Catia-V5-曲線曲面理論基礎(chǔ)

1、1CATIACATIA曲線曲面造型的曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)幾何理論基礎(chǔ)u主要參考資料：1，最經(jīng)典CATIA曲線曲面設(shè)計基本理論 作者：復旦托業(yè)CAD培訓中心2，3D計算機圖形學（原書第三版） 作者： （英）Alan Watt 包宏 譯3，第十一講：非均勻有理B樣條曲線和曲面 CAD/CAM技術(shù)基礎(chǔ) 作者：來自百度文庫2Bezier 貝塞爾曲線曲面B-Spline B-樣條曲線曲面NURBS 非均勻有理B-樣條曲線曲面Rational B-Spline 有理B-樣條曲線曲面曲面造型的理論發(fā)展歷程曲面造型的理論發(fā)展歷程Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)3Catia曲

2、線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ) NURBSNURBS非均勻有理非均勻有理B B樣條（樣條（Non-Uniform Rational B-SplineNon-Uniform Rational B-Spline） 這種方法的提出是為了找到與描述自由型曲線曲面的B樣條方法相統(tǒng)一的又能精確表示二次曲線弧與二次曲面的數(shù)學方法。 NURBSNURBS方法主要有以下四個特點： 1，NURBS不僅可以表示自由曲線曲面,它還可以精確地表示圓錐曲線和規(guī)則曲線,所以NURBS為計算機輔助幾何設(shè)計(CAGD)提供了統(tǒng)一的數(shù)學描述方法; 2，NURBS具有影響曲線、曲面形狀的權(quán)因子,故可以設(shè)計相當復

3、雜的曲線曲面形狀。若運用恰當,將更便于設(shè)計者實現(xiàn)自己的設(shè)計意圖; 3，NURBS方法是非有理B樣條方法在四維空間的直接推廣,多數(shù)非有理B樣條曲線曲面的性質(zhì)及其相應的計算方法可直接推廣到NURBS曲線曲面; 4，計算穩(wěn)定且快速。 由于NURBS方法的這些突出優(yōu)點,國際標準化組織(ISO)于1991年頒布了關(guān)于工業(yè)產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的STEP國際標準,將NURBS方法作為定義工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的唯一數(shù)學描述方法,從而使NURBS方法成為曲面造型技術(shù)發(fā)展趨勢中最重要的基礎(chǔ)。4 NURBS NURBS非均勻有理非均勻有理B B樣條（樣條（Non-Uniform Rational B-Spline)Non-Un

4、iform Rational B-Spline) 一條NURBS曲線用一個帶比重控制點和曲線的次序以及一個節(jié)點矢量的集合定義。 非均勻（非均勻（Non-UniformNon-Uniform）：）：指NURBS基函數(shù)的節(jié)點沿參數(shù)軸不等距分布，即節(jié)距不均勻,而且允許重節(jié)點的存在。 有理（有理（RationalRational）：）：采用分式表示，增加了權(quán)因子，是有理的，其分子分母分別是參數(shù)多項式和多項式函數(shù)。 每個控制點都帶有一個數(shù)字( 權(quán)因子)，除了少數(shù)的特例以外，權(quán)值大多是正數(shù)。當一條曲線所有的控制點有相同的權(quán)值時 ( 通常是1 )，稱為“非有理” ( Non-Rational ) 曲線，否則

5、稱為“有理” ( Rational ) 曲線。BezierBezier方法及方法及B-B-樣條方法都是非有理的樣條方法都是非有理的。 NURBS 的“R”代表有理，意味著一條NURBS 曲線有可能是有理的。在實際情況中，大部分的NURBS曲線是非有理的, 但有些NURBS 曲線永遠是有理的，圓和橢圓是最明顯的例子。 B B樣條樣條(B-Spline): (B-Spline): 由多段參數(shù)化表示的曲線組成。NURBS的基函數(shù)與B-Spline的基函數(shù)一樣。 * * NURBS曲線曲面是 非有理非有理B-樣條曲線曲面和有理有理/ /非有理非有理Bezier曲線曲面的推廣。Catia曲線曲面造型的幾

6、何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)5u曲線、曲面的顯式、隱式、參數(shù)表示曲線、曲面的顯式、隱式、參數(shù)表示 曲線、曲面可以用顯式、隱式和參數(shù)表示。 顯式顯式:形如z=f(x,y)z=f(x,y)的表達式。對于一個平面曲線,顯式表示一般形式是:y=f(x)y=f(x)。在此方程中,一個x x值與一個y y值對應,所以顯式方程不能表示封閉或多值曲線,例如,不能用顯式方程表示一個整圓。 隱式隱式:形如f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0的表達式。如一個平面曲線方程,表示成f(x,y)=0f(x,y)=0的隱式表示。隱式表示的優(yōu)點是易于判斷函數(shù)f(x,y)f(x,y)是否大于、小于或等于零,也就易于

