[理學(xué)]北師大的群論__第四章 點(diǎn)群

1、第四章點(diǎn)群及其應(yīng)用復(fù)習(xí)：§4.1點(diǎn)群點(diǎn)群描寫系統(tǒng)的宏觀對(duì)稱性；平移對(duì)稱操作與微觀對(duì)稱性、空間群。能帶正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)群及其非任意性（除球之外）極點(diǎn)、極點(diǎn)星（m,）除單位元外，群的極點(diǎn)數(shù)滿足A工匕(叫-l)=2(g-1)Z=1有即1（!丄丄）2mmm12得到久=2或3組：兩個(gè)極點(diǎn)星（n,1）、（n,1）;Cn群三個(gè)極點(diǎn)星（2,n）、（2,n）、（n,2）;Dn群（2,6）、（3,4）、（3,4）；T群（2，12）、（3,8）、（4,6）；0群（2,30）、（3,20）、（5,12）;P群第一類點(diǎn)群（正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)群）,11個(gè)，第二類點(diǎn)群（含有非正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)群）,21個(gè)晶體點(diǎn)群共有32個(gè)。準(zhǔn)晶體,包

2、含5度對(duì)稱軸的點(diǎn)群;新增加了5個(gè)晶系、28個(gè)準(zhǔn)晶點(diǎn)群。§4.2晶體點(diǎn)群的對(duì)稱操作及對(duì)稱元素晶體點(diǎn)群的對(duì)稱操作：4種8個(gè)（1）c,（5個(gè)）n（2）鏡面反射（鏡面反映）。（3）中心反演I（4）旋轉(zhuǎn)反射（旋轉(zhuǎn)反映）s（只有s獨(dú)立）n4對(duì)稱操作之間的關(guān)系：（1）同軸的兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)（2）兩個(gè)鏡面的連續(xù)操作轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)角紉）（3）（鏡面）（轉(zhuǎn)動(dòng)©）鏡面（夾角號(hào)）一#一群論（4）CCC（轉(zhuǎn)角20,轉(zhuǎn)軸）w丄匚z/2v2uw5）可對(duì)易的對(duì)稱操作對(duì)稱元素在對(duì)稱操作下，不動(dòng)的點(diǎn)、線（轉(zhuǎn)軸）、面（1）對(duì)稱元素之間的關(guān)系：n兩鏡面（夾角萬）之間的交線，必為一轉(zhuǎn)軸;（鏡面）+（n度轉(zhuǎn)軸）一共n個(gè)鏡面；71兩

3、個(gè)2度軸（萬）一垂直的n度軸；2度軸+與之垂直的n度軸一共n個(gè)2度軸。（2）某些特殊的對(duì)稱元素主軸等價(jià)軸、等價(jià)面雙向軸（定義，兩個(gè)判定）（3）圖示對(duì)稱元素的方法（群的圖示）極射投影圖（無主軸）作業(yè)：1.習(xí)題4.12.圖示上述6對(duì)可對(duì)易的對(duì)稱操作3.習(xí)題4.3§4.3晶體點(diǎn)群§4.3.132個(gè)晶體點(diǎn)群附：可能的正多面體，只有5種：面心立方晶體的布里淵區(qū)（形狀為截角八面體）HADH.-V體心立方晶體的布里淵區(qū)體心立方晶體布里淵區(qū)的形狀名稱？正十二面體？不是！形狀稱為菱形十二面體、或菱十二面體體心立方晶體的布里淵區(qū)，形狀被稱為正十二面體的有：1 黃昆.固體物理學(xué).人教,1979.

4、2 黃昆,韓汝琦.固體物理學(xué).高教,19883 李冠告.晶體結(jié)構(gòu)幾何學(xué)基礎(chǔ).南開大學(xué)出版社,2000.110.正確的有：1 方俊鑫，陸棟.固體物理學(xué)（上冊）上海科學(xué)技術(shù)出版社，1980.235.2 顧秉林,王喜坤.固體物理學(xué).清華大學(xué)出版社,1989.6263.§4.3.232個(gè)點(diǎn)群的符號(hào)及所屬晶系點(diǎn)群的符號(hào)：熊夫利符號(hào)國際符號(hào)晶系：七類對(duì)稱性、七種單胞坐標(biāo)系§4.4點(diǎn)群的特征標(biāo)表阿貝爾群的特征標(biāo)表有16個(gè)點(diǎn)群是阿貝爾群Cn、Cnh、S2m、C2V、D2、D2h阿貝爾群：c=g所有g(shù)個(gè)不可約表示都是1維的。每個(gè)不可約表示是一組數(shù)；這組數(shù)也就是該表示的特征標(biāo)系。其中循環(huán)群有9

