巴特沃斯數(shù)字低通濾波器要點(diǎn)說明

1、目錄1 .題目22 .要求23 .設(shè)計(jì)理23.1 數(shù)字濾波念.23.2 數(shù)字濾波理.23.3 巴特沃斯濾器根本概器工作原理23.4脈沖波器設(shè)計(jì)原響應(yīng)不法43.5實(shí)驗(yàn)所用MATLAB函數(shù)說4 .設(shè)計(jì)思路65 、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容65.1 實(shí)驗(yàn)程序65.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析106 .心得會(huì)107 .參考獻(xiàn)10一、題目：巴特沃斯數(shù)字低通濾波器二、要求：利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)巴特沃斯數(shù)字低通濾波器,通帶截止頻率100HZ,采樣頻率1000Hz通帶最大衰減為0.5HZ,阻帶最小衰減為10HZ；畫出幅頻、相頻相應(yīng)相應(yīng)曲線.并假設(shè)一個(gè)信號(hào)x(t)=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t),其中f1=50

2、HZ,f2=200HZ.用此信號(hào)驗(yàn)證濾波器設(shè)計(jì)的正確性.三、設(shè)計(jì)原理1、數(shù)字濾波器的根本概念所謂數(shù)字濾波器,是指輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào),通過數(shù)值運(yùn)算處理改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相比照例,或者濾波器除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序,因此,數(shù)字濾波的概念和模擬濾波相同,只是的形式和實(shí)現(xiàn)濾波方法不同.正由于數(shù)字濾波通過數(shù)值運(yùn)算實(shí)現(xiàn)濾波,所以數(shù)字濾波處理精度高、穩(wěn)定、體積小、質(zhì)量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題,可以實(shí)驗(yàn)?zāi)M濾波器無法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能.如果要處理的是模擬信號(hào),可通過ADC和DAC,在信號(hào)形式上進(jìn)行匹配轉(zhuǎn)換,同樣可以使用數(shù)字濾波器對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行濾波.2、數(shù)字濾波器的工作原理數(shù)字濾波器是一個(gè)

3、離散時(shí)間系統(tǒng),輸入x(n)是一個(gè)時(shí)間序列,輸出y(n)也是一個(gè)時(shí)間序列.如數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(Z),其脈沖響應(yīng)為h(n),那么在時(shí)向域內(nèi)存在以下關(guān)系y(n)=x(n)h(n)在Z域內(nèi),輸入輸出存在以下關(guān)系Y(Z)=H(Z)X(Z)式中,X(Z),Y(Z)分別為輸入x(n)和輸出y(n)的Z變換.同樣在頻率域內(nèi),輸入和輸出存在以下關(guān)系Y(jw)=X(jw)H(jw)式中,H(jw)為數(shù)字濾波器的頻率特性,X(jw)和Y(jw)分別為x(n)和y(n)的頻譜.w為數(shù)字角頻率,單位rado通常設(shè)計(jì)H(jw)在某些頻段白響應(yīng)值為1,在某些頻段的響應(yīng)為0.X(jw)和H(jw)的乘積在頻率響應(yīng)為1

4、的那些頻段的值仍為X(jw),即在這些頻段的振幅可以無阻礙地通過濾波器,這些頻帶為通帶.X(jw)和H(jw)的乘積在頻段響應(yīng)為0的那些頻段的值不管X(jw)大小如何均為零,即在這些頻段里的振幅不能通過濾波器,這些頻帶稱為阻帶.一個(gè)適宜的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(Z)可以根據(jù)需要輸入x(n)的頻率特性,經(jīng)數(shù)字濾波器處理后的信號(hào)y(n)保存信號(hào)x(n)中的有用頻率成分,去除無用頻率成分.3、巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)原理(1)根本性質(zhì)巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器以巴特沃斯函數(shù)來近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù).是根據(jù)幅頻特性在通頻帶內(nèi)具有最平坦特性定義的濾波器.巴特沃思濾波器的低通模平方函數(shù)表示Ha(jC)N=1,2,

