第二節(jié) 鴿巢原理加強(qiáng)形式

1、nqqq,21121nqqqn)1 (nii1iq1212(1)(1)(1)()nnqqqqqqn121nqqqn121nqqqn12(,;1),nN q qq1211 (,;1)1.nnN q qqqqqn即 221nqqq12nqqqr1) 1(rn12,nm mm121nmmmrn12,nm mm(1)imrin 121nmmmrn12(1)nmmmn r12(1) 1nmmmn r12,nm mm(1)imrin nmnmnmnmmnmnmnnmnm)1 () 1() 1( 01（其中），(1) 1 101 (10 1) 1910n r 1220020000mmm，1220010099

2、200mmm，12200,m mm100 (1200)imi ，12n21231,na a aakm2(1,2,1)knka21 (11)kmnkn2(11)kkn21(1,2,1).kmn kn12n1212,nmmm121nkkk 1 ,in 及121.nkkkmmmi121 ,nkkkaaa)1 (njj12n21231,na a aa1,jjkkaajkajkm1jka1,jkm11, jjkkmm矛盾.m1+m2+m10=3(1+2+10)=3 (10 11).21210.3 1116.516,102mmm 例例5 5 邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為1 1的正方形中，任意放入的正方形中，任意放入9 9

3、個(gè)點(diǎn)，求證這個(gè)點(diǎn)，求證這9 9個(gè)點(diǎn)中個(gè)點(diǎn)中任取任取3 3個(gè)點(diǎn)組成的三角形中，至少有一個(gè)的面積不超過(guò)個(gè)點(diǎn)組成的三角形中，至少有一個(gè)的面積不超過(guò)1/8.1/8. 解：將邊長(zhǎng)為解：將邊長(zhǎng)為1 1的正方形等分成邊長(zhǎng)為的正方形等分成邊長(zhǎng)為1/21/2的四個(gè)小正方的四個(gè)小正方形，視這四個(gè)正方形為鴿巢，形，視這四個(gè)正方形為鴿巢，9 9個(gè)點(diǎn)任意放入這四個(gè)正方形個(gè)點(diǎn)任意放入這四個(gè)正方形中，由鴿巢原理必有三點(diǎn)落入同一個(gè)正方形內(nèi)中，由鴿巢原理必有三點(diǎn)落入同一個(gè)正方形內(nèi). .現(xiàn)特別取出現(xiàn)特別取出這個(gè)正方形來(lái)加以討論這個(gè)正方形來(lái)加以討論. . 圖1 把落在這個(gè)正方形中的三點(diǎn)記為把落在這個(gè)正方形中的三點(diǎn)記為D D、E E

4、、F.F.如圖如圖1 1，通，通過(guò)這三點(diǎn)中的任意一點(diǎn)（如過(guò)這三點(diǎn)中的任意一點(diǎn)（如E E）作正方形邊平行線）作正方形邊平行線1111 1()2222 2hh11.4848hhSDEFSDEGSEFG 所以，結(jié)論成立。例例6 (1995年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 ) 將平面上每個(gè)點(diǎn)以紅、藍(lán)兩色之一著色，證明：存在這樣的兩將平面上每個(gè)點(diǎn)以紅、藍(lán)兩色之一著色，證明：存在這樣的兩個(gè)相似三角形，它們的相似比為個(gè)相似三角形，它們的相似比為20132013，并且每一個(gè)三角形的三個(gè)頂，并且每一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)同色。點(diǎn)同色。 證明：如圖，作兩個(gè)半徑分別為證明：如圖，作兩個(gè)半徑分別為1 1和和2

5、0132013的同心圓，在內(nèi)圓上任取的同心圓，在內(nèi)圓上任取9 9個(gè)點(diǎn)，必有個(gè)點(diǎn)，必有5 5點(diǎn)同色，點(diǎn)同色，不妨設(shè)為不妨設(shè)為A A1 1,A,A2 2,A,A3 3,A,A4 4,A,A5 5。如圖所示，連半徑。如圖所示，連半徑0A0Ai交大圓于交大圓于B Bi（i=1,2,3,4,5=1,2,3,4,5），對(duì)），對(duì)B B1 1，B B2 2，B B3 3，B B4 4，B B5 5 必有必有3 3點(diǎn)同色點(diǎn)同色, ,不妨不妨設(shè)為設(shè)為B B1 1,B,B2 2,B,B3 3，則，則B B1 1B B2 2B B3 3與與A A1 1A A2 2A A3 3為三頂點(diǎn)同色的相似三角形，相似為三頂點(diǎn)同色的相似三角形，相似比等于對(duì)應(yīng)的大圓弦長(zhǎng)比等于對(duì)應(yīng)的大圓弦長(zhǎng)與小圓弦長(zhǎng)與小圓弦長(zhǎng)之比，即為之比，即為20132013，所以結(jié)論成立，所以結(jié)論成立. .2 sin)2br(弦長(zhǎng)123456 .aaaaaa121231341451561, , , , ,baabaabaabaabaa令123,ccc121231 , ,dccdcc并令12116