小學(xué)奧數(shù)行程問題的基本模型

1、行程問題的基本模型物體的運(yùn)動，最簡單的情形是勻速直線運(yùn)動，設(shè)物體作勻速直線運(yùn)動的速度為v,在時間t內(nèi)運(yùn)動的距離為S,則有S=v-t這就是物體作勻速直線運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型.由于實(shí)際物體運(yùn)動未必都是勻速的，比如汽車在行程中，開動時速度是由小變大，停止時速度是由大變小的.這些我們都忽略不計，而將汽車速度看成是“平均速度”，這樣就將實(shí)際上并不是均速運(yùn)動的情形加以簡化，近似地看成勻速運(yùn)動.在小學(xué)、初中階段我們研究行程問題，都是在勻速運(yùn)動模型中進(jìn)行的.行程問題中，追及、相遇又是兩種最基本的模型.追及模型甲、乙二人分別由距離為S的A、B兩地同時同向（由A至IJB的方向）行走.甲速V甲大于乙速V乙，設(shè)經(jīng)過t時間后

2、，甲可追及乙于C,則有S=（V甲一V乙）Xt相遇模型甲、乙二人分別由距離為S的A、B兩地同時相向行走，甲速為V甲，乙速為V乙，設(shè)經(jīng)過t時間后，二人相遇于C.則有S=（V甲+V乙）Xt-IB利用一元一次方程及二元一次方程組所解的行程問題，大體都可納入追及或相遇兩種模型.例1時速4千米的A追趕時速3千米的B,兩人相距0.5千米時，有一只蜜蜂從A的帽子上開始來回在兩人中間飛，直飛到A追及B為止，若蜜蜂時速10千米.問蜜蜂飛了多少千米？（選自古代的問題）例2總站每隔一定時間發(fā)車一次，有人在街上勻速行走，發(fā)現(xiàn)從背后每隔6分鐘開過一輛汽車，而迎面每隔45分鐘有一輛汽車駛來，問總站每隔多少時間發(fā)一輛車?分析

3、設(shè)總站每隔x分鐘發(fā)一輛車.若人在A處時正好有一輛車開過，對于A處來講必順再等x分鐘后才又有一輛車從背后開來，但x分鐘后人已從A走到B處，這時A處的車與B處的人成同時同向行走并在C處車可追上人.依題意人由A到C花了6分鐘，顯然人由B到C用6-x分鐘，這與汽車從A到C花的時間相等.于是對行AC距離而言，汽車速度X（6x）=人的速度X6汽車的速度_6人的5-另一方面，如下圖若人在D處時迎面有一輛車開過，設(shè)再過x分鐘才到達(dá)D的后一輛車正在F處，也就是說DF這段路程汽車需要走x分鐘（因?yàn)槊扛魓分鐘發(fā)車一次）.但當(dāng)人繼續(xù)前進(jìn)時，汽車也從F與人相向而行.由題意走了4£分神后在E處與車相遇，因?yàn)檐噺?/p>

4、F到D需罡分鐘，從F到相遇點(diǎn)E已用了分鐘.所以車從B到D需俎-4$分鐘，同樣行走DE.一車4車汽淬的速度X,一境）二人的速度X”2,汽車的遞度"人的速度一濤£4a由，到導(dǎo)EJ=6-咒丹一口7解之得，x=5.答：總站每隔5分鐘發(fā)一輛車.說明本題實(shí)質(zhì)上是由相遇模型與追及模型組合而成的，因此在解題過程中要分別為兩個模型尋求關(guān)系.例3游泳者在河中逆流而上，于橋A下面將水壺遺失被水沖走，繼續(xù)前游20分鐘后他發(fā)現(xiàn)水壺遺失，于是立即返回追尋水壺.在橋A下游距橋A2千米的橋B下面追到了水壺.問該河水速每小時多少千米？解設(shè)該河水速每小時x千米，游泳者每小時游a千米，則游泳者逆流每小時行（a-

5、x）千米，順流速（a+x）千米/小時.斷汗米h晰IIfI、.一|水流向題意表明，在A處游泳者失去水壺，他逆游20舟中（f?小時）到了D處，發(fā)現(xiàn)水壺遺失，這時水壺已順流漂下20分鐘到C處.AC距笈M三千米.游2G20泳者距木壺為象*x)+一總千米，形成游泳者與水壺分別從D、C順6060流而下，游泳者速度為每小時(a+x)千米，水壺每小時速度為x千米的追及問題.換言之，游泳者順流行DB的時間與水壺順流漂CB的時間相等.于是可列方程如下答：該河水速每小時3千米.說明本題只要游泳者游速大于每小時3千米時都是合理的.例4馬跑5步的時間狗跑6步，狗跑4步的距離與馬跑7步的距離相同，馬已跑出5.5千米時，狗

6、開始追它，馬再跑多遠(yuǎn)，狗可追及馬？(選自古代的問題)AdBC狗馬HIH分析設(shè)馬再跑x千米，狗可追及馬在C點(diǎn)，這表明狗跑5.5+x千米與馬跑x千米所用時間相同.因此，關(guān)鍵在馬與狗的速度之間關(guān)系的分析.由題設(shè)狗跑4步的距離與馬跑7步的距離相同.這就是說，狗跑一步的距離是馬跑一步距離的*倍；又題設(shè)馬跑5布的時間狗跑步，這就是說,馬跑一步的時間是狗跑一步時間的g倍，所以在同一時間內(nèi)，狗跑的距離是馬跑距離的3父|倍，由此得方程：解這個方程，得x=5答：馬再跑5千米狗可追及馬.例5某人每天下午5點(diǎn)下班時，有汽車按時到達(dá)接他回家，有一天，他提前一小時結(jié)束工作因汽車未到遂步行回家，在途中遇到接的汽車又乘車因而

