮pIawd+b.8=-=oolnsinwtdt2兀d其參考方向見下圖中的紅色箭頭。5. 一點(diǎn)電荷q放置在無限大的導(dǎo)體平面附近，高度為h。已知空間介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)e=2。求點(diǎn)電荷q受到的電場力；r高度為4h的P點(diǎn)的電場強(qiáng)度與電位。解：由鏡像原理，點(diǎn)電荷q受到的電場力即為其鏡像電荷-q對(duì)它的作用力，因此q(-q)4R88(2h)20r高度為4

17、h處的電場強(qiáng)度為Eq4兀88(4h-h)20r-q4兀88(4h+h)20r-2q=e-z225兀8h20電位q4兀88(4h-h)0r-q4兀88(4h+h)0rq60兀8h0J1ph4矗pJr/.6已知半徑為a的導(dǎo)體球帶電荷量為Q,距離該球球心d二4a處有一電荷q,求q受到的電場力。解:鏡像電荷分布見下圖,其中d'=a=-dq=-4。所以q受到的電場力是Qq31q2q+e(Q-q')qx4兀27.海水的電導(dǎo)率o=4S/m,相對(duì)介電常數(shù)8=81。設(shè)海水中電場r大小為e=Ecos®t，求頻率f=lMHz時(shí)，海水中的傳導(dǎo)電流密m度J；海水中的位移電流密度JDO解：=2吋

18、=2兀x106(rad/s) 由J=bE可得，海水中的傳導(dǎo)電流密度大小J=4Ecos®tm 海水中的位移電流密度大小為dDdtsint=-136兀x10-9x81x2kx106Esintm=-4.5Esintm8在理想介質(zhì)(8=2.25小=1)中均勻平面波電場強(qiáng)度瞬時(shí)值為：rrE(z,t)=e40cos(®t-kz)O已知該平面波頻率為10GHz,求：該平x面波的傳播方向、角頻率、波長、波數(shù)k；電場強(qiáng)度復(fù)矢量； 磁場強(qiáng)度瞬時(shí)值；平均能流密度矢量£Oav解：沿+Z方向傳播；角頻率、波長、波數(shù)k依次為f=10GHz=10x109Hz=1010Hz，=2nf=2兀x10

19、10(rad/s)C=3X1巴/S)=2x108(m/s)，k<2.25=2X108=0.02(m)1010k=T=益=100K(rad/m)電場強(qiáng)度復(fù)矢量E(z)=e”40e-jkz(V/m) 磁場強(qiáng)度復(fù)矢量為40-1、e-jkz=ee-jkz(A/m)y120ky2兀v'2.25所以其瞬時(shí)值是1H(z,t)=ecosgt-kz)(A/m)y2兀 平均能流密度矢量1r-1=Ree40e-jkzxeejkz丿2_xy2k_二e10(W/m2)z冗S=RefE(z)xH*(z)av2Iav講到此！)9已知自由空間中均勻平面波磁場強(qiáng)度瞬時(shí)值為：H(x,z,t)=ecosgt-兀(3x

20、+4z)A/my3兀求該平面波角頻率®、頻率f、波長"電場、磁場強(qiáng)度復(fù)矢量；瞬時(shí)坡印廷矢量、平均坡印廷矢量。解：H(x,z)=ee-j兀(3x+4z)(A/m)=ee-j(kxx+kyy+kzz)(A/m)，故y3兀y3兀kx+ky+kz=3兀x+4兀znk=3兀,k=0,k=4兀xyzxyz2兀.k=-k2+k2+k2=i：(3兀)2+(4兀)2=5兀(rad/m)=nk=0.4(m)Vxyzk0.4fk=v=cnf=f=3x1O(m/s)=7.5x108(Hz)k2H(x,z)=ey(A/m)y3兀1e3兀+e4兀E(x,y)=qH(x,z)xk/k=120兀eej兀(

21、3x+4z)xxj/y3兀5兀*f)=84e3eej兀(3x+4z)(V/m)xz1一*n1+丿-1=尹Pg&XH(x叫=尹必一3e(7Xe"(i平均坡印廷矢量一1Jf1xzS:av2L'''''4=(3e+4e)(W/m2)3兀xzE(x,y,t)=8(e3ehbt兀(3x+4z)v/m)xz瞬時(shí)坡印廷矢量：S(x,y,t)=Ex,z,t)xH(x,z,t)-兀(3x+4z)xe丄cosy3兀=(3e+4e)cos2bt兀(3x+4z)(W/m2)3兀xz=84e3exzxzbt-兀(3x+4z)210均勻平面波從空氣垂直入射到某介質(zhì)

