概率與概率分布練習(xí)題

1、第六章概率與概率分布、填空1.用古典法求算概率.在應(yīng)用上有兩個(gè)缺點(diǎn)：它只適用于有限樣本點(diǎn)的情況；它假設(shè)（機(jī)會(huì)均等2,分布函數(shù)F（x）和P（x）或*（x）的關(guān)系，就像向上累計(jì)頻數(shù)和頻率的關(guān)系一樣。所不同的是，F(xiàn)（x）累計(jì)的是（概率）。3 .如果 A 和 B（互斥），總合有 P（A/B）=PB/A=0。4 .（大數(shù)定律）和（中心極限定理）為抽樣推斷提供了主要理論依據(jù)。6 .抽樣設(shè)計(jì)的主要標(biāo)準(zhǔn)有（最小抽樣誤差原則）和（最少經(jīng)濟(jì)費(fèi)用原則）。7 .在抽樣中，遵守（隨機(jī)原則）是計(jì)算抽樣誤差的先決條件。9.若事件A和事件B不能同時(shí)發(fā)生，則稱A和B是（互斥）事件。10 .在一副撲克牌中單獨(dú)抽取一次，抽到一張紅

2、桃或愛司的概率是（1/4）;在一副撲克牌中單獨(dú)抽取一次，抽到一張紅桃且愛司的I率是（1/52）。、單項(xiàng)選擇1 .隨機(jī)試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，稱為（D）。A 基本事件；B 樣本；C 全部事件；D 樣本空間。2 .在次數(shù)分布中，頻率是指（A.各組的頻率相互之比 B.各組的分布次數(shù)相互之比 C.各組分布次數(shù)與頻率之比 D.各組分布次數(shù)與總次數(shù)之比3 .若不斷重復(fù)某次調(diào)查，每次向隨機(jī)抽取的 100 人提出同一個(gè)問題，則每次都能得到一個(gè)回答“是”的人數(shù)百分?jǐn)?shù)，這若干百分?jǐn)?shù)的分布稱為：（D）。A.總體平均數(shù)的次數(shù)分布 B.樣本平均的抽樣分布 C.總體成數(shù)的次數(shù)分布 D.樣本成數(shù)的抽樣分布4 .以等可能性為

3、基礎(chǔ)的概率是（A）。A 古典概率；B 經(jīng)驗(yàn)概率；C 試驗(yàn)概率；D 主觀概率。5 .古典概率的特點(diǎn)應(yīng)為（A）。A 基本事件是有限個(gè)，并且是等可能的；B 基本事件是無限個(gè)，并且是等可能的；C 基本事件是有限個(gè)，但可以是具有不同的可能性；D 基本事件是無限的，但可以是具有不同的可能性。6 .任一隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率為（D）。A 在-1 與 1 之間；B 小于 0;C 不小于 1;D 在 0 與 1 之間。7,若 P（A）=0.2,P（B）=0.6,P（A/B）=0.4,則P（A1B）=（D）。A0.8B0.08C0.12D0.24。8 .若 A 與 B 是任意的兩個(gè)事件，且 P（AB）=P（A）P（B

4、）,則可稱事件 A 與 B（C）。A 等價(jià) B 互不相容 C 相互獨(dú)立 D 相互對(duì)立。9 .若相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 X 和丫的標(biāo)準(zhǔn)差分別為 6 與 8,則（X+Y）的標(biāo)準(zhǔn)差為（B）。A7B10C14D 無法計(jì)算。10 .對(duì)于變異數(shù) D（X）,下面數(shù)學(xué)表達(dá)錯(cuò)誤的是（D）。AD（X）=E（X2）一科2BD（X）=E（X科）2CD（X）=E（X2）-E（X）2DD（X）=（r11 .如果在事件A和B存在包含關(guān)系A(chǔ)=B的同時(shí)，又存在兩事件的反向包含關(guān)系A(chǔ)B,則稱事件A與事件B（A）A 相等 B 互斥 C 對(duì)立 D 互相獨(dú)立三、多項(xiàng)選擇1.隨機(jī)試驗(yàn)必須符合以下幾個(gè)條件（ABD）。A.它可以在相同條件下重復(fù)