5、個(gè)：Cn、C1h、S2mn1h2m不僅C=g而且群元的階二gRg=E對(duì)于循環(huán)群群元的階二g第i個(gè)不可約表示為2aeg22即Ae1g、A2$&、EAg122i2i22Aeg、A2eg、EAg1i2-gg、EAg12Ae=g、A2例如：(1)C2=c2，E群:2即ceiT2i22cei2221、E1、E2e1'2ei2hC4=c4,ccE群:Aeile4C4.2ei4i、C24ei2e4Cei22e41、C2ei22e444C.23ei43i、C2ei23e444C4elC24ei22442.,21、C3ei3"Ti、Eei4T1421、C3ei3：21、Eei4T214

6、21i323口i43i1、C3e43i、Ee4141、1、C34ei3牛41、Eei4244滿足矩陣元的正交歸一、完全性關(guān)系滿足特征標(biāo)的正交歸一、完全性關(guān)系。對(duì)于一般的阿貝爾群各群元的階都是一個(gè)有限的整數(shù)，記為h,2即Ah1，A（注意hgr）利用特征標(biāo)的正交歸一、完全性關(guān)系，適當(dāng)?shù)嘏帕懈魅涸倪@些h個(gè)數(shù)。例如：。汕=也&%I各群元的階都是2，特征標(biāo)均為1或-1。按照特征標(biāo)的正交歸一、完全性關(guān)系，得到111111111111點(diǎn)群的特征標(biāo)表1、記號(hào)說明：一維：A（主軸轉(zhuǎn)動(dòng)的1）和BE廠c21"h1I1二維：E三維：T下腳標(biāo)g（反演對(duì)稱）和u（反演反對(duì)稱）.例如：C2h2、基函數(shù)的

7、變換性質(zhì)例如：C2h、C2V3、時(shí)間反演對(duì)稱性及其簡并例如：C4§4.5雙點(diǎn)群對(duì)于點(diǎn)群G=廠,A,，R,（稱為單群）-11-群論對(duì)應(yīng)的雙點(diǎn)群為Gd=E,A,，R,EE,EA,ER,二E,A,，R,，e,A，R，（略）§4.6晶體的宏觀性質(zhì)與晶體的對(duì)稱性晶體的宏觀性質(zhì)，一般用張量表示。有：零階、一階、二階、三階張量、等。一階張量與矢量：一階張量都是（真）矢量，具有性質(zhì)Irr，IPP矢量有真假之分，分別稱為（真）矢量與贗矢量或極矢量與軸矢量電偶極矩是極矢量；磁矩，是軸矢量。軸矢量（贗矢量）不是一階張量；軸矢量（贗矢量）的一個(gè)特征是在中心反演下保持不變，例如：IMM還有(MMz)

8、：MM,MM,等。hv不是一階張量的(贗)矢量，常見的有角速度、旋轉(zhuǎn)角dt、軌道角動(dòng)量Lrp、磁矩M等。二階張量：、m*等；三階張量：霍爾系數(shù)rh、壓電系數(shù)等；四階張量：彈性模量等。非線性光學(xué)以及電介質(zhì)物理中P(1)E(2):EE(3)EEE000線性極化率即一階極化率是一個(gè)二階張量，二階極化率是一個(gè)三階張量，三階極化率是一個(gè)四階張量，有34=81個(gè)分一階張量與晶體的對(duì)稱性以電偶極矩為例。在正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)作用下P'D(R)P，P'iD(R)ijPjiijj如果晶體的對(duì)稱性群為G,RG,則P'P，或PD(R)PP(P,P,P)構(gòu)成群G的恒等表示的基。xyzP(P,P,P)矢量中

9、獨(dú)立分量的個(gè)數(shù)，與xyzD(R)DP(R)包含的恒等表示數(shù)一樣01空021210,D(c2)<31023z2201001P(R)1RaP例1：G=C3100D(E)010,D(c)3z001包含的恒等表示數(shù)aa£p(R)1£(300)11p33R表明具有C3對(duì)稱性的晶體，極化強(qiáng)度P只能沿著Z方向。同樣的分析，得到具有C3對(duì)稱性的晶體，磁化強(qiáng)度M也只能沿著z方向。13群論例2:G=C3V1)極化強(qiáng)度PD0001100,D(c2)3z2兀、汗1"T2001000V3-21-200D(')V112空2021其中P()1，有Va1p(R)11(3203P66