5、(2-6)121N1,J/、c卜面歸納了巴特沃斯濾波器的主要特征a對(duì)所有的N,HajrIJ1.b對(duì)所有的N,2=0.707即20|g|Hajr=3dBQ=d2:是.的單調(diào)下降函數(shù).Ha(jG,隨著階次N的增大而更接近于理想低通濾波器.如以下圖2所示,可以看出濾波器的幅頻特性隨著濾波器階次N的增加而變得越來越好,在截止頻率Qc處的函數(shù)值始終為1/2的情況下,通帶內(nèi)有更多的頻帶區(qū)的值接近于1;在阻帶內(nèi)更迅速的趨近于零.圖2巴特沃思低通濾波平方幅頻特性函數(shù)(2)系統(tǒng)函數(shù)設(shè)巴特沃斯的系統(tǒng)函數(shù)為H(s),那么：H«G)"a(-5)=I+(3)設(shè)計(jì)過程巴特沃思低通濾波技術(shù)指標(biāo)關(guān)系式為a

6、p>-20log|Ha(jQ)|,Q<Qpas<-20log|Ha(jQ)|,Q>Qs其中：Qp為通帶邊界頻率,Qs為阻帶邊界頻率.代入式1.4.1可得:%之一101黑/<-lOlog經(jīng)過化簡(jiǎn)整理可得:N之坨(0./-01%-1)21ggp取滿足上式白最小整數(shù)N作為濾波器的階數(shù).再將N代入可得:5(10小肛門聲查表求得歸一化傳輸函數(shù)H(s),令s/Qc代替歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的s,即得到實(shí)際濾波器傳輸函數(shù).4、脈沖響應(yīng)不變法所謂脈沖響應(yīng)不變法就是數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)序列h(n)等于模擬濾波器的響應(yīng)ha(t)的采樣值,即h(n)=ha(t)|t=nT=ha(n

7、T)式中,T為采樣周期.因此數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(Z)可由下式求得H(z)=Zh(n)=Zha(nT)Z-表示-的內(nèi)容進(jìn)行變換,變換的內(nèi)容請(qǐng)參考相應(yīng)的數(shù)字信號(hào)處理材如果已經(jīng)獲得了滿足性能指標(biāo)的模擬濾波器的傳遞函數(shù)Ha(s),求與之對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)的方法是：(1)、求模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)ha(t).式中,LHa(s)表示對(duì)Ha(s)的Laplace.逆變換.Laplace變換內(nèi)容請(qǐng)參考高等數(shù)學(xué)的積分變換或信號(hào)處理教材.(2)、求模擬濾波器單位沖激響應(yīng)ha(t)的采樣值,即數(shù)字濾波器沖激響應(yīng)序列h(n).(3)、對(duì)數(shù)字濾波器的沖激h(n)響應(yīng)進(jìn)行z變換,得到傳遞函數(shù)H(z)

8、.由上述方法推論出更直接地由模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)求出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的步驟是：(1)利用局部分式展開將模擬濾波器的傳遞函數(shù)H(z)展開成Ha(s)=Rk(S-Pk)在MATLA呻這步可通過residue函數(shù)實(shí)現(xiàn)假設(shè)調(diào)用residue函數(shù)的形式為b,a=residue(R,P,K)形式.假設(shè)為R,P,K=residue(a,b)那么為上面調(diào)用形式的反過程.(2) 將模擬極點(diǎn)Pk變換為數(shù)字極點(diǎn)eApkT即得到數(shù)字系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(z)=Rk(1-eApkT*z*(-1)式中T為米樣間隔.(3)將上式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式,可采用R,P,K=residue(b,a).對(duì)于上面的步驟,中

