余弦定理教學設計方案2（劉亮生）

1、 人教A版必修五余弦定理教學設計衡陽市第八中學 劉亮生 一、教學內(nèi)容分析:本節(jié)內(nèi)容安排在普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修5（人教A版）第一章余弦定理第一課時，是在學生學習了三角函數(shù)、向量等知識之后，是對三角知識的應用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，因而定理本身的應用十分廣泛.余弦定理的教學分為以下這幾個步驟：第一，教師通過實際問題引入，讓學生將實際問題轉(zhuǎn)化數(shù)學問題；第二，類比同起點兩向量的夾角與他們終點關系，舉出特例，提出猜想；第三，采用“向量法”、“構造直角三角形法”、“坐標法”三種方法證明了余弦定理；第四，通過對余弦定理公式的變形得到推論，進一步運用定理

2、判定三角形的形狀；第五，利用定理，解決引入問題，并進行簡單的應用.學生通過對任意三角形中余弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“觀察探究猜想證明應用”這一數(shù)學思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神.二、學情分析: 對普高高二的學生來說，已學的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)，向量等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯(lián)系、理解、應用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。根據(jù)以上特點，教師恰當引導，提高學生學習主動性，多加以前后知識間的聯(lián)系，帶領學生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動成果的喜悅.三、設計思想： 本節(jié)課采用探究式問題教學模式，即在教學過程中，在教師的啟發(fā)

3、引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以問題為導向設計教學情境，從實際問題出發(fā)運用數(shù)學知識解決問題這個過程體驗數(shù)學在實際生活中的運用，讓學生感受數(shù)學的美，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。通過主動探索，合作交流，感受探索的樂趣和成功的體驗，體會數(shù)學的理性和嚴謹。逐步培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力.四、教學目標：1通過對任意三角形邊角關系的探索，引導學生通過觀察，探究，猜想，驗證，證明，由特殊到一般歸納出余弦定理，掌握余弦定理的內(nèi)容及其證明方法，能運用余弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題.2通過對實際問題的探索，培養(yǎng)學生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強學生

4、的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力.3培養(yǎng)學生合情合理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.五、教學重點與難點： 教學重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；余弦定理的簡單應用。 教學難點：余弦定理的猜想提出過程，余弦定理的證明。 教學準備：制作多媒體課件，學生準備計算器。六、教學過程：（一）創(chuàng)設情境，提出問題：情境:如圖1所示的兩地之間隔著一座小山，現(xiàn)要在之間修建的一條隧道，在以外的點測得，,如何求兩地之間隧道的長度（精確到）？ 問題1:上述問題是解決三角形當中有關什么問題？ 學生：解關于

5、知道三角形兩邊及它們夾角，求第三邊問題. 教師：能否用正弦定理解決？ 學生：不能. 教師：本節(jié)課我們將要探究的問題是:在已知三角形兩條邊的前提下,其夾角與第三條邊的長度之間關系，這正是余弦定理所揭示的規(guī)律-引入課題.設計意圖：通過實例創(chuàng)設情境，引發(fā)學生對本節(jié)課的興趣，同時抽象出數(shù)學問題引入新課.（2） 問題化歸，構建模型：CAB 問題2:如圖2，已知,如果確定，當變化時，向量的長度的變化趨勢如何？ 教師：（用制作的動畫演示，讓學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律） 學生：當變大時，向量的長度變大.設計意圖：讓學生發(fā)現(xiàn)在已知三角形兩邊的前提下，找到他們的夾角的變化對第三邊的變化的影響。（3） 特例探究，提出猜想：CBA

6、 問題3:已知,若的范圍為，當、三種特殊情況時,則分別為多少？A 學生：當時，；CB 當時，；CAB 當時，. 教師：以上三種特殊位置，可以用統(tǒng)一的形式表示： 當時,； 當時,； 當時,設計意圖：從三個特殊角度與第三邊之間的關系去找到它們的共同特征，讓學生提出合理猜想。CAB 問題4:請你根據(jù)上述三個特例的結果，試猜想：在中，已知,當，線段的長度為多少？ 學生:當時，（四）證明猜想，得出定理： 問題5：你能證明該猜想嗎？試一試，看能用幾種方法證明？ 教師：剛才我們研究了：在兩向量的大小確定的前提下，兩向量的夾角的變化對兩向量終點連線的長度變化的影響，我們可以用向量的方法證明猜想嗎？（學生思考并

