過(guò)程控制系統(tǒng) 第2章 工業(yè)過(guò)程數(shù)學(xué)模型

1、過(guò)程控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型一一. . 研究并建立數(shù)學(xué)模型的目的研究并建立數(shù)學(xué)模型的目的1.1.設(shè)計(jì)過(guò)程控制系統(tǒng)和整定調(diào)節(jié)器參數(shù)。設(shè)計(jì)過(guò)程控制系統(tǒng)和整定調(diào)節(jié)器參數(shù)。2.2.進(jìn)行仿真試驗(yàn)研究。進(jìn)行仿真試驗(yàn)研究。 3.3.指導(dǎo)生產(chǎn)工藝設(shè)備的設(shè)計(jì)。指導(dǎo)生產(chǎn)工藝設(shè)備的設(shè)計(jì)。4.4.培訓(xùn)運(yùn)行操作人員。培訓(xùn)運(yùn)行操作人員。 數(shù)學(xué)模型的有關(guān)概念數(shù)學(xué)模型的有關(guān)概念u3.3.過(guò)程通道過(guò)程通道: : 輸入量與輸出量間的信號(hào)聯(lián)系。輸入量與輸出量間的信號(hào)聯(lián)系。u2.2.數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型u1.1.被控過(guò)程被控過(guò)程控制器控制器執(zhí)行器執(zhí)行器被控過(guò)程被控過(guò)程測(cè)量變送測(cè)量變送x(t)x(t)+ +- -e(t)e(t)u(t)u

2、(t)q(t)q(t)c(t)c(t)y(t)f1(t) fn(t)u5.控制通道：控制作用與被控量間的信號(hào)聯(lián)系u4.4.擾動(dòng)通道擾動(dòng)通道: : 擾動(dòng)作用與被控量間的信號(hào)聯(lián)系。擾動(dòng)作用與被控量間的信號(hào)聯(lián)系。 u6.6.擾動(dòng)擾動(dòng) 內(nèi)擾動(dòng)內(nèi)擾動(dòng)外擾動(dòng)外擾動(dòng)同一個(gè)系統(tǒng)，同一個(gè)系統(tǒng)，過(guò)程通道不同，過(guò)程通道不同，其數(shù)學(xué)模型亦其數(shù)學(xué)模型亦不一樣不一樣重要概念第2章工業(yè)過(guò)程數(shù)學(xué)模型 過(guò)程特性的數(shù)學(xué)描述稱為過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中，過(guò)程的數(shù)學(xué)模型是極為重要的基礎(chǔ)資料。過(guò)程的特性可從穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)兩方面來(lái)考察，前者指的是過(guò)程在輸入和輸出變量達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)下的行為，后者指的是輸出變量和狀態(tài)變量在輸入影響

3、下的變化過(guò)程的情況?？梢哉J(rèn)為，動(dòng)態(tài)特性是在穩(wěn)態(tài)特性基礎(chǔ)上的發(fā)展，穩(wěn)態(tài)特性是動(dòng)態(tài)特性達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)的特例。 2.1工業(yè)過(guò)程穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型 從生產(chǎn)控制的角度來(lái)看，在被控變量與操縱變量的選擇、檢測(cè)點(diǎn)位置的選擇、控制算法設(shè)計(jì)、操作優(yōu)化控制的設(shè)計(jì)等方面，無(wú)不需要穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型的知識(shí)。在不少情況下，必須同時(shí)掌握過(guò)程的動(dòng)態(tài)特性，需要把穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)的考慮結(jié)合起來(lái)，然而，象操作優(yōu)化這樣一個(gè)極富有經(jīng)濟(jì)價(jià)值的控制命題，主要就依靠穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型。模型的建立途徑可分機(jī)理建模與實(shí)驗(yàn)測(cè)試兩大類，也可將兩者結(jié)合起來(lái)。機(jī)理建模也有兩個(gè)弱點(diǎn)：1）對(duì)于復(fù)雜的過(guò)程，人們對(duì)基本方程的某些參數(shù)不完全掌握，例如，換熱器的K值，由傳熱學(xué)書籍提供的公式

4、可能有（10%-30%）的誤差。又如，精餾塔這樣已經(jīng)研究得比較透徹的設(shè)備，對(duì)塔板效率、塔板流體中的汽液比值等參數(shù)，很難預(yù)先精確估計(jì)。2）如不經(jīng)過(guò)輸入/輸出數(shù)據(jù)的驗(yàn)證，則近乎之紙上談兵，難以判斷其正確性。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膬?yōu)點(diǎn)和弱點(diǎn)與機(jī)理模型正好相反，特別是現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試，實(shí)施中有一定難處。2.1.1機(jī)理建模從機(jī)理出發(fā)，也就是從過(guò)程內(nèi)在的物理和化學(xué)規(guī)律出發(fā)，建立穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型 最常用的是解析法和仿真方法 解析法適用于原始方程比較簡(jiǎn)單的場(chǎng)合。這里又分兩類:一是求輸入變量作小范圍變化的影響，通常采用增量化處理方法；二是求輸入變量作大范圍變化時(shí)的影響，這通常需要逐步求解，如采用數(shù)值方法或試差方法，則與仿真求解無(wú)甚區(qū)別

5、了。2.1.1機(jī)理建模（續(xù)）現(xiàn)以兩側(cè)流體都不起相變化的換熱器（見(jiàn)圖2-1）作為例子，討論輸入變量作小范圍變化的情況。 2.1.1機(jī)理建模（續(xù)）原始的基本方程式是熱量平衡式（熱損失忽略不計(jì)）和傳熱速率式，分別是： Q=G1C1(1o-1i) =G2C2(2i-2o) （2-1） Q=KF(2i+2o-1i -1o)/2 （2-2） （為了簡(jiǎn)化，采用算術(shù)平均值）式中Q為單位時(shí)間傳熱量，K為傳熱系數(shù)，F(xiàn)為傳熱面積，G1和G2是流體1和2的質(zhì)量流量，C1和C2為相應(yīng)的熱容，為溫度，下標(biāo)1、2表示流體1和2，i和o表示流入和流出。這里有四個(gè)輸入變量，即G1、G2、1i和2i，兩個(gè)輸出變量，即1o和2o。

