2019-2020年高一數(shù)學(xué)三角形內(nèi)有關(guān)角的三角函數(shù)恒等式的證明 人教版

1、2019-20202019-2020 年高一數(shù)學(xué)三角形內(nèi)有關(guān)角的三角函數(shù)恒等式的證明人教版年高一數(shù)學(xué)三角形內(nèi)有關(guān)角的三角函數(shù)恒等式的證明人教版課型和教學(xué)模式：習(xí)題課，“導(dǎo)學(xué)探索，自主解決”模式教學(xué)目的：（1）掌握利用三角形條件進(jìn)行角的三角函數(shù)恒等式證明的主要方法，使學(xué)生熟悉三角變換的一些常用方法和技巧（如定向變形，和積互換等）。（2）通過自主的發(fā)現(xiàn)探索，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散、創(chuàng)造的思維習(xí)慣和思維能力，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合、特殊一般轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。并利用此題材做學(xué)法指導(dǎo)。（3）通過個(gè)人自學(xué)、小組討論、互相啟發(fā)、合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生自主與協(xié)作相結(jié)合的學(xué)習(xí)能力和敢于創(chuàng)新，不斷探索的科學(xué)精神。教學(xué)對(duì)象：高一（5）班教學(xué)

2、設(shè)計(jì)：一.引題：（A,B環(huán)節(jié)）11復(fù)習(xí)提問：在三角形條件下，你能說出哪些有關(guān)角的三角恒等式？擬答：A+B+C=朋sinA=sin（B+C）這些結(jié)果是誘導(dǎo)公式,的特殊情況。1. 2今天開始的學(xué)習(xí)任務(wù)是解決這類問題：在三角形條件下,有關(guān)角的三角恒等式的證明。學(xué)習(xí)策略是先分若干個(gè)學(xué)習(xí)小組（四人一組），分頭在課本P233-P238,P261-266的例題和習(xí)題中，找出有三角形條件的所有三角恒等式。1.3備考：期待找出有關(guān)ABC內(nèi)角A、B、C的三角恒等式有：（1）P233:例題10：sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2（2）P238:習(xí)題十七第6題：sinA+sinB-s

3、inC=4sinA/2sinB/2cosC/2.（3）cosA+cosB+cosC=1+4sinA/2sinB/2sinC/2.（4）sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC.（5）cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC.（6）P264:復(fù)參題三第22題：tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC.cosA*cosB*cosC（7）sii也許有學(xué)生會(huì)找出:P264-（23）但無妨。1. 4請(qǐng)各組學(xué)生分工合作完成以上恒等式的證明：提示：建議先自學(xué)例題10，注意題目之間的聯(lián)系，以減少證明的重復(fù)勞動(dòng)。二.第一層次的問題解決（C,D環(huán)節(jié)）2. 1讓一

4、個(gè)組上黑板，請(qǐng)學(xué)生自主地挑出有“代表性”的3題（不超過3題）書寫證明過程。然后請(qǐng)其他某一個(gè)組評(píng)判或給出不同的證法。證法備考：（1）左到右：化積提取化積。（2）左到右：化積提取化積sin（A+B）/2=cosC/2cosC=COS(J4+B)=1-cos2_(3)左到右： 化積一-一-留4）左到右：化積-提取化積sin2C=sin2（A+B）cos2C=cos2(A+=2cos2(J4+5)-1（6）左到右：tgA+tgB=tg（A+B）（1-tgAtgB）（7）左到右：通分后利用（4）的結(jié)果22教師注意記錄學(xué)生的“選擇”，問：為什么認(rèn)為你們的選擇有代表性？體現(xiàn)學(xué)法的“暗導(dǎo)”。選擇的出發(fā)點(diǎn)可以多

5、種多樣，如從品種、不同的證法、邏輯源頭等考慮。23另一組學(xué)生判定結(jié)果或給出其他解法， （解法可能多樣。 ） 也可對(duì)前一組學(xué)生所選擇書寫的“例題”的“代表性”進(jìn)行評(píng)價(jià)。教師記錄之。注意學(xué)生的書寫中的問題（不當(dāng)?shù)奶降龋?4其他證法備考：1如右到左用積化和差，（略）右式=0二F如2衛(wèi)+如2E+如2U）由此得證（4）4.用/2-A/2,/2-B/2,/2-C/2代換A,B,C（仍保持三個(gè)角之和為）可速由（4）推出（1）；由（5）推出（2）三.探索發(fā)現(xiàn)練習(xí)（回朔與E環(huán)節(jié)）3.1請(qǐng)學(xué)生以小組為單位通過觀察、聯(lián)想、對(duì)比、猜想、發(fā)現(xiàn)解決以下幾項(xiàng)任務(wù)（1）找出更多的三角恒等式。（2）用發(fā)散的方式尋求更多的結(jié)