7、比平日早10分鐘到家.問某人步行多少分鐘遇到汽車的？設(shè)某人工作地點(diǎn)在A，家在B，下午4點(diǎn)某人步行出發(fā)向B走與按時開出來接他的汽車相遇于C點(diǎn).這樣汽車由C返回到B比往常提前10分鐘.這表明汽車由C一A一C共需10分鐘，因此，汽車由C到A共需5分鐘，但某人從下午4點(diǎn)動身自A行至C與汽車相遇后若汽車?yán)^續(xù)由C向A行駛5分鐘可到A此時恰是下午5點(diǎn)，設(shè)某人步行了x分鐘，則x+5=60x=55.例6今給1000名徒步行進(jìn)時速為5千米的某部隊配備每輛載人50名時速為25千米的大汽車5輛，于上午6時協(xié)同部隊同時出發(fā).開赴相距100千米的某地集結(jié)，設(shè)上車下車所需的時間略去不計，試編擬一行軍計劃，標(biāo)明徒步行軍與汽車

8、運(yùn)送如何同時進(jìn)行，方能使全體部隊于最短時間內(nèi)到達(dá)集結(jié)地點(diǎn)，并作一簡圖表明汽車往返行駛的路線.解在汽車不夠的情況下，要使全體部隊在最短時間內(nèi)到達(dá)集結(jié)地點(diǎn)，必須汽車運(yùn)送與步行同時進(jìn)行，且汽車運(yùn)送的起先幾批人，必須各在中途適當(dāng)?shù)牡攸c(diǎn)下車，然后繼續(xù)步行前進(jìn)到達(dá)終點(diǎn)，決不能先把一批人直接運(yùn)到終點(diǎn)停留在那里，這樣就浪費(fèi)時間；而空車往回開時遇到后面步行的部隊，應(yīng)當(dāng)即行載上向前方前進(jìn)，最后乘車的一批人與其他幾批已乘過車而繼續(xù)步行的人應(yīng)同時到達(dá)集結(jié)地點(diǎn)，因此每人乘車的時間應(yīng)相等，步行的時間也應(yīng)相等.現(xiàn)5輛車可載250人，故把1000人分成每隊250人的四個分隊，每個分隊輪流乘車一次，設(shè)每隊乘車的時間是x小時，汽

9、車把第一分隊人運(yùn)到距出發(fā)地點(diǎn)25x千米處后即往回開，而第一分隊下車后繼續(xù)步行前進(jìn).當(dāng)汽車和其他三個分隊相遇時，汽車和他們步行合計路程是50x千米，而汽車的速度和步行的速度之比是5：1,所以相遇地點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)的距離是一6千米，相遇后汽車把第二分隊人載上前進(jìn)，到和相遇地點(diǎn)距離25x千米處第二分隊人下車后再往回接運(yùn)第三分隊的人，而第二分隊的人繼續(xù)步行前進(jìn)，這樣繼續(xù)進(jìn)行，最后把第四分隊人直接運(yùn)至終點(diǎn)，而其他三個已乘過車而中途下車步行的分隊和載第四分隊的汽車一齊到達(dá)終點(diǎn).這樣就得到了方程式3,25s=100解之得x=2.即每隊乘車2小時共行50公里，其余50公里步行需10小時，所以經(jīng)過12個小時后全體部隊

10、都可同時到達(dá)集結(jié)地點(diǎn)，也就是全體部隊于下午6點(diǎn)到達(dá)集結(jié)地點(diǎn).其中實(shí)踐表示汽車行進(jìn)的運(yùn)行圖，虛下面可作出一簡圖表明四個分隊的行軍路線,線表示徒步行軍的路線.第一分隊第二分隊第三分隊第四封隊始地索姑地點(diǎn)例7已知貓跑5步的路程與狗跑3步的路程相同；貓跑7步的路程與兔跑5步的路程相同，而貓跑3步的時間與狗跑5步的時間相同；貓跑5步的時間與兔跑7步的時間相同.貓、狗、兔沿著周長為300米的圓周跑道，同時同向同地出發(fā).問：當(dāng)它們出發(fā)后第一次相遇時各跑了多少路程.解設(shè)貓速為V貓，狗速為V狗，兔速為V兔，依例4的方法分析，得出可見狗跑得最快，兔次之，貓最慢.設(shè)經(jīng)過時間t后貓、狗、兔三者相遇，那么可以假定，狗比

11、貓多跑n1圈，兔比貓多跑n2圈，狗比兔多跑n3圈，所以有t（V狗V貓）=n1X300t（v兔V貓）=n2X300t（V狗V兔）=n3X300卻匕V狗飛.niU狗7免一口3'U兔7貓n2U兔一以空n1與n3都是正整數(shù)，所以n2為27的倍數(shù),第一次相遇，取n2=27，得n1=50,n3=23而逐V狗=50X300n狗二一二=2弘引.5（米）125即出發(fā)后三者第一次相遇時，狗跑了23437.5米，而貓跑了23437.515000=8437.5（米），兔跑了23437.523X300=16537.5（米）.練習(xí)題1 .一個人騎車上班每分鐘比平時快10米，結(jié)果提前5分鐘到達(dá)工作地點(diǎn)；下班時每分鐘比平時慢10米，結(jié)果晚到家7分鐘.問這個人的家與他工作地點(diǎn)相距多少米？2 .甲、乙二人分別從A、B兩地同時