第十九章四邊形知識與題型總結(jié)

1、第十九章四邊形知識與題型總結(jié)本章知識要求和結(jié)構(gòu)1. 掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它們之間的內(nèi)在關(guān)系（1）演變關(guān)系圖:四邊形7（2）從屬關(guān)系（依據(jù)演變關(guān)系圖，將四邊形，平行四邊形，梯形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，直角梯形填入下面的從屬關(guān)系圖中，其中每一個圓代表一種圖形）2. 探索并掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有關(guān)性質(zhì)和常用判別方法，并能運(yùn)用這些知識進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算名稱平行四邊形矩形菱形正方形疋義的四邊形是平行四邊形的平行四邊形是矩形的平行四邊形是菱形的平行四邊形是正方形邊性角質(zhì)對角線對稱性判邊角疋對角線面積周長圖1圖23.（1）平行四邊形的面積等

2、于它的底和該底上的高的積（2）同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等.如圖2,SyABCD=SYBCFE4三角形中位線定理定義:叫做三角形中位線（與中線的區(qū)分）；定理：作用：可以證明兩條直線平行；線段的相等或倍分拓展:三角形共有三條中位線，并且它們將原三角形分割成四個的小三角形，其面積和周長分別為原三角形面積和周長的和；（4）直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形斜邊上的中線5.正方形：（1）對角線：若正方形的邊長為a,則對角線的長為.2a；正方形的一條對角線上的一點(diǎn)到另一條對角線的兩個端點(diǎn)的距離相等(3)面積：正方形的面積等于邊長的平方；等于兩條對角線的乘積的一半周長相等的四邊形中，正方形的

3、面積最大6.梯形的中位線(1)定義:連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線(2)梯形的中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，且等于兩底和的一半1(3)梯形的面積S=?x(上底+下底)7幾種特殊四邊形的對角線 矩形對角線交角為60(120)時，可得:等邊三角形和含30角直角三角形 菱形有一個角為60時，可得：含30角的四個全等直角三角形高=中位線高正方形中可得：四大四小等腰直角三角形對角線互相垂直的梯形平移腰可得：雙垂圖(圖)對角線互相垂直的等腰梯形可得：等腰直角三角形(圖)ECF(圖)8.中點(diǎn)四邊形:(頂點(diǎn)為各邊的中點(diǎn)，需討論對角線&中位線)(1) 順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形

4、是(2) 順次連結(jié)對角線相等的四邊形的各邊中點(diǎn)，構(gòu)成的四邊形是(3) 順次連結(jié)對角線互相垂直的四邊形的各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是(4) 順次連結(jié)平行四邊形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是順次連結(jié)矩形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是順次連結(jié)菱形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是順次連結(jié)直角梯形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是順次連結(jié)等腰梯形各邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是二.典型題型歸納（一）概念題1.QABCD中，/A的平分線分BC成4cm和3cm兩條線段,則QABCD的周長為2.在QABCD中，/C=60o,DE丄AB于E,DF丄BC于F.(1) 則/EDF=;(2) 如圖，若AE=4,CF=7,QABCD周長.貝U.ABCD周長=若AE=3,C

5、F=7,請作出對應(yīng)圖形，并求3. (1)在平行四邊形ABCD中，若/C=ZB+/D,則/A=.(2) 已知在£7ABCD，/A比/B小20o，則/C的度數(shù)是(3) 在QABCD中，周長為100cm,AB-BC=20cm，則AB=BC=.(4) 在心7ABCD中，周長為30cm，且AB:BC=3:2，則AB=cm.D（5）（2007河北?。┤鐖D，若口ABCD與EBCF關(guān)于BC所在直線對稱，/ABE=90°,則/F=°.4. （2007福建福州）下列命題中，錯誤的是（）A矩形的對角線互相平分且相等B對角線互相垂直的四邊形是菱形C.等腰梯形的兩條對角線相等D等腰三角形底