7、判斷點是落在所表示曲線上或在曲線的哪一側(cè)。 參數(shù)表示參數(shù)表示:形如x=f(t),y=f(t),z=f(t)x=f(t),y=f(t),z=f(t)的表達式,其中t t為參數(shù)。即曲線上任一點的坐標均表示成給定參數(shù)的函數(shù)。 如平面曲線上任一點P P可表示為:P(t) = x(t), y(t);P(t) = x(t), y(t); 空間曲線上任一三維點P P可表示為:P(t) = x(t), y(t), z(t);P(t) = x(t), y(t), z(t);如圖:Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)6 最簡單的參數(shù)曲線是直線段,端點為P1P1、P2P2的直線段參數(shù)方程可

8、表示為: P(t) = P1 + ( P2 - P1 )t t 0, 1P(t) = P1 + ( P2 - P1 )t t 0, 1； 圓在計算機圖形學中應用十分廣泛,其在第一象限內(nèi)的單位圓弧的非參數(shù)顯式表示為: 其參數(shù)形式可表示為: 參數(shù)表示的曲線、曲面具有幾何不變性等優(yōu)點參數(shù)表示的曲線、曲面具有幾何不變性等優(yōu)點, ,計算機圖形學中通常用參數(shù)形式描述曲線、曲面計算機圖形學中通常用參數(shù)形式描述曲線、曲面。 其優(yōu)勢主要表現(xiàn)在: (1)(1)可以滿足幾何不變性的要求,坐標變換后仍保持幾何形狀不變 (2)(2)有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀。如一條二維三次曲線的顯式表示為: 只有四個系數(shù)控制

9、曲線的形狀。而二維三次曲線的參數(shù)表達式為: 有8個系數(shù)可用來控制此曲線的形狀。 (3)(3)對非參數(shù)方程表示的曲線、曲面進行變換,必須對其每個型值點進行幾何變換,不能對其方程變換(因不滿足幾何變換不變性不滿足幾何變換不變性);而對參數(shù)表示的曲線、曲面可對其參數(shù)方程直接進行幾何變換。1021xxy 102122121,)( ttttttPdcxbxaxy231 , 0432231432231)(tbtbtbtbatatatatPCatia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)7 (4) (4)便于處理斜率為無窮大的情形,不會因此而中斷計算。 (5)(5)參數(shù)方程中,代數(shù)、幾何相關(guān)和

10、無關(guān)的變量是完全分離的,而且對變量個數(shù)不限,從而便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴展到高維空間去。這種變量分離的特點使我們可以用數(shù)學公式處理幾何分量。 (6)(6)規(guī)格化的參數(shù)變量t0, 1,使其相應的幾何分量是有界的,而不必用另外的參數(shù)去定義邊界。 (7)(7)易于用矢量和矩陣表示幾何分量,簡化了計算。位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和撓率(見高等數(shù)學)u插值、逼近、擬合插值、逼近、擬合 插值插值:給定一組有序的數(shù)據(jù)點Pi,i=0, 1, , nPi,i=0, 1, , n,構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點,稱為對這些數(shù)據(jù)點進行插值,所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。常用插值方法有線性插值（用直線模擬實際

11、曲線）、拋物線插值（用二次多項式曲線模擬實際曲線），三次樣條插值等。 在插值問題中，樣條插值通常比多項式插值好用。用低階的樣條插值能產(chǎn)生和高階的多項式插值類似的效果，并且可以避免被稱為龍格現(xiàn)象的數(shù)值不穩(wěn)定的出現(xiàn)。并且低階的樣條插值還具有“保凸”的重要性質(zhì)。 逼近逼近:構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點,稱為對這些數(shù)據(jù)點進行逼近,所構(gòu)造的曲線為逼近曲線。 擬合擬合:插值和逼近則統(tǒng)稱為擬合(fitting)。圖 8 - 1 曲 線 的 擬 合圖8-2 曲線的逼近Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)8u光順、連續(xù)性光順、連續(xù)性 光順光順:通俗含義指曲線的拐點不能

12、太多,曲線拐來拐去,就會不順眼,對平面曲線而言,相對光順的條件是:a)a)具有二階幾何連續(xù)性(G G2 2);b)b)不存在多余拐點和奇異點;c)c)曲率變化較小。 連續(xù)性連續(xù)性:設(shè)計一條復雜曲線時,常常通過多段曲線組合而成,這需要解決曲線段之間如何實現(xiàn)光滑連接的問題,即為連續(xù)性問題。 曲線間連接的光滑度的度量有兩種:一種是函數(shù)的可微性函數(shù)的可微性,把組合參數(shù)曲線構(gòu)造成在連接處具有直到n n階連續(xù)導矢,即n n階連續(xù)可微,這類光滑度稱之為C Cn n或n n階參數(shù)連續(xù)性。另一種稱為幾何連續(xù)性幾何連續(xù)性,組合曲線在連接處滿足不同于C Cn n的某一組約束條件,稱為具有n n階幾何連續(xù)性,簡記為G