6、果。可以自主肯定的結(jié)論記為“定理”,還不能肯定的結(jié)論暫記為“猜想”1”提取-化積（5）左到右：2利用已做的習(xí)題：先一般后特殊3幾何直觀：左式=對(duì)cos,tg亦有類似結(jié)果(2)變維發(fā)散三角形變四邊形，如對(duì)四邊形ABCD有A+C-B-D.A+CA+D-B-C.B+Ccos=sincos=sin42，42sinA+sinB+sinC+sinD=4sin(A+B)/2*cos(A-B)/2+cos(C-D)/2=4sin(A+B)/2*cos(A+C-B-D)/4*cos(A+D-B-C)/4=sin(A+B)/2*sin(B+C)/2*sin(C+A)/2兩邊換成cos亦正確進(jìn)一步可探索四邊形ABC

7、D是平行四邊形或是圓內(nèi)接四邊形時(shí)的相應(yīng)結(jié)論。(3)逆序發(fā)散：如對(duì)(6),原等式成立，能推出A+B+C二嗎？舉反例可知不行，可推出A+B+C=k，k是整數(shù)。(4)變形式發(fā)散：sin2j4+sin25+sin2(7=2coscosBcosC”曲一込雪透竺込藝+沁乞朋込2222222再如對(duì)偶聯(lián)想：上面的式子該成cos怎樣?(5)批判式的發(fā)散：等式的反面是不等式，可以思考在三角形條件下有哪些三角函數(shù)的不等式？如對(duì)銳角三角形ABC，有sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosCsinAsinBsinCcosAcosBcosC。對(duì)一般三角形tgA+tgB+tgC二ctgA+ctgB+ctgC恒

8、不成立特別注意記錄“意外”。35評(píng)論與小結(jié)：請(qǐng)學(xué)生評(píng)述本課解決的問題、自認(rèn)為用到的重要方法和得到重要結(jié)果、并做小結(jié)。教師記錄補(bǔ)充(與學(xué)生互補(bǔ)之)-重點(diǎn)是學(xué)法和思維方法：怎樣復(fù)習(xí)，怎樣提高做題的效率，怎樣學(xué)會(huì)“舉一反三”，怎樣用發(fā)散思維的方式提出問題。36作業(yè)：A類：閱讀P257-P261B類：(1)選擇學(xué)生課上提出的三個(gè)結(jié)果，給出證明或證偽。(2)改寫或重寫本章的小結(jié)(參看P257-P261),補(bǔ)充在本章的學(xué)習(xí)過程中你認(rèn)為重要的方法、 技巧和自己解題的心得與出錯(cuò)之處。32小組活動(dòng)10分鐘后，組代表上前表述“發(fā)現(xiàn)”，交流結(jié)果。33教師注意記錄學(xué)生的發(fā)現(xiàn)結(jié)果，挖掘“再發(fā)現(xiàn)”的潛力。34結(jié)果的“予儲(chǔ)

9、”(1)結(jié)果一般化：如(-1)24cossin+sin+sinnC=彳？(T)24sin沁一2 2S SO OC C朋T T數(shù)奇是n數(shù)3_d-E二超n沁Tsin3+sinmC類：(1)在三角形條件下，如對(duì)ABC，你能說出哪些有關(guān)角的三角函數(shù)不等式？試找出3個(gè)并證明之。(2)對(duì)代數(shù)練習(xí)冊(cè)(上)第三章的復(fù)習(xí)題三中的解答題進(jìn)行“壓縮”處理，只選出你認(rèn)為有代表性的10個(gè)習(xí)題。2019-20202019-2020 年高一數(shù)學(xué)三角恒等變形北師大版年高一數(shù)學(xué)三角恒等變形北師大版3.1.13.1.1 兩角差的余弦函數(shù)兩角差的余弦函數(shù) 3.1.23.1.2 兩角和的正、余弦函數(shù)兩角和的正、余弦函數(shù)一.教學(xué)目標(biāo)：

