經(jīng)典彈性力學

1、1 教材： 普通高等教育“十五”國家級規(guī)劃教材，彈性力學簡明教程第三版，徐芝綸，高等教育出版社2主講：韋 未水利與土木工程學院3第一章第一章 緒緒 論論1-1 1-1 彈性力學的基本內(nèi)容彈性力學的基本內(nèi)容1-3 1-3 彈性力學問題的基本假設(shè)彈性力學問題的基本假設(shè)* * 彈性力學的學習方法彈性力學的學習方法1-2 1-2 彈性力學中的幾個基本概念彈性力學中的幾個基本概念4 彈性力學是固體力學的一個分支，研究彈性體由于外力作用或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、形變和位移。 彈性力學是學習塑性力學、斷裂力學、有限元方法的基礎(chǔ)。 本課程較為完整的表現(xiàn)了力學問題的數(shù)學建模過程，建立了彈性力學的基本方程和邊

2、值條件，并對一些問題進行了求解。彈性力學基本方程的建立為進一步的數(shù)值方法奠定了基礎(chǔ)。5 彈性力學是固體力學的一個分支，研究彈性體由于受外力作用或由于溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、形變和位移。 1-1 1-1 彈性力學的基本內(nèi)容彈性力學的基本內(nèi)容一、研究任務(wù)一、研究任務(wù) 彈性力學的研究對象為一般及復(fù)雜形狀的構(gòu)件、實體結(jié)構(gòu)、板殼等。二、研究對象二、研究對象6三、與其他學科的關(guān)系：三、與其他學科的關(guān)系： 材料力學：研究桿狀構(gòu)件在拉、壓、剪、彎、扭狀態(tài)下的應(yīng)力和位移； 理論力學：研究剛體的靜、動力學（約束力、速度、加速度）。結(jié)構(gòu)力學：研究桿系結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與位移； 彈性力學：一般平面問題、板、殼和實體結(jié)構(gòu)等

3、的應(yīng)力和位移分析。 由此可知，彈性力學與材料力學、結(jié)構(gòu)力學的任務(wù)都是結(jié)構(gòu)物或在彈性階段的應(yīng)力和位移，校核它們是否具有所需的強度和剛度，并尋求或改進它們的計算方法。7彈性力學、材料力學和結(jié)構(gòu)力學的不同：彈性力學、材料力學和結(jié)構(gòu)力學的不同：材料力學研究的基本上是桿件構(gòu)件1) 材料力學材料力學: 在材料力學的研究中, 往往要作出一些關(guān)于構(gòu)件的變形狀態(tài)或應(yīng)力分部的假設(shè), 例如在研究直梁在橫向荷載作用下的彎曲,就引用了平面截面的假定；又例如在研究有孔的拉伸構(gòu)件,通常就假定拉應(yīng)力在凈截斷面均勻分布；這簡化了數(shù)學推演,但解往往是近似的。 (1) 從研究的對象來看：結(jié)構(gòu)力學研究的基本上是桿件系統(tǒng)彈性力學研究的

4、基本上是非桿狀結(jié)構(gòu)(2) 從研究方法來看:8 2）彈性力學：）彈性力學： 在彈性力學中,一般不作出那些假定,故解比較精確。例如在研究直梁在橫向荷載作用下的彎曲,彈性力學就不引用了平面截面的假定；又例如在研究有孔的拉伸構(gòu)件，彈性力學也不假定拉應(yīng)力在凈截斷面均勻分布；這使數(shù)學推演復(fù)雜, 但解往往是比較精確的。 3）結(jié)構(gòu)力學：）結(jié)構(gòu)力學： 結(jié)構(gòu)力學研究方法有位移法、力法或混合法等。 彈性力學一般不研究桿件系統(tǒng)，但很多人致力于彈性力學與結(jié)構(gòu)力學的綜合應(yīng)用，使這兩門學科緊密結(jié)合。例如彈性力學吸收了結(jié)構(gòu)力學的一些研究方法后，產(chǎn)生了很多好結(jié)果。例如有限單元法,就是彈性力學與結(jié)構(gòu)力學結(jié)合應(yīng)用的成果.有限單元法

5、就是一種將連續(xù)彈性體劃分成有限大小的單元構(gòu)件，然后用結(jié)構(gòu)力學的方法求解。91-2 1-2 彈性力學中的幾個基本概念彈性力學中的幾個基本概念 按照外力作用的不同分布方式，可分為體積力和表面力，分別簡稱體力和面力。 （2）性質(zhì)：體力隨點的位置不同而不同；體力是連續(xù)分布的。（一）外力（一）外力1.1.體力體力（1）定義：所謂體力是分布在物體體積內(nèi)的力，如重力和慣性力。如圖12所示 。F圖圖1-21-2zxyVOPxfyfFfzf10（3）集度： （4）體力分量： 將 沿三個坐標軸分解，可得到三個正交的分力：xyzff if jf k 稱為物體在P點的體力分量，量綱是 。f,xyzfff22L MT體