13、 Gn n。曲線光滑度的兩種度量方法并不矛盾,C Cn n連續(xù)包含在G Gn n連續(xù)之中。 對于右圖所示二條曲線P(t)P(t)和Q(t),Q(t),參數(shù)t0, 1,t0, 1,若要求在結(jié)合處達到G G0 0連續(xù)或C C0 0連續(xù),即兩曲線在結(jié)合處位置連續(xù):P(1) = Q(0)P(1) = Q(0)。 若要求在結(jié)合處達到G G1 1連續(xù),就是說兩條曲線在結(jié)合處在滿足G G0 0連續(xù)的條件下,并有公共的切矢: (1-11-1) 當 時,G G1 1連續(xù)就成為C C1 1連續(xù)。 若要求在結(jié)合處達到G G2 2連續(xù),就是說兩條曲線在結(jié)合處在滿足G G1 1連續(xù)的條件下,并有公共的曲率矢: (1-2

14、1-2) 代入(1-11-1)得: 這個關(guān)系為: (1-31-3) 即 在 和 確定的平面內(nèi)。為任意常數(shù)。當 時,G2G2連續(xù)就成為C2C2連續(xù)。在弧長作參數(shù)的情況下,C1C1連續(xù)保證G2G2連續(xù),C1C1連續(xù)能保證G2G2連續(xù),但反過來不行。也就是說CnCn連續(xù)的條件比連續(xù)的條件比GnGn連續(xù)的條件要苛刻連續(xù)的條件要苛刻。0) 1 ( )0( PQ133)0( )0( )0( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( QQQPPP) 1 ( ) 1 ( )0( ) 1 ( 2PPQP) 1 () 1 ()0(2PPQ 0, 1)0( Q) 1 ( P) 1 ( PCatia曲線曲面造型的幾何理論基

15、礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)9uBezierBezier曲線的定義曲線的定義 給定空間n+1n+1個點的位置矢量Pi(i=0,1,2,n),Pi(i=0,1,2,n),則BezierBezier參數(shù)曲線上各點坐標的插值公式是: 將其寫成矩陣表達形式為: 其中,PiPi構(gòu)成該Bezier曲線的特征多邊形,B Bi,ni,n(t)(t)是n n次BernsteinBernstein基函數(shù)基函數(shù): 注意:約定00 = 1, 0! = 1 n=0, B0,0(t) = 1 點 n=1, B0,1(t) = 1-t； B1,1(t) = t 直線段，線性插值 n=2, B0,2(t) = (1-t)2；

16、B1,2(t) = 2t(1-t)；B2,2(t) = t2 二次曲線插值 n=3, B0,3(t) = (1-t)3；B1,3(t) = 3t(1-t)2；B2,3(t) = 3t2(1-t)；B3,3(t) = t3 三次曲線插值 Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)1 , 0)()(,0ttBPtPniniin10, 1, 0 )( )( )()(PPPPtBtBtBtnnnn), 1 , 0()1 ()!( !)1 ()(,nitiininttCtBiniiniinni10uBezierBezier曲線的定義曲線的定義 如圖所示是一條三次Bezier曲線實例,

17、即n=3n=3。 對于三次BezierBezier曲線,其表達式為：式中:B0,3(t) = (1-t)3；B1,3(t) = 3t(1-t)2；B2,3(t) = 3t2(1-t)；B3,3(t) = t3將其寫為矩陣表達式則為: P P(t)= B0,3(t) B1,3(t) B2,3(t) B3,3(t) P0 P1 P2 P3T =式中若求Px(t)的值,則取Pi的x坐標進行計算,同理求Py(t)、Pz(t)的值,具體如下:P x (t)= B0,3(t) B1,3(t) B2,3(t) B3,3(t) P0 x P1x P2x P3x TP y (t)= B0,3(t) B1,3(t

18、) B2,3(t) B3,3(t) P0y P1y P2y P3y TP z (t)= B0,3(t) B1,3(t) B2,3(t) B3,3(t) P0z P1z P2z P3z T注意:上式基函數(shù)的計算僅需一次,不必三次Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)1 , 0)()(3 ,30ttBPtPiii321023 0 0 0 1 0 0 3 3-0 3 6- 31 3- 3 1- 1 PPPPttt特別注意：特別注意：Bezier曲線的定義區(qū)間為曲線的定義區(qū)間為0,111Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)uBezierBezier曲線

19、的性質(zhì)曲線的性質(zhì) (1)端點性質(zhì) a.曲線端點位置矢量 由BernsteinBernstein基函數(shù)的端點性質(zhì)可以推得,p(0) = P0，p(1) = Pn 由此可見由此可見,Bezier,Bezier曲線的起點、終點與相應的特征多邊形的起點、終點重合。曲線的起點、終點與相應的特征多邊形的起點、終點重合。 b.端點切矢量,因為 即P(0) = n(P1 -P0),P(1) = n(Pn-Pn-1) 這說明BezierBezier曲線的起點和終點處的切線方向和特征多邊形的第一條邊及最后一條邊的走向一致。曲線的起點和終點處的切線方向和特征多邊形的第一條邊及最后一條邊的走向一致。 c.端點二階導矢