6、如果1o是被控溫度，是需要研究的輸出變量，則為了考察各個(gè)輸入變量對(duì)它的影響，須把式（2-1）和（2-2）聯(lián)立求解，為此，須把另一個(gè)輸出變量2o消去。在本例中沒(méi)有什么中間變量，如有的話，也須消去。 2.1.2經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行測(cè)試。理論上有很多實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，如正交設(shè)計(jì)等。在實(shí)施進(jìn)行測(cè)試。理論上有很多實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，如正交設(shè)計(jì)等。在實(shí)施上可能會(huì)遇到選取變化區(qū)域困難。有一種解決辦法是吸收調(diào)優(yōu)操上可能會(huì)遇到選取變化區(qū)域困難。有一種解決辦法是吸收調(diào)優(yōu)操作的經(jīng)驗(yàn)，即逐步向更好的操作點(diǎn)移動(dòng)，這樣有可能一舉兩得，作的經(jīng)驗(yàn)，即逐步向更好的操作點(diǎn)移動(dòng)，這樣有可能一舉兩得，既擴(kuò)大了測(cè)試的區(qū)間，又改進(jìn)了工藝操作。測(cè)試中要確定

7、穩(wěn)態(tài)是既擴(kuò)大了測(cè)試的區(qū)間，又改進(jìn)了工藝操作。測(cè)試中要確定穩(wěn)態(tài)是否真正建立否真正建立 。把數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模。對(duì)線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，設(shè) y=a0+a1u1+a2u2+amum由于已有很多組 y 與 (u1，u2，um）的數(shù)據(jù)，要設(shè)法求取各系數(shù) a0，a1， ，am 。不難看出，要求解這些ai 值，至少需要（m+1)組數(shù)據(jù)。因?yàn)槊拷M測(cè)量值都含有若干誤差，所以為了提高模型的精確度，數(shù)據(jù)的組數(shù)應(yīng)該多得多。線性回歸通常采用最小二乘法，其目標(biāo)是使目標(biāo)函數(shù) J=（y-a0-a1u1-）2為最小。 有時(shí)候，是否所有這些自變量都對(duì)y起作用，難以肯定，此時(shí)可以用數(shù)學(xué)方法檢驗(yàn)各個(gè)自變量對(duì)y影響的顯著性，也可以

8、把某個(gè)或某些系數(shù)ai置0，從結(jié)果進(jìn)行比較。回歸的結(jié)果能否另人滿意，可以衡量數(shù)據(jù)的擬合誤差，也可以用一些數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，如F檢驗(yàn)和復(fù)相關(guān)系數(shù)分析等。對(duì)于非線性情況，模型結(jié)構(gòu)需先確定，除非對(duì)過(guò)程的物理、化學(xué)規(guī)律十分清晰，否則沒(méi)有固定的方法，只能憑借一些技巧。采用二次型即包括uiuj（i可以等于j，也可以不等于j）項(xiàng)的最常見(jiàn)，考慮引入lnu或 的也有，這多少是參考了內(nèi)在的機(jī)理規(guī)律。作為工程處理，可以令這些非線性項(xiàng)作為新的變量，從而使方程成為線性形式。例如： 可改寫成uie211 112 1 222 2y a ua uua uuie機(jī)理建模也有兩個(gè)弱點(diǎn)：1）對(duì)于復(fù)雜的過(guò)程，人們對(duì)基本方程的某些參數(shù)不完全

9、掌握，例如，換熱器的K值，由傳熱學(xué)書籍提供的公式可能有（10%-30%）的誤差。又如，精餾塔這樣已經(jīng)研究得比較透徹的設(shè)備，對(duì)塔板效率、塔板流體中的汽液比值等參數(shù)，很難預(yù)先精確估計(jì)。2）如不經(jīng)過(guò)輸入/輸出數(shù)據(jù)的驗(yàn)證，則近乎之紙上談兵，難以判斷其正確性。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膬?yōu)點(diǎn)和弱點(diǎn)與機(jī)理模型正好相反，特別是現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試，實(shí)施中有一定難處。2.2工業(yè)過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型概論 過(guò)程的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，對(duì)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和分過(guò)程的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，對(duì)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和分析有著極為重要的意義。析有著極為重要的意義。求取過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型有兩類途徑：求取過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型有兩類途徑：一是依據(jù)過(guò)程內(nèi)在機(jī)理來(lái)推導(dǎo)，這就是過(guò)程動(dòng)態(tài)學(xué)一是依據(jù)過(guò)程

10、內(nèi)在機(jī)理來(lái)推導(dǎo)，這就是過(guò)程動(dòng)態(tài)學(xué)的方法；的方法；二是依據(jù)外部輸入輸出數(shù)據(jù)來(lái)求取，這就是過(guò)程辨二是依據(jù)外部輸入輸出數(shù)據(jù)來(lái)求取，這就是過(guò)程辨識(shí)和參數(shù)估計(jì)的方法。識(shí)和參數(shù)估計(jì)的方法。當(dāng)然，也可以把兩者結(jié)合起來(lái)。當(dāng)然，也可以把兩者結(jié)合起來(lái)。 靜態(tài)物料靜態(tài)物料(或能量或能量)平衡關(guān)系平衡關(guān)系-單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入被控過(guò)程的物料單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入被控過(guò)程的物料(或能量或能量)等于單位時(shí)間內(nèi)從被控過(guò)程流出的物料等于單位時(shí)間內(nèi)從被控過(guò)程流出的物料(或能量或能量)。動(dòng)態(tài)物料動(dòng)態(tài)物料(或能量或能量)平衡關(guān)系平衡關(guān)系-單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入被控過(guò)程的物料單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入被控過(guò)程的物料(或能量或能量)減去單位時(shí)間內(nèi)從被控過(guò)程流出的物料減

