高中數(shù)學競賽講義-二次函數(shù)（2）

1、高考資源網（） 您身邊的高考專家§6二次函數(shù)(2)二次方程問題其實質就是其相應二次函數(shù)的零點(圖象與x軸的交點)問題，因此，二次方程的實根分布問題，即二次方程的實根在什么區(qū)間內的問題，借助于二次函數(shù)及其圖象利用形數(shù)結合的方法來研究是非常有益的。 設f(x)=ax2+bx+c(a0)的二實根為x1,x2，(x1x2)，=b2-4ac，且、()是預先給定的兩個實數(shù)。 1當兩根都在區(qū)間(,)內，方程系數(shù)所滿足的充要條件： x1x2，對應的二次函數(shù)f (x)的圖象有下列兩種情形(圖1) 當a0時的充要條件是：0，-b/2a，f()0，f ()0 當a0時的充要條件是：0，-b/2a，f()0

2、，f ()0 兩種情形合并后的充要條件是：0，-b/2a，af()0，af ()0   2當兩根中有且僅有一根在區(qū)間（，）內，方程系數(shù)所滿足的充要條件： x1或x2，對應的函數(shù)f(x)的圖象有下列四種情形（圖2） 從四種情形得充要條件是： f ()·f ()0 3當兩根都不在區(qū)間，內方程系數(shù)所滿足的充要條件： （1）兩根分別在區(qū)間，之外的兩旁時： x1x2，對應的函數(shù)f(x)的圖象有下列兩種情形（圖3）： 當a0時的充要條件是：f ()0，f ()0 當a0時的充要條件是：f ()0，f ()0 兩種情形合并后的充要條件是：af ()0，af ()0 （2）兩根分

3、別在區(qū)間，之外的同旁時： x1x2或x1x2，對應函數(shù)f(x)的圖象有下列四種情形（圖4）： 當 x1x2時的充要條件是：0，-b/2a，af ()0 當x1x2時的充要條件是：0，-b/2a，af ()0 二次函數(shù)與二次不等式前面提到，一元二次不等式的解集相應于一元二次函數(shù)的正值、負值區(qū)間。解不等式與證明不等式成立，經常要用到二次函數(shù)的極值性質、單調性、圖象與x軸的位置關系等。例題講解1. 已知方程x2+2px+1=0有一個根大于1，有一個根小于1，則P的取值為。2. 如果方程（1-m2）x2+2mx-1=0的兩個根一個小于零，另一個大于1，試確定m的范圍。 3. 已知二次函數(shù)f(x)=ax

4、2+bx+c(a0).若方程f(x)=x無實根，求證：方程ff(x)=x也無實根，4. 對二次函數(shù)f(x)= ax2+bx+c(a0)，求證，必存在x=±M0，使f(±M)均與a同號。5. 若a1,a2,an,b1,b2,bn都是實數(shù)，求證：（a1b1+a2b2+anbn）2(a12+a22+a2n)(b12+b22+b2n)6設二次函數(shù)f(x)= ax2+bx+c(a0)，方程f(x)-x=0的兩個根x1,x2滿足0x1x21/a。 （1）當x(0,x1)時，證明xf(x)x1 （2）設函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=x0對稱，證明：x0x1/2。7當K為什么實數(shù)時，關于X

5、的二次方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的兩個實根和分別滿足01和12？ 8函數(shù)y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在-3,3上的最小值是。 例題答案：1解：記f(x)=x2+2px+1，則f(x)r的圖象開口向上，當f(x)與x軸的兩交點一個在（1,0）左方，另一個在（1,0）右方時，必有f(1)0，即：12+2P10，即P1 所以P的取值為（，1） 2解：令f(x)=(1-m2)x2+2mx-1，根據(jù)題設條件，f(x)的圖形是下列兩種情形之一（圖5）： 得充要條件：（1-m2）f(0)0,(1-m2)f(1)0；即1-m20,(1-m2)(2m-m2)0 解得：-1m

6、0 3證明：已知f(x)=ax2+bx+c(a0) 方程f(x)=x即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0無實根，f(x)-x仍是二次函數(shù)，f(x)-x=0仍是二次方程，它無實根即=(b-1)2-4ac0 若a0，則函數(shù)y=f(x)-x的圖象在x軸上方， y0，即f(x)-x0恒成立，即：f(x)x對任意實數(shù)x恒成立。 對f(x)， 有f(f(x)f(x)x恒成立 f(f(x)=x無實根 若a0，函數(shù)y=f(x)-x的圖象在x軸下方 y0，即f(x)-x0恒成立 對任意實數(shù)x，f(x) 0恒成立 對實數(shù)f(x)，有：f(f(x)f(x)x恒成立 f(f(x)=x無實根 綜上可知，當f(x

7、)=x無實根時，方程f(f(x)=x也無實根 4分析：這是一道證明題。從圖象上看，當a0時，拋物線開口向上，f(x)0的解集要么為全體實數(shù)集合R（0)；要么為（-,x0）(x0,+ )(=0,f(x0)=0)，要么為（-,x1）(x2,+) (0,f(x1)=f(x2)=0)，故總可以找到±M0，±MR，或±M（-,x0）(x0,+)，或±M（-,x1）(x2,+)，使f(±M)0，因此af(±M)0，對于a0的情形，也是如此，只不過f(±M)0，從代數(shù)的角度看問題，af(x)0即a2x2+abx+ac0它有解且解集合中包含