5、進(jìn)行；B.每次試驗(yàn)只出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)；C.預(yù)先要能斷定出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果；D.試驗(yàn)的所有結(jié)果事先已知；E.預(yù)先要能知道哪個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率。2.重復(fù)抽樣的特點(diǎn)是（ACE）。A 每次抽選時(shí)，總體單位數(shù)始終不變；B 每次抽選時(shí)，總體單位數(shù)逐漸減少；C 各單位被抽中的機(jī)會(huì)在每次抽選中相等；D 各單位被抽中的機(jī)會(huì)在每次抽選中不等；E 各次抽選相互獨(dú)立。3.關(guān)于頻率和概率，下面正確的說法是（BCE）。A.頻率的大小在 0 與 1 之間；B.概率的大小在 0 與 1 之間；C.就某一隨機(jī)事件來講，其發(fā)生的頻率是唯一的；D.就某一隨機(jī)事件來講，其發(fā)生的概率是唯一的；E.頻率分布有對(duì)應(yīng)的頻數(shù)分布，概率分布則沒

6、有。4.概率密度曲線（AD）。A 位于 X 軸的上方 B 位于 X 軸的下方 C 與 X 軸之間的面積為 0D 與 X 軸之間的面積為 1E 與 X 軸之間的面積不定。5.樣本方差和總體方差（）A.前者是確定值，后者是隨機(jī)變量 B.前者是隨機(jī)變量，后者是確定值C.兩者均是確定值 D.兩者均是隨機(jī)變量6 .數(shù)學(xué)期望的基本性質(zhì)有（ACD）AE（c）=cBE（cX）=c2E（X）CE（X+Y）=E（X）+E（Y）DE（XY）=E（X）E（Y）五、判斷題1 .對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，討論某一點(diǎn)取值的概率是沒有意義的。（V）2 .把隨機(jī)現(xiàn)象的全部結(jié)果及其概率，或者把隨機(jī)現(xiàn)象的或幾個(gè)結(jié)果及其概率列舉出來，就可

7、以稱作概率分布。（X）3 .社會(huì)現(xiàn)象是人類有意識(shí)參與的后果，這一點(diǎn)只是改變概率的應(yīng)用條件，并不改變社會(huì)現(xiàn)象的隨機(jī)性質(zhì)。（，）4 .在社會(huì)現(xiàn)象中，即使相同的意識(shí)作用也完全可能有不確定的結(jié)果，這就提供了概率論應(yīng)用的可能性。（，）5 .抽樣的隨機(jī)原則就是指客觀現(xiàn)象的隨機(jī)性。（X）12.所謂抽樣分布，就是把具體概率數(shù)值賦予樣本每個(gè)或每組結(jié)果的概率分布。（，）六、計(jì)算題1 .某系共有學(xué)生 100 名，其中來自廣東省的有 25 名；來自廣西省的有 10 名。問任意抽取一名學(xué)生，來自兩廣的概率是多少？【0.352 .為了研究父代文化程度對(duì)子代文化程度的影響，某大學(xué)統(tǒng)計(jì)出學(xué)生中，父親具有大學(xué)文化程度的占 30

8、%,母親具有大學(xué)文化程度的占 20%,而父母雙方都具有大學(xué)文化程度的占 10%。問學(xué)生中任抽一名，其父母有一人具有大學(xué)文化程度的概率是多少？【0.4022213 .根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，男嬰出生的概率為；女嬰出生的概率為。某單位有兩名孕婦，問兩名孕婦都生男嬰的概率4343是多少？0.2601】4 .根據(jù)統(tǒng)計(jì)，由出生活到 60 歲的概率為 0.8,活到 70 歲的概率為 0.4。問現(xiàn)年 60 歲的人活到 70 歲的概率是多少？【0.5】22215 .根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，男嬰出生的概率為；女嬰出生的概率為。某單位有兩名孕婦，求這兩名孕婦生女嬰數(shù)的概4343率分布。0.2601,0.4998,0.2401】6 .

9、一家人壽保險(xiǎn)公司在投保 50 萬元的保單中，每千名每年由 15 個(gè)理賠，若每一保單每年的運(yùn)營(yíng)成本與利潤(rùn)的期望值為 200 年，試求每一保單的保費(fèi)。7700 元】7 .位對(duì)全單位訂報(bào)紙情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，其中訂人民日?qǐng)?bào)的有 45%,訂揚(yáng)子晚報(bào)的有 60%,兩種報(bào)紙都訂的有 30%。試求以下概率：1）只訂人民日?qǐng)?bào)的；2）至少訂以上一種報(bào)紙的；3）只訂以上一種報(bào)紙的；4）以上兩種報(bào)紙都不訂的?！?.15,0.95,0.65,0.05】8 .根據(jù)某市職業(yè)代際流動(dòng)的統(tǒng)計(jì)，服務(wù)性行業(yè)的工人代際向下流動(dòng)的概率為 0.07,靜止不流動(dòng)的概率為 0.85,求服務(wù)性行業(yè)的代際向上流動(dòng)的概率是多少？【0.089 .消費(fèi)