20、 即: 上式表明:2 2階導矢只與相鄰的階導矢只與相鄰的3 3個頂點有關(guān)個頂點有關(guān), ,事實上事實上,r,r階導矢只與階導矢只與(r+1)(r+1)個相鄰點有關(guān)個相鄰點有關(guān), ,與更遠點無關(guān)與更遠點無關(guān)。101,1, 1)()()( nininiitBtBPntP202,12)()2() 1()( niniiiitBPPPnntP)2)(1()0( 012PPPnnP)2)(1() 1 ( 21nnnPPPnnP12 如圖示構(gòu)造一條曲線，由兩段R和S組成，這條曲線的形狀將在連接點S3/R0的周圍被改變。為了保持連續(xù)性，我們必須在R1、R0/S3和S3三個點上同時進行操作?？梢园聪旅娴姆椒▉磉_到

21、這一目的：保持線段R1、S2的方向，在此方向上對R1、R0/S3和S3三個點進行移動；保持連接點R0/S3的位置，并繞這一點旋轉(zhuǎn)線段R1S2；整體固定R1、R0/S3和S3三個點，再進行移動。 這三種編輯方式可以改變由任意數(shù)量的曲線段組成的曲線的形狀，而同時可以保持各曲線段之間的一階連續(xù)性。稍后，我們將看到，Bezier曲線的這種復雜性可以通過B樣條曲線來克服。Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)13Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)uBezierBezier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì) (2)對稱性 顛倒控制點順序,即控制頂點 構(gòu)造出的新Bezi

22、er曲線，與原Bezier曲線形狀相同，僅走向相反。這個性質(zhì)說明BezierBezier曲線在起點處有什么幾何性質(zhì)曲線在起點處有什么幾何性質(zhì), ,在終點處也有相同的性質(zhì)在終點處也有相同的性質(zhì)。 (3)凸包性 由于 ，且 ，這一結(jié)果說明當t在0,1區(qū)間變化時，對某一個t值，P(t)是特征多邊形各頂點Pi的加權(quán)平均，權(quán)因子依次是 。在幾何圖形上，意味著Bezier曲線P(t)在0,1中各點是控制點Pi的凸線性組合，即曲線落在Pi構(gòu)成的凸包之中。 (4)幾何不變性 這是指某些幾何特性不隨坐標變換而變化的特性。Bezier曲線的位置與形狀與其特征多邊形頂點Pi（i=0,1,n）的位置有關(guān),它不依賴坐標

23、系的選擇。 (5)變差縮減性 (6)仿射不變性),.,1 , 0( *niPPini1)(0,ninitB),.,1 , 0, 1(0 1)(0,nittBni)(,tBni14uBezier曲線的遞推(de Casteljau)算法 計算Bezier曲線上的點,可用Bezier曲線方程,但使用de Casteljau提出的遞推算法則要簡單的多。Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)15Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)16Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)17Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何

24、理論基礎(chǔ) 這一算法隱含說明任一Bezier曲線均可被分割為兩段Bezier曲線。第一段由P0,P01,P02 ,P03 確定,參數(shù)空間為0,1/3;第二段由P03,P12 ,P21 ,P3確定,參數(shù)空間為1/3,1,分割后的曲線形狀保持不變。18Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)19Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)uBezierBezier曲線的升階曲線的升階( (精確精確) ) 所謂升階是指保持保持BezierBezier曲線的形狀與方向不變曲線的形狀與方向不變,增加定義它的控制頂點數(shù),也即是提高該Bezier曲線的次數(shù)。增加了控制頂

25、點數(shù),不僅能增加了對曲線進行形狀控制的靈活性,還在構(gòu)造曲面方面有著重要的應用。對于一些由曲線生成曲面的算法,要求那些曲線必須是同次的曲線必須是同次的,應用升階的方法,我們可以把低于最高次數(shù)的把低于最高次數(shù)的的曲線提升到最高次數(shù)的曲線提升到最高次數(shù), ,使得各條曲線具有相同的次數(shù)使得各條曲線具有相同的次數(shù)。 曲線升階后,原控制頂點會發(fā)生變化。下面,我們來計算曲線提升一階后的新的控制頂點。 設(shè)給定原始控制頂點 ,定義了一條n n次BezierBezier曲線: 增加一個頂點后,仍定義同一條曲線的新控制頂點為 ,則有: 對上式左邊乘以(t+(1-t),得到: 比較等式兩邊 項的系數(shù),得到: 化簡即得

26、: 其中P -1 =P n+1 =0。此式說明:新的控制頂點新的控制頂點P Pi i* *是以參數(shù)值是以參數(shù)值 i/(n+1) i/(n+1) 按分段線性插值從原始特征多邊形得出的按分段線性插值從原始特征多邊形得出的。升階后的新的特征多邊形在原始特征多邊形的凸包內(nèi)。特征多邊形更靠近曲線。1 , 0)()(,0ttBPtPninii* 1*1*0,.,nPPP 110,.,nPPP101*10)1 ()1 (niiniiinniiniiinttPCttPC101*1011)1 ()1 ()1 (niiniiinniiniiniiinttPCttttPCinitt1)1 (11*1iiniinii

27、nPCPCPC1)n0,1,.,(i )11 (11*iiiPniPniP20Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)黃色線為原始曲線，3階2次曲線，n2。綠色點為3階2次曲線控制點，包括首尾共3個點。升階為4階3次曲線：繼續(xù)升階為5階4次曲線：33433231423130413040;)321 (32;)311 (31;PPPPPPPPPP43544342534241524140514050;)431 (43;)421 (42;)411 (41;PPPPPPPPPPPPP1334142423),(504030PPP31P52P51P41P42P53P),(544332P

