2020年正余弦定理習題

1、作者：空青山作品編號：8<9<96444588<9663Gd53022257782215002時間：2020.12.13解三角形知識點總結(1)(1) 把三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素。(2) 已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形?？梢岳谜叶ɡ砗陀嘞叶ɡ淼惹蠼狻、正弦定理：=2R,其中R是三角形外接圓sinAsinBsinC半徑.a2=b2+c2一2bccosAB、余弦定理：b2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2一2abcosC由此可得：b2+c2一a2廠a2+c2一b2a2+b2一c2cosA=,cosB=,cos

2、C=.2ab2ac2abC、三角形面積公式(1)SABC=2absinC=2bcsinA丄csinB.SABC=一a兒一b兒一c)=sr=等r為內(nèi)切圓半徑，R為外接圓半徑.其中，s=2D、在三角形中大邊對大角，反之亦然.E射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.F、有關三角形內(nèi)角的幾個常用公式sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=一cosC;tan(A+B)=tanCA+BCA+BCsin=cos,cos=sin.2222G、解三角形常見的四種類型(1)已知兩角A,B與一邊a:由A+B+C=180。及正弦定理abc=，可sinAsi

3、nBsinB求出ZC，再求b,c。（2）已知兩邊b,c與其夾角A，由a2=b2+c22bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B,C。（3）已知三邊a、b、c，由余弦定理可求出ZA、ZB、ZC。（4）已知兩邊a,b及其中一邊的對角A，由正弦定理a_bsinAsinB，求出另一邊b的對角B，由C=180(A+B)，求出C，再由=求sinAsinCO出c，而通過A>90°A=90°A<90°a>b一解一解一解a=b無解無解一解a<ba>bsinA兩解無解無解a=bsinA一解a<bsinA無解求B時，可能出一解，兩解或無解的情況，

4、其sinAsinB判斷方法，如下表：H、對于三角形的分類或三角形形狀判斷，主要從邊或角兩方面入手。（A組）一、選擇題：1、已知在ABC中，sinA:sinB:sinC二3:2:4，那么cosC的值為（）A、-1B、1C、-D、-44332、在厶ABC中，a=九,b=九,A=45°，則滿足此條件的三角形的個數(shù)是（）A、0B、1C、2D、無數(shù)個3、在厶ABC中，bcosA二acosB，則三角形為（）A、直角三角形B、銳角三角形C、等腰三角形D、等邊三角形4、已知三角形的三邊長分別為X2+x+1,X2-1和2x+1（x>1）,則最大角為（）A、150°B、120°

5、C、60°D、75°5、在厶ABC中，已知B=30°,b二50打,c二150，那么這個三角形是（）A、等邊三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等腰三角形或直角三角形6、在ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，則此三角形為（）A、直角三角形B、等腰三角形C、等邊三角形D、等腰直角三角形7、正弦定理適應的范圍是（）A、直角三角形B、銳角三角形C、鈍角三角形D、任意三角形8、已知ABC中，a=10,B=60。,C=45。，則c=（）A、10+空3B、10（J3-1）C、10（J3+1）D、10、'310、在厶ABC中，bsinA&

6、lt;a<b，則此三角形有（）A、一解B、兩解C、無解D、不確定11、三角形的兩邊分別為5和3,它們夾角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，則三角形的另一邊長為（）A、52B、243C、16D、4作者：空青山作品編號：8<9<96444588<9663Gd53022257782215002時間：2020.12.1312、在厶ABC中，a2=b2+c2+be，則A等于（）A、60°B、45°C、120D、30°13、在厶ABC中，a=、：31,b=',e=，則ABC是（）24A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、任意三角形1

7、4、在AABC中，a=2，A=30°,C=45°，則AABC的面積SAABC等于（）A、2B、2邁C、p3+1D、-G-3+1）16、在厶ABC中，sinA>sinB是A>B的（）A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件18、AABC中，sin2A=sin2B+sin2C，則ABC為（）A、直角三角形B、等腰直角三角形C、等邊三角形D、等腰三角形19、AABC中，A二60°,b=1，這個三角形的面積為13,則厶ABC外接圓的直徑為（B、C、2393D、V'39220、在厶ABC中,sinAsinBsinC則k為（

