小波變換的特殊例子

1、小波變換與圖像處理作者:雪漫一：引言本文從二維小波理論出發(fā)，對其在圖像處理的應(yīng)用上進(jìn)行了一些分析和處理，力圖反映出小波分析在圖像處理方面有著其獨(dú)特的特點(diǎn)。本文就以下幾點(diǎn)進(jìn)行闡述：小波基本概念圖像壓縮圖像消噪圖象增強(qiáng)圖象平滑處理二：小波基本概念小波定義：設(shè),其傅立葉變換為,當(dāng)滿足允許條件，即完全重構(gòu)條件或恒等分辨條件.時(shí)，我們稱為一個(gè)基本小波或母小波，將母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后，得。我們稱其為一個(gè)小波序列。其中a為伸縮因子，b為平移因子。小波變換是一種信號的時(shí)間尺度分析方法，他具有多分辨率分析的特點(diǎn)，而且在時(shí)頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變但其形狀可變，時(shí)間窗和頻率窗都可變

2、的時(shí)頻局部化分析方法。即再低頻部分具有較高的頻率分辨率和時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，很適合探測正常信號中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象并展示其成分，所以被譽(yù)為分析信號的顯微鏡。波分析是把信號分解成低頻al和高頻dl兩部分，在分解中，低頻al中失去的信息由高頻dl捕獲。在下一層的分解中，又將al分解成低頻a2和高頻d2兩部分，低頻a2中失去的信息由高頻d2捕獲，如此類推下去，可以進(jìn)行更深層次的分解。二維小波函數(shù)是通過一維小波函數(shù)經(jīng)過張量積變換得到的，二維小波函數(shù)分解是把尺度j的低頻部分分解成四部分：尺度j+1的低頻部分和三個(gè)方向（水平、垂直、斜線）的高頻部分。三：圖像壓縮對

3、于圖像來說，如果需要進(jìn)行快速或?qū)崟r(shí)傳輸以及大量存儲，就需要對圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮。在同樣的通信容量下，如果圖像數(shù)據(jù)壓縮后在傳輸，就可以傳輸更多的圖像信息。例如，用普通的電話線傳輸圖像信息。圖像壓縮研究的就是尋找高壓縮比的方法且壓縮后的圖像要有合適的信噪比,在壓縮傳輸后還要恢復(fù)原信號，斌且在壓縮、傳輸、恢復(fù)的過程中，還要求圖像的失真度小。這就是圖像壓縮的研究問題。圖像數(shù)據(jù)往往存在各種信息的冗余、如空間冗余、信息熵冗余、視覺冗余和結(jié)構(gòu)冗余等等。所謂壓縮就是去掉各種冗余，保留對我們有用的信息。圖像壓縮的過程常稱為編碼。相對的，圖像的恢復(fù)當(dāng)然就是解碼了。圖像壓縮的方法通?？煞譃橛惺д婢幋a和無失真編碼兩大類

4、：無失真編碼方法如改進(jìn)的霍夫曼編碼。有失真編碼方法的還原圖像較之原始圖像存在著一些誤差，但視覺效果是可以接受的。常見的方法有預(yù)測編碼、變換編碼、量化編碼、信息熵編碼、分頻帶編碼和結(jié)構(gòu)編碼等等。而將小波分析引入圖像壓縮的范疇也是一個(gè)重要的手段，并且有著它自己的特點(diǎn)。它的特點(diǎn)在于壓縮比高、壓縮速度快，壓縮后能保持信號與圖像的特征基本不變，且在傳遞過程中可以抗干擾等等。下面我們就舉一個(gè)粒子來說明怎樣用小波分析進(jìn)行圖像壓縮。例如現(xiàn)在有一個(gè)二維圖像（文件名為），我們利用二維小波分析來進(jìn)行圖像壓縮。由原理可知，一個(gè)圖像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子圖像，不同分辨率的子圖像對應(yīng)的頻率是不相同的。高

