二面角求解方法

1、二面角的作與求求角是每年高考必考內(nèi)容之一，可以做為選擇題,也可作為填空題，時常作為解答題形式出現(xiàn)，重點把握好二面角，它一般出現(xiàn)在解答題中.下面就對求二面角的方法總結(jié)如下：1、定義法:在棱上任取一點，過這點在兩個面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。2、三垂線定理及逆定理法：自二面角的一個面上的一點向另一個面引垂線,再由垂足向棱作垂線得到棱上的點.斜足與面上一點連線，和斜足與垂足連線所夾的角即為二面角的平面角。3、作棱的垂面法：自空間一點作與棱垂直的平面,截二面角的兩條射線所成的角就是二面角的平面角.4、投影法：利用s投影面=s被投影面cos0這個公式對于斜面三角形，任意多邊

2、形都成立，是求投影面被投影面二面角的好方法。尤其對無棱問題5異面直線距離法：EF2=m2+n2+d22mncos0B例1若p是AABC所在平面外一點，而APBC和AABC都是邊長為2的正三角形,PA=、6,求二面角PBC-A的大小.分析：由于這兩個三角形是全等的三角形故采用定義法解：取BC的中點E，連接AE、PEAC=AB，PB=PCAE丄BC,PE丄BC.ZPEA為二面角PBCA的平面角在APAE中AE=PE=3，PA=、6ZPEA=900二面角PBC-A的平面角為9Oo例2：已知AABC是正三角形，PA丄平面ABC且PA=AB=a,求二面角APC-B的大小.思維二面角的大小是由二面角的平面

3、角來度量的，本題可利用三垂線定理（逆）來作平面角，還可以用射影面積公式或異面直線上兩點間距離公式求二面角的平面角。圖1解1：（三垂線定理法）取AC的中點E,連接BE,過E做EF丄PC,連接BFPA丄平面ABC，PAu平面PAC.平面PAC丄平面ABC,平面PACp平面ABC=ACBE丄平面PAC由三垂線定理知BF丄PC.ZBFE為二面角A-PCB的平面角設(shè)PA=1，E為AC的中點，BE=2，EF=il24BE.tanzbfe=6EF.zbfe=arctan、6解2：（三垂線定理法）取BC的中點E，連接AE，PE過A做AF丄PE,FM丄PC,連接FMAB=AC,PB=PCAE丄BC，PE丄BC.

4、BC丄平面PAE,BCu平面PBC平面PAE丄平面PBC，由三垂線定理知AM丄PC.ZFMA為二面角APCB的平面角設(shè)PA=1,AM=1!,AF=APAE=旦2PE7AF.SinZFMA=AM<42"TZFMA=argsin427解3：（投影法）過B作BE丄AC于E,連結(jié)PEPA丄平面ABC,PAu平面PAC.平面PAC丄平面ABC,平面PACn平面ABC=AC.BE丄平面PAC.APEC是APBC在平面PAC上的射影設(shè)PA=1,則PB=PC=,2,AB=1圖3S=1，S=7APEC4APBC4由射影面積公式得，COS6=右弓心argcZ7APBC解4:（異面直線距離法）過A作

5、AD丄PC,BE丄PC交PC分別于D、E設(shè)PA=1,則AD=，PB=PC=pF2BE=S=a/14ce=2DE=戀2-BE=apbc=,CE=，DE=-1 444-PC442由異面直線兩點間距離公式得AB2=AD2+BE2+DE2-2ADBECOS0，COS0=J,：7CJ7=argcos點評本題給出了求平面角的幾種方法，應(yīng)很好掌握。7例3:二面角a-EF-P的大小為120。,A是它內(nèi)部的一點,AB±a,AC±p,B、C為垂足。(1) 求證：平面ABC丄a,平面ABC丄p(2) 當(dāng)AB=4cm,AC=6cm時求BC的長及A到EF的距離。分析:本題采用作棱的垂面法找二面角的平

6、面角解:(1)設(shè)過ABC的平面交平面a于BD,交平面p于CD同理AC丄EFEF丄平面ABDCBD丄EF,CD丄EF.ZBDC=120。.ABAC=60。.BC；'42+62-2x4x6COS60°=2、.7cm有正弦定理得點A到EF的距離為：d=BC=4cmsin60°3a二面角的求法一、復(fù)習(xí)引入:1、什么是二面角及其平面角？范圍是什么？從一條直線出發(fā)的兩個半平面所成的圖形叫做二面角，記作：二面角alB。以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。范圍：0e0,兀2、二面角出現(xiàn)的狀態(tài)形式有哪些?豎立式2、二