11、去單位時(shí)間內(nèi)從被控過(guò)程流出的物料(或能量或能量)等于被控過(guò)程內(nèi)物料等于被控過(guò)程內(nèi)物料(或能量或能量)貯存量的變化率。貯存量的變化率。解析法建模的一般步驟：解析法建模的一般步驟：1.1.明確過(guò)程的輸出變量、輸入變量和其他中間變量。明確過(guò)程的輸出變量、輸入變量和其他中間變量。2.2.依據(jù)過(guò)程的內(nèi)在機(jī)理和有關(guān)定理、定律以及公式列寫靜依據(jù)過(guò)程的內(nèi)在機(jī)理和有關(guān)定理、定律以及公式列寫靜態(tài)方程或動(dòng)態(tài)方程。態(tài)方程或動(dòng)態(tài)方程。3.3.消去中間變量，求取輸入、輸出變量的關(guān)系方程。消去中間變量，求取輸入、輸出變量的關(guān)系方程。4.4.將其簡(jiǎn)化成控制要求的某種形式。將其簡(jiǎn)化成控制要求的某種形式。2.2.1 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型

12、的作用和要求過(guò)程的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，是表示輸出向量（或變量）與輸入向量（或變量）間動(dòng)態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)描述。從控制系統(tǒng)的角度來(lái)看，操縱變量和擾動(dòng)變量都屬于輸入變量，被控變量屬于輸出變量。過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的用途大體可分為兩個(gè)方面：一是用于各類自動(dòng)控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)；二是用于工藝設(shè)計(jì)以及操作條件的分析和確定。 被控過(guò)程數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用與要求被控過(guò)程數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用與要求被控過(guò)程數(shù)學(xué)模型的類型被控過(guò)程數(shù)學(xué)模型的類型n非參量形式非參量形式 用曲線或數(shù)據(jù)表格表示，如階躍響應(yīng)曲線、脈沖響應(yīng)曲線用曲線或數(shù)據(jù)表格表示，如階躍響應(yīng)曲線、脈沖響應(yīng)曲線和頻率特性曲線和頻率特性曲線n參量形式參量形式 用數(shù)學(xué)方程來(lái)表示，如：微分方

13、程、傳遞函數(shù)、差分方程、用數(shù)學(xué)方程來(lái)表示，如：微分方程、傳遞函數(shù)、差分方程、狀態(tài)空間表達(dá)式等。狀態(tài)空間表達(dá)式等。2.2.2 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的類型：有過(guò)程機(jī)理推導(dǎo)得到的幾種數(shù)學(xué)模型如表2-2過(guò)程類型靜態(tài)模型動(dòng)態(tài)模型集中參數(shù)過(guò)程代數(shù)方程微分方程分布參數(shù)過(guò)程微分方程偏微分方程多級(jí)過(guò)程差分方程微分-差分方程表2-2 數(shù)學(xué)模型的類型集中參數(shù)過(guò)程集中參數(shù)過(guò)程-單個(gè)控制參數(shù)的過(guò)程控制分布參數(shù)過(guò)程分布參數(shù)過(guò)程-多個(gè)控制參數(shù)的過(guò)程控制多級(jí)過(guò)程多級(jí)過(guò)程-控制過(guò)程有多個(gè)控制步，（相當(dāng)與離散系統(tǒng)）例：?jiǎn)屋斎雴屋敵龅倪^(guò)程模型數(shù)學(xué)模型線性時(shí)間連續(xù)模型(可用微分方程或傳遞函數(shù)表示)串接液位貯槽的數(shù)學(xué)模型線性時(shí)間離散模型(可用

14、差分方程或脈沖傳遞函數(shù)表示)2.3 工業(yè)過(guò)程動(dòng)態(tài)機(jī)理模型 2.3.1 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的一般列寫方法從機(jī)理出發(fā)，用理論的方法得到過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，其主要依據(jù)是物料平衡和能量平衡關(guān)系式 ：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)進(jìn)入系統(tǒng)的物料量（或能量）-單位時(shí)間內(nèi)由系統(tǒng)流出的物料量（或能量）=系統(tǒng)內(nèi)物料（或能量）蓄藏量的變化率 為了找到輸出變量y與輸入變量u之間的關(guān)系，必須設(shè)法消除原始微分方程中的中間變量，常常要用到相平衡關(guān)系式，用到傳熱、傳質(zhì)及化學(xué)反應(yīng)速率關(guān)系式等。 在建立過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型時(shí)，輸出變量y與輸入變量u可用三種不同形式，即可絕對(duì)值Y和U表示，用增量Y和U表示，用無(wú)因次形式的y和u表示。在控制理論中，增量形式得到廣

15、泛的應(yīng)用。它不僅便于把原來(lái)非線性的系統(tǒng)線性化，而且通過(guò)坐標(biāo)的移動(dòng)，把工作點(diǎn)作為原點(diǎn)，使輸出輸入關(guān)系更加清晰，且便于運(yùn)算；另外，在控制理論中普遍應(yīng)用的傳遞函數(shù)，就是在初始條件為零的條件下定義的，采用增量形式可以方便地求得傳遞函數(shù)。2.3.2 串接液位貯槽的數(shù)學(xué)模型兩個(gè)串接液位貯槽依據(jù)物料平衡關(guān)系可得到如下方程：式中， 為流入貯槽的體積流量； 為流入貯槽的體積流量，亦即流出貯槽的體積流量； 為流出貯槽的體積流量； 為貯槽的橫截面積； 為貯槽的橫截面積； 為貯槽的液位高度； 為貯槽的液位高度。這一過(guò)程的輸出變量是 和 ，而輸入變量有3個(gè)，即輸入變量 ，貯槽的流出閥開度和貯槽的流出閥開度。在上式中，