10、1.知識(shí)與技能(1)能夠推導(dǎo)兩角差的余弦公式；(2)能夠利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式；(3)能夠運(yùn)用兩角和的正、余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明；(4)揭示知識(shí)背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；(5)創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識(shí).2.過程與方法通過創(chuàng)設(shè)情境：通過向量的手段證明兩角差的余弦公式，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)向量作為一種有效手段的同時(shí)掌握兩角差的余弦函數(shù)，然后通過誘導(dǎo)公式導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí).3.情感態(tài)度價(jià)值觀通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對(duì)兩角和與差的三角函數(shù)有了一個(gè)全新的認(rèn)識(shí)；理解掌握兩角

11、和與差的三角的各種變形，提高逆用思維的能力.二.教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn):公式的應(yīng)用.難點(diǎn):兩角差的余弦公式的推導(dǎo).三.學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：(1)自主性學(xué)習(xí)法：通過自學(xué)掌握兩角差的余弦公式.(2)探究式學(xué)習(xí)法：通過分析、探索、掌握兩角差的余弦公式的過程.(3)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗(yàn)知識(shí)的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.教學(xué)用具:電腦、投影機(jī).四.教學(xué)設(shè)想【創(chuàng)設(shè)情境】思考:如何求cos(45-30)o的值.【探究新知】1.思考:如何用任意角a與B的正弦、余弦來表示cos(a-B)?你認(rèn)為會(huì)是cos(a-B)=cosa-cosB嗎？展示課件在直角坐標(biāo)系作出單位圓，利用向量的方法求解(如教材圖3

12、.1).學(xué)生思考：以上推導(dǎo)是否有不嚴(yán)謹(jǐn)之處?教師引導(dǎo)學(xué)生分析其中的過程發(fā)現(xiàn)：上述證明僅僅是對(duì)a與B為銳角的情況，但a與B為任意角時(shí)上述過程還成立嗎?當(dāng)a-B是任意角時(shí)，由誘導(dǎo)公式總可以找到一個(gè)角0G0,2n),使cos9=cos(a-B)若90,n，貝二cos9=cos(a-B)若9en,2n),則2n-9e0,n，且二cos(2n-9)=cos9=cos(a-B).結(jié)論歸納：對(duì)任意角a與B都有cos=coscos=cos cos+sincos+sin sinsin這個(gè)公式稱為：差角的余弦公式注意：1.公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)2對(duì)于a,B,只要知道其正弦或余弦，就可以求出cos(a-B)展示投影展示投影

13、例題講評(píng)例題講評(píng)(學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充)例1.利用差角余弦公式求cos的值分析:cos=cos=cos=cos思考：你會(huì)求sin的值嗎？例2.已知cos,求cos的值.【鞏固深化，發(fā)展思維】【鞏固深化，發(fā)展思維】1. coscos+sinsin二.2. coscos+sinsin二.3.已知sina-sinp二一，cosa-cosp二，ae(0,),阻(0,)，求cos(a-p)的值.展示投影思考：展示投影思考：如何利用差角余弦公式導(dǎo)出下列式子：cos=coscossinsinsin=sincoscossinsin二coscoscossin(可讓學(xué)生自己講解，教師只是適當(dāng)點(diǎn)撥而

14、已)展示投影展示投影例題講評(píng)例題講評(píng)(學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充) )例3.已知sin,cos求cos,sin的值.思考題：已知、都是銳角，cos,cos求cos.學(xué)習(xí)小結(jié)1.兩角差的余弦公式：cos二coscos+sinsin2.兩角和的余弦公式：cos=coscos-sinsin兩角和的正弦公式：sin二sincoscossin兩角差的正弦公式：sin二coscoscossin3.注意公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)五、評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)1.作業(yè)：習(xí)題3.1A組第1,2,3題.2.(備選題)：求證：cosa+sina=2sin(+a)證一：左邊=2(cosa+sina)=2(sincosa+cossina)

15、=2sin(+a)=右邊(構(gòu)造輔助角)證二：右邊=2(sincosa+cossina)=2(cosa+sina)=cosa+sina二左邊3.進(jìn)一步理解這四個(gè)公式的特點(diǎn).六、課后反思：3.1.33.1.3 兩角和與差的正切函數(shù)兩角和與差的正切函數(shù)(1(1 課時(shí)課時(shí)) )一、教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能(1)能夠利用兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式；(2)能夠運(yùn)用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明；(3)揭示知識(shí)背景,引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；(4)創(chuàng)設(shè)問題情景,激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度,強(qiáng)化學(xué)生的參與意識(shí).2、過程與方法借助兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式,讓