9、已經(jīng)提供了沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的函數(shù),調(diào)用格式為bz,az=impinvar(b,a,Fs,Fp)式中,b,a為模擬濾波器分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量；Fs為采樣頻率(所濾波數(shù)據(jù)),單位Hz,缺省時(shí)為1Hz,為預(yù)畸變頻率(prewarpedfrequency),是一個(gè)“匹配頻率,在該頻率上,頻率響應(yīng)在變換前后和模擬頻率可精確匹配.一般設(shè)計(jì)中不考慮.bz,az分別為數(shù)字濾波器分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量.5、實(shí)驗(yàn)所用MATLA就數(shù)說數(shù).11)N,wc=buttord(wp,ws,RP,As,'s')該格式用于計(jì)算巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)N和3db截止頻率wcoWpws和wc是實(shí)際

10、模擬角頻率(rads).Rp和As為通帶最大衰減和最小衰減.(2) Z,P,k=buttap(N)該格式用于計(jì)算N階巴特沃斯歸一化模擬低通原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)和增益因子,返回長(zhǎng)度為N的列向量Z和P,分別給出N個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置,K表示濾波器增益.(3) Y=filter(b,a,x)式中b表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣；a表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣；x表示輸入序列；filter表示輸出序列.IIR函數(shù)實(shí)現(xiàn)的直接形式.b,a=butter(N,wc,"type')計(jì)算N階巴特沃斯數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量b、a.說明：調(diào)用參數(shù)N和w

11、c分別為巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)和3dB截止頻率的歸一化值,一般是調(diào)用buttord格式(1)計(jì)算N和wc=系數(shù)b、a是根據(jù)z-1的開幕排列.(5)B,A=butter(NJ,Qc,'ftype's')計(jì)算巴特沃斯模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量.說明：調(diào)用參數(shù)N和Qc分別為巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)和3dB截止頻率(實(shí)際角頻率),可調(diào)用buttord(2)格式計(jì)算N和Qc.系數(shù)BA按s的正降幕排列.tfype為濾波器的類型： ftype=high時(shí),高通；Qc只有1個(gè)值. ftype=stop時(shí),帶阻；Qc=Qcl,Qcu,分別為帶阻濾波器的通帶3dB下截止

12、頻率和上截止頻率. ftype缺省時(shí)：假設(shè)Qc只有1個(gè)值,那么默認(rèn)為低通；假設(shè)Qc有2個(gè)值,那么默認(rèn)為帶通；具通帶頻率區(qū)間Qcl<Q<Qcuo(6)H,w=freqz(b,a,N)b和a分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量,返回量H那么包含了離散系統(tǒng)頻響在0pi范圍內(nèi)N個(gè)頻率等分點(diǎn)的值(其中N為正整數(shù)),w那么包含了范圍內(nèi)N個(gè)頻率等分點(diǎn).調(diào)用默認(rèn)的N時(shí),其值是512.可以先調(diào)用freqz()函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的頻率響應(yīng),然后利用abs()和angle()函數(shù)及plot()函數(shù),繪制出系統(tǒng)的頻響曲線.lp21P函數(shù)bt,at=lp21P(b,a,w0)該函數(shù)用于實(shí)現(xiàn)由低通模擬

13、原型濾波器至低通濾波器的頻率變換,可以用傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間進(jìn)行轉(zhuǎn)換,但無論哪種形式,其輸入必須是模擬濾波器原型.(8)bz,az=impinvar(b,a,fs)把具有b,a模擬濾波器傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為采樣頻率為fs的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)模型bz,az,如果在函數(shù)中沒有確定頻率fs時(shí),函數(shù)默認(rèn)為1Hz.四、設(shè)計(jì)思路設(shè)定信號(hào)模擬低通濾波器原型-頻率變換-模擬離散化-IIR數(shù)字濾波器-輸出信號(hào)五、設(shè)計(jì)內(nèi)容1 .MATLABS序設(shè)計(jì)Wp=2*pi*100;Ws=2*pi*150;%濾波器截止頻率Rp=0.5;Rs=10;%通帶最大衰減和阻帶最小衰減Fs=1000;%采樣頻率Nn=128;%N,Wc=

