二叉樹模型入門

1、第第1212章章 二叉樹模型介紹二叉樹模型介紹 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 2o 二叉樹模型的基本思想二叉樹模型的基本思想o 12.1 利用二叉樹給期權(quán)定價(jià)利用二叉樹給期權(quán)定價(jià)o 12.2 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)o 12.3 兩步二叉樹兩步二叉樹o 12.4 看跌期權(quán)看跌期權(quán)o 12.5 美式期權(quán)美式期權(quán)o 12.6 Daltao 12.7 u和和d的確定的確定o 12.8二叉樹其他問題二叉樹其他問題o 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 3二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型 p 要對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，我們需要知道標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格要對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，我們需要

2、知道標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格如何變動(dòng)如何變動(dòng)p 簡(jiǎn)單但非常有力的一個(gè)模型是二項(xiàng)式模型簡(jiǎn)單但非常有力的一個(gè)模型是二項(xiàng)式模型p - - 在每個(gè)（很短）的時(shí)間間隔期末，股票價(jià)格只在每個(gè)（很短）的時(shí)間間隔期末，股票價(jià)格只能有兩個(gè)可能的取值能有兩個(gè)可能的取值n - - 當(dāng)時(shí)間間隔足夠短，這是很好的近似當(dāng)時(shí)間間隔足夠短，這是很好的近似n - - 有利于解釋期權(quán)定價(jià)模型背后所包含的原理有利于解釋期權(quán)定價(jià)模型背后所包含的原理n - - 可以用于對(duì)象美式期權(quán)這樣的衍生證券進(jìn)行可以用于對(duì)象美式期權(quán)這樣的衍生證券進(jìn)行定價(jià)定價(jià) 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 4SuSu dSdt tufdf把期權(quán)的有效期分為很多很小

3、的時(shí)間間把期權(quán)的有效期分為很多很小的時(shí)間間隔隔 ，并假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間間隔，并假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間間隔 內(nèi)證券內(nèi)證券價(jià)格只有兩種運(yùn)動(dòng)的可能：價(jià)格只有兩種運(yùn)動(dòng)的可能：1、從開始的、從開始的 上升到原先的上升到原先的 倍，即到倍，即到達(dá)達(dá) ； 2、下降到原先的、下降到原先的 倍，即倍，即 相應(yīng)地，期權(quán)價(jià)值也會(huì)有所不同，相應(yīng)地，期權(quán)價(jià)值也會(huì)有所不同，分別為分別為 和和 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 5相同期相同期限下步限下步長(zhǎng)越小長(zhǎng)越小精確度精確度越高越高5二叉樹模型的思想實(shí)際二叉樹模型的思想實(shí)際上是在用大量離散的小上是在用大量離散的小幅度二值運(yùn)動(dòng)來模擬連幅度二值運(yùn)動(dòng)來模擬連續(xù)的資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng)

4、續(xù)的資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng) 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 6此時(shí)此時(shí) udffSuSd 因?yàn)槭菬o風(fēng)險(xiǎn)組合，可用無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，得因?yàn)槭菬o風(fēng)險(xiǎn)組合，可用無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，得r tuSfSufe 將將 代入上式就可得到：代入上式就可得到：udffSuSd 1r tudfepfp f 其中其中 dudeptr6無套利定價(jià)法：無套利定價(jià)法：構(gòu)造投資組合包括構(gòu)造投資組合包括 份股票多頭和份股票多頭和1份看漲期權(quán)空頭份看漲期權(quán)空頭當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),股票價(jià)格的變動(dòng)對(duì)組合無影響則組合為股票價(jià)格的變動(dòng)對(duì)組合無影響則組合為無風(fēng)險(xiǎn)組合無風(fēng)險(xiǎn)組合ddfSdfSu 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 7o 二叉樹模

5、型的基本思想二叉樹模型的基本思想o 12.1 利用二叉樹給期權(quán)定價(jià)利用二叉樹給期權(quán)定價(jià)o 12.2 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)o 12.3 兩步二叉樹兩步二叉樹o 12.4 看跌期權(quán)看跌期權(quán)o 12.5 美式期權(quán)美式期權(quán)o 12.6 Daltao 12.7 u和和d的確定的確定o 12.8二叉樹其他問題二叉樹其他問題o 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 8o 假設(shè)一種股票當(dāng)前價(jià)格為假設(shè)一種股票當(dāng)前價(jià)格為$ $2020，三個(gè)月后的價(jià)格將可能，三個(gè)月后的價(jià)格將可能為為$22$22或或$18$18。o 假設(shè)股票三個(gè)月內(nèi)不付紅利。假設(shè)股票三個(gè)月內(nèi)不付紅利。o 歐式看漲期權(quán)執(zhí)行