16、是輸出變量 和 及貯槽流出閥開度的函數(shù)。作為最初步近似，可以認(rèn)為與（ ）成正比，與流出閥阻力 (它取決于流出閥的開度）成反比。如 取合適單位，可以認(rèn)為 類似的， 是輸出變量 和貯槽流出閥開度的函數(shù)（其阻力為 ）。可以表示為 。在此求取輸出變量 和 與輸入變量 和的動(dòng)態(tài)方程。此時(shí) 不變，用R10表示，取增量方程式，這時(shí)除 項(xiàng)外都是線性的。依據(jù)上面的討論有u自衡過(guò)程和無(wú)自衡過(guò)程自衡過(guò)程和無(wú)自衡過(guò)程ox(t)ty(t)to(c)y(t)to(b)y(t)to(a)自衡過(guò)程自衡過(guò)程無(wú)自衡過(guò)程無(wú)自衡過(guò)程Q Q0 0Q Q1 1自衡過(guò)程自衡過(guò)程Q Q0 0Q Q1 1泵泵無(wú)自衡過(guò)程無(wú)自衡過(guò)程單容對(duì)象建模

17、介質(zhì)經(jīng)過(guò)閥門介質(zhì)經(jīng)過(guò)閥門1 1不斷流入儲(chǔ)槽，不斷流入儲(chǔ)槽， 閥門閥門2 2不斷流出不斷流出, ,儲(chǔ)槽的截面積為儲(chǔ)槽的截面積為A A。工藝上。工藝上要求儲(chǔ)槽內(nèi)的液位要求儲(chǔ)槽內(nèi)的液位h h保持一定數(shù)值。如果閥門保持一定數(shù)值。如果閥門2 2的開度不變，閥門的開度不變，閥門1 1的開度變化就會(huì)引起液的開度變化就會(huì)引起液位的波動(dòng)。這時(shí)對(duì)象的輸入變量是位的波動(dòng)。這時(shí)對(duì)象的輸入變量是Q Qi i，輸出變，輸出變量是液位量是液位h h。儲(chǔ)槽內(nèi)的介質(zhì)通過(guò)儲(chǔ)槽內(nèi)的介質(zhì)通過(guò)以下研究所示對(duì)象以下研究所示對(duì)象的動(dòng)特性，設(shè)各量的動(dòng)特性，設(shè)各量定義如下：定義如下：Qi Qi 輸入水流量輸入水流量Qi0 Qi0 輸入穩(wěn)態(tài)水流

18、量輸入穩(wěn)態(tài)水流量 QiQi輸入水流量對(duì)輸入水流量對(duì)它的穩(wěn)態(tài)值的微小增量；它的穩(wěn)態(tài)值的微小增量；Qo Qo 輸出水流量輸出水流量Qo0 Qo0 輸出穩(wěn)態(tài)水流量輸出穩(wěn)態(tài)水流量 QoQo輸出水流量對(duì)輸出水流量對(duì)它的穩(wěn)態(tài)值的微小增量；它的穩(wěn)態(tài)值的微小增量；h h為穩(wěn)態(tài)水位為穩(wěn)態(tài)水位: : h h 水位對(duì)它穩(wěn)態(tài)值的微小增量水位對(duì)它穩(wěn)態(tài)值的微小增量A A水槽橫斷面積水槽橫斷面積流入量，控制過(guò)程的輸入變量流出量，中間變量 液位，控制過(guò)程的輸出變量Q1圖2-1 液位被控及其階躍響應(yīng)分析：液位過(guò)程分析：液位過(guò)程根據(jù)物料平衡關(guān)系，在正常工作狀態(tài)下的穩(wěn)態(tài)方程式是根據(jù)物料平衡關(guān)系，在正常工作狀態(tài)下的穩(wěn)態(tài)方程式是Qi0

19、- Qo0=0Qi0- Qo0=0動(dòng)態(tài)方程式時(shí)，動(dòng)態(tài)方程式時(shí)，儲(chǔ)槽是物料傳遞的一個(gè)中間環(huán)節(jié)，它遵守物料平衡。儲(chǔ)槽是物料傳遞的一個(gè)中間環(huán)節(jié)，它遵守物料平衡。（對(duì)象物料儲(chǔ)存量的變化率（對(duì)象物料儲(chǔ)存量的變化率= =單位時(shí)間流入對(duì)象的物料變化量單位時(shí)間流入對(duì)象的物料變化量- -單位時(shí)間流出單位時(shí)間流出對(duì)象的物料變化量）對(duì)象的物料變化量）因?yàn)閮?chǔ)槽出口閥門因?yàn)閮?chǔ)槽出口閥門2 2的開度不變，對(duì)象的流出物料變化量的開度不變，對(duì)象的流出物料變化量 Qo隨液位變化量隨液位變化量hh而變化。由于而變化。由于 Qo與與hh的關(guān)系的關(guān)系是非線性，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，可以近似認(rèn)為是非線性，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，可以近似認(rèn)為 Qo與與h

20、h成成正比，與出口閥的阻力系數(shù)正比，與出口閥的阻力系數(shù)R R成反比（在出口閥的開度不成反比（在出口閥的開度不變時(shí)，變時(shí)，R R可視為常數(shù)），用式子表示為可視為常數(shù)），用式子表示為單容水箱過(guò)程的傳遞函數(shù)為id hhAQdtR ( )( )( )11iH sRKW sQ sRAsTs圖2-3 純時(shí)延單容過(guò)程及其響應(yīng)曲線例例2 2：具有純時(shí)延的液位過(guò)程：具有純時(shí)延的液位過(guò)程過(guò)程控制 第二章s0iH(S)RKW (S)eQ (S)1RASTS1純滯后純滯后過(guò)程控制 第二章（二）無(wú)自衡單容過(guò)程的建模（二）無(wú)自衡單容過(guò)程的建模模型模型0 0d hQAdtiOQid hQAdt0iaH(S)11W (S)Q

