數(shù)的整除知識點總結(jié).doc

1、數(shù)的整除知識點總結(jié)一. 數(shù)的分類 第一種分法 : 樹狀圖 韋恩圖 整數(shù) 正整數(shù) 零 負整數(shù) 整數(shù) 自然數(shù) 負整數(shù) 零 正整數(shù) 正奇數(shù) 正偶數(shù) 第二種分法 整數(shù) 奇數(shù) 偶數(shù) 整數(shù) 奇數(shù) 偶數(shù) 第三種分法： 正整數(shù) 素數(shù) 1 合數(shù) 整數(shù) 素數(shù) 合數(shù) 1 一些關(guān)于數(shù)的結(jié)論: 1.0是最小的自然數(shù),-1是最大的負整數(shù),1是最小的正整數(shù) 2.沒有最大的整數(shù),沒有最小的負整數(shù),沒有最大的正整數(shù) 3.正整數(shù)、負整數(shù)、整數(shù)的個數(shù)都是無限的 二整除 1.整除定義（概念）：整數(shù)a除以整數(shù)b，如果除得的商是整數(shù)而余數(shù)為零，我們就說a 能被b整除；或者說b能整除a 注意點：一定要看清楚誰被誰整除或誰整除誰，這里的a相

2、當(dāng)于被除數(shù)，b相當(dāng)于除數(shù) 2.整除的條件：1.除數(shù)、被除數(shù)都是整數(shù) 2.被除數(shù)除以除數(shù)，商是整數(shù)而且余數(shù)為零 注意點：區(qū)分整除與除盡：整除是特殊的除盡（如正方形是特殊的長方形一樣），即a能被b整除,則a一定能被b除盡，反之則不一定（即a能被b除盡，則a不一定能被b整除）。如4÷2=2, 4既能被2除盡，也能被2整除；4÷5=0.8, 4能被5除盡，卻不能說4能被5整除 三因數(shù)與倍數(shù) 1.因數(shù)與倍數(shù)的定義：整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a 就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)（約數(shù)）。 注意點：1.因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的，不能簡單的說某個數(shù)是因數(shù)，某個數(shù)是倍數(shù)。如： 6÷3=2

3、，不能說6是倍數(shù)，3是因數(shù)；要說6是3的倍數(shù)，3是6的因數(shù)。 2.因數(shù)與倍數(shù)是建立在整除的基礎(chǔ)上的，所以如4÷0.2=20，一般是不說4是0.2的倍數(shù)，0.2是4的因數(shù)。 2.因數(shù)與倍數(shù)的特點：一個整數(shù)的因數(shù)中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。 一個數(shù)的倍數(shù)中最小的倍數(shù)是這個數(shù)本身，沒有最大的倍數(shù)。 因數(shù)的個數(shù)是有限的，都能一一列舉出來，倍數(shù)的個數(shù)是無限的。 3.求一個數(shù)因數(shù)的方法：利用積與因數(shù)的關(guān)系一對一對找，找出哪兩個數(shù)的乘積等于這個數(shù)，那么這兩個數(shù)就是這個數(shù)的因數(shù)。如16=1×16=2×8=4×4，那么16的因數(shù)就有1、2、4、8、16，計算時一

4、定不要忘了1和這個數(shù)本身都是它的因數(shù)，注意按照一定的順序以防遺漏。 4.求一個數(shù)倍數(shù)的方法：這個數(shù)本身分別乘以1、2、3、4、5（即正整數(shù)）得到的積就是這個數(shù)的倍數(shù)。若用n表示所有的正整數(shù)，則2的倍數(shù)可表示為2n, 5的倍數(shù)可表示為5n 四能被2、5、3整除的數(shù)的特點 1.能被2整除的數(shù)（即2的倍數(shù)）個位上的數(shù)字是0、2、4、6、8，反之，個位上的數(shù)字是0、2、4、6、8的數(shù)也能被2整除 2.能被5整除的數(shù)（即5的倍數(shù)）個位上的數(shù)字是0、5，反之，個位上的數(shù)字是0、5的數(shù)都能被5整除 3.能被3整除的數(shù)（即3的倍數(shù)）各個位數(shù)上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，反之，各個位數(shù)上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)的數(shù)都能被

