第十二講復(fù)習(xí)極限與導(dǎo)數(shù)新課程

1、第十二講 復(fù)習(xí)極限與導(dǎo)數(shù)本講進(jìn)度極限與導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)二、本講主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容是極限和導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算法則，以及導(dǎo)數(shù)在幾何、函數(shù)等方面的應(yīng)用。<1 )極限是本章也是整個微積分的基礎(chǔ)概念，它包括數(shù)列極限和函數(shù)極限，它們都是是在無限變化過程中<nis,x is或x i xo )的變化趨勢，這一共同點(diǎn)決定了兩類極限有類似的運(yùn)算性質(zhì)；如果兩個數(shù)列< 或函數(shù))有極限，那么它們的和、差、積、商的極限分別等于這兩個數(shù)列< 或函數(shù))的極限的和、差、積、商< 作為除數(shù)的數(shù)列或函數(shù)的極限不能為 0)。其原因在于無窮數(shù)列an是定義域?yàn)镹L的特殊函數(shù)an=f(n>，數(shù)列的極限7p是函數(shù)

2、極限| =A的特例。極限概念及運(yùn)算性質(zhì)決定了確定極限的兩種方法：一是利用數(shù)形結(jié)合思想，從量變中認(rèn)識質(zhì)變的數(shù)學(xué)思想方法，即極限方法。利用極限的方法求出了變速直線運(yùn)動的瞬時速度與曲線上某點(diǎn)的切線方程，并從中抽象出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念。導(dǎo)數(shù)是一種特殊的函數(shù)極限，二Y I, Xo變化時，f '(X o>就是導(dǎo)函數(shù)，二是利用極限的運(yùn)算法則，可推導(dǎo)出最常用的導(dǎo)數(shù)公式與運(yùn)算法則：c' =0<c為常數(shù))，(x n>' =n xn-1<n N+) , f(x> ± g(x> ' =f' (x> ± g' (x

3、> , cf(x> ' =cf' (x>，進(jìn)一步可以求出所有多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。<2 )導(dǎo)數(shù)f ' (x>是函數(shù)平均變化率|的極限 崔| ，瞬時速度、切線斜率、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際成本都與平均變化導(dǎo)數(shù)應(yīng)用率有關(guān)，因而導(dǎo)數(shù)有廣泛的作用。<3 )本章思想方法極限思想：在變化中求不變，在運(yùn)動中求靜止的思想;數(shù)形結(jié)合思想，如用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性、極值等。三、典型例題例1、求下列極限<1 )<2 )解題思路分析:(2)當(dāng)xt 1時，J及均無意義，應(yīng)約去因式x-1說明：函數(shù)x | 在X=1無定義，但與 _口 存在無關(guān)。一般地有下列

4、結(jié)論：如果f(X>=X 0處無定義，g(x>在X=X0處有定義并存在極限，且當(dāng)XM X0時，f(x>=g(x>U|例2、設(shè)函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d的圖象與y軸交點(diǎn)為P,且曲線在P點(diǎn)處的切線方程為12x-y-4=0，若函數(shù)在x=2處 取得極值0，試確定函數(shù)的解讀式。解題思路分析：P<0 , d)/曲線在點(diǎn)P處切線為12x-y-4=0 x=0 時，y=d/ d=-42/ y' =3ax +2bx+c.y | x=0=c又切線斜率k=12 c=12又函數(shù)在x=2處取得極值032函數(shù)解讀式y(tǒng)=2x -9x +12x-4例3、偶函數(shù)f(x>=ax 4+

5、bx3+cx2+dx+e的圖象過點(diǎn) P<0, 1)，且在x=1處的切線方程為 y=x-2(1 )求y=f(x>的解讀式；(2)求y=f(x>的極大 <小)值。解題思路分析：T f(x>是偶函數(shù) b=d=0又圖象過P<0, 1)/ e=1此匕時 f(x>=ax 4+cx2+1,3/ y =4ax +2cxy'| x=i=4a+2c=1 又切點(diǎn)<1,-1 )在曲線上.a+c+1=-1 由得:.f(x>=|3<2 ) f' (x>=10x -9x=0.x=0, x= h列表可得：時，f(x>極小=x=0 時，f(

6、x> 極大=1例4、曲線冋上哪一點(diǎn)的法線在y軸上截距最??？<法線是指過曲線上一點(diǎn)與以此點(diǎn)為切點(diǎn)的切線垂直的直線)解題思路分析：在曲線_|上任取一點(diǎn)<xo，yo)，則過該點(diǎn)切線的斜率為k=2xo5.法線的斜率為a.法線方程y-yo=令x=0，使法線在y軸上的截距丨X .II令 y' =0,得 xo=± 1當(dāng)xo<-1時，y' <0,. y單調(diào)遞減當(dāng)-1<x o<o時，y' >o,. y單調(diào)遞增當(dāng)o<xo<1時，y' <o,. y單調(diào)減小當(dāng)xo>1時，y' >o,貝U y