21、 (S)AST ST Ta a為過(guò)程的積分時(shí)間常數(shù)，為過(guò)程的積分時(shí)間常數(shù)，=C=C水箱的流出量水箱的流出量 與液位無(wú)關(guān)。與液位無(wú)關(guān)。過(guò)程控制 第二章ox(t)ty(t)to無(wú)自衡單容過(guò)程的階躍響應(yīng)曲線無(wú)自衡單容過(guò)程的階躍響應(yīng)曲線s0a1W (S)eT S過(guò)程控制 第二章二、多容過(guò)程的建模二、多容過(guò)程的建模多容過(guò)程多容過(guò)程（一）自衡雙容過(guò)程的建模（一）自衡雙容過(guò)程的建模被控量輸入量過(guò)程控制 第二章11211122d hQdthQRiQA212O223d hQQAdthQROA A1 1、A A2 2、R R2 2、R R3 3同單容過(guò)程中的定義，分別為容量系數(shù)和液阻同單容過(guò)程中的定義，分別為容量

22、系數(shù)和液阻020i12KH (S)W (S)Q (S)(TS 1)(T S 1)過(guò)程控制 第二章被稱為容量滯后被稱為容量滯后oq1th1toh2to自衡雙容過(guò)程的階躍響應(yīng)曲線自衡雙容過(guò)程的階躍響應(yīng)曲線012nKW (S)(TS 1)(T S 1).(T S 1)0nKW (S)(TS 1)過(guò)程控制 第二章（二）無(wú)自衡雙容過(guò)程的建模（二）無(wú)自衡雙容過(guò)程的建模hton=1n=2n=3n=4n=51)S(TST1)S(Q)S(H)S(Wa1202.1.17問(wèn)題的提出一、階躍擾動(dòng)法測(cè)定對(duì)象的響應(yīng)曲線2.4.1 階躍響應(yīng)法 階躍響應(yīng)法非常簡(jiǎn)單，只要有遙控閥和被控變量紀(jì)錄儀表就可以進(jìn)行。先使工況保持平穩(wěn)一

23、段時(shí)間，然后使閥門作階躍式的變化（通常在10以內(nèi)），在此同時(shí)把被控變量的變化過(guò)程記錄下來(lái)，得到廣義對(duì)象的階躍響應(yīng)曲線。把對(duì)象作為具有純滯后的一階對(duì)象來(lái)處理： s 00e1sTKsG例：測(cè)量某物料干燥筒的對(duì)象特性為了測(cè)量某物料干燥筒的對(duì)象特性，在T0時(shí)刻突然將加熱蒸汽量從25m3/h增加到28m3/h，物料出口溫度記錄儀得到的階躍響應(yīng)曲線如圖3所示。試求出該對(duì)象的特性。已知流量?jī)x表量程為040，溫度儀表為0200。二、矩形脈沖擾動(dòng)法測(cè)定對(duì)象的響應(yīng)曲線)()()(21tututu從圖中可知：)()(12ttutu而：作用下的響應(yīng)；為矩形脈沖設(shè))()(tuty1212( )( )( )( )h tt

24、utut、h為階躍信號(hào)、作用下的響應(yīng)；1211( )( )( )( )()y th thth th tt 則：11( )( )()h ty th tt 所以響應(yīng)曲線。響應(yīng)曲線。在0t時(shí)間內(nèi)， 等于脈沖響應(yīng)即 ，而后 等于當(dāng)時(shí)的脈沖響應(yīng) 加t時(shí)間以前的階躍響應(yīng)，隨著時(shí)間推移，就可得到完整的階躍響應(yīng)曲線。2.4.3 相關(guān)函數(shù)法 用統(tǒng)計(jì)相關(guān)函數(shù)法測(cè)定過(guò)程的動(dòng)態(tài)特性是將一個(gè)特定的隨機(jī)信號(hào)u(t)加到被測(cè)過(guò)程的輸入端，然后計(jì)算過(guò)程輸出信號(hào)y(t)與輸入信號(hào)u(t)的互相關(guān)函數(shù)，從這個(gè)互相關(guān)函數(shù)來(lái)度量過(guò)程的脈沖響應(yīng)函數(shù)。一、隨機(jī)過(guò)程的基本概念(1)隨機(jī)信號(hào)及隨機(jī)過(guò)程。信號(hào)u(t)是隨著時(shí)間隨機(jī)地變化，稱之

25、為隨機(jī)信號(hào)。如果進(jìn)行了許多次試驗(yàn)， u1(t)，u2(t)，uk(t)的集合就稱為隨機(jī)信號(hào)的總體。如果 有足夠多次試驗(yàn)，即k值足夠大，則可求出任一時(shí)刻（如T1）下這些隨機(jī)信號(hào)的平均值，即稱為隨機(jī)信號(hào)的總體平均值，記作 1111( )( )kiiu Tu Tk1( )u T同樣，也可以求出其總體均方值隨機(jī)信號(hào)在每一時(shí)刻的值都是一個(gè)隨機(jī)變量，而且這些隨機(jī)變量又是時(shí)間的函數(shù)，則可稱為隨機(jī)過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律也可以用總體平均值和總體均方值來(lái)描述。 21( )u T221111( )( )ikiu Tu Tk（2）平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性在各個(gè)時(shí)刻都不變，則稱其為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。對(duì)于一