6、邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等5. （2007浙江義烏）在下列命題中，正確的是（A一組對邊平行的四邊形是平行四邊形B有一個角是直角的四邊形是矩形C.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形6. （2007甘肅隴南）順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形一定是（）A平行四邊形B菱形C矩形7. （2007四川眉山）下列命題中的假命題是（）A一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形B一組鄰邊相等的矩形是正方形C一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形D一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形8. （2007四川成都）下列命題中，真命題是（）A兩條對角線相等的四邊形是矩形兩條對角線互相垂

7、直的四邊形是菱形C兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形D兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形D.正方形9. （2007浙江嘉興）如圖，在菱形ABCD中，不一定成立的（）AQABCDE.AC丄BDC等邊ABDD./CAB=ZCAD（二）圖形的性質(zhì)和判定方法10. 如圖，已知四邊形ABCD是正方形，分別過A、C兩點(diǎn)作l"/l2，作斷四邊形PQMN的形狀.BM丄丨2于M,DN丄丨2于N，直線MB、ND分別交l1、l2于Q、P，試判11. 如圖，在正方形ABCD中，E、F、G、H分別為正方形邊上的點(diǎn)，而且AE=BF=CG=DH，求證：四邊形EFGH為正方形.GFCB12.如圖，在矩形A

8、E=AB,AB=2AD（三）轉(zhuǎn)化的思想一一將梯形問題通過化歸、分割、拼接轉(zhuǎn)化成三角形和平行四邊形問題如圖所示:13. 填空（1）等腰梯形上底長為3cm，腰長為4cm，其中銳角等于60o,則下底長是.(2) 等腰梯形一個底角是60o它的上、下底分別是8和18,則這梯形的腰長是，高是，面積是.(3) 在直角梯形中，垂直于底的腰長5cm，上底長3cm，另一腰與下底的夾角為30o,則另一腰長為，下底長為.(4) 等腰梯形兩對角線互相垂直，一條對角線長為6，則高為,面積為.(5) 已知在梯形ABCD中，AD/BC，若兩底AD、BC的長分別為2、8,兩條對角線BD=6,AC=8，則梯形的面積為.(四)推理

9、論證的進(jìn)一步鞏固14. (2007恩施自治州)如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E、F是直線AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF,求證：四邊形BFDE是平行四邊形15. 如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是直線AB、CD的中點(diǎn)，AF、DE相交于點(diǎn)G,CE、BF交于點(diǎn)H.求證：四邊形GEHF是平行四邊形16. 平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、AD上，且AF=CE,求證:四邊形AECF是平行四邊形17求證：正方形的兩條對角線將之分成四個全等的等腰直角三角形.18. 已知點(diǎn)E、F在正方形ABCD的邊BC、(1)若BE=CF，如圖13(1).求證：AE=BFCD上，并且AE

10、丄BF;(2)若E、F分別是BC、EF的中點(diǎn)，如圖DF13(2)，求證：GD=AD.F919. （2007浙江金華）國家級歷史文化名城一一金華，風(fēng)光秀麗匸花木蔥蘢.某廣場上一個形狀是平行四邊形的花壇（如圖），分別種有紅、黃、藍(lán)、綠、橙、紫6種顏色的花如果有AB/EF/DC,BC/GH/AD，那么F列說法中錯誤的是（）A紅花、綠花種植面積一定相等B.紫花、橙花種植面積一定相等C.紅花、藍(lán)花種植面積一定相等D.藍(lán)花、黃花種植面積一定相等20. （06鹽城）已知QABCD的面積為4,對角線交于O,貝ySaaob=21. 若A,B,C三點(diǎn)不共線，則以其為頂點(diǎn)的平行四邊形共有（）A.1個B.2個C.3個