7、面角的類型及基本方法(1)四種常規(guī)幾何作求法垂面法;D/1三垂線法;射影面積法cos0=S射影多邊形/S多邊形(2)向量法:設(shè)m和n分別為平面a,卩的法向量,二面角a-l-卩的大小為o，向量m、結(jié)論：設(shè)m和n分別為平面a，P的法向量,二面角a-l一卩的大小為。，向量m、n的夾角為，則有0+®二?；蚪Y(jié)論：一般地，若設(shè)n,m分別是平面a,卩的法向量，則平面a與平面0所成的二面角9的計算公式是：9nm=arccos-nmnm（當(dāng)二面角為銳角、直角時）或9=兀-arccosr（當(dāng)二面角為鈍角時），其中nm銳角、鈍角根據(jù)圖形確定。二、例題講解：以錐體為載體，對求角的問題進行研究例1、如圖，在底

8、面是一直角梯形的四棱錐S-ABCD中，ADBC,ZABC=90°,SA丄平面AC,SA=AB=BC=1,1AD=2。求面SCD與面SAB所成的角的大小。解法1：可用射影面積法來求，這里只要求出Sscd與Ssab即可,故所求的二面角e應(yīng)滿足cos9=<6xlxl2點評：（1）若利用射影面積法求二面角的大小，作為解答題，高考中是要扣分的，因為它不是定理。（2）由學(xué)生討論解決，教師根據(jù)學(xué)生的解答情況進行引導(dǎo)、明確學(xué)生的解答.解法2：（三垂線定理法）解:延長CD、BA交于點E,連結(jié)SE，SE即平面CSD與平面BSA的交線.又TDA丄平面SAB,過A點作SE的垂線交于F.如圖.TAD=-

9、BC且ADHBC2ADEsgCE:.EA=AB=SA又TSA丄AE:.SAE為等腰直角三角形，F(xiàn)為中點,AF=丄SE=丄SA=2又.da丄平面SAE，AF1SE222由三垂線定理得DF丄SEZDFA為二面角的平面角,tanDFA=即所求二面角的正切值。FA2評注:常規(guī)法求解步驟：一作:作出或找出相應(yīng)空間角;二證:通過簡單的判斷或推理得到相應(yīng)角；三求：通過計算求出相應(yīng)的角。點評：是利用三垂線的定理及其逆定理來證明線線垂直，來找到二面角的平面角的方法。這種方法關(guān)鍵是找垂直于二面角的面的垂線。此方法是屬于較常用的?？傊谶\用三垂線找平面角時,找垂線注意應(yīng)用已知的條件和有關(guān)垂直的判定和性質(zhì)定理，按三

10、垂線的條件，一垂線垂直二面角的一個面,還有垂直于棱的一條垂線。且兩垂線相交，交點在二面角的面內(nèi)。解法3:（向量法）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0,0,0）,B（0,1,0）,C（-1,1,0）,D（0,丄，0）,S2（0，0，1），易知平面SAB的法向量為M=（0,1,0）；設(shè)平面SDC的法向量為N=（x,y,z），而DC=（21，1，0），DS=（0，-1，1）,N丄面SDC,N丄DC，N丄DS，片丄DC。2211-X+YAD21面SAB與面SCD所成角的二面角為銳角9,令x=1得：Y=2,z=1。即N=（1，2,1）1_MNCOS<N,M>-=1Min"6.B

11、二arccos也。3故面SCD與面SBA所成的角大小為arccos6。3點評:通過此例可以看出：求二面角大?。臻g面面角等于二面角或其補角）的常規(guī)方法是構(gòu)造三角形求解，其關(guān)鍵又是作出二面角的平面角，往往很不簡單。利用建立空間直角坐標(biāo)系,避開了“作、證”兩個基本步驟，通過求兩個平面法向量的夾角來達到解決問題的目的，解題過程實現(xiàn)了程序化，是一種有效方法。搭建平臺,自主交流，數(shù)形結(jié)合,掃清了學(xué)生的思維障礙，更好地突破了教學(xué)的重難點，體驗數(shù)學(xué)的簡約美，一題多解是訓(xùn)練學(xué)生思維的有效形式。以柱體為載體,對求角的問題進行研究上的點，且小.,與面ABC的公丄ill所求的二面角就例2、已知D、E分別是正三棱柱A