8、著x=M與x=-M（M0）一對相反數(shù)，因此，需考慮所對應的二次方程的判別式。 證明：f(x)= ax2+bx+c(a0) af(x)= a2x2+abx+ac=1/44a2x2+4abx+4ac=1/4(2ax+b)2-1/4(b2-4ac) af(x)0即:1/4(2ax+b)2-1/4(b2-4ac)0 亦即(2ax+b)2-(b2-4ac)0 （1）當=b2-4ac0時，af(x)0的解集為(-,+) （2）當=b2-4ac=0時，af(x)0的解集為(-,-b/2a)（-b/2a,+) （3）當=b2-4ac0時，方程af(x)=0有兩個不等的實數(shù)根x1,x2(x1x2)，相應的不等式

9、af(x)0的解集合為：（-,x1）(x2,+) 因為三種情況下的解集合均為無窮區(qū)間，故均存在-M與M同屬于解集合，使af(±M)0，從而a與f(±M)同號。 5證明：構造二次函數(shù) f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+(anx-bn)2=(a12+a22+a2n)x2-2(a1b1+a2b2+anbn)x+(b12+b22+b2n) 當a12+a22+a2n0即a1,a2,an不全為零時，顯然有對xR，f(x)0，故f(x)0的判別式：=4（a1b1+a2b2+anbn）2-4(a12+a22+a2n)·(b12+b22+b2n)0 即（a1b1+a

10、2b2+anbn）2(a12+a22+a2n)·(b12+b22+b2n) 當a1=a2=an=0時，結論顯然成立，故命題成立。 評注本例中的不等式即是著名的柯西不等式，有時它也寫作。等號當且僅當a1/b1=a2/b2=an/bn時成立。 6分析該題是一九九七年全國普通高考理工類數(shù)學第24題，它綜合考查二次函數(shù)、二次方程和不等式的基礎知識，以及靈活運用數(shù)學知識和方法分析、解決問題的能力，當年沒有幾個考生能完整解答此題?？梢詮拇鷶?shù)與幾何兩個角度展開思考： 從代數(shù)角度看，f(x)是二次函數(shù)，從而方程f(x)-x=0即ax2+(b-1)x+c=0(a0)是二次方程，由于x1,x2是它的兩個

11、根，且方程中x2的系數(shù)是a，因此有表達式：f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)進而，利用二次函數(shù)的性質和題設條件，可得第（1）問的證明。 從幾何角度看，拋物線y=f(x)-x開口向上，因此在區(qū)間x1,x2的外部，f(x)-x0，（1）的左端得證。其次，拋物線y=f(x)的開口也向上，又x1=f(x1)，于是為了證得（1）的右端，相當于要求證明函數(shù)f(x)在區(qū)間0,x1的最大值是f(x1)，這相當于證明f(0)f(x1)，也即Cx1，利用韋達定理和題設，立即可得。 至于（）的證明，應用配方法可得x0=-b/2a，進而利用韋達定理與題設，即得證明。 證明：欲證：xf(x)x  

12、60;   只須證：0f(x)-xx1-x            因為方程f(x)-x=0的兩根為x1,x2,f(x)=ax2+bx+c(a0)，f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) 式即: 0a(x-x1)(x-x2)x1-x   a0，x(0,x1),x1-x0,a(x1-x)0 式兩邊同除以a(x1-x)0，得：0x2-x1/a，即：xx21/a+x 這由已知條件：0xx1x21/a，即得：xx2(1/a)1/a+x， 故命題得證。 （

13、2）欲證x0x1/2，因為x0=-b/2a，故只須證：x0-x1/2=-b/2a-x1/20 由韋達定理，x1+x2=(-b-1)/a，(x1+x2)/2=-(b-1)/2a，代入式，有(-(b/2a)-(x1/2)=(x2/2)-(1/(2a)0 ,即：x21/a 由已知：0x1x21/a，命題得證。 評注證（1）用到了二次函數(shù)的零點式f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) 證（2）用到了x0=-(b/(2a),(x1+x2)/2)=-(b-1)/2a)，都是二次函數(shù)二次方程的基礎知識。 7分析它是一個一元二次方程的問題，利用求根公式解出、，再解不等式01和12順理成章，但計算變形較繁難。

14、如果把此題的方程的左端看作是一個二次函數(shù)的話，結合函數(shù)的圖象和性質來解此題，那就簡便得多了。 解：設y=f(x)=7x2-(k+13)x+k2-k-2，則因為a=70，且方程f(x)=0有兩實根，所以它的圖象是開口向上且與X軸相交于兩點（,0）、(,0)的拋物線。由于01，12，可知在x或x時，f(x)取正值；在x時，f(x)取負值。于是，當x分列取0,1，2時，有：f(0)=k2-k-20，f(1)=k2-2k-80，f(2)=k2-3k0解這三個不等式組成的不等式組，可得-2k-1和3k4。 顯然，上述三個一元二次不等式解起來要容易得多。 8分析這是1996年北京高中一年級數(shù)學競賽的復試題，是一個四次函數(shù)的最值問題。表面上看起來很難。但借助于配方法、換元法及二次函數(shù)極（最）值性質，可得結果。 解：y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5 =(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+5 =(x2+5x+4