26、個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，在不同時(shí)刻（如T1、T2、 ， Tn)的總體平均值和總體均方值都相等，即 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程雖然是數(shù)學(xué)上的抽象提法，但是有許多過(guò)程，它們的統(tǒng)計(jì)特性往往變化得非常慢，可以在足夠長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)認(rèn)為是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。許多生產(chǎn)過(guò)程中的參數(shù)的變化，除了裝置開停車過(guò)程外，往往可以認(rèn)為是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。 下面討論的問(wèn)題均假定屬于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，并假定是各態(tài)經(jīng)歷的，即時(shí)間平均值與總體平均值相等。 123( )()()u Tu Tu T222123( )()()u Tu Tu T二、相關(guān)函數(shù)、譜密度函數(shù)和白噪聲的基本概念（1）相關(guān)函數(shù)1）自相關(guān)函數(shù)。如果有兩個(gè)時(shí)間函數(shù)，其中一個(gè)函數(shù)在任何時(shí)刻的值總是以某種方式依

27、賴于另一個(gè)函數(shù)的值，則稱這兩個(gè)時(shí)間函數(shù)或兩個(gè)信號(hào)是相關(guān)的。例如，有一個(gè)信號(hào)u(t)，總是在某種程度上影響著時(shí)間間隔 以后的值，即 依賴于u(t)，則稱 與u(t)是相關(guān)的。一個(gè)信號(hào)的未來(lái)值與現(xiàn)在值之間的依賴關(guān)系可用自相關(guān)函數(shù)來(lái)度量。()u t()u t()u t一個(gè)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)定義為u(t)和 的乘積的時(shí)間平均值，記作 ，當(dāng) =0時(shí)，自相關(guān)函數(shù)的數(shù)值等于該信號(hào)的均方值，即 ()u t( )uuR1( )lim( ) ()2TuuTTRu t u tdtT22(0)( )uuRut2）互相關(guān)函數(shù)。有一個(gè)信號(hào) u(t)也可能影響另外一個(gè)信號(hào)y(t)的未來(lái)值即y(t+ )，其相關(guān)的度量可用兩個(gè)信

28、號(hào)的 互相關(guān)函數(shù)來(lái) 表示，兩個(gè)信號(hào)之間互相關(guān)函數(shù)定義為 3）用互相關(guān)函數(shù)法測(cè)定過(guò)程的脈沖響應(yīng)函數(shù)根據(jù)卷積定理，過(guò)程在輸入變量u(t)作用下，可通過(guò)它的脈沖響應(yīng)函數(shù)g(v)來(lái)計(jì)算輸出變量y(t),即 1( )lim( ) ()2TuyTTRu t y tdtT0( )( ) ()y tg v u tv dv01( )( )lim( ) ()2TuyTTRg vu t u tv dt dvT0( )( )()uyuuRg v Rv dvvl更換積分次序可得 l信號(hào)u(t)之自相關(guān)函數(shù)在（ ）處的值 ，故l這就是著名的維納-何甫方程。 ()uuRv01( )lim( )( ) ()2TuyTTRu

29、tg v u tv dvdtT三、相關(guān)函數(shù)法辨識(shí)對(duì)象的數(shù)學(xué)模型如把 和 分別作為輸入變量和輸出變量來(lái)看待，也可畫成如圖2-11所示的框圖。 如果測(cè)得了上述的自相關(guān)函數(shù) 及互相關(guān)函數(shù) ，則只要解式，就可以求得此過(guò)程的脈沖響應(yīng)函數(shù)g(v)，亦即獲得了過(guò)程的動(dòng)態(tài)特性。但對(duì)于一般形式的 和 ，求解是很困難的，必須尋求某些特殊形式的輸入信號(hào)，以簡(jiǎn)化求解。例如采用白噪聲作為輸入信號(hào)。 ( )uuR( )uyR( )uuR( )uyR( )uuR( )uyR若有一隨機(jī)信號(hào)，經(jīng)傅里葉頻譜分析，它在所有頻率下面都具有恒定的幅值。則稱為白噪聲。白噪聲的變化速度極快，它的值前后互不相關(guān)。顯然，白噪聲只是理論上的抽象

30、而已，實(shí)際并不存在。但是，若某個(gè)實(shí)際的隨機(jī)信號(hào)，它在所考慮的頻率范圍內(nèi)（對(duì)工業(yè)過(guò)程來(lái)說(shuō)，在低頻范圍內(nèi)）其幅值是恒定的，則可以認(rèn)為是一個(gè)白噪聲?？梢灾腊自肼暤淖韵嚓P(guān)函數(shù)是一個(gè)函數(shù)白噪聲白噪聲-信號(hào)x(t)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且在所有頻率下，其功率密度譜都具有恒定的幅值。白噪聲特點(diǎn)：變化速度極快，它的值前后互不相關(guān)，即其自相關(guān)函數(shù)可用一個(gè)單位脈沖函數(shù)來(lái)描述（）。白噪聲只是理論上的抽象，實(shí)際上是不存在的。但是若一隨機(jī)信號(hào)在所考慮的頻率范圍內(nèi)其功率密度譜是恒定的，則可認(rèn)為是一個(gè)白噪聲。相關(guān)統(tǒng)計(jì)法辯識(shí)被控過(guò)程的脈沖響應(yīng)函數(shù)所采用的隨機(jī)信號(hào)源應(yīng)該是白噪聲。0( )( ) ()( )uyRMg vv dv

