數(shù)值分析整理版試題及答案

1、例1、函數(shù)表-112-304求f(x)的Lagrange：1次插值多項式和NewtonC次插值多項式.解：(1)插值基函數(shù)分別為故所求二次拉格朗日插值多項式為(2)一階均差、二階均差分別為均差表為一階一階-1-3103/22445/6故所求NewtoR次插值多項式為例2、設(shè)f(x)=x2+3x+2,xq0,1,試求f(x)在0,1上關(guān)于P(x)=1,6=spanl,x的最正確平方逼近多項式.解：假設(shè)B=spanl,x,那么中0(x)=1,中1(x)=x,且P(x)=1,這樣,有所以,法方程為1212a01一a13-231694,經(jīng)過消元得-231再回代解該方程,得到a=4,a0=1211石61

2、»13故,所求最正確平方逼近多項式為S*(x)=114x6例3、設(shè)f(x)=eX,多項式.xw0,1,試求f(x)在0,1上關(guān)于P(x)=1,=span1,xl的最正確平方逼近解：假設(shè)=spani,X,那么中0(X)=1,%(x)=x,這樣,有所以,法方程為解法方程,得到a.=0.8732,ai=1.6902,故,所求最正確平方逼近多項式為例4、用n=4的復(fù)合梯形和復(fù)合辛普森公式計算積分jVXdxo解：(1)用n=4的復(fù)合梯形公式由于h=2,f(x尸或,Xk=1+2k(k=1,2,3),所以,有(2)用n=4的復(fù)合辛普森公式由于h=2,f(x)=7X,Xk=1+2k(k=1,2,3)

3、,x和=2+2k(k=0,1,2,3),所以,有2例5、用列主元消去法求解以下線性方程組的解.解：先消元再回代,得到X3=3,X2=2,Xi=1所以,線性方程組的解為Xi=1,X2=2,X3=3例6、解：設(shè)那么由A=LU用直接三角分解法求以下線性方程組的解.的對應(yīng)元素相等,有1.4,1.l21u11=二121二二,l31u11=二一1=2332,11,11l21u12u22=u22=-,l21u13u23=u23=-,460545I31U12'l32u22=1=因此,解Ly=b,即-143-36y2|=Ki91/日8,4寸y=9,y2=4,y3=-154151601161-布13x2-

4、4Lx3_lL-154J,得X3=177.69,x2=476.92,x1=227.0813l32=-36,l31u13,l32u23'u33=2=U33=15所以,線性方程組的解為15xi-227.08,X2=476.92,X3-177.691、假設(shè)A是nn階非奇異陣,那么必存在單位下三角陣L和上三角陣U,使A=LU唯成立.2、當(dāng)n28時,Newtoncotes型求積公式會產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定性.3、形如nf(x)dx:二Ajf(xj)i=1的高斯Gauss型求積公式具有最高代數(shù)精確度的次數(shù)為2n+1.210、A=1114、矩陣<012冊2范數(shù)同2=9.怎a0、(用()0(X)2、)8

5、、(X)A=0a05、設(shè)100a,那么對任意實數(shù)a*0,方程組Ax=b都是病態(tài)的.6、設(shè)AWRnX：n,QwM,且有QtQ=I單位陣,那么有網(wǎng)2=心兒.7、區(qū)間hb】上關(guān)于權(quán)函數(shù)Wx的直交多項式是存在的,且唯一.1、V3、X4、V5、X6、V7、X一、判斷題10X1'1、假設(shè)A是n階非奇異矩陣,那么線性方程組AX=b一定可以使用高斯消元法求解.X2、解非線性方程fx=0的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂的.?3、假設(shè)A為n階方陣,且其元素滿足不等式那么解線性方程組AX=b的高斯一一塞德爾迭代法一定收斂.X4、樣條插值一種分段插值.?5、如果插值結(jié)點相同,在滿足相同插值條件下所有的插值