8、）A、2RB、RC、4RD、-R(R為AABC外2接圓半徑）二、填空題1、在厶ABC中,A二60°，C二45°,則此三角形的最小邊長為abc2、在厶ABC中,(沁*泌+叱)=a2+b2+c2abc3、在厶ABC中，a:b:c=（x/3+1）26:2，則ABC的最小角的度數(shù)為在ABC中，已知sinA:sinB:sinC=6:5:4，則secA=5、AABC中，丑=皿，則三角形為。tanBsinB6、在ABC中，角A、B均為銳角且cosA>sinB，則ABC是。7、在AABC中，若此三角形有一解，則a、b、A滿足的條件為。8、已知在ABC中，a=10,b=5叮6,A=45

9、°，則B=。10、在厶ABC中，a=1,b=1,C=120°則c=。13、在厶ABC中，BC=3,AB=2,且SinC=-6+1）,sinB5A=。14、在厶ABC中，b=、】3,c=3,B=30°，則A=。15、在厶ABC中，a+b=12,A=60°,B=45°,則a=,b=o16、若2,3,x為三邊組成一個銳角三角形，則x的范圍為o17、在厶ABC中，化簡bcosC+ccosB=。18、鈍角三角形的邊長是三個連續(xù)自然數(shù)，則三邊長為。三、解答題：1、已知在ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B。2、已知A

10、BC的三邊長a=3,b=4,c=.37，求三角形的最大內(nèi)角。3、已知在ABC中，A=45°，a=2，c=J6，解此三角形。5、在厶ABC中，A最大，C最小，且AA=2C,A+C=2B，求此三角形三邊之比。6、證明：在AABC中，=2R.（其中RsinAsinBsinCABC的外接圓的半徑）7、在厶ABC中，最大角A為最小角C的2倍，且三邊a,b,c為三個連續(xù)整數(shù)，求a,b,c的值。8、如下圖所示，半圓O的直徑MN二2,OA二2,B為半圓上任意一點，以AB為一邊作正三角形ABC,問B在什么位置時，四邊形OACB面積最10、根據(jù)所給條件，判斷ABC的形狀:大？最大面積是多少？a_b_cc

11、osAcosBcosCABC中，a+b二10，而cosC是方程2x2-3x-2=0的一個根，求ABC周長的最小值。12、在ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，設兀a+c=2b,A-C=，求sinB的值。313、已知ABC中,a=1,b=A=30°，求B、C和c。14、在ABC中，c=2、邁，tanA=3,tanB=2，試求a、b及此三角形的面積。15、已知S=10朽，一個角為60°,這個角的兩邊之比為5:2,AABC求三角形內(nèi)切圓的半徑。16、已知ABC中，a2+b2C2二c2且acosB=bcosA，試判斷厶a+bcABC的形狀。17、已知ABC的面積為1,ta

12、nB二1,tanC=-2，求ABC的各邊2長。20、在厶ABC中，a=f6,b=2,c=、運+1，求A,B,C及S。A21、已知(a2+bc)x2+2：b2+c2x+1=0是關于x的二次方程，其中a,b,c是AABC的三邊,(1) 若ZA為鈍角，試判斷方程根的情況.(2) 若方程有兩相等實根，求ZA的度數(shù)。22、在厶ABC中，(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判斷ABC的形狀。23、在厶ABC中，c=2J2,a>b,c=，且有tanAtanB=6,4試求a,b以及此三角t形的面積。24、已知：k是整數(shù)，鈍角ABC的三內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c(1