10、R2)磁化強(qiáng)度M1)1Dz3(cD,000110210100,D(')1X)'0,D(c2)3z11220001 <32 丁<31其中M()1，有Va1m(R)1£3203(1)0M63R可見：具有C3V對(duì)稱性的晶體可以是鐵電的，但不可能是鐵磁的。般：Cn、CnV，可以是鐵電的；Cn、Ci、C2h、C3h、s4、S6，可以是鐵磁的。例3:鐵電或鐵磁晶體是否可以具有C對(duì)稱2h性？C群元及其坐標(biāo)變換矩陣2h100100D(E)010，D(c)2z010001001100100D()010，D(I)010xy001001得到C群的群元對(duì)于r空間坐標(biāo)的三維表2h示

11、的特征標(biāo)為(E)3，(c)1，()1，(I)3。2zxy對(duì)于鐵電晶體，電偶極矩Per,矢量p各ii分量與上述三維表示的基函數(shù)相同（差一個(gè)比例系數(shù)）。如果這個(gè)表示中包含一個(gè)或幾個(gè)恒等表示，相應(yīng)的P分量將在C群元作用下不變；則沿著該方向極化的鐵電體就具有C對(duì)稱性。下面根據(jù)約化系數(shù)公式2hj(R)*(R)2.6-6)15-R計(jì)算上述三維表示中包含的恒等表示的數(shù)目：A(R)*(R)gR1131(1)111(3)04即上述三維表示中不包含恒等表示，在C2h2h群元作用下，電偶極矩矢量P的各個(gè)分量不可能保持不變，所以，鐵電晶體不可能具有C對(duì)稱性。2h對(duì)于鐵磁晶體，磁矩M在c群元作用下，有cMM，2zzzI

12、McMMz2zxyzzEM2hxyzzz2zxyzz即磁矩M在仏群元作用下保持不變，所以,z2h鐵磁晶體可以具有C對(duì)稱性。2h具體的變換矩陣為群論100100DM(E)010,DM(c)2z010001001100100DM()010,DM(I)010xy001001包含的恒等表示的數(shù)目：(R)*M(R)gR4i31(1)i(1)i3二階張量以電導(dǎo)率張量為例。jE在對(duì)稱操作作用下jRj,E'RE,且j'E'由于jR1j'ER1E'，即j'RR1E'所以,電導(dǎo)率的變換為'RR1RR(正交變換)電導(dǎo)率分量的變換為'D(R)D(

13、R)D(R)D(R)電導(dǎo)率張量的元''形成直積表示D(R)D(R)D(R)的基。直積表示的特征標(biāo)(R)(R)(R)(R)2如果晶體的對(duì)稱性群為G,RG,貝。RR1用表示矩陣寫為D(R)D(R)該直積表示必須是一個(gè)恒等表示；電導(dǎo)率張量的9個(gè)元中的獨(dú)立元的數(shù)目，由該式確定。具體計(jì)算該直積表示中，包含恒等表示的數(shù)目，確定獨(dú)立元的數(shù)目。例如：G=C2h坐標(biāo)變換矩陣100D(c)010，2z001100D(E)010001100D()010，xy001三維表示的特征標(biāo)為(E)3，(c)1，2z直積表示的特征標(biāo)為(E)9，(c)1，2z100D(I)010，001()1，(I)3；xy()

14、1，(I)9；xy則電導(dǎo)率張量中獨(dú)立元的數(shù)目a1(R)*(R)gR£1911111954下面通過C2h的各群元，具體分析電導(dǎo)率張量中各元的變換性質(zhì)。電導(dǎo)率張量xxxyxzyxyyyzzxzyzz各元變換性質(zhì)，與下腳標(biāo)的坐標(biāo)變換相同。在C2h各群元作用下，不變；有0xxxy0yxyy00zz只有5個(gè)獨(dú)立分量；與特征標(biāo)的分析一致電導(dǎo)率張量的進(jìn)一步分析：xxxyxzyxyyyzzxzyzz(1) 若系統(tǒng)具有c2z對(duì)稱性，就有xxyx00xy0yy0zz2)若則是對(duì)稱張量，即xyyx張量只有4個(gè)獨(dú)立分量；若平面yz或xz是對(duì)稱鏡面，則00xx00yy00zz(4) 若G=Td或0h，貝。退化

