顧沛漫談數(shù)學(xué)文化

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上顧沛:漫談數(shù)學(xué)文化  “十三年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，那些數(shù)學(xué)公式、定理、解題方法也許都會(huì)被忘記，但是形成的數(shù)學(xué)素養(yǎng)卻終身受用?！庇捎跀?shù)學(xué)教學(xué)方式和內(nèi)容的局限，盡管一個(gè)人經(jīng)歷至少長(zhǎng)達(dá)13年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，但對(duì)數(shù)學(xué)的精髓卻毫無概念，在宏觀上把握數(shù)學(xué)的能力較差，也就是所謂的數(shù)學(xué)素養(yǎng)較差。甚至誤以為學(xué)數(shù)學(xué)就是為了解題，考試，而不了解數(shù)學(xué)在實(shí)際生產(chǎn)生活中的應(yīng)用。  談到數(shù)學(xué)素養(yǎng)的問題時(shí)，顧沛講到自己已經(jīng)成功地在南開大學(xué)開設(shè)了數(shù)學(xué)文化課程，他說，之所以開設(shè)這門課程正是為了克服數(shù)學(xué)教學(xué)中忽視數(shù)學(xué)文化的這一弊病。  那什么是數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？通俗地說，數(shù)學(xué)素養(yǎng)就是把所學(xué)的

2、數(shù)學(xué)知識(shí)都排出或忘掉后剩下的東西。  “現(xiàn)實(shí)生活中，經(jīng)常會(huì)用到一些數(shù)學(xué)的思維去解決問題。這種解決問題的方法就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種體現(xiàn)?！蔽④浌菊衅竼T工的一道考題?！耙粋€(gè)屋里有50個(gè)人，每人帶一條狗，其中部分是病狗。主人只能通過對(duì)其它狗的觀察得知自己的狗是否是病狗，并在發(fā)現(xiàn)當(dāng)天用槍打死自己的狗，第一天沒有聽到槍聲，第二天沒有聽到槍聲直至第十天聽到一片槍聲，問屋里有多少病狗。”可是這道看似腦筋急轉(zhuǎn)彎的題目其實(shí)是一道巧妙的數(shù)學(xué)應(yīng)用題。正確的解答需要結(jié)合運(yùn)用反證法和數(shù)學(xué)歸納法，答案的揭曉使每個(gè)人都能感覺到數(shù)學(xué)的奧妙。 下面十個(gè)具體形象的例子從不同的角度體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化和素養(yǎng)的魅力。&#

3、160;   例一：芝諾悖論與無限從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)  很多人都聽過芝諾悖論中的“阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜”的問題，顧沛在分析這個(gè)問題時(shí)，指出這一悖論的癥結(jié)在于混淆了有限與無限的問題。芝諾認(rèn)為阿基里斯在追趕烏龜?shù)倪^程中，首先要到達(dá)烏龜原先的位置A，而這時(shí)烏龜已經(jīng)到了位置B，阿基里斯繼續(xù)追趕則要先到達(dá)B，這時(shí)烏龜又到達(dá)了位置C，以此類推，阿基里斯似乎永遠(yuǎn)也追不上烏龜了，可是芝諾卻忽視了一個(gè)問題，無限長(zhǎng)度或時(shí)間的和，可能是有限的。  另一個(gè)與無限有關(guān)的是“有無限個(gè)房間的旅館”問題，一個(gè)有無限個(gè)房間的旅館客滿后來了一個(gè)客人，應(yīng)該怎樣安排他？答案很簡(jiǎn)單，讓原先住

4、在1號(hào)房的客人搬進(jìn)2號(hào)房，原先住在2號(hào)房的客人住進(jìn)3號(hào)房，以此類推，讓原先住在K號(hào)房的客人住進(jìn)K+1號(hào)房，這樣就空出了1號(hào)房給新來的客人。同理，來了一個(gè)團(tuán)的無窮個(gè)旅客，一萬個(gè)團(tuán)的無窮個(gè)旅客甚至無窮個(gè)團(tuán)的無窮個(gè)旅客也應(yīng)對(duì)自如了。在場(chǎng)的許多同學(xué)都有所領(lǐng)悟，給出了精彩的解答。  奇妙的數(shù)學(xué)，從有限到無限，不可能的也成了可能。    例二：海岸線的長(zhǎng)度問題分形與混沌  首先是分形問題。BBMandelbrot發(fā)現(xiàn)英國(guó)的海岸線永遠(yuǎn)也無法測(cè)量，為什么呢？柯赫曲線的幾何現(xiàn)象說明了這個(gè)問題。（組圖略）  這樣的一組圖具有自相似性，在測(cè)量海岸線時(shí)，如果

