典型共點(diǎn)力平衡問題例題匯總

1、典型共點(diǎn)力作用下物體的平衡例題例1如圖1所示，擋板AB和豎直墻之間夾有小球，球的質(zhì)量為m,問當(dāng)擋板與豎直墻壁之間夾角e緩慢增加時(shí)，AB板及墻對(duì)球壓力如何變化。SJ2極限法例2如圖1所示，細(xì)繩CO與豎直方向成30°角，A、B兩物體用跨過滑輪的細(xì)繩相連，已知物體B所受到的重力為100N，地面對(duì)物體B的支持力為80N，試求(1) 物體A所受到的重力；(2) 物體B與地面間的摩擦力;(3) 細(xì)繩CO受到的拉力。例3如圖1所示，在質(zhì)量為1kg的重物上系著一條長(zhǎng)30cm的細(xì)繩，細(xì)繩的另一端連著圓環(huán)，圓環(huán)套在水平的棒上可以滑動(dòng)，環(huán)與棒間的靜摩擦因數(shù)為0.75,另有一條細(xì)繩，在其一端跨過定滑輪，定滑

2、輪固定在距離圓環(huán)0.5m的地方。當(dāng)細(xì)繩的端點(diǎn)掛上重物G，而圓環(huán)將要開始滑動(dòng)時(shí)，試問(1) 長(zhǎng)為30cm的細(xì)繩的張力是多少？(2) 圓環(huán)將要開始滑動(dòng)時(shí)，重物G的質(zhì)量是多少?(3) 角©多大?分析選取圓環(huán)作為研究對(duì)象，分析圓環(huán)的受力情況：圓環(huán)受到重力、細(xì)繩的張力T、桿對(duì)圓環(huán)的支持力N、摩擦力f的作用。解因?yàn)閳A環(huán)將要開始滑動(dòng)，所以，可以判定本題是在共點(diǎn)力作用下物體的平衡問題。由牛頓第二定律給出的平衡條件EF=0,EF=0，建立方程有xyuNTcos9=0，NTsin9=0。4設(shè)想：過0作0A的垂線與桿交于B'點(diǎn)，由A0=30cm,tg9宀，得B，0的長(zhǎng)為40cm。在直角三角形中，由

3、三角形的邊長(zhǎng)條件得AB'=50cm，但據(jù)題述條件AB=50cm,故B'點(diǎn)與滑輪的固定處B點(diǎn)重合，即得©=90°。(1) 如圖2所示選取坐標(biāo)軸，根據(jù)平衡條件有Gcos9+Tsin9mg=0，Tcos9Gsin9=0。解得T8N,(2) 圓環(huán)將要滑動(dòng)時(shí)，得mg=Tctg9,m=0.6kg。GG(3) 前已證明©為直角。例4如圖1所示，質(zhì)量為m=5kg的物體放在水平面上，物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)求當(dāng)物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，牽引力F的最小值和方向角e。分析本題考察物體受力分析：由于求摩擦力f時(shí)，N受F制約,而求F最小值，即轉(zhuǎn)化為在物理問題中應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決

4、的實(shí)際問題。我們可以先通過物體受力分析。據(jù)平衡條件，找出F與e關(guān)系。進(jìn)一步應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解極值。解作出物體m受力分析如圖2，由平衡條件。EF=Fcos9-uN=0(1)xEF=Fsine+N-G=O(2)y由聯(lián)立筒=COE匚+|I匚11口說炬9=k-7-kGI-GccscGJ3cocm+匚口口cm門口+:eEctn口IG1由cos(e)=1即卩e=o時(shí)=30°,e=30°說明本題中我們應(yīng)用了數(shù)學(xué)上極值方法，來(lái)求解物理實(shí)際問題，這是在高考中考察的一項(xiàng)重要能力。在以后解題中我們還會(huì)遇到用如：幾何法、三角形法等數(shù)學(xué)方法解物理問題，所以，在我們學(xué)習(xí)物理時(shí)，逐步滲透數(shù)學(xué)思想，對(duì)解決物