6、多項式是等價的.?6、從實際問題的精確解到實際的計算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測誤差、截斷誤差及舍入誤差,：7、解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AX=b.X8、迭代解法的舍入誤差估計要從第一步迭代計算的舍入誤差開始估計,直到最后一步迭代計算的舍入誤差.X9、數(shù)值計算中的總誤差如果只考慮截斷誤差和舍入誤差,那么誤差的最正確分配原那么是截斷誤差=舍入誤差.10、插值計算中預(yù)防外插是為了減少舍入誤差.X1000.1.2.用計算機(jī)求工J時,應(yīng)根據(jù)n從小到大的順序相加.nTn為了減少誤差,應(yīng)將表達(dá)式河-胸改寫為后島霸進(jìn)行計算.對3 .用數(shù)值微分公式中求導(dǎo)數(shù)值時,步長越小計算就越精確.X

7、/產(chǎn)Ix'4 .用迭代法解線性方程組時,迭代能否收斂與初始向量的選擇、系數(shù)矩陣及其演變方式有關(guān),與常數(shù)項無關(guān).復(fù)習(xí)試題一、填空題：irr一4一101A-A=-14-11、 1°一141,那么A的LU分解為一1A=-1/4答案：-04-101I15/4-1-4/151/56/15-32、f1=1.0,f2=1.2,f3=1.3,那么用辛普生辛卜生公式計算求得Lfxdx"用三點式求得f答案：2.367,0.253、f1=-1,f2=2,f3=1,那么過這三點的二次插值多項式中x2的系數(shù)為,拉格朗日插值多-來源網(wǎng)絡(luò),僅供個人學(xué)習(xí)參考項式為11L2(x)=-(x-2)(x-

8、3)-2(x-1)(x-3)-(x-1)(x-2)答案：-1,224、近似值x*=0.231關(guān)于真值x=0.229有(2)位有效數(shù)字;5、設(shè)f(x)可微,求方程x=f(x)的牛頓迭代格式是()；xn-f(xn)xn1xn一答案1-f(xn)6、對f(x)=x3+x+1,差商f0,1,2,3=(i),f0,1,234二；7、計算方法主要研究(截斷)誤差和(舍入)誤差；b-an18、用二分法求非線性方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時,二分n次后的誤差限為(2)；10、f(1)=2,f(2)=3,f(4)=5.9,那么二次Newton插值多項式中x2系數(shù)為(0.15);3-1_31,-f(x)

9、dx0f(x)dx:_f()f(-)*、11、兩點式高斯型求積公式()-(022432V3),代數(shù)精度為(5);12、解線性方程組Ax=b的高斯順序消元法滿足的充要條件為(A的各階順序主子式均不為零)13、34y=102為了使計算X-*1(X-1)3(x-1)1y=10(3(4-6t)t)t,t:x-1,為了減少舍入誤差,的乘除法次數(shù)盡量地少,應(yīng)將該表達(dá)式改寫為應(yīng)將表達(dá)式"礪-"堿改寫為2位001+4199917、設(shè)f(0)=0,f=16,f(2)=46,那么li(x)=li(x)=-x(x2),f(x)的二次牛頓插值多項式為N2(x)=16x7x(x-1)18、求積公式精

10、度.bf(x)dxan:'、Akf(xk)k40的代數(shù)精度以(高斯型)求積公式為最高,具有(2n+1)次代數(shù)519、 f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求積公式求Lf(x)dx=12)20、 設(shè)f(1)=1,f(2)=2,f(3)=0,用三點式求氣2.5).21、如果用二分法求方程x3+x.4=0在區(qū)間1,2內(nèi)的根精確到三位小數(shù),需對分(10)次.23、XM/O,/n(x)是以整數(shù)點x0,xi,xn為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù),那么nnn%lk(x)xklj(xk)x(xkxk3)lk(x)二42k=0(1),kz0(xj),當(dāng)n22時y(x+x+3)o26、改