5、尺子的長(zhǎng)度精確度不同，那么海岸線的形狀就可以無限分形，當(dāng)然無法準(zhǔn)確測(cè)量了。正是這樣一個(gè)問題，發(fā)展成了數(shù)學(xué)界一個(gè)非常重要的分支。  混沌問題。這個(gè)問題是ENLorenz在做天氣預(yù)報(bào)中發(fā)現(xiàn)的。大家都知道的“蝴蝶效應(yīng)”，也是一種混沌現(xiàn)象，由此可見，數(shù)學(xué)問題無處不在。例三：歷史上的數(shù)學(xué)危機(jī)數(shù)學(xué)的思想大解放   牛頓為了計(jì)算瞬時(shí)速度，創(chuàng)立了微積分學(xué)，可是貝克萊卻對(duì)牛頓發(fā)難：無窮小作為一個(gè)量，究竟是否為0？  在算式   s/ t=gt  +1/2 g( t)中，貝克萊質(zhì)疑道：如果無窮小量等于0，則等號(hào)左端無意義，若不等于0，則右邊的后

6、一項(xiàng)不能隨意取掉，因此，反駁貝克萊成了一個(gè)棘手的問題。  直到數(shù)百年后，柯西的極限理論的出現(xiàn)，“-”語言的出現(xiàn)。才消除了這一危機(jī)。  由此可見，在數(shù)學(xué)中，知識(shí)的邏輯順序與歷史順序有時(shí)是不同的。    例四：周髀算經(jīng)與勾股定理中國(guó)和世界數(shù)學(xué)的驕傲  很多人都知道北京2008年舉行奧運(yùn)會(huì)，但 2002年在北京舉行的“國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)”，也是我國(guó)許多世界頂尖數(shù)學(xué)大師和政府爭(zhēng)取來的榮譽(yù)。這次大會(huì)的會(huì)徽就選擇了周髀算經(jīng)中勾股定理證明的圖形。   美國(guó)宇航局的一次尋找外星人的行動(dòng)中，也帶去了一個(gè)證明勾股圖形的黃金制品，

7、可見勾股定理的證明是世界的驕傲。至今勾股定理的證明已經(jīng)多達(dá)380種了，而很多人，仍在探尋新的方法。    例五：蒲豐投針問題什么是創(chuàng)新  1777年，法國(guó)科學(xué)家蒲豐在宴請(qǐng)客人時(shí)，在地上鋪了一張白紙，上面畫著一條條等距離的平行線，而他給每個(gè)客人發(fā)許多等質(zhì)量的，長(zhǎng)度等于平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放。事后，蒲豐對(duì)針落地的位置進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，共投針2212枚，與直線相交的704枚，兩者相處，正好等于圓周率。求圓周率是一個(gè)幾何問題，而蒲豐卻用概率的方法解決了，完全不相同的兩個(gè)領(lǐng)域被神奇地聯(lián)系起來，這就是某種意義上的創(chuàng)新。例六：變換的方法化繁為簡(jiǎn) 上山問

8、題 一人早6:00從山腳A上山,晚18：00到山頂B;第二天, 早6:00從B下山, 晚18：00到A。問是否有一個(gè)時(shí)刻，這二天都在這一時(shí)刻到達(dá)同一點(diǎn)？數(shù)學(xué)表述：設(shè),表示上山運(yùn)動(dòng)函數(shù);,表示下山運(yùn)動(dòng)函數(shù),而S表示A到B的距離。問是否存在一時(shí)刻,使。圖1-3設(shè),表示上山運(yùn)動(dòng)函數(shù);,表示下山運(yùn)動(dòng)函數(shù),而S表示A到B的距離。則。令 則 。于是，由連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在使    例七：類比的方法舉一反三  4個(gè)平面最多把空間分成多少個(gè)部分？答案是15個(gè)，但絕對(duì)不是由“4*4-1”得出的。方法是這樣的，四個(gè)平面的情況中最復(fù)雜的是這四個(gè)平面組成了一個(gè)四面體，然后將

9、四面體平展成一個(gè)平面，于是主要問題就集中在四面體的棱把這個(gè)平面分成幾份了。  將陌生的復(fù)雜的問題用熟悉的簡(jiǎn)單的問題來類比，同樣也是生活中的數(shù)學(xué)應(yīng)用。      例八：哥尼斯堡七橋問題抽象的觀點(diǎn)  如何將哥尼斯堡的一條小河上的7座橋一次性走完呢？居民在多次嘗試無果后，來請(qǐng)教大數(shù)學(xué)家歐拉。于是聰明的歐拉將居民的問題抽象為一筆畫問題，在他的圖紙上，線條的交點(diǎn)被分為奇界點(diǎn)和偶界點(diǎn)，并得出了一筆畫問題能成功的充要條件：奇界點(diǎn)2個(gè)。這就是抽象的觀點(diǎn)的精髓：抓住問題本質(zhì)，突出問題本質(zhì)。    例九：“變中有不變”的觀點(diǎn)數(shù)學(xué)的生命力  數(shù)學(xué)大師陳省身先生，曾指出“三角形內(nèi)角和為108度”這個(gè)命題不好，而認(rèn)為“n邊形的外角和為360度”是個(gè)好命題，因?yàn)樗淖冎杏胁蛔儭?#160;