6、價(jià)格歐式看漲期權(quán)執(zhí)行價(jià)格$21$21，有效期為三個(gè)月后以買入，有效期為三個(gè)月后以買入股票的進(jìn)行估值。股票的進(jìn)行估值。 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 9單步二叉樹模型單步二叉樹模型 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 10定價(jià)思路：定價(jià)思路：o構(gòu)造一個(gè)股票和期權(quán)的組合，使得在三個(gè)月末該組合的價(jià)值構(gòu)造一個(gè)股票和期權(quán)的組合，使得在三個(gè)月末該組合的價(jià)值是確定的。是確定的。o它的收益率一定等于無風(fēng)險(xiǎn)收益率。它的收益率一定等于無風(fēng)險(xiǎn)收益率。o由此得出該期權(quán)的價(jià)格。由此得出該期權(quán)的價(jià)格。構(gòu)造組合：構(gòu)造組合：o該組合包含一個(gè)該組合包含一個(gè) 股股票多頭頭寸股股票多頭頭寸 和一個(gè)看漲期權(quán)的空

7、頭頭寸。和一個(gè)看漲期權(quán)的空頭頭寸。 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 11o 上升時(shí)：股票價(jià)格從上升時(shí)：股票價(jià)格從$20上升到上升到$22，期權(quán)的價(jià)值為，期權(quán)的價(jià)值為$l，該，該證券組合的總價(jià)值為證券組合的總價(jià)值為22-1；o 下降時(shí)：股票價(jià)格從下降時(shí)：股票價(jià)格從$20下降到下降到$18，期權(quán)的價(jià)值為零，該，期權(quán)的價(jià)值為零，該證券組合的總價(jià)值為證券組合的總價(jià)值為18。o 如果選取某個(gè)如果選取某個(gè)值，以使得該組合的終值對(duì)兩個(gè)股票價(jià)格都值，以使得該組合的終值對(duì)兩個(gè)股票價(jià)格都是相等的，則該組合就是無風(fēng)險(xiǎn)的。是相等的，則該組合就是無風(fēng)險(xiǎn)的。 o 22221=181=18 o =0.25 第第

8、12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 12一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)的組合是：一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)的組合是：o 多頭：多頭：0.250.25股股票股股票o 空頭：一個(gè)期權(quán)空頭：一個(gè)期權(quán)定價(jià)：定價(jià)：o 如果股票價(jià)格上升到如果股票價(jià)格上升到$22$22，該組合的價(jià)值為：，該組合的價(jià)值為： 22220.25-10.25-14.54.5o 如果股票價(jià)格下跌到如果股票價(jià)格下跌到$18$18，該組合的價(jià)值為：，該組合的價(jià)值為：18180.250.254.54.5o 無論股票價(jià)格是上升還是下降，在期權(quán)有效期的末尾，該組無論股票價(jià)格是上升還是下降，在期權(quán)有效期的末尾，該組合的價(jià)值總是合的價(jià)值總是$4.5$4.5。 第第12章章 二叉

9、樹模型入門二叉樹模型入門 13 在無套利均衡的情況下，無風(fēng)險(xiǎn)證券組合的盈利必在無套利均衡的情況下，無風(fēng)險(xiǎn)證券組合的盈利必定為無風(fēng)險(xiǎn)利率。定為無風(fēng)險(xiǎn)利率。o 假設(shè)在這種情況下，無風(fēng)險(xiǎn)利率為年率假設(shè)在這種情況下，無風(fēng)險(xiǎn)利率為年率1212。o 該組合現(xiàn)在價(jià)值一定是該組合現(xiàn)在價(jià)值一定是$4.5$4.5的現(xiàn)值。的現(xiàn)值。o 即：即：4.5e4.5e-0.12-0.120.250.25=4.367=4.3674 4o 股票現(xiàn)在的價(jià)格已知為股票現(xiàn)在的價(jià)格已知為$20$20。o 假設(shè)期權(quán)的價(jià)格由假設(shè)期權(quán)的價(jià)格由f f來表示。來表示。o 現(xiàn)在該組合的價(jià)值：現(xiàn)在該組合的價(jià)值：20200 0.25.25f=5f=5f