11、變函數(shù)f(x)=«-&(x»1)的形式,使計算結(jié)果較精確27、假設(shè)用二分法求方程f(x)=o在區(qū)間1,2內(nèi)的根,要求精確到第3位小數(shù),那么需要對分10次.129、假設(shè)用復(fù)化梯形公式計算膽氣.要求誤差不超過1.%利用余項公式估計,至少用477個求積節(jié)點.IILlx1+1.6x2=130、寫出求解方程組0.4%+%=2f(x)dx-f(-1)8f(0)f-9的代數(shù)精度為2o的Gauss-Seidel迭代公式；x1k*)=1-1.6x2k)c,'0-1.6、J",k=0,1,海)=2+Md),迭代矩陣為9-.64),此迭代法是否收斂收斂._15431、設(shè)

12、人一娼31那么11AlL=9.32、33、48A=25設(shè)矩陣J3276的A=LU,4U=0；0那么U=-假設(shè)f(x)=3x4+2x+1,那么差商f2,4,8,16,32=3.34、數(shù)值積分公式2的最小二乘解為24"305j分解為A=LU,那么U=1110§21萬35、 線性方程組3A=236、設(shè)矩陣J二、單項選擇題：1、Jacobi迭代法解方程組Ax=b的必要條件是C.A.A的各階順序主子式不為零B.PA1Caii#.=12,nDAll_122-3A=051i;2、設(shè)P0一7一那么%A為C.A.2B.5C.7D.33、三點的高斯求積公式的代數(shù)精度為BoA.2B.5C.3D.

13、44、求解線性方程組Ax=b的LU分解法中,A須滿足的條件是BA.對稱陣B.正定矩陣C.任意陣D.各階順序主子式均不為零!j.j'x1i5、舍入誤差是A產(chǎn)生的誤差.A.只取有限位數(shù)B.模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值C.觀察與測量D.數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實際值6、3.141580是冗的有B位有效數(shù)字的近似值.A.6B.5C.4D.77、用1+x近似表示e所產(chǎn)生的誤差是C誤差.A.模型B.觀測C,截斷D.舍入8、解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是AA.限制舍入誤差B.減小方法誤差C.預(yù)防計算時溢出D.簡化計算x9、用1+3近似表示3所產(chǎn)生的誤差是(D)誤差A(yù).舍入B.觀測C.模型

14、D.截斷10、-324.7500是舍入得到的近似值,它有(C)位有效數(shù)字.A.5B.6C.7D.811、設(shè)f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,那么拋物插值多項式中x2的系數(shù)為(A)A.5B.0.5C.2D.-212、三點的高斯型求積公式的代數(shù)精度為(C).A.3B.4C.5D.213、(D)的3位有效數(shù)字是0.236X102.(A)0.0023549X103(B)2354.82X10-2(C)235.418(D)235.54X10-114、用簡單迭彳弋法求方程f(x)=0的實根,把方程f(x)=0表示成x=?(x),那么f(x)=0的根是(B)(A)y=%x)與x軸交點的橫坐標(biāo)(B)y

15、=x與y=%x)交點的橫坐標(biāo)(C)y=x與x軸的交點的橫坐標(biāo)(D)y=x與y=%x)的交點13xi-X24x3=1«-x1+2x2-9x3=015、用列主元消去法解線性方程組4x1-3x2+"=-1,第1次消元,選擇主元為(a)0(A) 4(B)3(C)4(D)-9Ll16、拉格朗日插值多項式的余項是(B),牛頓插值多項式的余項是(C).(A)f(x,x0,x1,x2,xn期)(xx2)(x-xn1)(xxn),f(n1)()Rn(x)=f(x)-Pn(x)(J(B) (n1)!(C)f(x,x0,x1,x2,xn(«0)(xx1)(xx2)(x-xn1)(xxn

