大學(xué)高數(shù)第七章 7-4平面及直線

1、下頁返回上頁一、平面及其方程一、平面及其方程二、直線及其方程二、直線及其方程三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題第四節(jié)第四節(jié) 平面與直線平面與直線下頁返回上頁xyzo0MM 如果一非零向量垂直于一如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的平面，這向量就叫做該平面的法線向量法線向量法線向量的法線向量的特征特征： 垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量已知已知,CBAn 為為平平面面上上一一點點，),(0000zyxM設(shè)平面上的任一點為設(shè)平面上的任一點為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMMn( normal vector )1 1、平面的點法式方程、平面的點法式方程一、平面及其方程一

2、、平面及其方程下頁返回上頁,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點法式方程平面的點法式方程 平面上的點都滿足上方程，不在平面上的平面上的點都滿足上方程，不在平面上的點都不滿足上方程，上述方程稱為平面的方程，點都不滿足上方程，上述方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形平面稱為方程的圖形其中法向量其中法向量,CBAn 已知點已知點).,(000zyx下頁返回上頁例例 1 1 求求過過三三點點)4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的的平平面面方方程程.解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,1

3、4 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx下頁返回上頁例例 2 2 求求過過點點)1 , 1 , 1(，且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和051223 zyx的的平平面面方方程程.,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解下頁返回上頁由平面的點法式方程由平面的點法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一

4、般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 2、平面的一般方程下頁返回上頁平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過坐標(biāo)原點；平面通過坐標(biāo)原點；, 0)2( A , 0, 0DD平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.下頁返回上頁例例 3 3 設(shè)設(shè)平平面面過過原原點點及及點點)2, 3, 6( ，且且與與平平面面824 zyx垂垂直直，求求此此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)

5、平面為, 0 DCzByAx由平面過原點知由平面過原點知, 0 D由由平平面面過過點點)2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解下頁返回上頁例例 4 4 設(shè)設(shè)平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx將三點坐標(biāo)代入得將三點坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解下頁返回上頁,aDA ,b

6、DB ,cDC 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸上截距軸上截距z軸軸上上截截距距( the intercept form)下頁返回上頁例例 5 5 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而與與三三個個坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所圍圍成成的的四四面面體體體體積積為為一一個個單單位位的的平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要條件）（向量平行的充要條件）解解下頁返回上頁,61161cba 化簡得

7、化簡得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入體積式代入體積式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程為所求平面方程為下頁返回上頁解解2: 由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得:0D 66 Dzyx, 166 DzDyDx即即 166D61 DD即即 D = 6 666 zyx由所求平面為由所求平面為下頁返回上頁21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 相交與21)3(三、兩平面的相互關(guān)系三、兩平面的相互關(guān)系相交程度的反映指標(biāo)兩平面的夾角兩平面的夾角下頁返回上頁定

8、義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角夾角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 兩平面的夾角兩平面的夾角 下頁返回上頁按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式下頁返回上頁例例6 6 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02

9、224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos 下頁返回上頁)2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合.下頁返回上頁 設(shè)設(shè)),(0000zyxP是平面是平面ByAx 0 DCz 外一點，求外一點，求0P到平面的距離到平面的距離. )

10、,(1111zyxP|Pr|01PPjdn 1PNn0P 00101PrnPPPPjn ,10101001zzyyxxPP 4 4、點到平面的距離、點到平面的距離分析分析下頁返回上頁 2222222220,CBACCBABCBAAn00101PrnPPPPjn 222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzByAxCzByAx 下頁返回上頁0111 DCzByAx)(1 P 01PrPPjn,222000CBADCzByAx .|222000CBADCzByAxd 點到平面距離公式點到平面距離公式下頁返回上頁xyzo方向向量方

11、向向量( direction vector )的定義的定義 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱一條已知直線，這個向量稱為這條直線的為這條直線的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 1 1、直線的參數(shù)方程與對稱式方程、直線的參數(shù)方程與對稱式方程二、直線及其方程二、直線及其方程下頁返回上頁 ptzzntyymtxx000直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程直線的對稱式方程直線的對稱式方程方向向量的余弦稱為直線的方向向量的余弦稱為直線的方向余弦方向余弦.pzznyymxx000 直線的一組直線

12、的一組方向數(shù)方向數(shù)下頁返回上頁例例 7 7 一一直直線線過過點點)4 , 3, 2( A，且且和和y軸軸垂垂直直相相 交交，求求其其方方程程. 解解因因為為直直線線和和y軸軸垂垂直直相相交交, 所以交點為所以交點為),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直線方程所求直線方程.440322 zyx下頁返回上頁xyzo1 2 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程L2 2、直線的一般式方程、直線的一般式方程下頁返回