5、理問題是很方便的。但要注意，求解結(jié)果和物理事實(shí)的統(tǒng)一性。例5如圖1，A、B兩物體質(zhì)量相等，B用細(xì)繩拉著，繩與傾角e的斜面平行。A與B,A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，若A沿斜面勻速下滑，求動(dòng)摩擦因數(shù)的值。團(tuán)2例6、如圖7,半徑為R的光滑半球的正上方，離球面頂端距離為h的0點(diǎn)，用一根長(zhǎng)為l的細(xì)線懸掛質(zhì)量為m的小球，小球靠在半球面上.試求小球?qū)η蛎鎵毫Φ拇笮?函7例題1一個(gè)光滑的圓球擱在光滑的斜面和豎直的檔板之間（圖1）,斜面和檔板對(duì)圓球的彈力隨斜面傾角a變化而變化的范圍是:A斜面彈力叫變化范圍是（mg,+s）B斜面彈力叫變化范圍是（0,+）C檔板的彈力變化范圍是（0,+-）D檔板的彈力變化范圍是（m

6、g,+-）答：A、C解：圓球受三個(gè)力，其中重力的大小和方向均為確定的，檔板對(duì)圓球的彈力n2的方向始終是水平的，亦為確定的。而斜面對(duì)圓球的作用力的大小和方向均在變化中，但不論a如何變動(dòng)，只要a取一個(gè)確定的值，圓球就在三力作用下處于平衡狀態(tài)，則此三力就組成一個(gè)封閉的三角形，如圖2所示：由于0VaV90°，所以mgVNV+8,0<N<+當(dāng)然也可由N】=mgcosaN3=mgtg.厘解出。例題2如圖3所示，用兩根繩子系住一重物，繩oa與天花板夾角e不變，且e>45。，當(dāng)用手拉住繩OB，使繩OB由水平慢慢轉(zhuǎn)向OB'過程中，OB繩所受拉力將A. 始終減少B.始終增大C.

7、先增大后減少D.先減少后增大答：D解：重物受三個(gè)力，其中重力大小方向確定，OA方向不變，OB繩受力的大小方向變化。在變化過程中，重物所受三力平衡，可組成一個(gè)封閉三角形，現(xiàn)圖示如下:團(tuán)3從圖中可很直觀地得出結(jié)論。由于e>45°,e+a=90。所以aV45。，此時(shí)T°B取得最小值。例題3如圖4所示，一重球用細(xì)線懸于0點(diǎn)，一光滑斜面將重球支持于A點(diǎn)，現(xiàn)將斜面沿水平面向右慢慢移動(dòng)，那么細(xì)線對(duì)重球的拉力T及斜面對(duì)重球的支持力N的變化情況是：A. T逐漸增大，N逐漸減?。籅. T逐漸減小，N逐漸增大；C. T先變小后變大，N逐漸減小;D. T逐漸增大，N先變大后變小。例7、一質(zhì)量

8、為50kg的均勻圓柱體，放在臺(tái)階旁，臺(tái)階高度h=F(r為柱體半徑)。社依口白階捺駁處是叱糙1九鞏芒柱體最上方A處施一最小的力F,使柱體剛能開始以P軸向臺(tái)階上滾，求此最小力.析：圓柱體不能看作質(zhì)點(diǎn)，選其為研究對(duì)象，分析其受力如圖13(a)所示.先將圓柱體在P點(diǎn)所受的支持力N和靜摩擦力f合成，得到合力Q,則圓柱體受mg、Q、F三個(gè)力作用，這三個(gè)力必為共點(diǎn)力，且Q、F二力的合力為定值，如圖13(b)所示，顯然當(dāng)F與Q垂直時(shí),F有最小值，由題給條件知，ZOAP=30°，則：Fmi=Tsin30°=mgsin30°=25°N由以上兩例可以發(fā)現(xiàn)，將多力問題轉(zhuǎn)化為三力