12、BC一ABC的側(cè)棱AA和BBiiiiiAD=2BE=BC求過D、E、C的平面與棱柱的下底面所成二面角的大iiiii（幾何法）解:在平面M”B內(nèi)延長DE和AB交于F,則F是面DEF共點，C也是這兩個面的公共點，連結(jié)CF,CF為這兩個面的交線，iii是D-CFA。iiADBE,且AD=2BE,iiiiE、B分別為DF和AF的中點。iiAB二BF二BC,FC丄AC.iiiiiiii又面AACC丄面ABC,FC在面ABC內(nèi)，iiiiiiiiiAFC丄面AACC。而DC在面AACC內(nèi)，iiiiiiAFC丄DCZDCA是二面角DFC-A的平面角。iiiiii由已知AD=BC=AC,ZDCA二4故所求二面角

13、的大小為4。iiiiii法2:（向量法）解：建立如圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)BC=2，則B©,1,0）,E&3,l,l）,C（0,2,0）,D(0,0,2),易知平面ABC的法向量為n=(0,0,1),D=(0,2,一2)，由1=(0,i,i)二cos<n,m>=2iii設(shè)平面DEC的法向量為m=(x,y,z),而DE=(<3，i,i)?mde二0mDC-01吊+y-z=0即y=z，不妨設(shè)x=0，得y=z=12y2z=0面AiBiCi與面DECi所成角的二面角為銳角/.0=-。4點評：無棱的二面角一般是只已知一個共點，但兩個面的交線不知道。若要找出二面

14、角的平面角，則需要根據(jù)公理2或公理4來找出二面角的棱，化為有棱二面角問題，再按有棱二面角的解法解題這種主要有兩類：一類是分別在兩個面內(nèi)有兩條直線不是異面又不是平行的二面角（兩條在同一平面內(nèi)且不平行）。那么延長這兩條線有一交點，根據(jù)公理2,這點在二面角的棱上，連公共點和這點就是二面角的棱；另一類是分別在兩個面內(nèi)有兩條直線是平行的二面角。這由直線和平面平行的判定和性質(zhì)定理知這直線和面平行，所以直線平行于二面角的兩個面的交線。由公理4，可知這兩條直線平行于二面角的棱。所以過公共點作一條直線平行于這兩直線，那么所作的直線是二面角的棱。課堂反饋練習(xí)：女口圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是梯形,

15、ABCD,AD丄DC,CD=2,DDDA二AB=1,P、Q分別是Cq、C1D1的中點，求二面角B-PQ-D的大小。解：建立如圖所示的坐標(biāo)系DB(1,1,0)P(0,2,2),Q(0,1,1),A(1,0,0)，2xyz.，則DA=（1,0,0）,BP=（T,l，2），BQ=（T，0，l）.2因DA丄面PQD,所以DA是面PDQ的法向量。設(shè)n=(x,y,z)為面BPQ的法向量，則n丄BP,n丄BQ，+y+2z=0,解得-x+z=0QDD（2,1,2）,JiPCBcos:.n,DA：=2.=-。從圖中可知，二面角BPQD為銳角,-DA32因此二面角B一PQ一D的大小為arccos.3點評：二面角問

16、題可以綜合較多知識點，可以綜合有關(guān)的平行、垂直的關(guān)系。用到的定理幾乎是我們所學(xué)立幾的知識。所以要有較扎實的基礎(chǔ)知識才能夠?qū)Ω兜昧诉@類問題。在計算方面要用到解三角形的知識，要會在圖中有關(guān)的三角形中求出所需的邊或角，然后通常歸結(jié)在一個三角形中去求出最后的結(jié)果?？偟?，解這類題，找平面角是關(guān)鍵的一步，要注意運用題中的條件分析圖形，然后用有關(guān)的方法找出平面角，計算時要分析所要求的量是可由圖中的哪些平面圖形去逐步去求出。三、課堂小結(jié):二面角的類型和求法可用框圖:A可見棱型轉(zhuǎn)優(yōu)解法-宦義袪亠三垂線法-垂面袪*面積法尸不見棱型點評：自主小結(jié)的形式將課堂還給學(xué)生，既是對一節(jié)課的簡單回顧與梳理，也是對所學(xué)內(nèi)容的再次鞏固。四、作業(yè)：3如圖，正三棱柱ABC-ABC的底面邊長為3,側(cè)棱AA=3打,D是CB延長線上一點，且BD=BC。iii12求二面角B-AD-B的大小。1L3BB=(0,3,0)則A(0,0，3丫3),:.AO丄平面BCCB,11解：取BC的中點0,連AO。由題意平面ABC丄平面BCCB,AO丄BC,11以O(shè)為原點，建立如圖6所示空間直角坐標(biāo)系，3g33一B(巳,0,0),D(?,0,0),B(二A/3,0)22122933AD=(9,0,-rv3)