7、單遞增當(dāng) xo=± 1 時， 3 ，此時點(diǎn)<± 1 ,| )例5、研究函數(shù)f(x>=ax 3+bx2-x+1的單調(diào)性<a豐o)解題思路分析:.1:": I得|,|,+8）上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減。2、當(dāng) a<0 時，f（x> 在上單調(diào)遞增；在<-,8）上單調(diào)遞減。例6、用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制容器的底面的一邊比另一邊長 多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積？解題思路分析：設(shè)容器底面短邊長為xm,另一邊長為（x+0.5>m，高為（3.2-2x>m/ 3.2-2x>0 , x&

8、gt;0/ 0<x<1.6設(shè)容器的容積為ym?y=x（x+0.5>（3.2-2x>32 y=-2x +2.2x +1.6x, 2 y = -6x +4.4x+1.6H , +0.5m，那么為令y' =0得x=1, x=匕 <舍)T y在<0, 1.6 ）內(nèi)只有一個駐點(diǎn) x=1，而x過小或過大時，y值很小當(dāng)x=1時，yma>=1.8，此時高為1.2四、單元測試（一）選擇題 <每小題5分，共60分）1、等差數(shù)列中，若叵 存在，則這樣的數(shù)列有且僅有一個B 、有無數(shù)多個C 、有一個或無窮多個D 、不存在2、已知，如果be豐0,那么15卜 | C、

9、D、3、若r為實(shí)常數(shù)，則集合恰有一個元素B恰有兩個元素C、恰有三個元素 D、無數(shù)多個元素4、工 的值D 、不存在5、函數(shù) y=(x 2-1>3+1 在 x=-1 處A 有極大值B 、無極值C 、有極小值 D 、無法確定極值情況326、f（x>=ax +3x +2, f'（-1>=4，則 a=a q b、q c、q d |7、過拋物線y=x2上的點(diǎn)M<目）的切線的傾斜角是A 30°B、45°C、60°D 90°8、函數(shù)f（x>=x 3-6bx+3b在<0，1）內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù) b的取值范圍是A A <0,

10、 1） B 、<- a, 1） C 、<0, +8）D 、<0,）9、 函數(shù)y=x3-3x+3在冋| 上的最小值是A 卜 | B> 1 C、_| D 510 、若f（x>=x +ax +bx+c,且f（0>=0為函數(shù)的極值，則A c豐0B、當(dāng)a>0時，f（0>為極大值C b=0D、當(dāng)a<0時，f（0>為極小值11、 已知函數(shù)y=2x3+ax2+36x-24在x=2處有極值，則該函數(shù)的一個遞增區(qū)間是A <2, 3）B 、<3, +8）C 、<2, +8）D 、<- a, 3）12、方程6x5-15x4+10x3+

11、1=0的實(shí)數(shù)解的集合中A至少有2個元素 B 、至少有3個元素C、至多有1個元素 D、恰好有5個元素（二）填空題 <每小題4分，共16分）13、若|I，貝H a=, b=14 、已知偶函數(shù)f（x>在<0, +8）內(nèi)滿足f' （x>>0, f（0>>0，則2 015、拋物線y=x上點(diǎn)切線和直線3x-y+1=0的交角為45 ,則點(diǎn)P坐標(biāo)為。16 、兩個和為48的正整數(shù)，第一個數(shù)的立方與第二個數(shù)的平方之和最小，則這兩個正整數(shù)分別為（三）解答題17、<10分）已知無窮數(shù)列an存在極限，且，求上 。18、<12分）設(shè)函數(shù)值。19、<12分

12、）已知曲線 G: y=ax2上點(diǎn)P處的切線為 1,曲線 C: y=bx3上點(diǎn)A<1, b）處的切線為 2,且 1丄 2,垂足M<2, 2），求a、b的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)。20、<12 分）求函數(shù) f（x>=p V（1-x> P（p N+>,在0 , 1內(nèi)的最大值。21、<14分）證明雙曲線xy=a2上任意一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸組成的三角形面積等于常數(shù)。22、 <14分）已知曲線 S: y=x3+px2+qx的圖象與x軸相切于不同于原點(diǎn)的一點(diǎn)，又函數(shù)有極小值-4，求p、q的 值。參考答案V）選擇題二）填空題、5 與 4313、a=b=114 、卜 15、<-1 , 1)或 <)16<三)解答題17、I3分10分12分2分4分19、設(shè) Pvt, at2),_則!斜率 k!=2at21： y-at =2at(x-t>2斜率 k2=3bx2| x=1=3b2： y-b=3b(x-1>/1與 2于點(diǎn)M<2 2)又 1丄2/ k1k2=0二 18分由得t=10 , a=-二 P(10,-卜|>10分20、1 4分令 f' (x>=0 得，x=0, x=1, x=36分在0 , 1 上, f(0>=0 , f(1>=0 ,ri工丨10分12分21、設(shè)雙曲線上任一點(diǎn)