13、上頁例例8 8 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線.043201 zyxzyx解解在直線上任取一點在直線上任取一點),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy點坐標(biāo)點坐標(biāo)),2, 0 , 1( 下頁返回上頁因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 對稱式方程對稱式方程,321041 zyx參數(shù)方程參數(shù)方程.3241 tztytx下頁返回上頁3 3、空間兩直線的關(guān)系、空間兩直線的關(guān)系1L 與與 共面共面 0,2121 ssMM2L2L1L與與 為異面直線為異面直線 0,21

14、21 ssMM為為為為1111,zyxM2222,zyxM設(shè)設(shè)1L上的點，上的點，上的點。上的點。2L1M2M下頁返回上頁兩直線的特殊位置關(guān)系判定：兩直線的特殊位置關(guān)系判定：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直線直線:1L直線直線:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即下頁返回上頁例例 9 9 求求過過點點)5, 2, 3( 且且與與兩兩平平面面34 zx和和152 zyx的的交交線線平平行行的的直直線線方方程程. 解解設(shè)所求直線的方向向量為設(shè)所求直線的方向向量為,p

15、nms 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,1ns ,2ns 取取21nns ,1, 3, 4 .153243 zyx所求直線的方程所求直線的方程下頁返回上頁直線直線:1L,111111pzznyymxx 直線直線:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 兩直線的方向向量的夾角稱之兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）（銳角）兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式夾角夾角（3）兩直線的）兩直線的下頁返回上頁解解先作一過點先作一過點M且與已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直線與該平面的交點

16、再求已知直線與該平面的交點N,令令tzyx 12131. 1213 tztytxML下頁返回上頁代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交點交點)73,713,72( N取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為MNMN373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直線方程為所求直線方程為.431122 zyx下頁返回上頁4 4、直線與平面的關(guān)系、直線與平面的關(guān)系,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn （3） 與與 相交相交于一點于一點L0CpBnAm（1） 與與 平行平行或或 含于含于 LL0CpBnAm L)2(.pCnBmA 下頁返回

17、上頁定義定義直線和它在平面上的投影直線的夾直線和它在平面上的投影直線的夾角角 稱為直線與平面的夾角稱為直線與平面的夾角 0.2 (4)(4)直線與平面的夾角直線與平面的夾角（1）投影直線可求嗎？）投影直線可求嗎？考慮考慮法向量與直線的夾角易求嗎？法向量與直線的夾角易求嗎？ 與所研究向量的關(guān)系是什么？與所研究向量的關(guān)系是什么？（2）1L2L下頁返回上頁直線直線:1L,111111pzznyymxx 投影直線投影直線:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式借助投影直線求直線與平面的夾

18、角借助投影直線求直線與平面的夾角下頁返回上頁 0.2 2),(ns 2),(ns 借助法向量求直線與平面的夾角借助法向量求直線與平面的夾角222222|)2cos(sinpnmCBACpBnAm 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式 .cos 2 cossin2 下頁返回上頁例例 1111 設(shè)直線設(shè)直線:L21121 zyx，平面，平面: 32 zyx，求直線與平面的夾角，求直線與平面的夾角. 解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角下頁返回上頁.,222111

19、不不成成比比例例、與與、其其中中系系數(shù)數(shù)所所確確定定CBACBA )2(0)1(022221111DzCyBxADzCyBxA設(shè)直線設(shè)直線 由方程由方程L0)(22221111 DzCyBxADzCyBxA 則則三三元元一一次次方方程程.2）除除外外）平平面面（平平面面（的的所所有有直直線線為為任任意意實實數(shù)數(shù)）表表示示了了過過（其其中中L 5 5、過直線的平面束、過直線的平面束下頁返回上頁0)(22221111 DzCyBxADzCyBxA 一般將三元一次方程一般將三元一次方程.的的平平面面束束的的方方程程稱稱為為過過直直線線L.0010112上上的的投投影影直直線線的的方方程程在在平平面面

20、求求直直線線例例 zyxzyxzyx, 0)1()1 zyxzyx （方程為方程為設(shè)過已知直線的平面束設(shè)過已知直線的平面束解解, 0)1()1()1()1 zyx（即即下頁返回上頁, 0111111. ）（）（）（是是它它與與已已知知平平面面垂垂直直，于于為為待待定定常常數(shù)數(shù)其其中中 . 1即即 . 01 zy平平面面的的方方程程為為代代入入平平面面束束方方程程得得投投影影 . 0, 01zyxzy程為程為所以所求投影直線的方所以所求投影直線的方下頁返回上頁平面的方程平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的關(guān)系兩平面的關(guān)系點到平面的距離公式點到平面的距