13、)若方程組X2+y=7k有實數(shù)解，求k的值。2kx+y=3(k2+1)2）對于（1）中的k值，且有關系式（a一b）sin2A+bsin2B-csin2C,試求A,B,C的度數(shù)。3325、在厶ABC中，已知cosA=,sinB=，求cosC的值。26、在厶ABC中，已知2cosBsinC=sinA，試判定厶ABC的形狀。27、在厶ABC中，若sinA=sinB+sinC，試判斷厶ABC的形狀。cosB+cosC28、在厶ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，求證：a2-b2sin（A-B）=c2sinC29、在ABC中，若（a+b+c）（b+c-a）=bc，并且sinA=2sinBcos

14、C，試判斷厶ABC的形狀。（B組）1、在NABC中,A>B是sinA>sinB的（）A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件C2、已知關于x的方程x2-xcosA-cosB+2sin2=0的兩根之和2等于兩根之積的一半，則AABC一定是（）A、直角三角形B、鈍角三角形C、等腰三角形D、等邊三角形3、已知a,b,c分別是ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊，若a=1,b=:3,A+C二2B,則sinC=蟲，ZC弋，則a=5、在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若a=弋2，b=2，sinB+cosB=:2，則角A的大小為。6、在AABC中，

15、a,b,c分別為角A,B,C的對邊，且4sin2號-cos2A=2(1) 求ZA的度數(shù)(2) 若a=、：'3，b+c=3，求b和c的值7、在AABC中已知acosB=bcosA，試判斷厶ABC的形狀.8、如圖，在AABC中，已知a=<3，b=、2，ZB=45。求A、C9、在ABC中，已知ZB=45°,D是BC邊上一點，AD=5,AC=7,DC=3,求AB。作者：空青山作品編號：89964445889663Gd53022257782215002時間：2020.12.13解三角形練習（1）一、選擇題1、在厶ABC中，a=3,b=；7,c=2，那么ZB等于（）A、30

16、6;B、45°120°2、在ABC中，A、10+朽a=10，ZB=60°10（3-1）C、60°D、,ZC=45°,則C等于（）B、C、訂+1D、10朽3、在厶ABC中，a=2遠，b=2邁，ZB=45°，貝VZA等于（）A、30°B、60°C、60°或120°D、30°或150°4、在ABC中，a=12,b=13,ZC=60。，此三角形的解的情況是（）A、無解B、一解C、二解D、不能確定5、在厶ABC中，已知a2=b2+c2+bc，貝UZA為（）A兀3B兀B、一62兀兀2兀C

17、、D、或3336、在厶ABC中，若acosA=bcosB，則厶ABC的形狀是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰或直角三角形A、（8,10）.10,8丿7、已知銳角三角形的邊長分別弋1,3,a,則a的范圍是（）B、：8,J0丿C、：8,10丿D、8、在厶ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么ABC一定是（）A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、正三角形9、在厶ABC中，已知a=x,b=2,B=60。，如果ABC兩組解，則x的取值范圍是（）4A、x>2B、x<2C、2<x<3D、34-2<x<心3310、在ABC中，

18、周長為7.5cm，且sinA:sinB:sinC二4:5:6，下列結論：a:b:c=4:5:6a=2cm,b=2.5cm,c=3cmA:B:C=4:5:6其中成立的個數(shù)是（）A、0個B、1個C、2個D、3個11、在厶ABC中，AB=訂,AC=1,ZA=30。，則ABC面積為（）4A、2B、4c、2或"D、或竺212、已知ABC的面積為-，且b=2,c=朽，則ZA等于（）2A、30°B、30°或150°C、60°D、60°或120°13、已知AABC的三邊長a二3,b二5,c二6，則AABC的面積為（）A、丫；14B、2J4C

19、、；15D、2.-1514、某市在“舊城改造”中計劃內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米a元，則購買這種草皮至少要（）A、450a元B、225a元20米150a.元D_30米00a兀16、飛機沿水平方向飛行，在A處測得正前下方地面目標C得俯角為30°，向前飛行10000米，到達B處，此時測得目標C的俯角為75°，這時飛機與地面目標的距離為（）A、5000米B、5000話2米C、4000米D、4000*遠米17、在ABC中，a=sinlO，b=sin50°，ZC=70°，那么ABC的面積為（A、164B、132C、116D、