31、Mg Ruu( )=M( ) l亦就是說(shuō)，當(dāng)輸入為白噪聲時(shí)，輸入信號(hào)與輸出信號(hào)之互相關(guān)函數(shù) 與脈沖響應(yīng)函數(shù)成正比例，或l l可見(jiàn)，在過(guò)程輸入端加白噪聲試驗(yàn)信號(hào)后，只要測(cè)量輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)，即可求得過(guò)程的脈沖響應(yīng)函數(shù)( )uyR1( )( )uygRM( )g采用這個(gè)方法的優(yōu)點(diǎn)有：試驗(yàn)可以在正常運(yùn)行狀態(tài)下進(jìn)行，它不需要使被測(cè)過(guò)程過(guò)分偏離正常運(yùn)行狀態(tài)的。這是因?yàn)榘自肼暤恼麄€(gè)能量分布在一個(gè)很廣的頻率范圍內(nèi)，所以它對(duì)正常運(yùn)行狀態(tài)的影響是不大的，這對(duì)大型生產(chǎn)裝置來(lái)講很重要。利用白噪聲來(lái)測(cè)定過(guò)程動(dòng)態(tài)特性，在原理上很方便，有人就把日常工作中的干擾作為白噪聲看待，不另外施加測(cè)試信號(hào)，用日常操作數(shù)

32、據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。然而，為了準(zhǔn)確地測(cè)出互相關(guān)函數(shù) ，必須在較長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)進(jìn)行積分，理論上時(shí)間應(yīng)趨于無(wú)窮大。這顯然是很不方便的，并且長(zhǎng)時(shí)間的測(cè)量與積分，會(huì)引起由于信號(hào)漂移和非平穩(wěn)因素所導(dǎo)致的誤差。另一方面，白噪聲很難實(shí)現(xiàn)，因?yàn)樗念l譜密度始終為1，不能辦到。比較常用的方法是另行施加接近隨機(jī)過(guò)程的周期性信號(hào)，準(zhǔn)隨機(jī)雙位信號(hào)即為其中之一。( )uyR即在過(guò)程輸入端施加白噪聲，求取 ，就可求得了過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。但實(shí)際上常用準(zhǔn)隨機(jī)信號(hào)作為辨識(shí)被控過(guò)程的輸入信號(hào) （4）用準(zhǔn)隨機(jī)信號(hào)測(cè)定過(guò)程的動(dòng)態(tài)特性準(zhǔn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與白噪聲的自相關(guān)函數(shù)相似（即是一個(gè)脈沖），但是它具有一個(gè)重復(fù)周期。也就是說(shuō)，準(zhǔn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)

33、函數(shù) 在 以及-T,-2T, 各點(diǎn)均取 ，而其他各點(diǎn)之值為0或一個(gè)小值，該自相關(guān)函數(shù)圖形（理想）如圖2-12所示。( )uuR0, ,2 ,TT2( )uyR準(zhǔn)隨機(jī)信號(hào)是一個(gè)具有周期T的周期信號(hào)。這里用u(t)表示這個(gè)信號(hào)，其自相關(guān)函數(shù)為以及 所以互相關(guān)函數(shù)為 01( )( ) ()TuuRu t u tdtT01()( ) ()TuuRvu t u tv dtT001( )( )( ) ()TuyRg vu t u tv dt dvT 更換積分次序可得由此看出，采用準(zhǔn)隨機(jī)信號(hào)后，互相關(guān)函數(shù)只要通過(guò)一個(gè)周期的運(yùn)算，就可以得到完全結(jié)果。并考慮u(t)的周期T,可寫出00011( )( )( )

34、()( ) ()TTuyRu tg v u tv dv dtu t y tdtTT2302( )( )()( )()( )()TTTuyuuuuuuTTRg v Rv dvg v Rv dvg v Rv dv( )( )()(2)uyRM gg TgT 如果在選擇信號(hào)u(t)的重復(fù)周期做出事先的安排，使得過(guò)程的脈沖響應(yīng)函數(shù)在周期T時(shí)早已衰減為0，則式可簡(jiǎn)化為此處 的計(jì)算只需在0T時(shí)間內(nèi)進(jìn)行，這就顯示了采用準(zhǔn)隨機(jī)信號(hào)的優(yōu)越性。M是與所選用的準(zhǔn)隨機(jī)信號(hào)本身特性（如幅值、周期）有關(guān)的系數(shù)。近年來(lái)在實(shí)踐中應(yīng)用較多的一種是準(zhǔn)隨機(jī)信號(hào)（p.r.b.s), p.r.b.s具有下列特征：1）信號(hào)只有兩個(gè)水平V

35、，切換時(shí)間發(fā)生在時(shí)間間隔的t整數(shù)倍上，即t=0, t,2t, .。( )( )uyRMg( )uyR2）信號(hào)的切換次序時(shí)事先確定的，因此試驗(yàn)可以重復(fù)。3） p.r.b.s具有周期性，周期T=Nt, N是個(gè)奇整數(shù)。4）在整個(gè)周期中，有（N+1）/2個(gè)時(shí)間間隔在一種信號(hào)水平，另外（N-1）/2個(gè)在另一種信號(hào)水平。5） p.r.b.s的自相關(guān)函數(shù)如圖2-14所示。6）在p.r.b.s中最常用的是最大長(zhǎng)度序列（M序列），N=2n-1,n是整數(shù)，N=1,15,31, 等。 用p.r.b.s有很多優(yōu)點(diǎn)，對(duì)正常工況影響不大；測(cè)試周期不長(zhǎng)，只要稍大于過(guò)渡過(guò)程時(shí)（即大于時(shí)滯與時(shí)間常數(shù)之和）的35倍就可以了；如果

36、過(guò)程特性為線性，工作點(diǎn)的漂移不影響計(jì)算結(jié)果。當(dāng)M序列的周期大于過(guò)程脈沖響應(yīng)函數(shù)的持續(xù)時(shí)間時(shí)，過(guò)程的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)之間的互相關(guān)函數(shù)與過(guò)程的脈沖響應(yīng)成正比，如圖2-15。由于準(zhǔn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)周期性的三角波，所以互相關(guān)函數(shù)實(shí)際上相當(dāng)于三角波的響應(yīng)，并且該三角波的水平線與橫坐標(biāo)的距離為 ,并非為零。只有當(dāng)t選得很小，N較大時(shí)，該三角波才能近似為理想的函數(shù)，該三角波的水平線與橫坐標(biāo)的距離才能近似為零。在某些條件下，這樣的近似是允許的。但是若t選得過(guò)小，過(guò)程的輸出也將變小，這就要影響測(cè)試結(jié)果的精確度。實(shí)際應(yīng)用中，在數(shù)據(jù)處理上作一些改進(jìn)，可以使數(shù)據(jù)處理大為簡(jiǎn)化，并且提高結(jié)果的精確度。2/VN