16、),f(n1)(Rn(x)=f(x)Pn(x)J1-n1(x)(D)(n1)!17、18、等距二點求導(dǎo)公式f?(x1)?(A).用牛頓切線法解方程f(x)=0,選初始值x0滿足(A),那么它的解數(shù)列xnn=0,1,2,一定收斂到方程f(x)=0的根.19、為求方程x3x21=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個根,把方程改寫成以下形式,并建立相應(yīng)的迭代公式,迭代公式不收斂的是(A)ox2,迭代公式：xk4=-F=(A)'JXk_1x=1迭代公式(B)1Xk3(C)x=1+x2,迭代公式21/3：xk1=(1xk)2xk2xkxk1x3-1=x2,迭代公式：x«=1十(D)21、解方

17、程組Ax=b的簡單迭代格式x(k+)=Bx+g收斂的充要條件是().(1) ：(A)<1,(2)7(B)<1,(3)：(A)1,(4)(B)1b,_(n)_f(x)dx：(b-a)“Cif(x,)(n)22、在牛頓-柯特斯求積公式：4-中,當(dāng)系數(shù)G是負(fù)值時,公式的穩(wěn)定性不能保證,所以實際應(yīng)用中,當(dāng)()時的牛頓-柯特斯求積公式不使用.(1)n之8,(2)n之7,(3)n之10,(4)n之6,23、有以下數(shù)表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項式的次數(shù)是()(1)二次；(2)三次；！(3)四次；1(4)五次25、取m-1.732計算x=

18、(6-1)4,以下方法中哪種最好()1616(A)28-16石;(B)(4-2m)2；(C)(4+2>/3)2；(D)(而+1)4.27、由以下數(shù)表進(jìn)行Newton插值,所確定的插值多項式的最高次數(shù)是11.522.533.5-10.52.55.08.011.5(A)5；(B)4;(C)3;(D)2.b28、形如Lf(x)dx*Af(x1)+A2f(應(yīng))+4"%)的高斯(Gauss)型求積公式的代數(shù)精度為()(A)9;(B)7；(C)5；(D)3.29、計算«的Newton迭代格式為()Xk1二區(qū)Xk(A)2xk；(B)3+2xkk)Xk(C)"萬2+xk-k

19、,xk1(D)Xk3十Xkorn-30、用二分法求方程X3+4x2一10=0在區(qū)間1,2內(nèi)的實根,要求誤差限為2,那么對分次數(shù)至少為()(A)10;(B)12;(C)8;(D)9.9kh(k)=32、設(shè)1i(X)是以=k(k=0,訓(xùn),9)為下點的Lagrange插值基函數(shù),那么kr()(A)x；(B)k；(C)i;(D)1.33、5個節(jié)點的牛頓-柯特斯求積公式,至少具有()次代數(shù)精度；(A)5;(B)4;(C)6;(D)3o35、方程X3-2x5=0在乂=2附近有根,以下迭代格式中在X0=2不收斂的是()X3KXk釬白c3sXk"fUf(A)xk+=源xk+5；(B)Xxk;(C)x

20、k書=Xk-Xk-5；(D)3Xk-2.36、由以下數(shù)據(jù)0123IX|:J¥41243-5確定的唯一插值多項式的次數(shù)為()(A)4;(B)2;(C)1;(D)3o37、5個節(jié)點的Gauss型求積公式的最高代數(shù)精度為()(A)8;(B)9;(C)10;(D)11o三、是非題(認(rèn)為正確的在后面的括弧中打?,否那么打)'lrj''|1、觀察值(Xi,yi)(i=0,1,2,m),用最小二乘法求n次擬合多項式Pn(x)時,Pn(x)的次數(shù)n可以任意取.()2、用1-2近似表示cosc產(chǎn)生舍入誤差.()(X-X0)(x-X2)3、(X1-X0)(X1-X2)表示在節(jié)點X

21、1的二次(拉格朗日)插值基函數(shù).4、牛頓插值多項式的優(yōu)點是在計算時,高一級的插值多項式可利用前一次插值的結(jié)果.(?)Z311、-2535、矩陣A=J2»具有嚴(yán)格對角占優(yōu).()四、計算題:4x12x2x3=11xi4x22x3=181、用高斯-塞德爾方法解方程組l2xi+X2+5X3=22,取X(0)=(0,0,0)T,迭代四次(要求按五位有效數(shù)字計算)o答案：迭代格式k000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.1839；40.504202.48203.70191111f(x)dx:Af(-1)f(1)Bf(-