5、分辨率（高頻）子圖像上大部分點(diǎn)的數(shù)值都接近于0，越是高就越是明顯。而對于一個(gè)圖像來說，表現(xiàn)一個(gè)圖像的最主要的部分是低頻部分，所以最簡單的壓縮方法是利用小波分解去掉圖像的高頻部分而只保留低頻部分。程序大致如下：clear%裝入圖像loadwbarb;%顯示圖像symsX;subplot(221);image(coast);colormap(map)title('原始圖像');axissquaredisp('壓縮前圖像X的大小');whos('coast')%對圖像用小波進(jìn)行層小波分解c,s=wavedec2(X,2,'bior3.7'

6、;);%提取小波分解結(jié)構(gòu)中的一層的低頻系數(shù)和高頻系數(shù)cal=appcoef2(c,s,'bior3.7',1);%水平方向ch1=detcoef2('h',c,s,1);%垂直方向cv1=detcoef2('v',c,s,1);%斜線方向cd1=detcoef2('d',c,s,1);%各頻率成份重構(gòu)a1=wrcoef2('a',c,s,'bior3.7',1);h1=wrcoef2('h',c,s,'bior3.7',1);v1=wrcoef2('v'

7、;,c,s,'bior3.7',1);d1=wrcoef2('d',c,s,'bior3.7',1);c1=a1,h1;v1,d1;%顯示分頻信息subplot(222);image(c1);axissquare;title('分解后低頻和高頻信息');%進(jìn)行圖像壓縮%保留小波分解第一層低頻信息%首先對第一層信息進(jìn)行量化編碼ca1=appcoef(c,s,'bior3.7',1);ca1=wcodemat(ca1,440,'mat',0);%改變圖像高度并顯示ca1=0.5*ca1;subplot(

8、223);image(ca1);colormap(map);axissquare;title('第一次壓縮圖像');disp('第一次壓縮圖像的大小為：');whos('ca1')%保留小波分解第二層低頻信息進(jìn)行壓縮ca2=appcoef2(c,s,'bior3.7',2);%首先對第二層信息進(jìn)行量化編碼ca2=wcodemat(ca2,440,'mat',0);%改變圖像高度并顯示ca2=0.25*ca2;subplot(224);image(ca2);colormap(map);axissquare;title

9、('第二次壓縮圖像');disp('第二次壓縮圖像的大小為：');whos('ca2')輸出結(jié)果如圖：NameSizeBytesclass壓縮前圖像X256x256524288Doublearray第一次壓縮圖像Ca1135x135145800Doublearray第二次壓縮圖像Ca275x7545000Doublearray在這里可以看出，第一次壓縮我們是提取原始圖像中小波分解第一層的低頻信息，此時(shí)壓縮效果較好，壓縮比較小(約為1/3大小)。第二次壓縮實(shí)提取第一層分解低頻部分的低頻部分(即第二層的低頻部分),其壓縮比較大(約為1/12)，壓縮效

10、果在視覺上也基本過得去。上面的保留原始圖像中低頻信息的壓縮辦法只是一種最簡單的壓縮辦法。它不需經(jīng)過其他處理即可獲得較好的壓縮效果。當(dāng)然，對于上面的例子我們還可以只提取小波分解的第三、第四層的低頻信息。從理論上說，我們可以獲得任意壓縮比的壓縮圖像。只不過在對壓縮比和圖像質(zhì)量都有較高要求時(shí)，它就不如其他編碼方法了。下面我們在舉一個(gè)例子，這一次用中函數(shù)來對上圖進(jìn)行壓縮。Clear;%裝入圖形信號loadwbarb;%顯示圖像subplot(221);image(X);colormap(map);title('原始圖像');disp('壓縮前圖像的大小');whos(&

11、#39;X');axissquare;%對圖像進(jìn)行壓縮%對圖像用db3小波進(jìn)行二層小波分解c,s=wavedec2(X,5,'db3');thr,sorh,keepapp=ddencmp('cmp','wv',X);Xcomp,cxc,lxc,perf0,perfl2=wdencmp('gbl',c,s,'db3',5,thr,sorh,keepapp);%將壓縮后的圖像于原始圖像相比較subplot(222);image(Xcomp);colormap(map);title('壓縮后的圖像'