16、學(xué)生進(jìn)一式之間的聯(lián)系及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；講解例題,總結(jié)方法,鞏固練習(xí).3、 情感態(tài)度價(jià)值觀通過本節(jié)的學(xué)習(xí),使同學(xué)們對(duì)兩角和與差的三角函數(shù)有了一個(gè)全新的認(rèn)識(shí)和與差的三角的各種變形,提高逆用思維的能力.二、教學(xué)重、難點(diǎn)步體會(huì)各個(gè)公理解掌握兩角重點(diǎn):公式的應(yīng)用.難點(diǎn):公式的推導(dǎo).三、學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：(1)自主性學(xué)習(xí)+ +探究式學(xué)習(xí)法：通過通過類比分析、探索、掌握兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)過程。(2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗(yàn)知識(shí)的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距。教學(xué)用具:電腦、投影機(jī)四、教學(xué)設(shè)想【探究新知】1.兩角和與差的正切公式TR,TRa+pa-p問：在兩角和與差的正、余弦公式的基礎(chǔ)上，你能

17、用tana,tanp表示tan(a+p)和tan(a-p)嗎？(讓學(xué)生回答)展示投影Tcos(a+卩)工 0tan(a+p)=sin(a+P)=血acos卩+cosasin卩當(dāng)cosacos 卩工 0時(shí)cos(a+P)cosacosP-si分子分母同時(shí)除以cosacosp得：tan(a+P)=以-卩代卩得：tan(a-p)=2運(yùn)用此公式應(yīng)注意些什么？(讓學(xué)生回答)展示投影注意：1。必須在定義域范圍內(nèi)使用上述公式。即：tana,tanp,tan(ap)只要有一個(gè)不存在就不能使用這個(gè)公式，只能(也只需)用誘導(dǎo)公式來解；2。注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號(hào)。)展示投影例題講評(píng)(學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或

18、適當(dāng)補(bǔ)充)例1.求tan15。，tan75。及cotl5。的值：例2.(見課本P例1)134例3.已知tana二，tanp=-2求cot(a-p)，并求a+p的值，其中0a90。,90p180.cot(a-p)=1=1+tanatan卩tan(a-p)tana-tanp1-2tan(a+p)=tana+tan咒=3一1-tanatan卩1-殳(-2)3又V0oa90,90。卩180。90oa+p270。 a+p=135。解：1。tan15=tan(45。30。)=3_Lr-i-3=2-昌2。tan75= tan(45+30)=1旦3312+出=2+總63。cot15。= cot(45。30。)

19、=為什么？)解：解：2。tan（17。+28。）=業(yè)上坯1-tan17。tan28。tan17+tan28=tan（17+28）（1-tan17。tan28）=1-tan17。tan28。原式=1 一 tan17。tan28+tan17。tan28=1展示投影練習(xí)教材P3第1、2、3、4題.學(xué)習(xí)小結(jié)1.必須在定義域范圍內(nèi)使用上述公式。即：tana,tan 卩，tan（a卩）只要有一個(gè)不存在就不能使用這個(gè)公式，只能（也只需）用誘導(dǎo)公式來解；2.注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號(hào)。五、評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)作業(yè)：習(xí)題3.1A組第4、5、6、7、8題.六、課后反思：3.23.2 二倍角的正、余弦和正切二倍角的正、余弦和正

20、切 3.33.3 半角的三角函數(shù)（兩課時(shí)）半角的三角函數(shù)（兩課時(shí)）一. 教學(xué)目標(biāo)：1.知識(shí)與技能（1）能夠由和角公式而導(dǎo)出倍角公式；（2）能較熟練地運(yùn)用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明，增強(qiáng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和邏輯推理能力；（3）能推導(dǎo)和理解半角公式；（4）揭示知識(shí)背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識(shí).并培養(yǎng)學(xué)生綜合分析能力.2.過程與方法讓學(xué)生自己由和角公式而導(dǎo)出倍角公式和半角公式，領(lǐng)會(huì)從一般化歸為特殊的數(shù)學(xué)思想，體會(huì)公式所蘊(yùn)涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣；通過例題講解，總結(jié)方法.通過做練習(xí),鞏固所學(xué)知識(shí).3.情感態(tài)度價(jià)值觀通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對(duì)三角函數(shù)各

