反三角函數(shù)典型例題

1、反三角函數(shù)典型例題例1：在下列四個式子中，有意義的為解：(4)有意義。(l)arcsin邁;4 點評：arcsinxxg-l,l。sin(arcsin2)；(4)arcsin(sin2)。例2：求下列反正弦函數(shù)值(1)arcsin'3=2(3)arcsin(-2)=解：(2)arcsinO=解：£62：3±二，土二，±1的反正弦值。22解：4)arcsin1=解:點評：熟練記憶：0，土-、2l£思考：sin(arcsin+-)該如何求?24552-例3：用反正弦函數(shù)值的形式表示下列各式中的x解：x=arcsin斗3 兀兀(l) sinx=，xg-

2、，522變式：xG£,£2££解：xg,£時，nxg0,，sin(nx)=sinx=225.3則.3.nx=arcsin-，則Ux=narcsin-5-解：x=arcsin-變式:xgO,兀?(2)sinx=-，xg-，匹解:422l3£變式：sinx=一，xg一,2£423££解：xg一,2£時，2nxg0,225或x=narcsin1x=一arcsin41,sin(2n一x)=sinx=411.2nx=arcsin,則x=2narcsin44點評：當(dāng)xe-,£時，x=arcsina

3、；而當(dāng)x-£,£，可以將角轉(zhuǎn)化到區(qū)間-£,£上，再用誘導(dǎo)公式2 22222處理對應(yīng)角之三角比值即可。練習(xí)：3££(1) sinx=，xg-，222(2) sinx=，xg0,£3(3) sinx=-解:解:解:£x=3一巧十運x=arcsin或x=£-arcsin-333x=£+arcsin例4：求函數(shù)y=2arcsin(5-2x)的定義域和值域。兀兀解：由一1<5-2x<1，則xg2,3,arcsin(52x)g，則yg兀,兀。22變式：y=sinx+arcsinx解：xg1,1,

4、ygsinl-蘭,sin1+蘭22兀3兀思考：當(dāng)xg-,時，求函數(shù)y=arcsin(cosx)的值域。44兀3兀12兀兀解：當(dāng)xg-4，N時t=cosxg-亍1，而y=arcsint為增函數(shù)，則yg-4,2。例5：求下列函數(shù)的反函數(shù)兀(1)y=sinx，xg,兀兀解:yg0,1，x-kg-,0且sin(x兀)=-sinx=-y，貝x兀=arcsin(-y)，2貝9x=k-arcsiny，則反函數(shù)是f1(x)=k-arcsinx，xg0,1。(2) y=arcsinx，xg0,1解：yg0,|,x=sinyk則反函數(shù)是f-1(x)=sinx，xg。才6-例6求下列反三角函數(shù)的值：(1)arcco

5、s(2)arccos(-于)=普(兩種方法)(3) arccos0+arctanl=4(4)arctan(-、：3)=(5)arcsin(1)+arccos(1)=22(6)arctan(tan)=6例7用反三角函數(shù)值的形式表示下列各式中的x：1(1)cosx=3xg0,k解：1x=arccos3變式：1cosx=3xgk,2k解：x=2k-arccos-3解：x=arctan(-2)kk變式：(2)tanx=2,xg(2，2)解：x=k+arctan2例8(1)已知arcsinx>arcsin(1x),求x的取值范圍。由一1<1x<x<1，得丄<x<1。2

6、解：(2)arccosx>arccos(lx)解：由一1<x<1x<1，得0<x<丄。2(3)arctanx>3(4)arccosx>3解：例9求y=arcsinx+arctanx的值域。33解：一1WxW1一3WyW344涉及和函數(shù)概念，反正弦、反正切函數(shù)單調(diào)性例10求下列各式的值42sin(arccos(-)(1)解：(2)設(shè)x=arccos(2)，貝Vcosx=亠且xe,，貝sinx二73323tanarccos(2)-26解：(3)tan吟-3)-1朽-cos2(1arccos#)-1-打G-3+1)2=2+朽33x1+cosx4設(shè)x=arccos-，則cosx=一且xe0,，則cos2解：(4)552225123sinarctan-#arcsin#123124設(shè)a=arctan，p=arcsin，貝tana=，sinp=且a,pe(0,)，解：5 55521231245333貝9sinarctanarcsin=sin(ap)=xx5513513565思考：若求a