10、者協(xié)會(huì)在某地對(duì)國(guó)外旅游動(dòng)機(jī)進(jìn)行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)旅游者出于游覽名勝的概率為0.219;出于異族文化的吸引占 0.509;而兩種動(dòng)機(jī)兼而有之的占 0.102。問旅游動(dòng)機(jī)為游覽名勝或?yàn)楫愖逦幕母怕适嵌嗌伲?.626110 .根據(jù)生命表，年齡為60 歲的人，可望活到下年的概率為 P=0.95;設(shè)某單位年齡為 60 歲的人共有 10 人，問：（1）其中有 9 人活到下年的概率為多少？（2）至少有 9 人活到下年的概率是多少？0.315】10.914111 .假定從 50 個(gè)社區(qū)的總體中隨機(jī)抽取一些社區(qū)（這些社區(qū)的規(guī)模和犯罪率之間關(guān)系的數(shù)據(jù)如下表），（1）用不回置抽樣得到了一個(gè) 4 個(gè)社區(qū)的樣本，試問其

11、中恰好有一個(gè)大社區(qū)，一個(gè)中社區(qū)以及兩個(gè)小社區(qū)的概率是多少？（2）在一個(gè)用回置法得到的 3 個(gè)社區(qū)的樣本中，得到至少一個(gè)高犯罪率社區(qū)和兩個(gè)小社區(qū)的概率是多少？0.178】10.0461屬性大中小高犯罪率285低犯罪率16415X01234P(x)0.10.20.40.20.112.已知隨機(jī)變量 x 的概率分布如下:試求：1)E(X);2)E(X2);3)令Y=(X1)2,求E(Y);4)2、D(X)；5)D(X)。1)13.A、1)4);2)【5.2】；B、C 為三事件,3)【2.2】；4)【1.10；5)【4.62。指出以下事件哪些是對(duì)立事件：A、B、C 都發(fā)生；2)A、B、C 都不發(fā)生；A、

12、B、C 最多有一個(gè)發(fā)生；5)A、B、C 至少有兩個(gè)發(fā)生;3)A、6)A、B、C 至少有一個(gè)發(fā)生;B、C 最多有兩個(gè)發(fā)生。【2、3 為對(duì)立事件 4、5 為對(duì)立事件14.從戶籍卡中任抽 1 名，設(shè)：1、6 為對(duì)立事件】A=抽到的是婦女”;B=抽到的受過高等教育”;C=“未婚”求：(1)用符號(hào)表達(dá) “抽到的是受過高等教育的已婚男子”;【ABC(2)(3)用文字表達(dá)什么條件下ABC;1抽到是受過高等教育的未婚婦女】ABC=Ao總體中的婦女都是受過高等教育和未婚的】15.1-1000 號(hào)國(guó)庫券已到期，須抽簽還本付息，求以下事件的概率:(1)抽中 701 號(hào)；0.0011(4)抽中大于(7)抽中小于16.

13、一個(gè)口袋中裝有率；(2)最大號(hào)碼是600 號(hào)；【0.4】(2)抽中 532 號(hào)；0.0011(5)抽中 1020 號(hào)；0(3)抽中小于225 號(hào)；【0.224】125 號(hào)或者大于 725 號(hào)；0.399110 只球，分別編上號(hào)碼 1,5 的概率。0.083,0.05】(6)抽中大于或者等于 700 號(hào)；0.301】(8)抽中小于 50 號(hào)或者大于 700 號(hào)。0.349】10,隨機(jī)地從這個(gè)口袋去 3 只球，試求：(1)最小號(hào)碼是 5 的概17.共有 5000 個(gè)同齡人參加人壽保險(xiǎn)，設(shè)死亡率為 0.1%。參加保險(xiǎn)的人在年初應(yīng)交納保險(xiǎn)費(fèi) 10 元，死亡時(shí)家屬可領(lǐng)2000 元。求保險(xiǎn)公司一年內(nèi)從這些