21、個(gè)公式之間有一個(gè)全新的認(rèn)識(shí)；理解掌握三角函數(shù)各個(gè)公式的各種變形，增強(qiáng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、邏輯推理能力和綜合分析能力.提高逆用思維的能力.二. 教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn):倍角公式的應(yīng)用.難點(diǎn):公式的推導(dǎo).三. 學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：（1）自主+探究性學(xué)習(xí)：讓學(xué)生自己由和角公式導(dǎo)出倍角公式，領(lǐng)會(huì)從一般化歸為特殊的數(shù)學(xué)思想，體會(huì)公式所蘊(yùn)涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。（2）反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗(yàn)知識(shí)的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.教學(xué)用具:電腦、投影機(jī).四. 教學(xué)設(shè)想【探究新知】1、復(fù)習(xí)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：2、提出問題：公式中如果，公式會(huì)變得如何？3、讓學(xué)生板演得下述二倍角公式

22、：例4.求下列各式的值：1。2tan17+tan28+tan17tan28解：解：1。原式=tan45。+tan751一 tan45。tan75=tan（45。+75。）=tanl2018sin2a=2sinacosacos2a=cos2a-sin2a-2cos2a-1-1-2sin2a展示投影展示投影這組公式有何特點(diǎn)？應(yīng)注意些什么？注意：1每個(gè)公式的特點(diǎn)，囑記：尤其是“倍角”的意義是相對(duì)的，如：是的倍角.2熟悉“倍角”與“二次”的關(guān)系（升角降次，降角升次）3特別注意公式的三角表達(dá)形式，且要善于變形：展示投影例題講評(píng)展示投影例題講評(píng)（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例1.（公式鞏固性練習(xí)

23、）求值：1.sin2230cos2230=2.兀兀兀兀.兀8sincoscoscos=4smcoscos484824122424例2.化簡(jiǎn).(cos2a+sin2a)(cos2a-sin2a)=cosa2222.1+2cos20-2cos20+1=2例3、已知，求sin2a,cos2a,tan2a的值。解： cosa=r=-1213sin2a=2sinacosa=cos2a=tan2a=展示投影思考展示投影思考: :你能否有辦法用sina、cosa和tana表示多倍角的正弦、余弦和正切函數(shù)?你的思路、方法和步驟是什么？試用sina、cosa和tana分別表示sin3a,cos3a，tan3a.

24、展示投影展示投影例題講評(píng)例題講評(píng)（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）cos20Ocos40cos80。=sin2。cos2。cos4。cos8。sin20。tan2a=2tana1一tan2acos2a=1+cos2a2sin2a=1-cos2a2這兩個(gè)形式今后常用.兀兀兀.兀1=2sincos=sin=12121262.5兀5兀、/.5兀5兀、+cos)(smcos)12121212.5兀5兀5兀sin2-cos2=-cos12126例4.18解:1+cos2x1+sin2x=22、2sin(2x+-)+-242降次sin20。sin20。8例5.求函數(shù)的值域.4sin80。cos8。h

25、inl60。展示投影學(xué)生練習(xí)：展示投影學(xué)生練習(xí)：教材P練習(xí)第1、2、3題140展示投影思考展示投影思考（學(xué)生思考，學(xué)生做，教師適當(dāng)提示）證：1。在中，以a代2a,代a即得:2。在中，以a代2a,代a即得:3。以上結(jié)果相除得：展示投影展示投影這組公式有何特點(diǎn)？應(yīng)注意些什么？注意：1。左邊是平方形式，只要知道角終邊所在象限，就可以開平方2。公式的“本質(zhì)”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切3。上述公式稱之謂半角公式（課標(biāo)規(guī)定這套公式不必記憶）a,；1+cosaa,1一cosacos=.,tan=土2221+cosaasina1-cosa,tan=（課后自己證）21+cosasina展示投影例題講

26、評(píng)展示投影例題講評(píng)（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例6.已知cos,求的值.例7.求cos的值.例&已知sin,，求的值.展示投影練習(xí)教材P練習(xí)第1、2、3題.145學(xué)習(xí)小結(jié)1公式的特點(diǎn)要囑記：尤其是“倍角”的意義是相對(duì)的,如：是的倍角.2熟悉“倍角”與“二次”的關(guān)系（升角降次,降角升次）.3特別注意公式的三角表達(dá)形式,且要善于變形：1+cos2acos2a=,21一cos2asin2a=-這兩個(gè)形式今后常用.4半角公式左邊是平方形式，只要知道角終邊所在象限，就可以開平方；公式的“本質(zhì)”是甩角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.5注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號(hào).五、評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)1作業(yè)：習(xí)題