11、D.4個22平行四邊形一邊長為10，一條對角線長為6，則它的另一條對角線a的取值范圍是（）A.4<a<16B.4<a<26C.12<a<20D.8<a<321123.平行四邊形中一邊長為A.4cm和6cmC.8cm和12cm10cm，那么兩條對角線的長度可以是（B.6cm和8cmD.20cm和30cm24. （07北京市23）如圖，已知ABC.（1）請你在BC邊上分別取兩點(diǎn)D,E（BC的中點(diǎn)除外），連結(jié)AD,AE,寫出使此圖中只存在兩對面積相等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形;（2）請你根據(jù)使（1）成立的相應(yīng)條件，證明ABACADAE

12、.FEA25. 如圖已知ABC，過頂點(diǎn)A作/B、/C的平分線的垂線，AD丄BD于D,AE丄CE于E.求證：ED/BC.26. 如圖，已知BD、CE是"ABC的兩條高,M、N分別是BC、DE的中點(diǎn).求證：(1)EM=DM;(2)MN丄DE.27. (1)如圖27(1)，正方形ABCD,E、F分別為 若/EAF=45o.求證：EF=BE+DF.11BC、CD邊上一點(diǎn).CE 若"AEF繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，保持/EAF=45o,問"CEF的周長是否隨"AEF位置的變化而變化?(2)如圖27(2)，已知正方形ABCD的邊長為1,BC、CD上各有一點(diǎn)E、F,如果"

13、CEF的周長為2.求/EAF的度數(shù).(3) 如圖27(3)，已知正方形ABCD,F為BC中點(diǎn)E為CD邊上一點(diǎn)，且滿足/BAF=/FAE.求證：AE=BC+CE.圖27(3)(五)知識的聯(lián)系與綜合28. 已知QABCD的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為(-2,3),(-5,-4),(1,-4)，則D點(diǎn)坐標(biāo)為29. 如圖，已知£7ABCD的兩條對角線AC與BD交于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,3)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()15xA、(-3,2)iyB、(-2,-3)C、(3,-2)D、(2,-3)y30.如圖，兩平面鏡OB第30題圖第32題圖的夾角為，入射光線AO平行于入射到，兩次反射后的光

14、線O'B平行于，則角等于.31已知矩形的對角線長為13,周長為34,則這個矩形的面積為32.（05,濰坊）如圖，在直角坐標(biāo)系中，將長方形在A處，已知OA='31,AB=1則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1OABC沿OB對折，使點(diǎn)A落.33、A.(亍2)B.V,3)2C.（舄）D.（六）面積的問題：各種四邊形面積的求法和等積變換33.如圖，E為QABCD邊CD上一點(diǎn)，QABCD的面積為S,則厶ABE的面積為（）C、1-S3D、1sC第33題圖1 丄屮AD丄BD，/A=/ABC，如果AD=2,2，面積是.35.如圖，在矩形ABCD中，過BD上一點(diǎn)K分別作矩形兩邊的平行線和PQ,那么圖中矩形AMKP

15、的面積是S1S2（填“”、“=”或“34.如圖，在QABCD中,那么QABCD的周長是MNS1與矩形QCNK的面積S2的大小關(guān)系<”）13第36題圖DE交BC于F.求證：SABFSEFC第37題圖C36.如圖，在UABCD中，點(diǎn)P在BC上，PQ/BD交CD與Q,則圖中和ABP是：面積相等的三角形有個，它們分別37.如圖，E是平行四邊形ABCD的邊AB延長線上一點(diǎn),2738. 如圖，點(diǎn)E、F分別在QABCD的邊DC、CB上,且AE=AF,DG丄AF,BH丄AE,G、H是垂足.求證：DG=BH.第38題圖（七）運(yùn)動變換的思想在本章中的應(yīng)用.39. （希望杯第9屆初二第二試）已知QABCD的周