14、保險(xiǎn)的人中，獲利不少于30000 元的概率。98.75%】18.在一批 10 個(gè)產(chǎn)品中有 4 個(gè)次品。如果一個(gè)接一個(gè)地隨機(jī)抽取兩個(gè)，下面的每個(gè)隨機(jī)事件的概率是多少?(1)抽中一個(gè)是次品，一個(gè)是合格品；【0.53】(2)抽取的兩個(gè)都是次品；【0.13(3)至少有一個(gè)次品被選取；【0.67】(4)抽取兩個(gè)合格品?！?.33八、計(jì)算舉例1) (1)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，用X表示擲得正面的次數(shù)，則隨機(jī)變量X的可能取值有哪些?2) )實(shí)驗(yàn)箱中裝有標(biāo)號(hào)為 1,2,3,3,4 的五只白鼠，從中任取一只，記取到的白鼠的標(biāo)號(hào)為 Y,則隨機(jī)變量 Y的可能取值有哪些?解：說明：引入了隨機(jī)變量后，隨機(jī)事件就可以用

15、隨機(jī)變量來表示。(1)拋擲硬幣是隨機(jī)試驗(yàn)，結(jié)果有兩種可能，一種是正面向上，另一種是反面向上，所以變量X的取值可能是 1(正面向上)，也可能是 0(反面向上)，故隨機(jī)變量X的取值構(gòu)成集合0,1。在此例中，隨機(jī)事件“擲一枚硬幣，正面向上”可以用隨機(jī)變量表示為X=1,隨機(jī)事件“擲一枚硬幣，反面向上”可以用隨機(jī)變量表示為X=0。(2)根據(jù)條件可知，隨機(jī)變量Y的可能值有 4 種，它的取值集合是1,2,3,4。在此例中，也可用Y=1,Y=2,Y=3,Y=4分別表示取到 1 號(hào)、2 號(hào)、3 號(hào)和 4 號(hào)白鼠這 4 個(gè)隨機(jī)事件。另一方面，在此例中，可以用YW3這樣的記號(hào)表示“取到 1 號(hào)、2 號(hào)或 3 號(hào)白鼠

16、”這件事情，也就是說，復(fù)雜的事件也可以用隨機(jī)變量的取值來表示 o這樣，我們就可以用隨機(jī)事件發(fā)生的概率來表示隨機(jī)變量取值的概率了。如在(1)1中X=1的概率可以表不為P(X=1)=P拋一枚硬幣，正面向上=,其中P(X=1)常簡(jiǎn)記為P(X=1)。21、，-。這一結(jié)果可用下表來描述。2X01P1212在(2)中隨機(jī)變量Y所表示的隨機(jī)事件發(fā)生的概率也可用下表來描述。Y1234P15152515上面的兩個(gè)表格分別給出了隨機(jī)變量X,Y表示的隨機(jī)事件的概率，描述了隨機(jī)變量的分布規(guī)律。2 .從裝有 6 只白球和 4 只紅球的口袋中任取一只球，用X表示“取到的白球個(gè)數(shù)，即X=j，當(dāng)取到白球時(shí)，求隨-o,當(dāng)取到紅

17、球時(shí)，機(jī)變量X的概率分布。解：由題意知p(x42,PX_n_6_3,故隨機(jī)變量X的概率分布列為P(X=0)二二一P(XI)645645布表如下。X01P2535說明：本題中，隨機(jī)變量X只取兩個(gè)可能值 0 和 1。像這樣的例子還有很多，如在射擊中，只考慮“命中”與“不命中”；對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，只關(guān)心“合格”與“不合格”等。我們把這一類概率分布稱為 0-1 分布或兩點(diǎn)分布，并記為X0-1 分布或X兩點(diǎn)分布。此處“”表示“服從”。3 .某班有學(xué)生 45 人，其中O型血的有 10 人，A型血的有 12 人，B型血的有 8 人，AB型血的有 15 人，現(xiàn)抽 1 人，其血型為隨機(jī)變量X,求X的概率分布。解

18、：設(shè)O、A、B、AB四種血型分別編號(hào)為 1,2,3,4,則X的可能取值為 12,3,4。同理，P(X=0)=P(X=0)=工，P(X=1)=3，概率分55則P(X_1)_C0_2P(X-2)-C12-P(X-3)-C8-P(X-4)-C15(八一I)_-(八_4)一-(八一9一1-(八一)一C459C4515C4545C45故其概率分布為X1234P24819154534.寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。一袋中裝有 5 只同樣大小的白球，編號(hào)為 1,2,3,4,5.現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出 3 只球，被取出的球的最大號(hào)碼數(shù)為X；盒中有 6 支白粉筆和 8 支紅