6、力的平均集度為：FVP點所受體力的集度為：0limVFf =V 的方向就是 的極限方向。fF（5）正負號規(guī)定： 體力分量以坐標軸正方向為正，坐標軸負方向為負。112. 2. 面面力力S上面力的平均集度為：FS（3）面力集度：P點所受面力的集度為：0limSFfS xyzPSxfyfzfFF圖1-3（2）性質(zhì)：面力一般是物體表面點的位置坐標的函數(shù)。（1）定義：分布在物體表面上的力。如流體壓力和接觸力 。如圖13所示。F（4）面力分量： P點的面力分量為 ，量綱是,xyzfff12L MT（5）正負號規(guī)定：以坐標軸正方向為正，坐標軸負方向為負。12（二）內(nèi)力、應(yīng)力（二）內(nèi)力、應(yīng)力3.3.應(yīng)力集度：

7、應(yīng)力集度：2.2.應(yīng)力性質(zhì)：應(yīng)力性質(zhì)：在物體內(nèi)的同一點，不同截面上的應(yīng)力是不同的。1.1.定義：定義：物體承受外力作用，物體內(nèi)部各截面之間產(chǎn)生附加內(nèi)力，為了顯示出這些內(nèi)力，我們用一截面截開物體，并取出其中一部分，其中一部分對另一部分的作用，表現(xiàn)為內(nèi)力，它們是分布在截面上分布力的合力。當截面面積趨于零時截面上的分布力即為應(yīng)力。如圖14所示 。pxyzAPoApFnm圖圖1-41-4上的內(nèi)力的平均集度為：FAAP點的應(yīng)力為：0limAFpA-正應(yīng)力-切應(yīng)力量綱是 。P點的應(yīng)力分量為, 12L MT134.4.應(yīng)力分量應(yīng)力分量 應(yīng)力不僅和點的位置有關(guān)，和截面的方位也有關(guān)。 （1）為了分析一點P的應(yīng)力

8、狀態(tài)，在這一點從物體內(nèi)取出一個微小的正平行六面體，各面上的應(yīng)力沿坐標軸的分量稱為應(yīng)力分量。即每個面上的應(yīng)力分量可分解為一個正應(yīng)力和兩個切應(yīng)力，分別與坐標軸平行。xyzo圖圖1-51-5ABCPyyyzyxyzyxyzx14（2）如何表明正應(yīng)力與切應(yīng)力的的作用面與作用方向 圖示單元體面的法線為y向 ,稱為y 面，應(yīng)力分量垂直于單元體面的應(yīng)力稱為正應(yīng)力。 正應(yīng)力記為 ,沿 軸的正向為正,其下標表示所沿坐標軸的方向。yy 平行于單元體面的應(yīng)力稱為切應(yīng)力，用 表示，其第一下標 表示所在的平面，第二下標 分別表示沿坐標軸的方向。如圖16所示的 。,yxyz,yxyzy, x zyxyzoyx圖圖1-61

9、-6yzyzyxy15 其它x、z正面上的應(yīng)力分量的表示如圖17所示。正面：外法線是沿著坐標軸的正方向的截面就稱為正面。負面：外法線是沿著坐標軸的負方向的截面就稱為負面。應(yīng)力方向：正面正向為正，負面負向為正，負面正向為負，正面負向為負。圖圖1-71-7（3）應(yīng)力符號規(guī)定16圖圖1-81-8 平行于單元體面的應(yīng)力如圖示的 ，沿x軸、z軸的負向為正。 圖18所示單元體面的法線為y的負向，正應(yīng)力記為 ,沿 y 軸負向為正。y,yxyz17yzxyzyyzxzxyzzyzxyxxzxyzyzxyxxzxy 六個切應(yīng)力之間具有一定的互等關(guān)系，即切應(yīng)力互等性：作用在兩個相互垂直的面上并且垂直于該兩面交線的

10、切應(yīng)力是互等的（大小相等，正負號也相同。）,zyyzyxxyxzzx18 （4）注意彈性力學切應(yīng)力符號和材料力學是有區(qū)別的，圖19中，彈性力學里，切應(yīng)力都為正，而材料力學中相鄰兩面的的符號是不同的。正應(yīng)力與材料力學的正負號規(guī)定相同（即拉為正壓為負）。 在畫應(yīng)力圓時，應(yīng)按材料力學的符號規(guī)定。彈性力學彈性力學材料力學材料力學圖圖1-91-919 2.切應(yīng)變：圖1-10中線段PA、PB、PC之間的直角的改變，用弧度表示，稱為切應(yīng)變。分別用 表示 。切應(yīng)變以直角變小時為正，變大時為負。,yzzxxy（三）形變（應(yīng)變）（三）形變（應(yīng)變） 形變就是形狀的改變。物體的形變可以歸結(jié)為長度的改變和角度的改變。圖