5、3整除 4.能被2、5同時整除的數(shù)的個位數(shù)字都是0，個位數(shù)字為0的數(shù)也能被10整除，能被10整除的數(shù)一定能被2或5其中的一個或兩個同時整除。 五奇數(shù)、偶數(shù) 1.奇數(shù)與偶數(shù)的定義：能被2整除的整數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的整數(shù)叫做奇數(shù)。（按照能否被2整除來劃分奇數(shù)與偶數(shù)）2.奇數(shù)個位數(shù)上的數(shù)的特點：1、3、5、7、9 偶數(shù)個位數(shù)上的數(shù)的特點：0、2、4、6、8 3.在連續(xù)的正整數(shù)中（除1外），與奇數(shù)相鄰的兩個數(shù)是偶數(shù)，與偶數(shù)相鄰的兩個數(shù)是奇數(shù) 4.相鄰的奇數(shù)或偶數(shù)數(shù)字相差2，奇數(shù)可用2n-1或2n+1表示，偶數(shù)可用2n表示。 5.奇數(shù)與偶數(shù)加法和乘法的運算特點 奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù) 偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)

6、奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù) 奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù) 偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù) 奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù) 利用此結(jié)論可檢驗一些運算是否正確，同時也要注意結(jié)論的逆向運用，如偶數(shù)（奇數(shù)）可拆成哪些奇數(shù)或偶數(shù)的和、積 六.素數(shù)、合數(shù) 1.素數(shù)與合數(shù)定義：一個正整數(shù)如果只有1和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)叫做素數(shù)（質(zhì)數(shù)），如果除了1和它本身以外還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。 注意點：1.素數(shù)與合數(shù)的分類方法是根據(jù)它們因數(shù)的個數(shù)來分的，素數(shù)只有2個因數(shù)（1和本身），合數(shù)至少有三個因數(shù)；任何一個數(shù)（除1外）都有1和它本身兩個因數(shù)。 2. 1既不是素數(shù)也不是合數(shù)。 3最小的素數(shù)是2，最小的合數(shù)是4 2.素數(shù)與奇數(shù)

7、的聯(lián)系和區(qū)別 奇數(shù)不一定都是素數(shù)。 （1既不是素數(shù)也不是合數(shù)，9、15等是奇數(shù)但是合數(shù)）所有素數(shù)都是奇數(shù)。 ×（2是素數(shù)，但2是偶數(shù)）3.合數(shù)與偶數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別 合數(shù)不一定都是偶數(shù)。（9、15等都是合數(shù)，但它們是奇數(shù)）偶數(shù)都是合數(shù)。 ×（2是偶數(shù)但2是素數(shù)）注意:判斷題對的要說明原因，錯的要舉出反例。 七素因數(shù)與分解素因數(shù) 1.素因數(shù)與分解素因數(shù)的定義：每個合數(shù)都可以寫成幾個素數(shù)相乘的形式，其中每個素數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)，叫做這個合數(shù)的素因數(shù)。把一個合數(shù)用素因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解素因數(shù)。 注意：1.求一個數(shù)的素因數(shù)時，先把這個數(shù)分解素因數(shù)，有幾個素因數(shù)就寫幾個。

8、如24=2×2×2×3，則素因數(shù)是2、2、2、3，而不是2、3 2.因數(shù)與素因數(shù)的區(qū)別：因數(shù)可以是素數(shù)或合數(shù)，素因數(shù)一定是素數(shù)。一個數(shù)的素因數(shù)一定是這個數(shù)的因數(shù)，因數(shù)的個數(shù)一定比素因數(shù)的個數(shù)多。 2.分解素因數(shù)的方法 樹枝分解法：過程中注意不要漏寫乘號，分解要徹底，直到?jīng)]有合數(shù)出現(xiàn)，也不能出現(xiàn)1. 要分解的合數(shù)寫在等號左邊，把它的素因數(shù)用相乘的形式寫在等號右邊，再把這幾個素因數(shù)按從小到大的順序排列。 短除法：1.先用一個能整除這個合數(shù)的素數(shù)去除（通常從最小的開始，偶數(shù)肯定先用2除，奇數(shù)一般從3開始一個個帶入驗算）2.得出的商如果是合數(shù)，再按照上面的方法繼續(xù)除下去，