28、PP214控制點控制點5控制點控制點橋接時，右邊曲面橋接時，右邊曲面A邊界具有邊界具有5階階5控制點，取控制點，取5控制點與其相同，左邊曲面控制點與其相同，左邊曲面B邊界邊界具有具有4階階4控制點，故先對其升階至控制點，故先對其升階至5階階5控制點。然后根據(jù)設(shè)定的邊界連續(xù)生成橋控制點。然后根據(jù)設(shè)定的邊界連續(xù)生成橋接面。接面。Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)22Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)uBezierBezier曲線的降階曲線的降階( (逼近逼近) ) 降階是升階的逆過程。給定一條由原始控制頂點Pi (i=0,1,.,n)定義的n

29、 n次BezierBezier曲線,要求找到一條由新控制頂點Pi*(i=0,1,.,n-1)定義的n-1n-1次BezierBezier曲線來逼近原始曲線。 假定Pi是由Pi*升階得到,則由升階公式有: 從這個方程可以導出兩個遞推公式： 和 其中第一個遞推公式在靠近P0處趨向生成較好的逼近，而第二個遞推公式在靠近Pn處趨向生成較好的逼近。*1*iiiPniPninP1-n0,1,.,i *1*iniPnPPiii,.,11,i )(*1nniPinnPPiii23Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ) Bezier曲線具有很多優(yōu)越性,但有二點不足: 1)特征多邊形頂點數(shù)

30、決定了它的階次數(shù),當n較大時,不僅計算量增大,穩(wěn)定性降低,且控制頂點對曲線的形狀控制減弱; 2)不具有局部性,即修改一控制點對曲線產(chǎn)生全局性影響，因為在整個參數(shù)取值范圍內(nèi)，所有基函數(shù)的值都是非零的。uB B樣條曲線樣條曲線 1972年Gordon等用B樣條基代替BernsteinBernstein基函數(shù),從而改進上述缺點。 B樣條曲線是由任意數(shù)量的曲線段組成的完全的分段三次多項式（為了表示上的方便，我們將只討論三次B樣條。但是，B樣條可以有任意階） 空間n+1n+1個頂點的位置矢量Pi(i=0,1,Pi(i=0,1,。,n),n)構(gòu)造n-2n-2段三次(k=3,k=3,四階四階)均勻B樣條曲線

31、段,每相鄰四個點可定義一曲線段Pi(u)(i=1,。,n-2),其定義表達為:23 , 313 , 23 , 113 , 02313232132i1ii1 - i23)()()()( 3!133313!13643!113!1 1u0 2;-n1,.,i PPPP 00011333-40631331- 1 61)(iiiiiiiiiPuNPuNPuNPuNPuPuuuPuuPuuuuuP24 端點二階導數(shù)矢量端點二階導數(shù)矢量：即曲線段在端點處的二階導數(shù)矢量等于相鄰兩直線邊所形成的平行四邊形的對角線，且兩曲線段在節(jié)點處具有二階導數(shù)連續(xù)（因Pi”(1)=Pi+1”(0) ）。 若 三個頂點位于同一條

32、直線上，三次均勻B樣條曲線將產(chǎn)生拐點；若 四點共線，則Pi(u)變成一段直線；若 三點重合，則Pi(u)過Pi 點。 端點位置矢量端點位置矢量: 即起點位于三角形Pi-1 Pi Pi+1中線Pi M1的1/3處,終點位于三角形Pi Pi+1 Pi+2中線Pi+1 M2的1/3處。可見B B樣條曲線的端點并不通過控制點樣條曲線的端點并不通過控制點。 端點一階導數(shù)矢量端點一階導數(shù)矢量：即曲線段起點的切矢平行于三角形Pi-1 Pi Pi+1的底邊Pi-1Pi+1，其模長為底邊Pi-1Pi+1長的1/2,同樣曲線終點的切矢平行于三角形Pi Pi+1 PI+2的底邊PiPi+2，其模長為底邊PiPi+2

33、長的1/2。且相鄰兩曲線段具有一階導數(shù)連續(xù)（因Pi(1)=Pi+1(0)）。Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)),4(61) 1 (),4(61)0(2111iiiiiiiiPPPPPPPP),0(2/ )() 1 (, 2/ )()0(1211iiiiiiiPPPPPPP),0(2) 1 (,2)0( 121 11 iiiiiiiiiPPPPPPPPP11,iiiPPP211,iiiiPPPP11,iiiPPP25uB B樣條曲線的一般定義樣條曲線的一般定義 已知n+1n+1個控制點Pi(i=0,1,。,n),也稱為特征多邊形的頂點,定義(n+1n+1k)k)段k