11、圖1-101-10ABCP 1.線應(yīng)變：圖1-10中線段PA、PB、PC每單位長度的伸縮，即單位伸縮或相對伸縮，稱為線應(yīng)變，也可稱正應(yīng)變。分別用 表示。線應(yīng)變以伸長時為正，以縮短為負。,xyz表示y之間z兩方向的線段直角的改變yz表示x方向線段的應(yīng)變x20 （2）物體的各點間有相對位移，因而物體產(chǎn)生了變形。彈性力學中主要研究物體由變形而引起的位移。 （1）整個物體象一個剛體一樣進行的運動所引起的位移，一般包括平移和轉(zhuǎn)動。這樣位移并不使物體的形狀、質(zhì)點間的相對距離發(fā)生變化。（物體只有外效應(yīng)而無內(nèi)效應(yīng)）。 1.當物體各點發(fā)生位置改變時，一般認為是由兩種性質(zhì)的位移組成：（四）位移（四）位移位移：物體

12、變形時，各點位置的改變量稱為位移。2.位移的表示方法xyzuvw 物體內(nèi)任意一點的位移，用它在 、 、 軸上的投影 、 、 來表示，以沿坐標軸正向為正，沿坐標軸負向為負。這三個投影稱為該點的位移分量。21位移位移形變形變應(yīng)力應(yīng)力體力體力面力面力幾何方程幾何方程物理方程物理方程平衡方程平衡方程邊界條件邊界條件圖圖1-101-10（五）各物理量之間的關(guān)系（五）各物理量之間的關(guān)系221-3 1-3 彈性力學的基本假設(shè)彈性力學的基本假設(shè) 在彈性力學中，在滿足實用所需精度的前提下做一些必要的假設(shè)，使問題得以求解。 （1）連續(xù)性假設(shè)：這樣物體內(nèi)的一些物理量，例如應(yīng)力、應(yīng)變和位移等可用坐標的連續(xù)函數(shù)表示它們

13、的變化規(guī)律。 （2）完全彈性假設(shè)：假定物體為完全彈性體，則服從虎克定律-應(yīng)力和相應(yīng)的形變成正比，彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或形變的大小而變化。 （3）均勻性假設(shè)：假定物體由同一材料組成，這樣物體的彈性不隨位置坐標而變化。 彈性力學的基本假設(shè)為：23 （4）各向同性假設(shè)：物體內(nèi)一點的彈性性質(zhì)在所有各個方向都相同。 （5）小變形假設(shè)：假定位移和形變是微小的。這樣，可以用變形前的尺寸代替變形后的尺寸，在考察物體的應(yīng)變和位移時，可以略去高階小量，這對于方程的線性化十分重要。 以上的假設(shè)對于工程中不少問題是適用的，但對于一些問題的誤差太大，就必須用另外的簡化方案，但許多概念基本理論仍然是共同的，彈性力學是學習塑性

14、力學、斷裂力學、有限元方法等學科的基礎(chǔ)。 凡是符合以上四個假定的物體，就稱為理想彈性體。24基本量符號正負號規(guī)定應(yīng)力正應(yīng)力正面正向為正，負面負向為正切應(yīng)力正面負向為負，負面正向為負應(yīng)變線應(yīng)變線段伸長為正切應(yīng)變直角變小時為正，變大時為負位移沿坐標軸正向為正，負向為負外力體力面力,xyz zxyzxy,xyz,xyyzzx, ,u v w,xyzfff,xyzfff彈性力學所涉及到的基本量的定義、符號及正負號規(guī)定25 彈性力學的公式推導(dǎo)比較繁復(fù)，公式的意義不明確，不便記憶，因此初學者會感到困難。 在學習中，不要過分拘泥于細節(jié)，應(yīng)著眼于推導(dǎo)的主要過程，公式的推導(dǎo)和記憶，最好通過矩陣形式和張量。* *

15、 彈性力學的學習方法彈性力學的學習方法 由于基本方程是偏微分方程組，接觸較少，理解有困難。偏微分方程組的直接求解是十分困難的，只有在邊界條件比較簡單時，可以解出，大多需要通過數(shù)值方法求解，因此基本方程的意義很大程度上是為將來的學習打基礎(chǔ)。 在推導(dǎo)過程中，善于利用小變形略去高階小量，在邊界條件中，要分清主要邊界和次要邊界，在次要邊界上根據(jù)圣維南原理，用等效力系的條件進行替代。 在每章的最后，附有一些習題，通過練習，加深對概念和方法的理解。26緒論緒論習題課習題課練習練習1彈性力學的研究對象、內(nèi)容是什么？與材料力學比較有何異同？答：答：彈性力學研究物體在外界因素影響下處于彈性階段的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，其研究對象為一般及復(fù)雜形狀的構(gòu)件、實體結(jié)構(gòu)、板殼等。而材料力學是研究桿件在拉、壓、剪、彎、扭狀態(tài)下的應(yīng)力和位移。練習練習2彈性力學中基本假設(shè)是什么？答：為了簡化計算，彈