27、3.2A組第1、2、3、4題2.作業(yè)：習(xí)題3.3A組第1、2、3、4題.六、課后反思：3.43.4 三角函數(shù)的和差化積與積化和差三角函數(shù)的和差化積與積化和差 3.53.5 三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用（兩課時(shí)）三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用（兩課時(shí)）一. 教學(xué)目標(biāo)：1.知識(shí)與技能（1）能夠推導(dǎo)“和差化積”及“積化和差”公式，并對(duì)此有所了解.（2）能較熟練地運(yùn)用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、探索和證明一些恒等關(guān)系，進(jìn)一步體會(huì)這些三角恒等變形公式的意義和作用，體會(huì)如何綜合利用這些公式解決問題.（3）揭示知識(shí)背景，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與建模意識(shí).2.過程與方法你能夠證明：.asm21-cosa2COS21+cosa2a1-cosat

28、an2=21+cosasin21一cosa-廠4。還有一個(gè)有用的公式：222讓學(xué)生自己導(dǎo)出“和差化積”及“積化和差”公式，領(lǐng)會(huì)這些三角恒等變形公式的意義和作用，體會(huì)公式所蘊(yùn)涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣；同時(shí)讓學(xué)生初步體會(huì)如何利用三角函數(shù)研究簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.通過例題講解，總結(jié)方法.通過做練習(xí),鞏固所學(xué)知識(shí).3.情感態(tài)度價(jià)值觀通過本節(jié)的學(xué)習(xí)， 使同學(xué)們對(duì)三角恒等變形公式的意義和作用有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)； 理解并掌握三角函數(shù)各個(gè)公式的靈活變形，體會(huì)公式所蘊(yùn)涵的和諧美，增強(qiáng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.二.教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn):三角恒等變形.難點(diǎn):“和差化積”及“積化和差”公式的推導(dǎo).三.學(xué)法與

29、教學(xué)用具學(xué)法：(1)自主+探究性學(xué)習(xí)：讓學(xué)生自己根據(jù)已有的知識(shí)導(dǎo)出“和差化積”及“積化和差”公式，領(lǐng)會(huì)這些三角恒等變形公式的意義和作用，體會(huì)公式所蘊(yùn)涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。(2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗(yàn)知識(shí)的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.教學(xué)用具:電腦、投影機(jī).四.教學(xué)設(shè)想【創(chuàng)設(shè)情景】請(qǐng)回憶兩角和的正弦公式、兩角差的正弦公式、兩角和的余弦公式、兩角差的余弦公式；問你能否用sin與sin表示sincos和cossin?類似地能否用cos與cos來表示coscos和sinsin?【探究新知】 展示投影展示投影(在學(xué)生已完成的基礎(chǔ)上進(jìn)行評(píng)價(jià)在學(xué)生已完成的基礎(chǔ)上進(jìn)行評(píng)價(jià)) )積化

30、和差公式的推導(dǎo)sin(a+B)+sin(a-p)=2sinacospnsinacosp=sin(a+p)+sin(a-p)sin(a+p)-sin(a-p)=2cosasinpncosasinp=sin(a+p)-sin(a-p)cos(a+p)+cos(a-p)=2cosacospncosacosp=cos(a+p)+cos(a-p)cos(a+p)-cos(a-p)=-2sinasinpnsinasinp=-cos(a+p)-cos(a-p) 展示投影展示投影 這組公式有何特點(diǎn)?應(yīng)注意些什么?這套公式稱為三角函數(shù)積化和差公式，熟悉結(jié)構(gòu)，不要求記憶，它的優(yōu)點(diǎn)在于將“積式”化為“和差”，有利于

31、簡(jiǎn)化計(jì)算。(在告知公式前提下) 展示投影展示投影 練習(xí)1.求的值2.求的值3.在積化和差中若令a+p=0,a-p=， 貝視， 先觀察學(xué)生做的情況，再?zèng)Q定是否示范)sin業(yè)業(yè)cos1sin（業(yè)業(yè)+上上1）+sin（巴巴-上上1）=1（sin0+sin心心代入可得什么的式子，做做看：(教師巡sin0+sin1=2sin0+1cos0-12sin0-sin1=2cos0+1sin20-12cos0+cos1=2cos0+1cos0-12cos0-cos1=-2sin0+1sin0-122222222引導(dǎo)學(xué)生觀察這套公式的特點(diǎn)：這套公式稱為和差化積公式，其特點(diǎn)是同名的正（余）弦才能使用，它與積化和差公