12、;);disp('壓縮后圖像的大小');whos('Xcomp')%顯示有關(guān)參數(shù)disp('小波分解系數(shù)中值為0的系數(shù)個(gè)數(shù)百分比');disp(perf0);disp('壓縮后剩余能量百分比');disp(perfl2);輸出結(jié)果如下：小波分解系數(shù)中值為0的系數(shù)個(gè)數(shù)百分比：49.8088壓縮后剩余能量百分比：99.9754總之，是事無絕對。一種壓縮圖像的方法不可能盡善盡美。要想很好的進(jìn)行圖像的壓縮，就需要綜合的利用多種其他技術(shù)，特別是數(shù)據(jù)編碼和解碼算法。四：圖像消噪圖像消噪方法的一般說明對二維圖像信號的消噪方法同樣適用于一維信號,

13、尤其是對于幾何圖像更適合。二維模型可以表述為其中，e是標(biāo)準(zhǔn)偏差不變得高斯白噪聲。二維信號的消噪步驟與一維信號的消噪步驟完全相同，也有三步，只是用二維小波分析工具代替了一維小波分析工具。如果用固定的閥值形式，測選擇的閥值用mH代替了一維信號中的n。著三步是：(1) 二維信號的小波分解。選擇一個(gè)小波和小波分解的層次N,然后計(jì)算信號s到第N層的分解。(2) 對高頻系數(shù)進(jìn)行閥值量化。對于從一到N的每一層，選擇一個(gè)閥值，斌對著一層的高頻系數(shù)進(jìn)行軟閥值化處理。(3) 二維小波的重構(gòu)。根據(jù)小波分解的第N層的低頻系數(shù)和經(jīng)過修改的從第1層到第N層的各層高頻系數(shù)，來計(jì)算二維信號的小波重構(gòu)。在這三個(gè)步驟中，重點(diǎn)內(nèi)容

14、就是如何選取閥值和如何進(jìn)行閥值的量化。請注意，了一維信號自動消噪的情況，對于其他的情況，一維信號的消噪和壓縮用的是wdencmp,這對于二維信號也是一樣的。編程給定一個(gè)有較大白噪聲的圖象，利用二維小波分析進(jìn)行信號消噪處理。分析：由于圖象所含的噪聲主要是白噪聲，且集中于高部分，故用第通實(shí)現(xiàn)消去噪聲。程序如下。loadtire;subplot(221);image(X);colormap(map);title('原圖');axissquare;畫出原圖象init=2055615866;randn('seed',init)x=X+38*randn(size(X);su

15、bplot(222);image(x);colormap(map);title('含噪聲圖象');axissquare;畫出含噪聲圖象c,s=wavedec2(x,2,'sym4');a1=wrcoef2('a',c,s,'sym4',1);第一次低通濾波消噪subplot(223);image(a1);title('第一次消噪后圖象');axissquare;畫出第一次低通濾波消噪后圖象a2=wrcoef2('a',c,s,'sym4',2);第二次低通濾波消噪subplot(22

16、4);image(a2);title('第二次消噪后圖象');axissquare;畫出第二次低通濾波消噪后圖象分析：第一次消噪濾去了大部分高頻噪聲，但與原圖比較，依然有不少高頻噪聲，第二次消噪在第一次消噪基礎(chǔ)上，再次濾去高頻噪聲，消噪效果較好，但圖像質(zhì)量比原圖稍差。五：圖象增強(qiáng)說明小波變換將一幅圖象分解為大小、位置和方向都不同的分量。在做逆變換之前可以改變小波變換域中某些系數(shù)的大小，這樣就能夠洋選擇的放大所感興趣的分量而減小不需要的分量編程：給定一個(gè)圖象信號，用二維小波分析對圖象進(jìn)行增強(qiáng)處理。分析由于圖象經(jīng)二維小波分解后，圖象的輪廓主要體現(xiàn)在低頻部分，而細(xì)節(jié)部分則體現(xiàn)子高頻部