34、 k次(k+1k+1階)B B樣條曲線的表達式是: 其中 是調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)，也稱為基函數(shù)基函數(shù)，按照遞歸公式可定義為： 式中ti是節(jié)點（Knot）值，且為非減序列， 構(gòu)成了K次（K+1階）B樣條基函數(shù)的節(jié)點矢量。每一個控制點對應一個基函數(shù)，故基函數(shù)個數(shù)控制點數(shù)基函數(shù)個數(shù)控制點數(shù)；同時每一個基函數(shù)由對應的K+2個節(jié)點決定；節(jié)點數(shù)目由控制頂點Pi（i0，1，。，n）和曲線的次數(shù)K所確定：節(jié)點數(shù)節(jié)點數(shù)n+k+2n+k+2。Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)t ,tun,k , )()(1nk0, nikiiuNPuC)(,uNkit ,tu0,k t)(000t)()(

35、 0t 1)(1kii11ki-1k, 11ki-1k,k,1i0, iikiiiiiiituNuttuNtuuNtuuN）（）（其其它它若若 110,., knkntttT特別注意：特別注意：B樣條曲線的定義區(qū)間為：樣條曲線的定義區(qū)間為：t ,t1nk 26uB-樣條基函數(shù)的局部性樣條基函數(shù)的局部性2022-5-626上上為為零零。上上取取正正值值，在在其其它它區(qū)區(qū)間間只只在在區(qū)區(qū)間間 ), )(,1 kiikittuN)(),.,(),(,uNuNuNkikkikki1 分分段段多多項項式式。從從而而在在整整個個參參數(shù)數(shù)軸軸上上是是的的多多項項式式上上都都是是次次數(shù)數(shù)不不高高于于在在每每個

36、個區(qū)區(qū)間間 , ), )(,kttuNkiiki1 Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)：個個基基函函數(shù)數(shù)非非零零，它它們們是是上上至至多多只只有有在在每每個個區(qū)區(qū)間間11 kttii), 272022-5-627,1)(10, nknikittuuNCatia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)uB-樣條基函數(shù)的權(quán)性樣條基函數(shù)的權(quán)性次次參參數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)。重重節(jié)節(jié)點點處處至至少少為為在在 )(,lkltNki 111ikikiikikikittuNttuNkuN)()()(,uB-樣條基函數(shù)的連續(xù)性樣條基函數(shù)的連續(xù)性28Catia曲線曲面造型的幾何理論

37、基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ) )(.)()( ,tu )()( 0t 1)(0 B0,0, 110, 001000,1i0,uNPuNPuNPtuNPuPtuuNnnnniiiii 其它其它若若次基函數(shù)次基函數(shù)樣條曲線之樣條曲線之)(0,uNi的的圖圖形形)(0,uNi0t1tit1nt0P1PiPnP的圖形的圖形)(uP29Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ) 段曲線段段曲線段第第段曲線段段曲線段第第段曲線段，為一直線段段曲線段，為一直線段第第掉掉但不屬于定義范圍，去但不屬于定義范圍，去開始，故此段曲線存在開始，故此段曲線存在因定義區(qū)間從因定義區(qū)間從其它其它次基函

38、數(shù)次基函數(shù)樣條曲線之樣條曲線之n ), .2 ), 1 ), 1t ), )(.)()( ,t )()( 0 ),), ),)()()( 1 B121111322232123321112101221000101 ,1 , 111 , 001101 ,211221120 , 11220 ,11 ,nnnnnnnnnnnniiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiittuPtttuPttutttuPtttuPttutttuPtttuPttutttuPtttuuNPuNPuNPtuuNPuPttuttutttutttuttuuNttutuNtttuuN的的圖圖形形 )(1 ,uNi)(1 ,uN

39、i300t1tit1nt2t2ntnPiP0P1PB樣條定義區(qū)間：樣條定義區(qū)間：t ,t1n1 )(1 ,0uN1)(1 , 1uN)(1 ,uNi)(1 ,uNn)(1 , 1uNn Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)uB樣條曲線之樣條曲線之1次基函數(shù)及次基函數(shù)及1次曲線次曲線it2i t31Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ) 其它其它 0 ), )(),)()(), )( ), )()()(321 , 1133211 , 11331 ,211 ,231 , 11331 ,22,iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

40、iiiittuuNttutttuuNttutuNtttuttuuNtttuttuuNttutuNtttuuNuB樣條曲線之樣條曲線之2次基函數(shù)次基函數(shù)32Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)iiiiiiiiiiiiiiiiiiiitttutttuuNtttutttuuNtttuuNttu 120 ,121 ,22,1 )( )()(),時時當當12113312220 , 11211330 , 112221 , 11331 ,22,21 )()( )()()(), iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiitttuttutttuttttu

41、uNtttuttutuNttuttttuuNttutuNtttuuNttu時時當當2331330 , 22331331 , 11332,32 )( )()(), iiiiiiiiiiiiiiiiiiiittutttutuNttutttutuNttutuNttu時時當當uB樣條曲線之樣條曲線之2次基函數(shù)次基函數(shù)33Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ) 其它其它 0 ), ),), ), )()()(3223313321121133122211231 , 11331 ,22,iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiittuttutt

42、tutttutttuttutttuttttuttutttutttuttuuNttutuNtttuuNuB樣條曲線之樣條曲線之2次基函數(shù)次基函數(shù)34Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ) 段段曲曲線線段段第第段段曲曲線線段段第第段段曲曲線線段段第第同同上上，去去掉掉不不在在定定義義范范圍圍內(nèi)內(nèi)，去去掉掉開開始始，此此段段曲曲線線存存在在但但因因定定義義區(qū)區(qū)間間從從n ), 2 ), 1 ), ), 2t ), )(.)()( ,t )()(1121122111112111!14333433532343355344242134424432223224212322442331

43、31023313321112113101211331220201000100201 ,1 , 111 , 001202,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnniiittuPtttutttuPtttuttutttuttttuPttutttutttuPtttutttuPtttuttutttuttttuPttutttutttuPtttutttuPtttuttutttuttttuPttutttutttuPtttutttuPtttuttutttuttttuttuPtttutttuuNPuNPuNPtuuNPuPuB樣條曲線之樣條曲線之2次曲線次曲線35Catia曲線曲面造型的

44、幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)。即各控制點連線的中點即各控制點連線的中點；均勻分布，則簡化為：均勻分布，則簡化為：的連線上，若的連線上，若和和的起點落在的起點落在上式表明第一段曲線段上式表明第一段曲線段時，時，當當時，時，當當213102102242312434331131201323222121)(2121)( )()(PPtPPPtPtPPPttttPtttttPtuPttttPtttttPtui uB樣條曲線之樣條曲線之2次曲線次曲線360t1t1nt2t2ntnP0P1P2次次B樣條定義區(qū)間：樣條定義區(qū)間：t ,t1n2 )(2 , 0uN1)(2 , 1uN)(2 ,uNi)

45、(2 ,uNn)(2 , 1uNn Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)uB樣條曲線之樣條曲線之2次基函數(shù)及次基函數(shù)及2次曲線次曲線it3i t3 nt2P1 nP 當t0=t1=t2時，t2之前的基函數(shù)值為常數(shù)0，即圖中虛線框內(nèi)的基函數(shù)曲線段將不再存在。原來ut2,tn+137Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)uB樣條曲線之樣條曲線之2次曲線次曲線-重節(jié)點值重節(jié)點值 t0=t1=t20 段段曲曲線線段段第第段段曲曲線線段段第第，22112143212211102132322310032221232103343353234335534424

46、213442442212022102232242123224423313102331332111211310121133122020100010020111111000254321043210210210 ), )()()( ), )()( ), ), ,t )(.)()( )()(,2,uPuPuPuPtttutttuPtttuttutttuttttuPttutttutuPuPuPuPtttutttuPtttuttutttuttttuPttutttutttuPtttutttuPtttuttutttuttttuttuPtttutttutuuNPuNPuNPuNPuPtttttttttttmtt

47、tmtttnnnniii3801 nt2 nt0P1P2次次B樣條定義區(qū)間：樣條定義區(qū)間：t0,1n 0,1) )(,uN2010,1) )(,uN21Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)11 nt3 nt2P3P000,1) )(,uN221,2) )(,uN221,2) )(,uN211,2) )(,uN232第一段曲線段第二段曲線段2 nt3 ntuB樣條曲線之樣條曲線之2次曲線次曲線-重節(jié)點值重節(jié)點值 t0=t1=t20，t3=1,t4=2,tn,tn+1,tn+2,tn+3。此時此時B樣條曲線的起點與控制多邊形的起點重合。樣條曲線的起點與控制多邊形的起點重合

48、。390t1t1nt2t2ntnP0P1P3次次B樣條定義區(qū)間：樣條定義區(qū)間：t ,t1n2 )(3, 0uN1)(3, 1uN)(3,uNi)(3,uNn)(3, 1uNn Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)uB樣條曲線之樣條曲線之3次基函數(shù)及次基函數(shù)及3次曲線（一般形式）次曲線（一般形式）it4i t3 nt2P1 nP)(3, 2uN)(3, 3uN3t4 nt3P40Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ) 當節(jié)點沿參數(shù)軸是均勻等距分布的，則表示均勻B樣條函數(shù)，其節(jié)點值 。 例如：當n n3 3，k k3 3， 。則上述基函數(shù)可表示為均

49、勻三次B樣條函數(shù)。 應當注意，因節(jié)點均勻分布，基函數(shù)具有平移性，故每段曲線u的取值范圍可轉(zhuǎn)化為獨立的0,1,而不必沿整條參數(shù)軸。 0,1u 11 iitt常常數(shù)數(shù) 1iittn=3,k=3n=3,k=3單段曲線段單段曲線段定義區(qū)間：定義區(qū)間：t ,t4i3i 41Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)n=5,k=3n=5,k=3三段曲線段三段曲線段定義區(qū)間：定義區(qū)間：3,642Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ) 當節(jié)點沿參數(shù)軸不等距分布時，則表示非均勻當節(jié)點沿參數(shù)軸不等距分布時，則表示非均勻B B樣條函數(shù)，即節(jié)點值樣條函數(shù)，即節(jié)點值 常數(shù)常數(shù)