7、小組討論）學生：可以用向量的數(shù)量積求邊長.ABC方法一：（構造向量數(shù)量積） 證明：如圖，因為，所以， 即 即，猜想成立. 教師：這種方法的思路是構造向量,借助向量的運算來證題.將向量等式轉(zhuǎn)化數(shù)量等式常用的手段是作數(shù)量積.方法二：（構造直角三角形）ACBbaD 證明：(1)當為銳角時,過點A作于D.則 =.(2)當為直角時,結論顯然成立.(3)當為鈍角時, 過點A作交BC的延長線于D.ACBbaD 則 =.綜上所述,均有,故猜想成立. 教師：這種思路是構造直角三角形,利用勾股定理來計算AB的長,但要注意這里要分三種情況討論.方法三：（建立直角坐標系） 證明：ACBBB建立如圖所示的直角坐標系，則

8、，根據(jù)兩點間的距離公式，可得，所以，即,故猜想成立. 教師：這種思路是建立平面直角坐標系,借助于坐標運算來證題.利用坐標法的優(yōu)點在于不必分類討論了且運算簡單.設計意圖：讓學生以小組為單位討論解決問題的方法，老師適當引導點撥 ，由學生自己證明，充分體現(xiàn)學生的主體地位. 問題6：以上結論為余弦定理，如何用文字語言與符號語言表示以上定理？你能說出來嗎？ 教師：大家觀察我們剛才證明的式子，如果把它們平方就可以得出結論？ 學生：，即. 教師：同理這個式子也可以用來求另外兩邊，你能把其他兩邊也用式子表示出來嗎？ 學生：可以，； . 教師：很好,這三個式子就是余弦定理的符號語言表述形式,這個式子非常美觀,便

9、于記憶,希望大家好好記憶,請問那位同學能用文字語言把它表述出來嗎? 符號語言： ； ； . 文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與他們的夾角的余弦的積的兩倍.設計意圖：讓學生用兩種數(shù)學語言表述已經(jīng)證明的定理，加深對定理的理解，提高學生的語言表達能力及數(shù)學語言間的轉(zhuǎn)換能力，特別是符號語言表述結構具有輪換對稱美，便于記憶.（5） 合理變型，深化理解： 教師：我們已經(jīng)得到了一個非常漂亮的定理，其符號語言表述具有輪換對稱美，請大家請思考下面的問題？ 問題7：余弦定理是關于三角形的三條邊與其中的一個角之間的關系。應用余弦定理，我們可以由三角形的三邊來確定三角形的角嗎？怎么確定

10、？ 學生：求角我們可以把上面的式子變形，使角和邊分離. 教師：很好，那大家動手寫一下，看看公式變成什么樣子？ 學生：；. 教師：看來大家都不錯，我們把剛才變形之后的公式叫做余弦定理的推論.余弦定理推論：； ；.設計意圖：對公式進行變形，學生很明確就能發(fā)現(xiàn)如何知道三角形的三邊求角. 問題8：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形三邊的平方之間的關系，如何看待這兩個定理之間的關系？ 教師：你們?nèi)绾慰创陨系膯栴}？能得到什么結論？ 學生：勾股定理是余弦定理的特殊情況，余弦定理是勾股定理的推廣.教師：能否根據(jù)余弦定理的推論來判定三角形的每個角是銳角、直角鈍角？如何判斷