16、長為52，自頂點(diǎn)D作DE丄AB,DF丄BC,E、F為垂足，若DE=5,DF=8，求BE+BF的值EAR第39題圖240. 在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P是AD邊上的動點(diǎn)，PE丄AC于E,PF丄BD于F,貝UPE+PF=.DAXB第40題圖CB第40題圖DC41.(1)如圖41(1)(2)，已知"ABD,"BCE,"ACF是等邊三角形,求證：四邊形ADEF是平行四邊形.A圖41(3)如圖41(3)，已知"ABC,以AB、AC為邊分別作等邊三角形"ABD,"ACF，再以AD、AF為鄰邊作平行四邊形ADEF，邊三角形(3)如圖41

17、(4)，已知"ABD,"BCE是等邊三角形，A,F是CE,EB上一點(diǎn)，且CA=EB，求證：四邊形ADFC是平行四邊形42、(2007浙江臺州)把正方形ABCD繞著點(diǎn)A，按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，邊FG與BC交于點(diǎn)H(如圖)試問線段HG與線段HB43、(2007江蘇揚(yáng)州)如圖，正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)no后得到正方形AEFG，邊EF與CD交于點(diǎn)O(1) 以圖中已標(biāo)字母的點(diǎn)為端點(diǎn)連結(jié)兩條線段(正方形的對角線除外)，要(2)若正方形的邊長為2cm，重疊部分(四邊形n.第43題圖求所連結(jié)的兩條線段相交且互相垂直，并說明這兩條線段互相垂直的理由；4132AEOD)的面

18、積為cm2，求旋轉(zhuǎn)的角度344. (2007甘肅隴南)四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG.(1)求證：AE=CG;(2)觀察圖形，猜想并證明你的猜想.45. （2007淄博）已知：如圖，在ABC中，AB=AC,AD丄BC,BDCN第45題圖垂足為點(diǎn)D,AN是厶ABC外角/CAM的平分線,CE丄AN,垂足為點(diǎn)E，（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）當(dāng)ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明.46. （05,青島）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD/BC,M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是BMCM的中點(diǎn).求證：ABMADCM;四邊形MENF是什么圖形？

19、請證明你的結(jié)論；若四邊形MENF是正方形，則梯形的高與底邊BC有何數(shù)量關(guān)系？并請說明理由47. (2007四川資陽)如圖47(1)，已知P為正方形ABCD的對角線AC上一點(diǎn)(不與A、C重合),PE丄BC于點(diǎn)E,PF丄CD于點(diǎn)F.(1) 求證：BP=DP;如圖47(2),若四邊形PECF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中是否總有BP=DP?若是，請證明之；若不是，請舉出反例；試選取正方形ABCD的兩個頂點(diǎn)，分別與四邊形PECF的兩個頂點(diǎn)連結(jié)，使得到的兩條線段在旋轉(zhuǎn)的過程中長度始終相等，并證明之(八) 函數(shù)的思想在本章中的運(yùn)用48、（2007南充改編）等腰梯形ABCD中，AB=15,AD=20,/C=30o

20、.M、N同時以相同速度分別從點(diǎn)A、點(diǎn)D開始在AB、AD(包括端點(diǎn))上運(yùn)動(1)設(shè)ND為X,用x表示出點(diǎn)N到AB的距離，并寫出x的取值范圍.(2) 設(shè)t=10-x，用t表示AMN的面積.(3) 求厶AMN的面積的最大值，并判斷取最大值時AMN的形狀.49. (2006泰州)將一矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，C在x軸上，OA=6,OC=10.(1) 如圖1,在OA上取一點(diǎn)丘，將厶EOC沿EC折疊，使O點(diǎn)落在AB邊上的D點(diǎn)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) 如圖2,在OA'、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E'、F，將EOF沿EF折疊，使O點(diǎn)落在AB、邊上的D點(diǎn)，過D作D'G/AO交E