22、（£=££0,卩卩0）,空氣中駐波比為3，分界面為合成電場最小點(diǎn)，求該介質(zhì)的介電常數(shù)£解：因?yàn)榭諝庵旭v波比由此解出|=1/2由于界面上是合成波電場的最小點(diǎn)，故r=-l/2，而反射系式中，q=q,10q211已知空氣中均勻平面波電場強(qiáng)度的復(fù)數(shù)表示為E(zLeEe-於，從z<0區(qū)域垂直入射于z>=0區(qū)域的理想介質(zhì)中，ix0已知該理想介質(zhì)er=4,u%,求反射波的電場強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度；透射波電場強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度。z<0區(qū)域合成波的電場強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度并說明其性質(zhì)。解：因?yàn)閞=gq+q21-q0=rq-+q80-1，“1心2，且所以Hi(z)=訂e0

23、ExeEe-jPz=ee-；Pzx0y120兀e(z)=erErxejPz=e0x-1H(z)=rq0(E)-0e；Pz3丿E)-0e；Pz3丿E=e0ejPzy360kJ8p=2卩，q=q人8=q.2=60k(0)r121Vr0'E(z)=E(z)=etEe-jp2=eEe-j2pz2tximx30-1p22EpEH(z)=H(z)=exeEe-j2pz=e0e-j2pz=e4e-j2pz2tqzx30y3x60ky90k z<0區(qū)域合成波的電場強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度r1)1)1()eEe-jpz-ejpz=eEe-jpz-e-jpz+'e-jpzejpz丿xoI3丿xo3丿3

24、_x0=eEx0E)亠ejpz3丿E,z)=E(z)+E(z)=eEe-jpz+e1irx2 e-jPz-j2sinpz3 3E-H,(z)=H；(z)+H”(z)=e、,1irynE4ejPzyn-E=eo|e-jPzy耳0E=eoy耳01)E了1)1()+ejpz=eo+'e-jpz+ejpz丿3丿ynLI3丿3_o卩z322e-jPz+cos03合成波特點(diǎn)：BA.為行駐波。=E：1+-?cos2Pzo93當(dāng)2Pz=-(2n+1)兀時(shí)，電場振幅最大，此位置是當(dāng)2Pz=-2n兀時(shí)，2n+1.，4九，E=E41max30電場振幅度最小，此時(shí)zz=maxmax=-九，E=2E21min3

25、0定義駐波比為minC.因?yàn)镋j1201+cos2Pzn930所以，H1(z)與E1(z)的最大值與最小值出現(xiàn)的位置正好互換。D沿+z方向傳播的平均功率等于入射波平均功率密度減去反射波平均功率密度，即E2()S=e4、r2/1avz2n0媒質(zhì)2中沿+z方向傳播的平均功率密度為E2S二et22avz2n2且有S二S1av2av12已知空氣中均勻平面波電場強(qiáng)度的復(fù)矢量表示為E(z)=eEe處，垂直入射于Z=0的理想導(dǎo)體板上，求反射波ix0電場強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度復(fù)矢量；導(dǎo)體板上的感應(yīng)電流密度；空氣中合成電場強(qiáng)度的瞬時(shí)值表示式并說明合成波特性。解：反射波電場強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度復(fù)矢量分別為x01)ex-eEej

26、Pz=e4ejPznzx0yn00Ei=Ei+E=eEejPz-eEejPz=e/2Esinpz0x0x0因?yàn)镠=i1enz0ExeEe-jPz=eoe-jPz，所以x0yn0Hi=Hi+Hr二eyE-E-e-jPz+e4ejPz=enyn00生cosPzyn0導(dǎo)體板上的感應(yīng)電流密度I?-*IJ=exHI=eSn1z=0-2E-xeo=eyn2E0n0E(z,t)=Re一ej2EsinPzej®=e1x02EsinPz0cost一一I2丿2EsinPzsint002EH(z,t)=eocosPzcost1y耳0合成波特性：A媒質(zhì)1中的合成波是駐波，電場振幅的最大值為2E,0最小值為0;磁場振幅的最大值為2E加，最小值也為0