21、離公式點法式方程點法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程. （注意兩平面的（注意兩平面的位置位置特征）特征）三、小結(jié)三、小結(jié)下頁返回上頁空間兩直線的關(guān)系空間兩直線的關(guān)系直線與平面的關(guān)系直線與平面的關(guān)系過直線的平面束過直線的平面束直線的方程直線的方程參數(shù)方程參數(shù)方程一般式方程一般式方程 對稱式方程對稱式方程下頁返回上頁思考題思考題 1、若若平平面面02 zkyx與與平平面面032 zyx的的夾夾角角為為4 ，求求? k 下頁返回上頁思考題思考題1解答解答,1)3(2)2(112)3(214cos222222 kk,1453212 kk.270 k下頁返回上頁思考題思考題 2、在直線方程

22、在直線方程pznymx 6224中，中，m、n、p各怎樣取值時，直線與坐標(biāo)面各怎樣取值時，直線與坐標(biāo)面xoy、yoz都平行都平行. 下頁返回上頁思考題思考題2解答解答,6,2pnms 且有且有. 0 s, 0 ks, 0 is 0206mp, 0, 6 mp, 0 s, 0 n故當(dāng)故當(dāng) 時結(jié)論成立時結(jié)論成立, 0 m6 p, 0 n下頁返回上頁一、一、 填空題：填空題：1 1、 平面平面0 CzByAx必通過必通過_， （其中（其中 CBA,不全為零） ；不全為零） ；2 2、平面、平面0 DCzBy_x軸；軸；3 3、平面、平面0 CzBy_x軸；軸；4 4、通過點、通過點)1,0,3( 且

23、與平面且與平面012573 zyx平平 行的平面方程為行的平面方程為 _ _；5 5、通過、通過),0,0()0,0()0,0,(cba、三點的平面方三點的平面方 _；6 6、 平平面面0522 zyx與與xoy面面的的夾夾角角余余弦弦為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，與與yoz面面的的夾夾角角余余弦弦為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _， 與與zox面面的的夾夾角角的的余余弦弦為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；練練 習(xí)習(xí) 題題下頁返回上頁7 7、通過點、通過點)3,1,4( 且平行于直線且平行于直線5123 zyx的直線方程為的直線方程為_；

24、 8 8、直線、直線 012309335zyxzyx與直線與直線 0188302322zyxzyx的夾角的余弦為的夾角的余弦為_； 9 9、 線線 003zyxzyx和平面和平面01 zyx在平面在平面012 zyx上的夾角為上的夾角為_； 1010、點、點)0,2,1( 在平面在平面012 zyx上的投影為上的投影為 _； 下頁返回上頁1 11 1、直直線線723zyx 和和平平面面8723 zyx的的關(guān)關(guān)系系是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 1 12 2、 直直線線431232 zyx和和平平面面3 zyx的的關(guān)關(guān)系系是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

25、. 二、二、 指出下列各平面的特殊位置，并畫出各平面：指出下列各平面的特殊位置，并畫出各平面： 1 1、 0632 yx；2 2、1 zy； 3 3、056 zyx. . 三、三、 求過點求過點)2,2,2( ,)1,1,1( 和和)2,1,1( 三點三點的的平面方程平面方程 . . 四、四、 點點)1,0,1( 且平行于向量且平行于向量 1,1,2 a和和 0,1,1 b的平面方程的平面方程 . . 下頁返回上頁五五、 求求通通過過Z軸軸和和點點)2,1,3( 的的平平面面方方程程 . .六六、 求求與與已已知知平平面面0522 zyx平平 行行且且與與 三三坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所構(gòu)構(gòu)成成的的四四

26、面面體體體體積積為為 1 1 的的平平面面方方程程 . .七七、 對對 稱稱 式式 方方 程程 及及 參參 數(shù)數(shù) 方方 程程 表表 示示 直直 線線L： 421zyxzyx . . 八八、 過過點點)2,1,3( 且且通通過過直直線線12354zyx 的的平平面面方方程程 . . 0923042zyxzyx直線直線 在平面在平面上的投影直線的方程上的投影直線的方程 . . 14 zyx九、下頁返回上頁十、十、 與已知直線與已知直線 1L：13523zyx 及及 2L： 147510zyx 都相交且和都相交且和 3L： 137182 zyx平行的直線平行的直線 L L . . 十 一 、 設(shè) 一 平 面 垂