32、式相輔相成，配合使用.展示投影例題講評(píng)展示投影例題講評(píng)（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例1.教材P例2.148例2.教材P例3.149展示投影展示投影練習(xí).教材P第1、2題.149展示投影例題講評(píng)展示投影例題講評(píng)（學(xué)生邊做教師邊提示）例3.已知cosa-cosB=,sina-sinp=，求tan(a+B)的值-cos 卩=,-2sinsin=1222a+B.a-B1sina-sin卩=，-2copsip一324例4.教材P150例6.（學(xué)生做，教師巡視，鼓勵(lì)學(xué)生用多種方法求解）150展示投影展示投影練習(xí)1化簡(jiǎn)；dsin2a+1+sin2a（0a）42.教材P練習(xí)第1、2、3、4題.15

33、1展示投影例題講評(píng)展示投影例題講評(píng)（學(xué)生邊思考教師邊提示）解：Tcosa-cosBtan(a+B)=例5.要使半徑為R的半圓形木料截成長(zhǎng)方形（如圖），應(yīng)怎樣截取才能使長(zhǎng)方形的面積最大？學(xué)生自主學(xué)習(xí)階段學(xué)生自主學(xué)習(xí)階段學(xué)生閱讀教材P相關(guān)內(nèi)容，學(xué)生提問，學(xué)生回答,154158學(xué)生自主學(xué)習(xí)檢測(cè)：教材P的相應(yīng)習(xí)題。158159學(xué)習(xí)小結(jié)嘗試由學(xué)生小結(jié)，學(xué)生補(bǔ)充的形式.五、評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)1.作業(yè)：習(xí)題3.4A組第1、2、3、4、5、6、7題.2.作業(yè)：習(xí)題3.5A組第4題（選做）六、課后反思：第三章三角恒等變形復(fù)習(xí)課（2課時(shí)）第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)基本公式常見變形基本公式常見變形sin2asin2

34、aaancosa=,sina=.1sina=(sincos)2.2cosa2cosa22一、兩角和與差公式及規(guī)律一、兩角和與差公式及規(guī)律常見變形常見變形sin(a0)=sinacos0 土cosasin0.cos(a0)=cosacos0_sinasin0.+tanatan0tan(a0)=.1_tanatan0(1)tana,tan0 的和(差)與積互相轉(zhuǎn)化:tanatan0=tan(a0)(1_tanatan0).+特例:tan(-a)=1士tana.41_tana常見變形常見變形Ocos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.n1cosa=（）三、積化和差與和差

35、化積公式）三、積化和差與和差化積公式a2cos2.2a2sin2.a2COS22a221n1cosa=sinacos0=sin(a+0)+sin(a-0).2sin1cosasin0=sin(a+0)一sin(a-0).21cosacos0=2cos(a+0)+cos(a-0兒1sinasin0=-cos(a+0)-cos(a-0).2a1+cosaco22a1-cosasin 22a1-cosatan21+cosaa1+cosaco22a1-cosasin22a1-cosatan21+cosaa+Bapsin22四、學(xué)習(xí)本章應(yīng)注意的問題1、兩角差的余弦公式是本章中其余公式的基礎(chǔ)，應(yīng)記準(zhǔn)該公式

36、的形式.2、倍角公式cos2a=2cos2a1=12sin2a有升、降冪的功能，如果升冪，則角減半如果降冪，則角加倍，根據(jù)條件靈活選用.3、公式的“三用”(順用、逆用、變用)是熟練進(jìn)行三角變形的前提.第二部分：基本技能與基本數(shù)學(xué)思想方法第二部分：基本技能與基本數(shù)學(xué)思想方法1、整體原則從角度關(guān)系、函數(shù)名稱差異、式子結(jié)構(gòu)特征分析入手，尋求三角變形的思維指向；2、角度配湊方法如a=( (a+p) )-3=3-( (3-a)=)=申申+乎=申- -呼呼=2a=(a+p)+(ap)=(p+a)(pa)=2(響響+乎)=2(罟罟- -呼呼)=等；3、方程思想；4、消參數(shù)思想；5、“1”的代換；6、關(guān)于si

37、nacosa與 sinacosa間的互相轉(zhuǎn)化；7、關(guān)于的齊次分式、二次齊次式與間的互相轉(zhuǎn)化8、配湊輔助角公式:sinacosa=J2sin(a).4sinaJ3cosa=2sin(a).J3sinacosa=2sin(a).一般地，asina+bcosa=Qa2+b2sin(a+p).其中acos卑=,Va2+b2.bsin卑一.、Ja2+b29、關(guān)于已知條件是的求值、化簡(jiǎn)、證明的變形及其思維方法。其中是任意角；等等第三部分：應(yīng)用舉例第三部分：應(yīng)用舉例( (供選用供選用) )sina+sin 卩=2sinsina 一sin 卩=2cosa+卩2a+p2a一 3cos2.apsin2cosa+c