15、為標(biāo)量。100(5)若G=D則(習(xí)題14)6d000000zz0100001介電常數(shù)張量、有效質(zhì)量張量等具有這方面相同的性質(zhì)。實(shí)驗(yàn)上：六角晶體具有雙折射現(xiàn)象，立方晶體是光學(xué)各向同性的。對(duì)于六角晶體，電導(dǎo)率張量常寫作/000000介電常數(shù)張量為00/0000三階張量21-群論二階極化率張量卩：EE、0霍耳系數(shù)ERjB、這里R(R)yHxzHHyzx壓電常數(shù)張量，等。與二階張量相同：張量元的變換性質(zhì)與下腳標(biāo)的坐標(biāo)變換相同。由對(duì)稱群的群元，分析張量元(零元)與群元之間的關(guān)系。四階張量三階極化率張量PEEE、0彈性系數(shù)tijCijmnemn，等。ijijmnmnm,n彈性系數(shù)：Cc2zCCxzxz(x

16、)z(x)zxzxz如果系統(tǒng)具有c2z對(duì)稱性，該張量元是一個(gè)獨(dú)立的非零元；又Cc2zCCxyxz(x)(y)(x)zxyxz如果系統(tǒng)具有c2z對(duì)稱性，有CCC0xyxz(x)(y)(x)zxyxz則CC0，記作C0xyxz(x)(y)(x)z1213這些性質(zhì)，與下腳標(biāo)的坐標(biāo)變換性質(zhì)相同。記三階極化率四階張量元為，有81個(gè)：ijmn（1）三斜晶系：有81個(gè)獨(dú)立的非零元素；（2）正方晶系C4：有41個(gè)非零元素，其中21個(gè)是獨(dú)立的其中（下腳標(biāo)）xxxx=yyyy（c4）zzxx=zzyy另外zxxx=zyy，yzyyy=-zxx，x得到零元zxxx=zyyy=0.D4h、D4：21個(gè)非零元，其中11

17、個(gè)是獨(dú)立的（3）立方晶系：21個(gè)非零元素，其中7個(gè)是獨(dú)立的：xxxx=yyyy=zzzzyyzz=zzxx=xxyyzzyy=xxzz=yyxxyzyz=zxzx=xyxyzyzy=xzxz=yxyxyzzy=zxxz=xyyxzyyz=xzzx=yxxy作業(yè)：-23-群論1習(xí)題142證明C3h對(duì)稱性的晶體不可能是鐵電的,但可以是鐵磁的。§4.7分子的振動(dòng)譜及簡正模（簡化）個(gè)分子，對(duì)稱性群記為G.例如：H2O（C2V），NH3（%）分子的振動(dòng)自由度有3N-6個(gè)（或3N-5個(gè)）。§4.7.1分子振動(dòng)的般理論振動(dòng)方程的建立分子的勢能U(k)u(k7)u(k)u(k7)VV1N0

18、2k,k7簡諧近似VV1N02k,k71,2Vu(k)u(k7)u(k)u(k7)V1,2,k,N)1N3(kk)u(k)u(k)02k,k71,1V1,2,k,N)具有分子對(duì)稱群G的對(duì)稱性。0-25-定義約化位移w(k)i力矩陣或稱公動(dòng)力矩陣u(k),(P(k)W(k)D(kk')(kk')分子的哈密頓H1p2(k)12k2k,k',得到運(yùn)動(dòng)方程p2(k)D(kk')W(k)W(k')4.7-5)W(k)D(kk')W(k')4.7-7)設(shè)解的形式為W(k)j1,2,3N力矩陣D(kkj的本征值,e(k|j)。e(k)有非零解的條件k&

19、#39;Ce(k)exp(it)jje很)是單位本征向量e(k)的a分量,代入運(yùn)動(dòng)方程，得到2e(k)D(kk')e(k')k'這是力矩陣的本征值方程。3N個(gè)解2稱為對(duì)應(yīng)的本征矢記為D(kk')2kk'群論4.7-13)稱為晶格振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。簡正坐標(biāo)目的：哈密頓量解耦,寫為簡正模之和定義簡正坐標(biāo)（集體坐標(biāo)）qe（k|j）W（k）jk代入哈密頓（4.7-5），得到H2e2(k|j)pkj哈密頓量寫為12D(kk')(k|j)qejj'(k'|j')qj'13N13NH-p222q22jjjj1j13N(1pUP2

20、12q2)j12j2jjk,k',j3Nj4.7-15)-29-利用拉格朗日方程或正則方程，得到q2qjjj解為qq0cos(t)jjjj第j個(gè)振子的運(yùn)動(dòng)方程稱為分子振動(dòng)的一個(gè)簡正模（qj,j）。jj§4.7.2力矩陣的塊狀對(duì)角化確定簡正模頻率,需要求解晶格振動(dòng)力矩j陣的動(dòng)力學(xué)方程D(kk)20kk'方法：力矩陣塊狀對(duì)角化。分子的對(duì)稱性群為G,群元R使分子中同類原子的平衡位矢相互變換r0Rr0(4.7-29)jk第k個(gè)原子的位移及其約化位移u(x,y,zkkkkw:m-ukwkk對(duì)稱變換u'Ru，jk分量形式(s1,2,3)u'RRRu3j211121