22、)f()言2、 求A、B使求積公式/22的代數(shù)精度盡重局,并求,.1一.、I="dx其代數(shù)精度；利用此公式求“x(保存四位小數(shù))02答案：f(x)=1,x,x是精確成立,即2A2B=22A1B-2a=1B=8I23得八9,B911811求積公式為當(dāng)f(x),f(x)dx=9f(1)ZE/"34=x時,公式顯然精確成立；當(dāng)f(x)=x時,左=5,右=3.所以代數(shù)精度為3.3、13452654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f(x)的三次插值多項式p3(x),并求f(2)的近似值(保存四位小數(shù)).I_2(x-3)(x-4)(x-5)(x-1)(x-4)(x-5)L3(X)26

23、答案：(1-3)(1-4)(1-5)(3-1)(3-4)(3-5)0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值,如何選擇節(jié)點才能使誤差最小并求該近似值.答案：解：應(yīng)選三個節(jié)點,使誤差盡量小,即應(yīng)使地3(x)1盡量小,最靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求.即取節(jié)點O.5.6.7最好,實際計算結(jié)果sin0.63891定0.596274,且Ir-7、構(gòu)造求解方程ex+10x2=0的根的迭代格式Xn書=9(Xn),n=0,1,2,討論其收斂性,并將根求出來,1xn由一xn1<10.答案：解：令f(x)

24、=ex+10x2,f=2<0,f(1)=10+e>0.且f(x)=ex+10>0對Vx(一巴+刃,故f(x)=0在(0,1)內(nèi)有唯一實根.將方程f(x)=0變形為那么當(dāng)x10,1)時中(x)=1(2-eX)1cp'(x)|=一10,Xe10e/_：110故迭代格式收斂.取X.=0.5,計算結(jié)果列表如下:n01230.50.0351278720.0964247850.089877325n45670.0905959930.0905173400.0905259500.0905250086且滿足|x7-x6|<0.00000095<10.所以X利0.0905250

25、08.X12X23X3=142X15X22X3=188、利用矩陣的LU分解法解方程組,3X1X25X3=20O答案:解:A=LU=1213-5231-4-24令Ly=>|y=(14,10,72)T,Ux=y得x=(1,2,3)T.9、對方程組3X12x210x3=15*10X14X2-X3J52X1+10X24X3=8(1)試建立一種收斂的Seidel迭代公式,說明理由;(2)取初值x(0)=(0,0,0)T,利用(1)中建立的迭代公式求解,要求11人切-x(k)|hc<10o解：調(diào)整方程組的位置,使系數(shù)矩陣嚴(yán)格對角占優(yōu)故對應(yīng)的高斯塞德爾迭代法收斂.迭代格式為取x(0)=(0,0,

26、0)T,經(jīng)7步迭代可得:*(7)XX(7)(0.999991459,0.999950326,1.000010)T.xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.43510、以下實驗數(shù)據(jù)試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數(shù)據(jù)解：當(dāng)0<x<1時,f“(x)=ex,那么f(x)<e,且fedx有一位整數(shù).要求近似值有5位有效數(shù)字,只須誤差Ri(n)(f)1410_2：(b-a)3一12n2即可,解得所以n=68,因此至少需將0,168等份.11、解:12、一15用列主元素消元法求解方程組工1-15L2-41-4-1211一51：2回代得x3=-1,x2=6,

27、x1=3.-1-41-4-11取節(jié)點x.=0,x1=0.5?2=1,求函數(shù)nrxii-41x2-121上*3J1f(x)-12-411=e"在區(qū)間0,1上的二次插值多項式P2(x),并估計誤(x-0)(x-1)(0.5-0)(0.5-1)解:P2(x);eq(x-05"一.e"(0-0.5)(0-1)f(x)=e'fTx)=-e=,M3=max|f'"(x)|=1x0,1|R2(x)|=|e«-P2(x)|<1|x(x-0.5)(x-1)|故截斷誤差3!Ox14、給定方程f(x)=(x-1)e-1=01)分析該方程存在幾個