38、os3=2cosapcoscosa 一cos3=2sin-18.例例 1 1n兀sin(3 兀-x)cos(x一兀)tan(x-兀)cot(+X)已知f(x)=2,(nGZ)cos(n兀-x)(1)求(2)若求的值.分析分析求三角函數(shù)式的值，一般先化簡(jiǎn)，再代值計(jì)算略解略解當(dāng)時(shí)，-sinxcosxtanxcotxf(x)=sinx;cosx-sinxcosxtanx(-tanx)當(dāng)時(shí)，f(x)=二sinxtan2x.cosx/3兀、.4cos(a)-sinasina=-5.f嚴(yán))=sin52K4k-sin-93332f(a)-sina4當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，.,52K52K52k4k4k3訂f()-si

39、tan2.:-sin一tan233333故當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，sin2a9f(a)-sinatan2a-sina-cos2a16例例 2 2已知求的值分析分析已知三角函數(shù)式的值，求其它三角函數(shù)式的值的基本思路：考慮已知式與待求式之間的相互轉(zhuǎn)化略解略解原式=3sina+(3sina-4sin3a)3cosa+(4cos3a-3cosa)_sina(32sin2a)2COS3asina(sin2a+3cos2a)2COS3a-2tana(tan2a+3)21例3 3已知sin(a+卩)-,sin(a-卩)-1)求的值；-18.112兀兀兀兀、(2)(2)當(dāng)Q+卩w(-,),卩w(-亍3)時(shí)，求的值.分析

40、分析從角度關(guān)系分析入手，尋求變形的思維方向137nsinacosP=,cosasinP=3030tanacotP=込嚶=13cosasinP7sinacosP方法2設(shè)x=tanacot卩=,cosasinPsin(a+P)10口sin(a-P)3sin(a+P)sin(a+P)=cosacosP=tana+tanPsin(a-P)sin(a-P)tana-tanPcosacosPtana+】=tanP=x x+1=tana-1=x x-1，tanPx+11013,ntanacotPx.x-137(2)由已知可得sin2P=sin(a+P)-(a-P)=sin(a+P)cos(a-P)-cos(

41、a+P)sin(a-P)=4用-頁(yè)B*例例 4 4已知cos(a+卩)1,cos(a卩)2,求的值.分析分析根據(jù)問題及已知條件可先“化切為弦”。由，只需求出和，問題即可迎刃而解.略解略解略解略解(1)方法1sinacossinacosP+cosasinPP-cosasinP=1,5從而，cosacoscosacosP-sinasinP1,2P+sinasinPncosacosP,sinasinP12例例 8 8的值等于）sinasinP1tanatanP=一一cosacosP5點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)對(duì)公式整體把握，可“居高臨下”的審視問題。分析分析要想求出的值，即要求出的值，而要出現(xiàn)和，只需對(duì)條件式兩邊平方

42、相加即可。 略解略解將兩條件式分別平方，得sin2a-2sinacosP+cos2P=4cos2a 一2cosasinP+sin2P=.9將上面兩式相加，得132-2sin(a+P)=-3659nsin(a+P)=.72例例 6 6已知方程mx2+（2m-3）x+（m-2）=0有兩根，求的最小值.分析分析可借助于一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求出關(guān)于m的解析式。略解略解tana+tanP3一mtan（a+卩）=1一tanatanP2Im豐0,又口=（2m一3）2一4m（m一2）0,解得故的最小值為小兀兀 c3 ?！柏！?.“3兀、5例例 7 7已知0a，卩，cos（a）=，sin（+卩）=,求的值

43、.44445413分析分析注意到（芋（芋+P）-（2-么）=：+（a+P）, ,可通過與的正、余弦值來求出的值。442略解略解由已知可得sin(a+P)=sin(+卩)-(-a)一4423兀小兀=一cos(+卩)-(一a)44=-cos(3+P)cos(-a)-sin(3+P)sin(-a)4444=-(-B3-4)=13513565 例例 55已知sina-cosP1=,cosa2一sinP求的值.ABCD 分 析 分 析 從 角 度 關(guān) 系 分 析 入 手 ， 嘗 試 配 湊 已 知 角 、 待 求 角 、 特 殊 角 之 間 的 和 、 差 、 倍 、 半 表 示 式 。略略解解原式 sin(15o一8o)+cosl5osin8ocos(15o一8o)一sin15osin8osin15ocos8o一cos15osin8o+cos15osin8ocos15ocos8o+sin15osin8o一sin15osin8otan45o