19、粉筆，從中任意取 3 支，其中所含白粉筆的支數(shù) X；從 4 張已編號(hào)(1 號(hào)4 號(hào))的卡片中任意取出 2 張，被取出的卡片編號(hào)數(shù)之和X。解： X 可取 3,4,5.X=3,表示取出的 3 個(gè)球的編號(hào)為 1,2,3;X=4,表示取出的 3 個(gè)球的編號(hào)為 1,2,4 或 1,3,4 或 2,3,4;X=5,表示取出的 3 個(gè)球的編號(hào)為 1,2,5 或 1,3,5 或 1,4,5 或 2,3,5 或 2,4,5或 3,4,5。X 可取 0,1,2,3,X=1 表示取出 i 支白粉筆，3i 支紅粉筆，其中 i=0,1,2,3。X可取 3,4,5,6,7。X=3 表示取出分別標(biāo)有 1,2 的兩張卡片；X

20、=4 表示取出分別標(biāo)有 1,3 的兩張卡片；X=5 表示取出分別標(biāo)有1,4 或 2,3 的兩張卡片；X=6 表示取出分別標(biāo)有 2,4 的兩張卡片；X=7 表示取出分別標(biāo)有 3,4 的兩張卡片。5 .袋內(nèi)有 5 個(gè)白球，6 個(gè)紅球，從中摸出兩球，記X=F 兩球全紅。求X的概率分布。一1兩球非全紅C2338解：顯然X服從兩點(diǎn)分布，P(X=0)=9=一，則P(X=1)=1=一。所以X的概率分布是：C1；111111X01P_311816 .同時(shí)擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求兩顆骰子中出現(xiàn)的最大點(diǎn)數(shù)X的概率分布，并求X大于 2 小于 5 的概率P(2X5)o解：依題意易知，擲兩顆骰子

21、出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有 36 種等可能的情況：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(6,5),(6,6)。因而 X 的可能取值為 1,2,3,4,5,6,詳見下表。X出現(xiàn)的點(diǎn)情況數(shù)1(1,1)12(2,2),(2,1),(1,2)33(3,3),(3,2),(3,1),(2,3),(1,3)54(4,4),(4,3),(4,2),(4,1),(3,4),(2,4),(1,4)75(5,5),(5,4),(5,3),(5,2),(5,1),(4,5),(3,5),(2,5),(1,5)96(6,6),(6,5),(6,4),(6,3),(6,2),(6,1)

22、,(5,6),(4,6),(3,6),(2,6),(1,6)11由古典法可知X的概率分布如下表所示:X123456P1357911363636363636571從而P(2X0)=0.384+0.512=0.896示(其中“O表示其他)；抽到 1 張 A 和 2 張 K,用符號(hào)(AKK)表示；抽到 2 張 A 和 1 張 K,用符號(hào)(AAK)表示。因?yàn)樵诓煌瑯颖究臻g中基本事件實(shí)現(xiàn)的概率不同，必須對(duì)它們加以區(qū)別。12.假如對(duì) 1000 個(gè)大學(xué)生進(jìn)行歌曲欣賞調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中有 500 個(gè)學(xué)生喜歡民族歌曲,些學(xué)生中有 100 人屬于既喜歡民族歌曲又喜歡流行歌曲的，剩下來的學(xué)生兩歌曲都不喜歡。如果我們隨機(jī)

23、地從該總體中抽取一個(gè)學(xué)生，并設(shè)事件 A 為該學(xué)生喜歡民族歌曲，事件 B 為該學(xué)生喜歡流行歌曲，試解決下列問題：用數(shù)字證明 P(A 且 B)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)。得到一個(gè)喜歡兩種風(fēng)格歌曲之一的學(xué)生的概率是多少隨機(jī)地選取一個(gè)由 3 個(gè)學(xué)生組成的樣本，要求這三個(gè)學(xué)生全都有相同的欣賞方式，得到這種樣本的概率是多少做一個(gè)一枚硬幣獨(dú)立解:因?yàn)?1000 名大學(xué)生中有 500 名喜歡民族歌曲，有 400 名喜歡流行歌曲，所以 P(A)=500=1,P(B)=4001000210002=2;因?yàn)?500 名喜歡民族歌曲的學(xué)生之中，有 100 名還同時(shí)喜歡流行歌曲。所以，5P(B/A)=100=1,同理，P(A/B)=100=1。50054004P(A)P(B/A)=P(B)P(