9、直到得出的商是素數(shù)為止。 3.然后把各個除數(shù)和最后的商按從小到大的順序?qū)懗蛇B乘的形式。 3.由一個數(shù)分解素因數(shù)求這個數(shù)的因數(shù) 12=2×2×3，素因數(shù)是2、2、3，除1外由單個的素因數(shù)組成因數(shù)有2、3，由兩個素因數(shù)組成的因數(shù)有2×2=4,2×3=6，由三個素因數(shù)組成的因數(shù)有2×2×3=12，所以12的因數(shù)有1、2、3、4、6、12. 4. 由一個數(shù)分解素因數(shù)求這個數(shù)因數(shù)的個數(shù) (1) 所有素因數(shù)都相同時，因數(shù)的個數(shù)是它素因數(shù)的個數(shù)+1，如8=2×2×2，素因數(shù)是2、2、2，則8的因數(shù)的個數(shù)是它素因數(shù)的個數(shù)+1，即4

10、個 (2) 素因數(shù)不完全相同時，因數(shù)的個數(shù)是每個素因數(shù)個數(shù)+1后相乘的積，如12=2×2×3，素因數(shù)2的個數(shù)是2，素因數(shù)3的個數(shù)是1，則12的因數(shù)的個數(shù)是（2+1）×（1+1）=6 八.公因數(shù)與最大公因數(shù) 1. 公因數(shù)與最大公因數(shù)定義: 幾個數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù). 2. 互素定義：如果兩個整數(shù)只有公因數(shù)1，那么稱這兩個數(shù)互素。如8和9 注意：互素是兩個數(shù)之間，素數(shù)是指一個數(shù)，互素的兩個數(shù)的最大公因數(shù)就是1. 兩個互素的數(shù)未必都是素數(shù)。 （8和9互素，但8和9都是合數(shù)）兩個不同的素數(shù)一定互素. （若缺少“不同的”

11、，則錯，因為3和3都是素數(shù)但不互素）3. 求兩個數(shù)最大公因數(shù)的方法： (1) 一般方法：寫出兩個數(shù)所有的因數(shù)，再找出它們共同的最大的因數(shù) (2) 分解素因數(shù)的方法：把這兩個數(shù)分解素因數(shù)，再找出相同的素因數(shù)，把它們所有的公有的素因數(shù)相乘，所得的積就是它們的最大公因數(shù)。 (3) 短除法：先用這兩個數(shù)公有的素因數(shù)去除（一般從最小的素因數(shù)開始），得出的商如果是合數(shù)，再按照上面的方法繼續(xù)除下去，直到兩個數(shù)互素為止，這兩個數(shù)的最大公因數(shù)就是左側(cè)的除數(shù)的乘積.( 類比用短除法分解素因數(shù)的方法) 4. 兩個整數(shù)中，如果某個數(shù)是另一個數(shù)的因數(shù)，那么這個數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。如果這兩個數(shù)互素，那么它們的最大

12、公因數(shù)就是1. 九.公倍數(shù)和最小公倍數(shù) 1.公倍數(shù)與最小公倍數(shù)定義:幾個整數(shù)公有的倍數(shù)叫做它們的公倍數(shù),其中最小的一個叫做它們的最小公倍數(shù). 2.求兩個數(shù)最小公倍數(shù)的方法: (1)一般方法:從小到大分別依次寫出幾個這兩個數(shù)的倍數(shù),再找出它們共同的最小的倍數(shù) (2)分解素因數(shù)的方法: 把這兩個數(shù)分解素因數(shù)，再找出相同的素因數(shù)，再取各自剩余的素因數(shù),將這些數(shù)連乘所得的積,就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù). (3)短除法: 先用這兩個數(shù)公有的素因數(shù)去除（一般從最小的素因數(shù)開始），得出的商如果是合數(shù)，再按照上面的方法繼續(xù)除下去，直到兩個數(shù)互素為止，這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)就是左側(cè)的除數(shù)與底部商的乘積. 注意點:1.用短除法求兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)時,過程都相同,只是最后寫結(jié)論時注意需要乘哪些數(shù). 2.求兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù),先判斷這兩個數(shù)是否存在因數(shù)(倍數(shù))關(guān)系或互素關(guān)系,存在因數(shù)(倍數(shù))關(guān)系時,最大公因數(shù)就是較小的那個數(shù),最小公倍數(shù)就是較大的那個數(shù);兩數(shù)互素時,最大公因數(shù)就是1,最小公倍數(shù)就是它們的乘積. 3.兩個整數(shù)的公倍數(shù)一定能被這兩個數(shù)整除. 十.求三個整數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)(拓展) (1)求三個整數(shù)的最大公因數(shù):同樣也是三種方法,只需找出三個數(shù)共同的因數(shù),最大的因數(shù)就是最大公因數(shù).(注意與三個數(shù)的最小公倍數(shù)區(qū)