21、F于T點(diǎn)，交OC于G點(diǎn)，求證：TG=AE:(3) 在(2)的條件下，設(shè)T(x,y),探求：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式并指出變量x的取值范圍(4) 如圖3,如果將矩形OABC變?yōu)槠叫兴倪呅蜲A"B"C",使OC"=10,0C"邊上的高等于6,其他條件均不變，探求：這時T(x,y)的坐標(biāo)y與x之間是否仍然滿足(3)中所得的函數(shù)關(guān)系，若滿足，請證明之;若不滿足，寫出你認(rèn)為正確的函數(shù)關(guān)系式50.（08通州22改編）如圖，在QABCD中，AB=8cm,AD=6cm,/DAB=60。，點(diǎn)M是邊AD上一點(diǎn)，且DM=2cm,點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC上的點(diǎn)，EM、

22、CD的延長線交于G,試用含x的代數(shù)式表示CGF的面積;當(dāng)GF丄AD時，求AE的值.GC2八J72%AEB第50題圖GF交AD于0,設(shè)AE=CF=x,B31（九）翻折問題（特殊四邊形的折疊問題）51沿特殊四邊形的對角線折疊（06.浙江嘉興）如圖，矩形紙片ABCDAB=2/ADB=30，沿對角線BD折疊（使ABD和厶EBD落在同一平面內(nèi)），則AE兩點(diǎn)間的距離為1DC2第52題圖第51題圖52沿特殊四邊形的對稱軸折疊如圖，已知矩形ABCD的邊AB=2,ABMBC,矩形ABCD的面積為S,沿矩形的對稱軸折疊一次得到一個新的矩形，則這個新矩形對角線長為53使特殊四邊形的對角頂點(diǎn)重合折疊（05,山東威海）

23、如圖，梯形紙片ABCD/B=60°,AD/BC,AB=AD=2AE,則CE=BC=6將紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EE二AD'C'B第53題圖第54題圖第55題圖54使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其一邊上而折疊如圖，折疊矩形的一邊CD,使點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)F處，已知AB=10cmBC=8cn，則EC的長為.55使特殊四邊形兩頂點(diǎn)落在其一邊上而折疊（崇文）如圖，在梯形ABCD中，DC/AB,將梯形對折，使點(diǎn)D、C分別落cm.(1)56使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其對稱軸上而折疊A沿DK折疊，使它的頂點(diǎn)A在AB上的D、C處，折痕為EF,若CD=3cmEF=4cm則AD+BC=第5

24、6題圖第57題圖57使特殊四邊形一頂點(diǎn)落在其對稱軸上而折疊（2）如圖，有一塊面積為1的正方形ABCDM、N分別為ADBC邊的中點(diǎn)，將C點(diǎn)折至MN上，落在點(diǎn)P的位置，折痕為BQ,連結(jié)PQ.11A/S.jrfCEDAB（1求MP的長度；求證：以PQ為邊長的正方形的面積等于3.58兩次不同方式的折疊（06.淄博市）如圖，將一矩形形紙片按如圖方式折疊,BC、BD為折痕，折疊后AB與EB在同一條直線上則/CBD的度數(shù)為（）C.小于90°D.不能確定A.大于90°B.等于90°59三次不同方式的折疊（03，山西）如圖，取一張矩形的紙片進(jìn)行折疊，具體操作過程如下第一步：先把矩形ABCD對折，折痕為MN,如圖；第二步：再把B點(diǎn)疊在折痕MN上，折痕為AE,點(diǎn)B在MN上的對應(yīng)點(diǎn)為B',得RtAAB'E,如圖；第三步：沿EB'線折疊得折痕EF,如圖.利用展開圖探究：厶AEF是什么三角形？證明你的結(jié)論；E39對于任意的矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形？并證明之.(十)動手操作實(shí)踐60. (2007湖南懷化)如圖，將一張等腰直角三角形紙片沿中位線剪開可以拼成不同形狀的四邊形，請畫出所有可能四邊形并寫出的它的名稱61. (05棗莊,9分)如圖1四邊形ABCD是等腰梯形，AB/DC,由四個這樣的等腰梯形可以拼出圖2所示的平行四邊