11、？ 學生：可以，將各邊代人余弦定理的推論式子，根據(jù)式子的符號來判定角的余弦的符號，若，則A是銳角；若，則A是直角；若，則A是鈍角.教師： （大家一起歸納） 1. ； 2. ； 3. . 教師：判定三角形形狀關鍵是判定哪個角？ 學生：判定最大角. 教師：說得好，在知道三角形三邊的前提下，要判斷三角形形狀，只要判斷最大角的大小即可；剛才我們對余弦定理及推論進行了探討，大家議議，余弦定理可以解決一些什么問題？ 學生：1.已知三角形兩邊及夾角，求第三邊； 2.已知三角形三邊，求任意一角；3.判定三角形形狀.設計意圖：發(fā)現(xiàn)勾股定理與余弦定理之間的區(qū)別與聯(lián)系，并能運用定理判斷角的范圍，從而判定三角形的形狀

12、.（6） 運用定理，解決問題： 例1.在，,求邊的長度（精確到）？ 解：根據(jù)余弦定理， 例2.在，,求該三角形的最大角與最小角的余弦值，并請判定該三角形的形狀. 解：，,根據(jù)余弦定理，;.,為銳角三角形.（7） 隨堂訓練，鞏固反饋： 1.已知在中，那么等于（ B ） A、 B、 C、 D、 2.已知在中，則等于( A ) A、123 B231 C132D312 3.若三條線段的長為5、6、8，則用這三條線段（ C ） A、能組成直角三角形 B、能組成銳角三角形 C、能組成鈍角三角形 D、不能組成三角形七.課時小結：（一）.探究過程： 1.創(chuàng)設情境，提出問題；2.問題化歸，構建模型；3.特例探究

13、，提出猜想； 4.證明猜想，得出定理；5.合理變型，深化理解；6.運用定理，解決問題； 7.隨堂訓練，鞏固反饋.（二）.知識體系： 1.余弦定理： 文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與他們的夾角的余弦的積的兩倍. 符號語言： ； ； . 2.余弦定理推論：; ;. 3.余弦定理的應用： 1.已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；2.已知三角形三邊，求任意一角；3.判定三角形形狀.（三）.探究思想方法： 1.從特殊到一般思想；2.轉(zhuǎn)化化歸思想；3.歸納猜想思想；4.數(shù)形結合思想.八作業(yè)：必做：教材P10 習題1.1 A組 3、4.選做：教材P10 習題1.1 B組 2.

14、思考題：已知a、b、c為ABC的三邊，且a2-a-2b-2c0，a2b-2c30，求這個三角形的最大內(nèi)角九教學反思：本課的教學應具有承上啟下的目的，因此在教學設計時既要兼顧前后知識的聯(lián)系，又要使學生明確本課學習的重點，將新舊知識逐漸地融為一體，構建比較完整的知識系統(tǒng)。所以在余弦定理的表現(xiàn)方式、結構特征上重加指導，只有當學生正確地理解了余弦定理的本質(zhì)，才能更好地應用求解問題.本課教學設計力求在型（模型、類型），質(zhì)（實質(zhì)、本質(zhì)），思（思維、思想方法）上達到教學效果。本課之前學生已學習過三角函數(shù)，平面幾何，平面向量、解析幾何、正弦定理等與本課緊密聯(lián)系的內(nèi)容，使本課有了較多的處理工具，也使余弦定理的探討有了更加簡潔的工具。因此在本課的教學設計中抓住前后知識的聯(lián)系，重視數(shù)學思想的教學，加深對數(shù)學概念本質(zhì)的理解，認識數(shù)學與實際的聯(lián)系，學會應用數(shù)學知識和方法解決一些實際問題.學生應用數(shù)學的意識不強，創(chuàng)造力不足、看待問題不深入，很大原因在于學生的知識系統(tǒng)不夠完善。因此本課運用聯(lián)系的觀點，從多角度看待問題，在提出問題、思考分析問題、解決問題等多方面對學生進行示范引導，將舊知識與新知識進行重組擬合及提高，幫助學生建立自己的良好知識結構.本教學設計的創(chuàng)新之處1.教學目標創(chuàng)新 (1)培養(yǎng)學生從特殊到一般地探究問題的能力；(2)培養(yǎng)