14、buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');%z,p,k=buttap(N);%Butterworth濾波器Bap,Aap=zp2tf(z,p,k);%換為傳遞函數(shù)形式b,a=lp21P(Bap,Aap,Wc)%bz,az=impinvar(b,a,Fs);%得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)figure(1)H,W=freqz(bz,az,Nn,Fs);%值特性和相頻特性subplot(2,1,1)plot(W,20*log10(abs(H);xlabel('頻率')；ylabel('幅度')；gridon;subplot(2,1,2);plot(

15、W,180pi*unwrap(angle(H);xlabel('頻率')；調(diào)用freqz所用的頻率點(diǎn)數(shù)模擬濾波器的最小階數(shù)設(shè)計(jì)模擬低通原型將零點(diǎn)極點(diǎn)增益形式轉(zhuǎn)進(jìn)行頻率轉(zhuǎn)換運(yùn)用脈沖響應(yīng)不變法繪制數(shù)字濾波器的幅ylabel('幅度')；gridon;figure(2)f1=50;f2=200;%N=100;%dt=1Fs;n=0:N-1;t=n*dt;%x=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t);%subplot(2,1,1);%plot(t,x);title('輸入信號(hào)');%波y1=filter(bz,az,x);subplo

16、t(2,1,2);%xlabel('時(shí)間')title('輸出信號(hào)');輸入信號(hào)的頻率數(shù)據(jù)長(zhǎng)度米樣間隔和日寸間序列濾波器輸入信號(hào)繪制輸入信號(hào)用filter函數(shù)對(duì)輸入信號(hào)濾繪出輸出波形gU£d±Llatuq電口windowmQ晶擠MSwERtipPfrWWwttVWIkMQKQ勒小刎,EJHe1口Add±鴻七M(jìn)twh-mLnrrund.1ndcnv.lt«wtc-MATLAfi'.T«fcch/icVid口mi0»7>01.nrr««d心時(shí)?,氏七乜,龍波泄醒止痰室RpF

17、5.Fs=1000.Nn=12S.甌=10:受通芾最大衰融和沮芾最小麥麻來祥翔窣N.W<?=bjttordliW$.艮口,Rb?'="):z：kJ=lpjtlap(N)為調(diào)用£f班所用的翔空點(diǎn)J&1快期逑饋器的最小肺救上出請(qǐng)模拉低遺服31ButthwdEh就波理Bap.Aas=Ep2lf(2Pmk).b.nJ"lp2lp(B«Asm,We)I.bzjzle=anplnviurI.K叫Fs);fieimd)H,W=fr*qs(bs,a3PNn.Fv):subplot(2(L1)|pl01(VP2041oglO(abaCH).1mIE版

18、率)：“口氐唱度；£ridon.subplot(2r1,2).pLgt(WP1Sdpi*u.n-jm-ap(angle(H).MM:務(wù)將雪點(diǎn)慢點(diǎn)增直移式域鞅為傳遞通款形式工進(jìn)行瓶率轉(zhuǎn)換,運(yùn)用肱沖響西不變法得到如字逑法各的傳建由獨(dú)、迫空箱字/浪器的提他茸蘭和相玩朽性4-33Kls1g停P>H6HtditLletuqg.dridM口SlndawtHlpcJ晶-E蛇.CmitWwirnttywiiTViB,QMD勒.山“1511Ho-wAcM£'445*e卻ie.1ridcriQl*wtc-huTuMB'.fafcdiiittfid口mi0m&Larr4ad<1,曲沁七d_rlabeirUK1),grid尋力flsere(2)fl=&0.N=gdtBpJs£2=200.r.J：n1'箱人信號(hào)的巽率璃獻(xiàn)據(jù)長(zhǎng)度t=n*dt：4梁樣司建和時(shí)間序列K=sin.(2*pL*fl*rHsiin(S+pi*!).如彥波招斯X借叼subplot(2rb1).pls(t/.tills土釜制羯入恬號(hào)rl=filter(bEj«?x>.subplo