17、分，因此，可以通過對低頻分解系數(shù)進(jìn)行增強(qiáng)處理，對高頻分解系數(shù)進(jìn)行衰減處理，即可以達(dá)到圖象增強(qiáng)的作用。具體處理過程如下程序：loadwoman;subplot(121);image(X);colormap(map);title(原始圖象)；axissquare;畫出原圖象*c,s+=wavedec2(X,2,'sym4');%進(jìn)行二層小波分解sizec=size(c);處理分解系數(shù)，突出輪廓，弱化細(xì)節(jié)forI=1:sizec(2)if(c(I)>350)c(I)=2*c(I);elsec(I)=0.5*c(I);end分解系數(shù)重構(gòu)畫出增強(qiáng)圖像endxx=waverec2(c

18、,s,'sym4');subplot(122);image(xx);title(增強(qiáng)圖象)axissquare;結(jié)果分析：打到了圖像增強(qiáng)的效果，試圖像對比更加明顯，但由于細(xì)節(jié)上的弱化，卻使得圖像產(chǎn)生模糊的感覺。就那婦女托著下腮的手來說，增強(qiáng)后的圖像幾乎就不能辨認(rèn)。手指更是消失了。六：圖象融合說明圖象融合是將同一對象的兩個(gè)或更多的圖象合成在一幅圖象中，以便他比原來的任何一幅更能容易的為人們所理解。真一技術(shù)可應(yīng)用于多頻譜圖象理解以及醫(yī)學(xué)圖象處理等領(lǐng)域，再這些場合，同一物體部件的圖象往往是采用不同的成象機(jī)理得到的。編程：用二維小波分析將兩幅圖象融合在一起。處理過程如下：loadwom

19、an;裝入原圖像X1=X;map1=map;subplot(221);image(X1);colormap(map1);title(woman');axissquare%畫出woman圖像loadwbarb;裝入原圖像X2=X;map2=map;forI=1:256forj=1:256if(X2(I,j)>100)X2(I,j)=1.2*X2(I,j);elseX2(I,j)=0.5*X2(I,j);endendendsubplot(222);image(X2);colormap(map2);title(wbarb');axissquare%畫出wbarb圖像*cl,sl

20、+=wavedec2(X1,2,'sym4');sizec1=size(c1);forI=1:sizec1(2)c1(I)=1.2*c1(I);endc2,s2+=wavedec2(X2,2,'sym4');c=c1+c2;c=0.5*c;xx=waverec2(c,s,'sym4');subplot(223);image(xx);title(融合圖象)；axissquare%畫出融合后的圖結(jié)果分析：一幅圖像和他某一部分放大后的圖像融合，融合后的圖像給人一種朦朦朧朧夢幻般的感覺，對較深的背景部分則做了淡化處理。七：圖象平滑處理說明圖像平滑的主要目

21、的是為了減少噪聲，一般情況下，在空間域內(nèi)可以用于平均來減少噪聲。在頻率域，因?yàn)樵肼暺侄嘣诟哳l段，因此可以曹用各種形式的低通濾波的辦法來減少噪聲。編程給定一個(gè)含噪聲的圖象，用二維小波分析和圖象的中值濾波進(jìn)行圖象的平滑。分析這是一個(gè)圖象平滑處理問題。首先，對圖象在頻域內(nèi)進(jìn)行增強(qiáng)，然后在空域內(nèi)加入較大的白噪聲。通過對含噪圖象進(jìn)行平滑處理，即可以使含噪圖象具有較好的平滑效果。具體處理過程如下：loadwoman;裝入原圖X1=X;map1=map;subplot(221);image(X1);colormap(map1);title('woman');axissquare畫出原圖二層分解小波信號頻域里增強(qiáng)圖像系數(shù)重構(gòu)加入噪聲c,s+=wavedec2(X,2,'sym4');sizec=size(c);forI=1:sizec(2)if(c(I)>35