21、33k2u'RRRu，3j12122233k1u'RRRu3j3132333ku'3D(R)u3j3sst3k3tt1矩陣形式例如：水分子，(u,u<,u)3k23k13kW,W,W)3k23k13kW'RWjkW3D(R)W3j3sst3k3tt1WRRRW3j21112133k2WRRRW3j12122233k1WRRRW3j3132333kC2V=E,z,1,2Du'cu32z3u'cu12z2u'cu22z100x101y101z100x210y201z200x103y301z3OOOOOO22y1'1y01u1u2

22、u3011001u4u5u600u107u018u9OOOOOO'1'2'uuu'7'8'uuuu寫為3Nx1的矢量，上式寫成12345678uuuuuuuuu000000001100000000100000000001000000100000000100000000000001000100000000100000000'1'2'3'4'5'6'7'8'uuuuuuuuu位移表示上面水分子的9x9矩陣，就是位移表示的例子（群元c的位移表示）。2z一般地：群論將位移U和約化位移

23、W寫為3NX1的矢量,上式可寫成u'Ddisp(R)u，W'Ddi(sRp)Wu'000u11u'000u22u'000u33u'RRRu3j21112133k2u'RRRu3j12122233k1u'RRRu3j3132333ku'0u3N3N定義一個(gè)NxN的置換矩陣1rRrP(R)jkjk0others則Ddisp(R)P(R)D(R)例如：水分子，點(diǎn)群C2V=E,cz，i，2D00置換矩陣P(R)jkjkrRrjkothers，即P(c)2z位移表示矩陣12345678uuuuuuuuu000000001100000

24、000100000000001000000100000000100000000000001000100000000100000000'1'2uu3'45,u6,uD(c)2zDdisp(c)P(c)2z2z2-#-位移表示的特征標(biāo)disp(R)trP(R)trD(R)u(R)(12cos)ifdetD(R)1u(R)(12cos)ifdetD(R)1例如：水分子，點(diǎn)群C2V=E,c2z,1,2的群元c2:,P0010011所以psidU(1)RSOC21X群論下面利用位移表示及其約化的結(jié)果，定性分析晶格振動(dòng)譜和振動(dòng)簡正模的振動(dòng)圖象。(1) 位移表示中的分子振動(dòng)特征標(biāo)在群

25、元R的位移表示特征標(biāo)disp(R)中：平移的貢獻(xiàn)為平移(R)12cos)分子整體轉(zhuǎn)動(dòng)的貢獻(xiàn)為轉(zhuǎn)動(dòng)(R)12cos)則在disp(R)修正中，應(yīng)減去對(duì)于正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)平移(R)轉(zhuǎn)動(dòng)(R)2(12cos)對(duì)于非正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)平移(R)轉(zhuǎn)動(dòng)(R)0得到disp(R)修正之后的分子振動(dòng)特征標(biāo)振動(dòng)(R)u(R)2(12cos)ifdetD(R)1u(R)(12cos)ifdetD(R)1(2) 分子振動(dòng)的約化h2o分子對(duì)稱群C2V=E、c2z、yz、xz特征標(biāo)系為3，1，3，1約化為D振動(dòng)2D1D3H20分子振動(dòng)的簡正模包含有兩個(gè)1維不可約表示：A（出現(xiàn)2次）、B1;得到晶格振動(dòng)的本征值有3個(gè)j、123其中2個(gè)簡正

26、模。和q，按D1（A.）基函數(shù)變換，1211個(gè)簡正模。，按D3（BJ基函數(shù)變換。31（3）H20分子簡正模的振動(dòng)圖象3個(gè)簡正模的簡正坐標(biāo)分別記作11，q21，31下面用投影算符分別分析上述三個(gè)簡正坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中的分量。特征標(biāo)投影算符lPi1i(R)*pgRRGppp)4Ec2zyzXz4(pppp)4Ec2zyzXz則PA1PB1首先分析不可約表示A1基函數(shù):（1）有沒有X方向的運(yùn)動(dòng)1PA1X(PXPXPXPX)14E1c2z1yz1Xz11(XXXX)041212PA1X1(PXPXPXPX)丄24E2c2z2yz2Xz21(XXXX)042121PA1X1(PXPXPXPX)丄34E3c2z3yz3Xz31(XXXX)043333H2O分子中各原子，沒有X方向的運(yùn)動(dòng)。2(2) 有沒有y方向的運(yùn)動(dòng)PAy(