37、如果在測(cè)定過(guò)程的動(dòng)態(tài)特性時(shí)，采用M序列形成的信號(hào)u(t)作為輸入，然后根據(jù)此信號(hào)再構(gòu)成一個(gè)信號(hào) 是一個(gè)離散的周期性信號(hào)，其周期也是T=Nt,它僅在-k t, -(k-1)t, ,-2 t, - t,0, t, 2 t, , k t, 等時(shí)刻為一理想的脈沖（ 函數(shù)），其正負(fù)號(hào)隨 u(t)的正負(fù)號(hào)而決定。將 u(t)得自相關(guān)函數(shù)改寫成( )u t( )u t01( )( ) ()Tu uRu t u tdtN此函數(shù)的計(jì)算很容易，只要取出 等共N個(gè)時(shí)刻的u(t)之值，乘以 在時(shí)刻的符號(hào)值（+1或-1），相加后再除以N即得。0,(1)tNt( )u t0,(1)tNt, 2( 21) ,(1)( )0

38、,(1) ,2(21) ,u uVN tNtN tNtRt N tNtN tNtVN 其他它的圖形是一個(gè)周期性的方波，方波寬度為t,總的高度為 ,周期為Nt 。 與過(guò)程輸出y(t)之互相關(guān)函數(shù)為1NVN( )u t00000011( )( ) ()( )( ) ()1( )( ) () ( )()TTu yTu uRu t y tdtu tg v u tv dv dtNNg vu t u tv dt dvg v Rv dvN 可見(jiàn)，若 作為過(guò)程的輸入，則 就對(duì)應(yīng)于他的輸出。因?yàn)?是一個(gè)方波，所以 相當(dāng)于一個(gè)方波響應(yīng)， 亦很容易計(jì)算，只要取出 ，共N個(gè)時(shí)刻的y值，乘以 在 時(shí)刻的符號(hào)值（+1或-

39、1），相加后再除以N即得。 可分解為兩部分 及 ，前者是一個(gè)基準(zhǔn)為零的方波，后者是一個(gè)常數(shù) 。與此同對(duì)應(yīng)， 亦要分兩部分 及 。前者相應(yīng)于 的響應(yīng)，后者相應(yīng)于 的響應(yīng)。( )u uR( )u yR( )u uR( )u yR( )u yR,2,(1)ttNt ( )u t0,(1)tNt( )uuRVN( )u yR( )u yR( )u yR( )u uR( )u uR( )u uR( )u uR而因此，因?yàn)?是常數(shù) 的響應(yīng)，相當(dāng)于方波相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值。因此，為了求得基準(zhǔn)為零的方波響應(yīng) ，算出的相關(guān)函數(shù)減去穩(wěn)態(tài)值。為了提高精度，還可以多取幾個(gè)周期的數(shù)據(jù)，然后取其平均值。采用準(zhǔn)隨機(jī)雙位信號(hào)測(cè)試動(dòng)態(tài)

40、特性時(shí)，對(duì)p.r.b.s選擇有如下規(guī)定：( )( )( )u yu yu yRRR( )( )( )u yu yu yRRR( )u yR( )u uR( )u yR1） p.r.b.s的步長(zhǎng)t的選擇。對(duì)系統(tǒng)輸入一定脈沖寬度 的正負(fù)脈沖，觀察其輸出反應(yīng)y(t),改變 ，使 小到 ，此時(shí)輸出y(t)幾乎是零，則 就是系統(tǒng)的截止周期，可取 。2）序列脈沖數(shù)N。要使p.r.b.s周期T=Nt大于系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程時(shí)間TS,或T=Nt(時(shí)滯+時(shí)間常數(shù)）的（35）倍，而 ，按此可選一定的位數(shù)n。3）脈沖之幅值V。原則上是采樣精度范圍內(nèi)，采樣測(cè)量?jī)x表對(duì)p.r.b.s的每一幅值變化都有反應(yīng)，因而V不能過(guò)小，但亦

41、不能過(guò)大。cc(25)ct 21nN 2.5 過(guò)程特性對(duì)控制性能指標(biāo)的影響（自衡的非振蕩過(guò)程 ）假設(shè)過(guò)程特性是廣義對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性，簡(jiǎn)單控制系統(tǒng)如圖2-23所示。從控制系統(tǒng)組成可以看到，控制系統(tǒng)有兩個(gè)通道，即控制通道和擾動(dòng)通道。 2.5.1 增益的影響 控制通道增益的影響 隨著過(guò)程增益Ko的增加，余差減小，最大偏差減小，控制作用增強(qiáng)，但穩(wěn)定性變差。在其他因素相同條件下，如果過(guò)程增益Ko越大，則控制作用就越大，克服擾動(dòng)的能力也越強(qiáng)。 擾動(dòng)通道增益的影響 在其他因素相同條件下，KfF越大，余差越大，最大偏差越大。2.5.2 時(shí)間常數(shù)的影響 控制通道時(shí)間常數(shù)的影響 在時(shí)滯o與時(shí)間常數(shù)To之比不變條件下進(jìn)行討論。 若o/To固定，時(shí)間常數(shù)To大，則為使穩(wěn)定性不變，應(yīng)減小，因此，時(shí)間常數(shù)大時(shí)，為保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，振蕩頻率減小，回復(fù)時(shí)間變長(zhǎng)，動(dòng)態(tài)響應(yīng)變慢。反之，若o/To固定，時(shí)間常數(shù)To小，