20、18、若ABC的周長等于20,面積是103，ZA=60°，則bc邊的長是（）A、5B、6C、7D、819、已知銳角三角形的邊長分別為2、3、x，則x的取值范圍是（）A、1<x<5B、“5<x<.13C、0<x<“5D、<13<x<520、在厶ABC中，若C0竺=C0SB=SinC，則ABC是（）abcA、有一內(nèi)角為30。的直角三角形B、等腰直角三角形C、有一內(nèi)角為30。的等腰三角形D、等邊三角形二、填空題21、在厶ABC中，若ZA:ZB:ZC二1:2:3，則a:b:c二22、在厶ABC中，a=3唁3,c=2,B=150°

21、，則b=23、在厶ABC中，ZA=60。,ZB=45。,a+b=12,貝Va=；b=。24、已知ABC中，a=1810=209,A=121°，則此三角形解的情況是25、已知三角形兩邊長分別為1和J3，第三邊上的中線長為1，貝三角形的外接圓半徑為26、在厶ABC中，(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6，貝仏ABC的最大內(nèi)角的度數(shù)是三、解答題27、在ABC中，已知AB=10邁，ZA二45。，在BC邊的長分別為20，20込亍35的情況下，求相應ZC。28、在厶ABC中，證明:cos2Acos2Ba2b211a2b229、在ABC中，a+b=10，cosC是方程2x2-3x-2二0

22、的一個根，求ABC周長的最小值。30、在厶ABC中，若sinA+sinB=sinC(cosA+cos(1)判斷ABC的形狀;(2)在上述ABC中，若ZC的對邊c=1，求該三角形內(nèi)切圓半徑的取值范圍。解三角形(高考題)、選擇題1、（2006山東文、理）在厶ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,A=,a=3,b=1，3則c=（）A、1B、2C、朽-1D、爲2、（2005春招上海）在厶ABC中，若，則ABCcosAcosBcosC是（）A、直角三角形B、等邊三角形C、鈍角三角形D、等腰直角三角形.3、（2006全國I卷文、理）AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若a,b,c成等1

23、3比數(shù)列，且c=2a，則cosB=（）A、B、C、44、遼2D、434、（2005北京春招文、理）在AABC中，已知2sinAcosB二sinC，那么AABC一定是（）A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、正三角形5、（2004全國W卷文、理）ABC中，a,b,c分別為ZA,ZB,ZC的對邊如果a,b,c成3等差數(shù)列，ZB二30°，ABC的面積為-，那么b二（）2A、1+7'3B、1+打C、2+73°、2+運6、（2010上海文）若ABC的三個內(nèi)角滿足sinA:sinB:sinC二5:11:13，則ABCA、一定是銳角三角形B、一定是直角三角形C、一定是

24、鈍角三角形D、可能是銳角三角形，也可A、正三角形B、直角三角形能是鈍角三角形7、（2010湖南理）在厶ABC中，角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,若ZC二120°，c=2a，貝U（）A、a>bB、a<bC、a二bD、a與b的大小關系不能確定8、在厶ABC中，A二60°，a=4看3,b=4、.：2，則B等于（）A、45°或135°B、135°C、45°D、以上答案都不對9、AABC中，a二2bcosC，則此三角形一定是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰或直角三角形10、（2006山東濰坊檢測）在

25、ABC中，分別為角A,B,C的對邊），則ABC的形狀為（C、等腰三角形或直角三角形D、等腰直角三角形11、（2010江西理）E,F是等腰直角ABC斜邊AB上的三等分點,則tanZECF二（）A、16B、2C、迢D、32733412、（2010天津理）在厶ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若a2一b2=3bc，1200sinC=2、：3sinB，則A=()A、300B、600C、D、150013、（2010湖北理）在AABC中,a=15,b=10,A=60°,則cosB=A、2邁"I"B、C、_V63D、填空題則ZA二（）。1、已知(a+b+c)(b+