28、根；2)用迭代法求出這些根,精確到5位有效數(shù)字;3)說明所用的迭代格式是收斂的.x解：1)將方程(x-1)e-1=0(1)改寫為x-1=e(2)x*作函數(shù)f1(x)=x-1,f2(x)=e-的圖形(略)知(2)有唯一根X匚(1,2)2)將方程(2)改寫為x=1+e,+=1+e"k=構(gòu)造迭代格式、x°=1.5(k=°,1,2,)計算結(jié)果列表如下：k12345678,9Xk1.223131.294311.27401)1.279691.278121.278,561.278441.278471.2783)邛(x)=1+e/邛支)=一3小當(dāng)xw1,2時,中(x)W5(2),

29、5(1)二1,2,且所以迭限弋格式xk/=卬國)*=°,1,2,)對任意右勺1,2均收斂.15、用牛頓(切線)法求"號的近似值.取X0=1.7,計算三次,保存五位小數(shù).解：出是f(x)=x2-3=°的正根,f'(x)=2x,牛頓迭代公式為xn-3xn3x-xlnxn-1=!(n=°,1,2,)2xn,即22xn取xo=1.7,列表如下:1231.732351.732051.7320516、f(-1)=2,f(1)=3,f(2)=-4,求拉格朗日插值多項式L2(x)及f(1,5)的近似值,取五位小數(shù).L2(x)=2(x-1)(x-2)3(x1)(x

30、-2)-4(2LJM解：(-1-1)(-1-2)(11)(1-2)(21)(2-1)1017、n=3,用復(fù)合梯形公式求°edx的近似值(取四位小數(shù)),并求誤差估計e°2(e13e23)e1：17342f(x)=e,f"(x)=e,°ExW1時,|f"(x)|Me至少有兩位有效數(shù)字.18、用Gauss-Seide迭代法求解線性方程組301'1-31J-14XiX21X3,5、-1一8取xo=0,0,0T,列表計算三次,保存三位小數(shù).解：Gauss-Seide迭代格式為：一31系數(shù)矩陣J取X(0)=(0,0,0)01-31-141嚴(yán)格對角占

31、優(yōu),故Gauss-Seide迭代收斂.J,列表計算如下：111.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.5261925匚303819.032.3產(chǎn)司|X49.073.320、8分用最小二乘法求形如y=a+bx2的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)據(jù):解：力=span1,x2解方程組AAC二AyATA=其中3391T173.6Ay=II33913529603-1179980.7_C_0.9255577解得：b.501025-所以a-0.9255577,b=0.050102521、15分用n=8的復(fù)化梯形公式或復(fù)化Simpson公式計算e"dX時,試用余

32、項估計其誤差.用n=8的復(fù)化梯形公式或復(fù)化Simpson公式計算出該積分的近似值.解:&門|=-22、15分方程123xh2f)<121=0.001302768-x-1=0在x=1.5附近有根,把方程寫成三種不同的等價形式(1)(3)X=VXE對應(yīng)迭代格式Xn+=Vxn+1；(2)X.1：xn1x對應(yīng)迭代格式十Xn.3x=x3-1對應(yīng)迭代格式Xn+=Xn-1.判斷迭代格式在設(shè)=1.5的收斂性,選種收斂格式計算x=1.5附近的根,精確到小數(shù)點后第三位.“13解：(1)中(x)=3(x1),W(16=08<1,故收斂；1：(x)-一(2) 為曠+?,仔(1.5)|=0.17父1