9、問題時(shí)，常先將同一接觸面上的彈力和摩擦力合成，在求解時(shí)用的較多的分析思路是三力的動(dòng)態(tài)平衡問題的分析思路，請(qǐng)讀者再進(jìn)一步加以體會(huì).(2)利用正交分解法分析求解當(dāng)受力較多時(shí)，利用合成法需要幾次合成才能得出結(jié)論，分析起來(lái)較繁瑣最常見的多力平衡問題就是直接建立正交坐標(biāo)系，在分析物體受力后，利用正交分析法求解.例8、如圖14為一遵從胡克定律的彈性輕繩，其一端固定于天花板上的0點(diǎn)，另一端與靜止在動(dòng)摩擦因數(shù)恒定的水平地面上的滑塊A相連.當(dāng)繩處在豎直位置時(shí)，滑塊A對(duì)地面有壓力作用.B為緊挨繩的一光滑水平小釘，它到天花板的距離B0等于彈性繩的自然長(zhǎng)度.現(xiàn)用一水平力F作用于A,使它向右作直線運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過程中，作

10、用于A的摩擦圉沁力A、逐漸增大B、逐漸減小Tirmg團(tuán)15C、保持不變D、條件不足，無(wú)法判斷析：取物體A為研究對(duì)象，分析A受力如圖15，并沿水平和豎直方向建立正交坐標(biāo)系.由于物體向右做直線運(yùn)動(dòng)，則y軸方向上受力平衡，即：TsinG+N二mg依題意，繩的拉力T=kx，x為彈性繩的形變量，則地面對(duì)物體的支持力NT;iii0=it百-k*sin=mg-k*A3與A物體在B正下方時(shí)地面對(duì)物體的支持力相同.也就是說，在物體向右運(yùn)動(dòng)過程中，地面對(duì)物體的支持力不變，由滑動(dòng)摩擦力公式知，正確答案為C.解決物理問題的關(guān)鍵在于有正確的分析思路和解題步驟.上面我們雖然分成幾種情況來(lái)討論平衡問題，但不難發(fā)現(xiàn)，突破障礙

11、后，其解題的思路和步驟是完全一樣的.這就要求我們，在學(xué)習(xí)物理的平衡知識(shí)時(shí)，首先要建立一個(gè)解題的基本模式，即解題基本步驟及幾種常見題型的特點(diǎn)，則無(wú)論在何處遇到此類問題，都能夠迅速喚起基本模式，通過原型啟發(fā)，迅速重視相關(guān)知識(shí)，從而順利地解決問題.解平衡問題是這樣，解決其它問題也是這樣，如果我們堅(jiān)持這樣去做，就會(huì)達(dá)到會(huì)學(xué)、要學(xué)、樂學(xué)的高境界.三、練習(xí)題2. 半徑為R的光滑球，重為G,光滑木塊，重為G，如圖示放置.至少用多大的力F（水平力）推木塊，才能使球離開地面？木塊高為h.®173. 兩根長(zhǎng)度相等的輕繩下端是掛一質(zhì)量為m的物體，上端分別固定在水平天花板上的M、N點(diǎn).M、N兩點(diǎn)間的距離為S

12、,如圖18所示.已知兩繩所能承受的最大拉力均為T,則每根繩的長(zhǎng)度不得短于多少？圖181. 如圖16,AB為一輕質(zhì)桿，BC為一細(xì)繩，A總通過絞鏈固定于豎直墻上，若在桿上掛一重物，并使其逐漸由B向A移動(dòng)，試分析墻對(duì)桿A端的作用力如何變化？/yyzz4. 在光滑的斜面上用鈿繩吊著一個(gè)重為色=10弟N的/卜球，在圖示情形下處于靜止?fàn)顟B(tài)，求繩對(duì)球的拉力大小及斜面給球的支持力的大小.5. 如圖20,AB為一輕質(zhì)梯子，A端靠在光滑墻面上，B端置于粗糙水平面上.當(dāng)重為G的人由B端逐漸爬上梯子的A端時(shí)，梯子始終沒動(dòng).試分析墻對(duì)梯子的作用力與地面給梯子的作用力分別如何變化？6如圖21，一木塊質(zhì)量為m，放在傾角為e