50、。 均勻均勻B B樣條和非均勻樣條和非均勻B B樣條曲線一般不通過控制多邊形首末端點樣條曲線一般不通過控制多邊形首末端點。若需B樣條曲線具有較好的端點性質(zhì)（即通過端點），實際引用中常引入準均勻準均勻B B樣條樣條，即對節(jié)點矢量中兩端節(jié)點賦予k+1k+1個重復度： 這樣構(gòu)造的準均勻B樣條曲線將通過控制多邊形的首末端點。 如對n n5 5，k k2 2的準均勻B樣條，節(jié)點數(shù)量為：n+k+29，節(jié)點矢量為T0,0,0,1,2,3,4,4,40,0,0,1,2,3,4,4,4。 1iitt。 . , . ,.12110 knnnktttttt 如對n n3 3，k k3 3的準均勻B樣條，節(jié)點數(shù)量為：

51、n+k+28，節(jié)點矢量為T0,0,0,0,1,1,1,1,10,0,0,0,1,1,1,1,1。此時3次B樣條曲線轉(zhuǎn)化為3次Bezier曲線。推而廣之，節(jié)點矢量為： 此時k次B樣條曲線為k次Bezier曲線，可見Bezier曲線是B樣條曲線的一個特例。, ,.,.,1k1k 1100T43Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)44Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ) n n5 5，k k3 3的準均勻B樣條，節(jié)點數(shù)量為：n+k+2n+k+21010，節(jié)點矢量為T0,0,0,0,1,2,3,3,3,3,30,0,0,0,1,2,3,3,3,3,3

52、。由3段曲線段組成。只是現(xiàn)在這條曲線的首末端點與首末控制點重合。原因是出現(xiàn)了多個相同的節(jié)點值，實際上這條曲線共有9個片段，Q0Q8，但是Q0，Q1，Q2縮減為一個點（即為P0），Q3,Q4,Q5在0u3范圍內(nèi)定義，而Q6,Q7,Q8也縮減為一個點（即為P5）。45Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)n n8 8，k k3 3的非均勻B樣條，節(jié)點數(shù)量為：n+k+2n+k+21313，節(jié)點矢量為T0,0,0,0,1,2,3,4,5,6,6,6,60,0,0,0,1,2,3,4,5,6,6,6,6。46Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)47Cat

53、ia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)uB B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì) (1(1）局部性）局部性 空間n+1個控制頂點P Pi（i=0,1,n）構(gòu)造（n-k+1）段k次（k+1階）B B樣條曲線段，且每一曲線段P Pi(u) (i=1,n-k+1) 由P Pi-1，P Pi，P Pi+k-1 等K+1個控制點確定，與其它控制點無關(guān)。 (2) (2) 整體性和連續(xù)性整體性和連續(xù)性 一般情況下（即無重節(jié)點、重頂點），n+1n+1個控制頂點所構(gòu)造的（n-k+1n-k+1）段k k次（k+1k+1階）B B樣條曲線段組成一完整的B樣條曲線，曲線段與曲線段之間具有Ck-1階函數(shù)連續(xù)

54、性（或Gk-1階幾何連續(xù)性），當有k k重頂點時，將可能產(chǎn)生尖點，雖然仍滿足函數(shù)連續(xù)，但不滿足幾何連續(xù)。 (3) (3) 幾何不變性幾何不變性 改變坐標系不改變曲線形狀。 (4) (4) 變差縮減性變差縮減性 與Bezier曲線性質(zhì)相同。 (5) (5) 造型靈活性造型靈活性 由于有良好的局部特性，可以方便的構(gòu)造低次的復雜曲線，且編輯頂點對曲線形狀的改變是局部的；同時由于其整體性和連續(xù)性，曲線具有整體的光滑性。 正因如此，B樣條曲線比Bezier引用更為廣泛，為商用系統(tǒng)普遍采用。 缺點：首末兩端點不通過控制頂點，與其優(yōu)點比較微不足道。事實上可通過重節(jié)點或重頂點來解決。缺點：首末兩端點不通過控制

55、頂點，與其優(yōu)點比較微不足道。事實上可通過重節(jié)點或重頂點來解決。48Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)對于Order（u）4，次數(shù)(k)3，控制點數(shù)(n+1)order + seg 14+215節(jié)點數(shù)控制點數(shù)+次數(shù)(k)+15+3+19節(jié)點矢量T0,0,0,0,1,2,2,2,2變量u0,2第一段曲線段：0,1第二段曲線段：1,2對于Order（u）4，次數(shù)(k)3，控制點數(shù)(n+1)order + seg 14+316節(jié)點數(shù)控制點數(shù)+次數(shù)(k)+16+3+110節(jié)點矢量T0,0,0,0,1,2,3,3,3,3變量u0,3第一段曲線段：0,1第二段曲線段：1,2第三段曲線段：2,349Catia曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)曲線曲面造型的幾何理論基礎(chǔ)uNURBSNURBS曲線曲線 有理曲線有理曲線是在四維空間定義的曲線，該空間稱為投影空間，接著再將其投影到三維空間中,即得到三維有理曲線。 對B-B-樣條樣條的基函數(shù) ,引入第四維 ，作有理變換有理變換得到k階有理B-樣條基函數(shù): 從而得到NURBSNURBS曲線曲線：i , , )()(,10 nknikiittuuQPuR)(,uNki nikiikiiki