10、=4.367f=4.3674 4 即即f=0.633f=0.633 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 14偏離均衡價(jià)格時(shí)的套利：偏離均衡價(jià)格時(shí)的套利：o 如果期權(quán)的價(jià)值超過了如果期權(quán)的價(jià)值超過了$0.633$0.633，構(gòu)造該組合的成，構(gòu)造該組合的成本就有可能低于本就有可能低于$4.367$4.367，并將獲得超過無風(fēng)險(xiǎn)利，并將獲得超過無風(fēng)險(xiǎn)利率的額外收益；率的額外收益；o 如果期權(quán)的價(jià)值低于如果期權(quán)的價(jià)值低于$0.633$0.633，那么賣空該證券組，那么賣空該證券組合將獲得低于無風(fēng)險(xiǎn)利率的資金。合將獲得低于無風(fēng)險(xiǎn)利率的資金。 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 15單步二

11、叉樹的一般結(jié)論單步二叉樹的一般結(jié)論假設(shè)：期權(quán)的期限為假設(shè)：期權(quán)的期限為T，U1,d1,d1,d1o 股票上漲的比率為股票上漲的比率為u-1=0.06u-1=0.06o 股票下跌的比率為股票下跌的比率為1-d=0.041-d=0.04o u+du+d=2=2o 3/50=0.06,2/50=0.043/50=0.06,2/50=0.04 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 4712.10o某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為$80。已知在4個(gè)月后，股票價(jià)格為$75或$85。無風(fēng)險(xiǎn)年利率為5（連續(xù)復(fù)利）。請(qǐng)用無套利原理說明，執(zhí)行價(jià)格為$80的4個(gè)月后到期的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值為多少？ 第第12章章 二叉樹模型入門

12、二叉樹模型入門 4812.10 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 4912.12o某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為$50$50。有連續(xù)。有連續(xù)2 2個(gè)時(shí)間步，每個(gè)時(shí)間步的步長(zhǎng)為個(gè)時(shí)間步，每個(gè)時(shí)間步的步長(zhǎng)為3 3個(gè)月，每個(gè)月，每個(gè)單步二叉樹的股價(jià)或者上漲個(gè)單步二叉樹的股價(jià)或者上漲6 6或者下跌或者下跌5 5。無風(fēng)險(xiǎn)年利率為。無風(fēng)險(xiǎn)年利率為5 5（連（連續(xù)復(fù)利）。執(zhí)行價(jià)格為續(xù)復(fù)利）。執(zhí)行價(jià)格為$51,$51,有效期為有效期為6 6個(gè)月的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為多少？個(gè)月的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為多少？ 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 5012.13o考慮習(xí)題12.12中的情況，執(zhí)行價(jià)格為

13、$51，有效期為6個(gè)月的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值為多少？證明歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)滿足看漲看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系。如果看跌期權(quán)是美式期權(quán)，在樹圖上的任何節(jié)點(diǎn)，提前執(zhí)行期權(quán)是否會(huì)更優(yōu)呢？ o解：（1）如上題u=1.06, d=0.95,p=0.5689 o計(jì)算二叉樹圖的結(jié)果如下o 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 51o如上圖，當(dāng)?shù)竭_(dá)中間的終節(jié)點(diǎn)時(shí)，期權(quán)的損益為5150.350.65；當(dāng)?shù)竭_(dá)最低的終節(jié)點(diǎn)時(shí)，期權(quán)的損益為5145.1255.875。 o因此，期權(quán)的價(jià)值為： （3）為確定提前執(zhí)行是否會(huì)更優(yōu)，我們要計(jì)算比較每一節(jié)點(diǎn)處立即執(zhí)行期）為確定提前執(zhí)行是否會(huì)更優(yōu)，我們要計(jì)算比較每一節(jié)點(diǎn)處立即執(zhí)行期