13、的固定斜面上，木塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為卩.當(dāng)用水平方向的力F推這木塊時(shí)，木塊沿斜面勻速上升，則此水平推力多大？附答案:1.先減小，后增大2.F=JhR-h)R-h;G4.T=N=10N5.墻對(duì)A支持力逐漸增大，地面對(duì)B支持力不變，靜摩擦力逐漸增大.或n3+戸6-F=cosg-nrg靜力學(xué)中四類極值問題的求解最（大或?。┲祮栴}是中學(xué)物理習(xí)題中常見的題型之一，這類題型滲透在中學(xué)物理的各個(gè)部分，技巧性強(qiáng)，解法頗多。深入探究最值問題的解答，能有效地提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，培養(yǎng)靈活性和敏捷性。1. 不等式法:例1無(wú)限長(zhǎng)直電桿立于地面，與地面之間的摩擦力足夠大。如圖1示，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的繩拉電桿，若所

14、用拉力T恒定時(shí)，繩栓在電線桿的何處最容易拉倒？圖1分析與解：設(shè)繩線栓在離地h高處，則拉力T的力矩最大時(shí)，最容易拉倒電桿,如圖1,cos0=h/L，則T的力矩平方得,Mr=Ths：n日=ThJo?fLM?3=T21?(L2-h3j/L2觀察此式，T、L一定，因h2+（L2-h2）=L2是一常數(shù)，故當(dāng)h2=L2-h2叭込最大,最容昜拉倒屯桿，此時(shí)：h=L/評(píng)點(diǎn)：解此類問題，首先根據(jù)力的平衡列出方程，然后觀察方程特征，發(fā)掘其隱含條件，若a>0,b>0,a+b二常數(shù)，則當(dāng)a=b時(shí)，ab積最大。這里運(yùn)用了不等式的一個(gè)重要性質(zhì)（a+b）/2妊。2. 三角函數(shù)法:ffi2例2重量為G的物體在水平

15、而上作勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)物體與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)卞口=3兮求作用在物眛上的最小力比如圖2示。分析與解：物體受共點(diǎn)力作用而平衡，由平衡條件得：水平方向：Fcos9=uN豎直方向：N+Fsin=G解得F=uG/(cos9+usin9)為使F最小，只需cos9+usin9最大，因?yàn)?cos9+usin9)=(cos9sin+cossin9)/sin©=sin(9+©)/sin©F=uGsin©=G/2。min而©=ct屈乳冏27)區(qū)1,故當(dāng)9=30。時(shí)，F(xiàn)最小，最小值為評(píng)點(diǎn)：求解此類問題的一般思路是先根據(jù)物理規(guī)律求出待求量的表達(dá)式，再根據(jù)三角函數(shù)的有界性

16、：|sin9|W1或|cos9|W1求最值。3. 極限推理法：例3如圖3，用力F推質(zhì)量為M的物體，物體與地面間的摩擦因數(shù)為卩，求外力F與水平方向交角9最小為多大時(shí)，無(wú)論外力F多么大均不能使物體前進(jìn)？分析與解：物體受共點(diǎn)力作用，當(dāng)不動(dòng)時(shí)必滿足：Fcos9Wu(Mg+Fsin9)因?yàn)闊o(wú)論F多大，上式均成立，則當(dāng)F-g時(shí)，不等式也成立，此時(shí)e取最小值9因此最小角滿足方程cos0-usin9=0，000tg0=1/u，000=arctg1/u。評(píng)點(diǎn)：此類題通過對(duì)關(guān)系式的推理分析、9=90時(shí)F無(wú)論多大物體都不能被推動(dòng),因而F-g時(shí)所滿足的0角便是最小值。這是一種極限推理分析的方法。4. 矢量三角圖示法圖45例5重為G的