33、,故收斂；(3) %x)=3x2,四(1同;31.521,故發(fā)散.選擇(1)：x0=1.5,x1=1.3572,x2=1.3309,x3=1.3259,x4=1.3249x5=1.32476x6=1.3247223、(8分)方程組AX=f,其中431-24【A=34-1f=30:.-141,：-241(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式(2)求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑.x用=1(24-3x2k)4p2k*=1(30-3x1(k)+x3k)x3k制(24+x2k)4解：Jacobi迭代法：工卜1,2,3,x尸)=1(24-3x2k).一！14I.仆2k刊=

34、1(30-3x1(k*)十x3k)x3k*)=1(-24+x2k巧4Gauss-Seidel迭代法：、k=023.0/Bj7R+U)=一%0%而0%0jP(BJ)=寸夕8(或-)=0.79056925、數(shù)值積分公式形如110xf(x)dx呻x)=Af+Bf+Cf+Df'試確定參數(shù)A,B,C,D使公式代數(shù)精度盡量高；(2)設(shè)f(x)WC40,1,推導(dǎo)余項公式23一一.,解：將f(x)=1,x,x,x分布代入公式得：1R(x)"xf(x)dxS(x),弁估計誤差.a3r7r1cA=,B=,B=,D=-20213020也便)=f(x)構(gòu)造Hermite插值多項式H3(x)滿足1H3

35、(x)=(為)i=01其中x.=.=11f(4)()2,、2那么有：0xH3(x)dx=S(x),f(x)-H3(x)4x(X-1)27、(10分)數(shù)值積分公式為：hh2,f(x)dx&2f(0)f(h)f一f(h",試確定積分公式中的參數(shù)九,使其代數(shù)精確度盡量高,弁指出其代數(shù)精確度的次數(shù).解：f(x)=1顯然精確成立;2hhh2f(x)=x時,f(x)=x2時,f(x)=x3時,f(X)=x4時,xdx0-hh21-1022;h2h3h22h3"J.11x2dx0h2h20-2h一2h=一)32212;h3,hh3.1.2.2.xdx0hh0-3h)421255x

36、4dx=0十h4十一h204h3=)52126;所以,其代數(shù)精確度為328、(8分)求面a>0)的迭代公式為:證實：又一切也12"|之,且序列是單調(diào)遞減的,從而迭代過程收斂.xk1=1(xka)一12xa=,ak=0,1,2證實：2Xk21Xk故對一切k=1,2;,xk之后.k-(13)-(11)=1;又Xk2Xk2所以Xk+'Xk,即序列"J是單調(diào)遞減有下界,從而迭代過程收斂.3329、(9分)數(shù)值求積公式'0f(X)dX+2f(1)'f(2)是否為插值型求積公式為什么其代數(shù)精度是多少?x-2x-1p(x)=f(1)f(2)解：是.由于f(x

37、)在基點1、2處的插值多項式為P()1-2()2-1()33.加xdx=2f+f.其代數(shù)精度為1.30、6分寫出求方程4x=cosx+1在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式,并證實其收斂性.1.1八xn1=xn=-1cosxn1(6分)n*'nJ4'n=0,1,2,1：1一一4一對任意的初值x°u0,1,迭代公式都收斂.31、12分以100,121,144為插值節(jié)點,用插值法計算E5的近似值,弁利用余項估計誤差.用Newton插值方法：差分表:101000.0476121190-0.000094110.043411361417834211510+0.0476190(115

38、-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.722755532、10分用復(fù)化Simpson公式計算積分dx,、,的近似值,要求誤差限為0.510.2468fx二迫上二.二上.上或利用余項：x3!5!7!9!28805n4-0.510*,n"33、10分用Gauss列主元消去法解方程組:x14x22x3=24«3x1+x2+5x3=342x1+6x2+x3=273.00001.00005.000034.00000.00003.66670.333312.66670.00005.3333-2.33334.33333.00001.00005.000034.00000.00005.3333-2.33334.33330.000001.93759.68751134、(8分)求方程組?f36丫xQ(ATAx=ATb,地14人x2假設(shè)用Householder變換,3I'Xi21那么:5、2JJ的最小二乘解.-1.33332