14、權(quán)的損益。權(quán)的損益。 在在C節(jié)點(diǎn)處，立即執(zhí)行期權(quán)的損益為節(jié)點(diǎn)處，立即執(zhí)行期權(quán)的損益為5147.53.5，大于，大于2.8664。因此，。因此，期權(quán)必須在此節(jié)點(diǎn)處被執(zhí)行，在期權(quán)必須在此節(jié)點(diǎn)處被執(zhí)行，在A、B節(jié)點(diǎn)處均不執(zhí)行。節(jié)點(diǎn)處均不執(zhí)行。 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 5212.17o某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為$40。有連續(xù)2個(gè)時(shí)間步，每個(gè)時(shí)間步的步長(zhǎng)為3個(gè)月，每個(gè)單位二叉樹的股價(jià)或者上漲10或者下跌10。無風(fēng)險(xiǎn)年利率為12（連續(xù)復(fù)利）。 o(A)執(zhí)行價(jià)格為$42的6個(gè)月期限的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值為多少？ o(B)執(zhí)行價(jià)格為$42的6個(gè)月期限的美式看跌期權(quán)的價(jià)值為多少？ 第第12章章 二叉樹模型

15、入門二叉樹模型入門 53 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 5412.17 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 5512.18o 用用“試錯(cuò)法試錯(cuò)法”來估算習(xí)題來估算習(xí)題12.17中的期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為多高中的期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為多高時(shí)，立即執(zhí)行期權(quán)是最佳的？時(shí)，立即執(zhí)行期權(quán)是最佳的？ 在此在此C節(jié)點(diǎn)處，立即執(zhí)行期權(quán)的損益為節(jié)點(diǎn)處，立即執(zhí)行期權(quán)的損益為37-36=1，小于，小于1.552.因此美式看跌期權(quán)不會(huì)在此節(jié)點(diǎn)處被執(zhí)行。因此美式看跌期權(quán)不會(huì)在此節(jié)點(diǎn)處被執(zhí)行。 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 56o（2）假設(shè)美式看跌期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為）假設(shè)美式看跌期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為$3

16、8，計(jì)算股價(jià)二叉樹圖的結(jié)果，計(jì)算股價(jià)二叉樹圖的結(jié)果如下：如下：o在此在此C節(jié)點(diǎn)處，立即執(zhí)行期權(quán)的損益為節(jié)點(diǎn)處，立即執(zhí)行期權(quán)的損益為38362，比，比1.890多多0.11收益。因此，美式看跌期權(quán)必須在此節(jié)點(diǎn)處被執(zhí)行。從以上分析可得，收益。因此，美式看跌期權(quán)必須在此節(jié)點(diǎn)處被執(zhí)行。從以上分析可得，當(dāng)執(zhí)行價(jià)格高于或等于當(dāng)執(zhí)行價(jià)格高于或等于$38時(shí)，提前執(zhí)行美式看跌期權(quán)都是更優(yōu)的選擇。時(shí)，提前執(zhí)行美式看跌期權(quán)都是更優(yōu)的選擇。 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 57o 二叉樹模型的基本思想二叉樹模型的基本思想o 12.1 利用二叉樹給期權(quán)定價(jià)利用二叉樹給期權(quán)定價(jià)o 12.2 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)風(fēng)險(xiǎn)中

17、性定價(jià)o 12.3 兩步二叉樹兩步二叉樹o 12.4 看跌期權(quán)看跌期權(quán)o 12.5 美式期權(quán)美式期權(quán)o 12.6 Daltao 12.7 u和和d的確定的確定o 12.8二叉樹其他問題二叉樹其他問題o 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 58Dalta-期權(quán)價(jià)格變化與股票價(jià)格變化之間的比率期權(quán)價(jià)格變化與股票價(jià)格變化之間的比率 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 59o 結(jié)論結(jié)論o 隨著時(shí)間而變化隨著時(shí)間而變化o Delta是為了構(gòu)造一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖，對(duì)每一個(gè)賣空是為了構(gòu)造一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖，對(duì)每一個(gè)賣空的期權(quán)頭寸我們應(yīng)該持有的股票數(shù)目。的期權(quán)頭寸我們應(yīng)該持有的股票數(shù)目。o 構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖有時(shí)就稱之為構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖有時(shí)就稱之為Delta對(duì)沖對(duì)沖(delta hedging)。o 看漲期權(quán)的看漲期權(quán)的Delta是是正值正值，而看跌期權(quán)的，而看跌期權(quán)的Delta是是負(fù)值負(fù)值。 o 意味著利用期權(quán)和標(biāo)的股票來保持一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組合，意味著利用期權(quán)和標(biāo)的股票來保持一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組合，我們需要定期調(diào)整我們持有的股票數(shù)量，我們需要定期調(diào)整我們持有的股票數(shù)量， 第第12章章 二叉樹模型入門二叉樹模型入門 60o 二叉樹模